Optimum Simplex Lattice Designs of Low Order Multiresponse Surface Model by D-Optimum Criterion

Transkripsi

1 7 Otmum Smlex.(Ruslan et al.) Otmum Smlex Lattce Desgns of Low Order Multresonse Surface Model by D-Otmum Crteron Otmum Smlex Lattce Desgns of Low Order Multresonse Surface Model by D-Otmum Crteron ) Ruslan, ) Susant L, ) Purhad, ) Sony S ) Mahasswa S Statstka Insttut eknolog Seuluh Noember Surabaya ) Staf Pengajar Jurusan Statstka Insttut eknolog Seuluh Noember Surabaya ABSRAC Smlex lattce desgn s a art of mxture desgns has atterns smlex {, m} where s number of factors and m s degree of olynomal. If entanglng a number of the resonse varables whch measured from a number of factors called the multresonse surface model, hence to obtan get the matrx desgns of otmum mxture at multresonse surface model wll be used by the otmum-d crteron. In ths research, we studed about theoretcal aroach to get otmum smlex lattce desgn of low order multresonse surface model by otmum-d crteron. We assumed that desgn onts have smlar weghted values Keywords : Smlex lattce desgns, multresonse surface models, D-Otmum crteron PENDAHULUAN Rancangan ercobaan camuran adalah suatu rancangan ercobaan yang mengasumskan bahwa erbedaan reson yang teramat antar erlakuan hanya dengaruh oleh erbedaan roors dar seta komonen ada camuran tersebut bukan banyaknya camuran. Dalam rancangan ercobaan camuran yang melbatkan satu varabel reson dengan varabel nut (faktor) harus memenuh kendala yang terdaat ada rancangan tersebut. Untuk rancangan ercobaan camuran yang melbatkan faktor-faktor yang bersfat kuanttatf dar model ercobaan yang telah dtentukan sebelumnya serngkal menetakan taraf faktornya berdasarkan kengnan enelt saja atau coba-coba. Haslnya kemungknan besar akan menmbulkan varans enaksr reson yang besar. Untuk tu derlukan suatu metode yang daat menangannya suaya menghaslkan varans enaksr reson yang mnmum yatu rancangan ercobaan otmum. erdaat berbaga krtera otmum, dantaranya adalah krtera otmum-d. Krtera otmum-d adalah suatu krtera yang beruaya mendaatkan matrks rancangan δ sehngga determnan dar matrks nformas maksmum dan mendaatkan nla atau taraf faktor yang membuat varans enaksr varabel reson mnmum. Jka melbatkan sejumlah varabel reson yang dukur dar sejumlah varabel bebas atau dsebut model ermukaan multreson maka untuk memeroleh matrks rancangan ercobaan camuran yang otmum ada model ermukaan multreson akan dgunakan krtera otmum-d. eor mengena cara mendaatkan rancangan ercobaan otmal dengan krtera otmum D, E dan A untuk analss varans dan analss regres untuk reson tunggal telah dbahas oleh Schwabe (996) eor mengena krtera otmum untuk memeroleh rancangan ercobaan yang otmal dengan cara memberkan embobotan ada ttk-ttk ercobaan dalam analss varans dua arah atau lebh telah dbahas oleh Kunert (98), Atknson dan Bogacka (997). Sedangkan ercobaan rancangan otmum untuk model regres lner telah dbahas oleh Lm dan Studden (998), Mentre, Mallet dan Baccar (997). eor tentang model ermukaan multreson mengena enaksran arameter dan uj hotess untuk menguj ketdaksesuaan model dengan menguj arameter-arameternya telah dbahas oleh Khur & Cornell (996). Rancangan ercobaan otmum untuk rancangan ercobaan camuran otmum ada reson tunggal dengan asums fungs resonnya adalah orde dua telah dbahas oleh Pal & Mandal (006). Pada eneltan n dbahas mengena kajan teor untuk mendaatkan rancangan ercobaan camuran smleks latcce ada model ermukaan multreson orde rendah yang otmum berdasarkan krtera otmum D. Orde rendah yang akan dbahas adalah orde

2 Jurnal ILMU DASAR, Vol. No., Jul 00: satu dan orde dua dengan mengasumskan bahwa bobot W yang akan dberkan memlk nla bobot yang sama. HASIL DAN PEMBAHASAN Rancangan ercobaan camuran smleks Lattce Dalam ercobaan camuran jka x meruakan roors komonen ke - dalam camuran dmana banyaknya komonen adalah, maka: x 0 dengan,,..., () x x + x x () Rancangan smleks lattce meruakan bagan dar rancangan ercobaan camuran yang memlk ola smleks {, m} dmana adalah banyaknya komonen dan m adalah derajat olnomal. Banyaknya ttk-ttk rancangan untuk rancangan smleks lattce ada komonen dan m derajat olnomal yatu: + m ( + m )! () m m!( )! (Cornel 98). Rancangan ercobaan camuran smleks Lattce otmal ada model ermukaan multreson Orde satu Jka melbatkan sejumlah varabel reson yang dukur dar sejumlah faktor dnamakan model ermukaan multreson, model ermukaan multreson ada rancangan smleks lattce orde satu yatu: Y % X % β + % ε, untuk r,,...,. r r r r dmana r adalah banyaknya reson. Sedangkan model orde satu rancangan smleks lattce dalam bentuk nla haraan yatu : η β x Untuk memeroleh matrks rancangan ercobaan camuran yang otmum ada model ermukaan multreson akan dgunakan krtera otmum D. Suatu rancangan otmum D adalah suatu rancangan yang memaksmumkan XX dar suatu model yang sesua. Atau beruaya memnmumkan (X X) -. Sehngga rancangan otmum D memunya : varans dar enaksr arameter yang kecl, korelas antar enaksr arameter yang kecl, dan varans enaksr reson yang kecl. Suatu rancangan ercobaan camuran akan otmum jka dberkan embobot yang memlk nla berdasarkan ada determnan X WX dmana W adalah suatu matrks dagonal dengan elemen w untuk w 0 dan w. Msalkan adalah banyaknya komonen atau faktor, r adalah banyaknya reson, s adalah banyaknya relkas dan m adalah derajat olnomal, maka untuk ada model orde satu m ttk rancangan sebanyak yatu : (, 0) dan (0, ), sehngga matrks rancangan X 0 0. Jka dber embobotan yatu w adalah nla embobot dengan nla yang sama yatu w w dan memenuh w 0 dan w dmana W adalah matrks dagonal dengan elemenelemennya w X WX 0 0 w w. y Y y % Untuk r, makay% Y dan % y y matrks rancangan untuk kasus multreson tana relkas adalah w w 0 0 (I X WX), 0 0 w w dengan menggunakan krtera otmum D sehngga det(i X WX) w (-w). rancangan akan otmum

3 74 Otmum Smlex.(Ruslan et al.) (det( I X WX)) ( w ( w) ) + ( 0 deroleh nla embobot w ½ dan (det( I X WX)) ( w ( w) ) (( w) + w()( w)( )) w( w) w )( w)( ) (4 w( w) w ( )) + 6w 6w+ untuk w ½ adalah 6(½) -6(½) + -½ < 0 menunjukan bahwa memberkan w ½ maka rancangan akan otmum. Dengan langkah engerjaan yang sama deroleh untuk r adalah w /, sehngga untuk r dan ada m sehngga deroleh det(i X WX) w ( ) ( ( )w) maka rancangan akan otmum jka ( ) (det( I X WX)) ( w ( ( ) w) ) (( ) ) ( ) w ( ( ) w) + ( ) w ( ( ) w) ( ( )) 0 deroleh w / dengan asums nla tara faktor yang dbobot sama. Dengan melbatkan relkas sebanyak s ada deroleh untuk ada m, ttk-ttk ercobaannya adalah : (, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, ) maka matrks rancangannya adalah : 0 0 X 0 0, 0 0 dengan relkas s, maka X 0 0, maka X WX w w w w w X WX 0 w w Untuk s deroleh X WX dagonal{w, w, 6w}, s 4 deroleh X WX dagonal { 4w, 4w, 8w}. Untuk s s deroleh X WX dagonal{sw, sw, sw}. Untuk r deroleh (I X WX) dagonal {sw, sw, sw, sw, sw, sw}, det(i X WX)(sw) 4 ( sw) akan otmum jka 4 (det( I X WX)) (( sw) ( sw) ) yatu w s dan 4s 4 w (-sw) 4s(sw) 4 (-sw) 0 (det( I X WX)) ( w ( w) ) s 4 w ( sw) 6s 5 w ( sw) 6s 5 w (-sw) + 8s 6 w 4 untuk w s deroleh - 4 s < 0. Untuk r 7, rancangan akan otmum jka w s, untuk r, det(i X WX) (sw) r ( sw) r, akan otmum jka w. Jad untuk s ada m dengan relkas ke f dan reson ke r dmana f,,...,s dan r,,..., r maka rancangan akan otmum jka dbobot ta ttk rancangan dengan nla bobot yang sama ada w.untuk 4 ada m, f s s maka X WX dagonal {sw, sw, sw, sw}. Untuk r maka deroleh det(i X WX) (sw) ( sw), akan otmum jka w 4s. Untuk ada m dengan r dan f s deroleh: det(i X WX) (sw) ( ) ( (-

4 Jurnal ILMU DASAR, Vol. No., Jul 00: )sw), deroleh w, maka rancangan s akan otmum jka w dengan asums s bahwa nla bobot yang sama dberkan ada ta ttk rancangan. Orde dua Model ermukaan multreson ada rancangan smleks lattce orde dua yatu: Y (x) % β + x % % β + x % B x % + ε, r,,..., r 0 r r r Sedangkan model orde dua rancangan smleks lattce dalam bentuk nla haraan yatu : η β x + β xx j j j < j Untuk ada m banyaknya ttk rancangan adalah yatu (,0), (0,), (/,/), sehngga matrks rancangan 0 X 0. / / Jka dber embobotan yatu w adalah nla embobot dengan nla yang sama dan memenuh w 0 dan w dmana W adalah matrks dagonal dengan elemenelemennya w. w+ w X 4 4 WX, w + w 4 4 untuk r deroleh (I X WX) w+ w 4 4 w + w w+ w 4 4 w + w 4 4 det(i X WX) ( + w) ( w ) w. Rancangan akan otmum jka w (det( I X WX)) 4 w 0 deroleh w 0. Untuk r deroleh det(i X WX) + w w 4 4 w, rancangan akan otmum jka w (det( I X WX)) w 0 8 deroleh w 0. Untuk r deroleh det(i X WX) + w w w, 4 4 rancangan akan otmum jka w (det( I X WX)) w 0 deroleh w 0. Untuk ada m terdaat 6 ttk ercobaan yatu (,0,0), (0,,0), (0, 0, ), (,,0), (, 0, ), (0,, ). untuk r maka r det(i X WX) x w ( ) r 4 deroleh w 0. Untuk 4 ada m terdaat 0 ttk ercobaan yatu (, 0, 0, 0), (0,, 0, 0), (0, 0,, 0), (0, 0, 0, ), (,, 0, 0), (, 0,, 0), (, 0, 0, ), (0,,, 0), (0,, 0, ), (0, 0,, ), Jka dber embobotan yatu w adalah nla embobot dengan nla yang sama dan memenuh w 0 dan w dmana W adalah matrks dagonal dengan elemen-elemennya w.

5 76 Otmum Smlex.(Ruslan et al.) Jka dber embobotan yatu w adalah nla embobot dengan nla yang sama dan memenuh w 0 dan w dmana W adalah matrks dagonal dengan elemenelemennya w. 7 w w w w (X w w w w WX) , w w w w w w w w untuk r maka 4 4 det (I 7 X WX) w w 4 4 4, maka ( w w ) (det( I X WX)) deroleh w 0. Aabla dasumskan nla bobot yang sama tdak deroleh nla embobot dalam rancangan otmum ada model ermukaan multreson rancangan smleks lattce orde dua tana relkas. KESIMPULAN Rancangan ercobaan camuran smleks lattce ada model ermukaan multreson orde satu yang otmum tana reslkas berdasarkan krtera otmum D dengan adalah banyak komonen, s adalah banyaknya relkas dengan mengasumskan nla bobot yang sama ada ta ttk rancangan menghaslkan nla bobot ada ta ttk rancangan sebesar w dan dengan relkas w. Sedangkan untuk rancangan s ercobaan camuran smleks lattce ada model ermukaan multreson orde dua yang otmum tana reslkas dengan asums nla bobot yang sama ada ta ttk rancangan tdak menghaslkan nla bobot yang akan dberkan ada ta ttk rancangan. DAFAR PUSAKA Atknson AC & Bogacka B Comound D-and D s -Otmum Desgns for Determnng he Order of A Chemcal Reacton; echnometrcs, 9(4): Cornell. 98. Exerment Wth Mxture, John Wley & Sons, New York. Khur Al & Cornell JA Resonse Surface Desgn Analyss, Second Edton Marcel Dekker, Inc New York. Kunert J. 98. Otmal Desgns and Refnement of he Lnear Models Wth Alcaton to Reeated Measurement Desgns, Ann Statstcs, : Lm YB & WJ Studden Effcent D s Otmal Desgns for Multvarate Polynomnal Regresson on he -cube, An Statstcs, 6: Mentre F, Mallet A & Baccar D Otmal Desgns n Random Effect Regresson Models; Bometrka, 84:, Pal M & Mandal NK Otmum Desgns for Otmum Mxtures, Statstcs & Probablty Letters,.76: Schwabe R Otmum Desgn for Mult Factor Models, Lecture Notes n Statstc, Srnges, New York.