ANALISIS KOMPONEN UTAMA

Transkripsi

1 ANALISIS KOMPONEN UTAMA Dajukan Untuk Memenuh Salah Satu Tugas Mata Kulah Analss Multvarat Dsusun oleh: Novtr Smanjuntak (05583) Dw Melan P. (05559) Nurul Kurnawat (0448) Dena Rahayu (0555) Naom Nessyana (055589) Jurusan Penddkan Matematka Fakultas Penddkan Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Unverstas Penddkan Indonesa 009

2 KATA PENGANTAR Segala uj bag Allah SWT yang telah memberkan rahmat, rdho serta kash sayangnya terhada umat-nya sehngga makalah yang berjudul ANALISIS KOMPONEN UTAMA daat terselesakan teat ada waktunya. Makalah n dsusun sebaga salah satu tugas untuk mata kulah Metode Statstka Multvarat. Penuls menyadar betul bahwa mash banyak terdaat kekurangan dalam bentuk enulsan makalah n. Untuk tu adanya saran dan endaat serta masukan-masukan yang membangun dem erbakan makalah n sangat enuls harakan. Pada kesematan n enuls menghaturkan terma kash keada Baak Drs. Jarnaw M.kes yang telah membantu dan mendukung dalam embuatan makalah n. Akhr kata, enuls berhara kranya makalah n daat bermanfaat bag erkembangan Ilmu Pengetahuan Matematka khusunya bdang Statstka sekarang dan ada masa yang akan datang. Bandung, Jun 009 Penuls

3 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Masalah Pada dasarnya analss komonen utama bertujuan menerangkan struktur varans-kovarans melalu kombnas lnear dar varabel-varabel. Secara umum analss komonen utama bertujuan untuk mereduks data dan mengnterretaskannya. Meskun dar buah varabel dasar daat dturunkan buah komonen utama untuk menerangkan keragaman total sstem, namun serngkal keragaman total tu daat dterangkan secara memuaskan oleh sejumlah kecl komonen utama, katakanlah oleh k buah komonen utama, dmana k <. jka demkan halnya, maka kta akan memeroleh bagan terbesar nformas tentang struktur varans-kovarans dar buah varabel asal tu dalam k buah komonen utama. Dalam hal n k buah komonen utama daat menggant buah varabel asal serta kumulan data asl dalam bentuk matrks berukuran n x daat dreduks ke dalam matrks berukuran lebh kecl yang mengandung n engukuran ada k buah komonen utama ( matrks berukuran n x k, dmana k < ). Analss komonen utama serng kal dlakukan tdak saja meruakan akhr dar suatu ekerjaan engolahan data teta juga meruakan taha (langkah) antara dalam kebanyakan eneltan yang bersfat lebh besar (luas). Analss komonen utama meruakan taha antara karena komonen utama dergunakan sebaga nut dalam membangun analss regres, demkan ula dalam analss

4 gerombol (cluster analyss) komonen utama dergunakan sebaga nut untuk melakukan engelomokan.. Rumusan Masalah Untuk memudahkan dalam mengemukakan ermasalahan dan mengarahkan embahasan, maka enuls merumuskan masalahnya sebaga berkut :. Bagamana komonen utama untuk oulas?. Bagamana varas samel dengan menggunakan komonen utama? 3. Bagamana mengnterretaskan komonen utama dalam suatu grafk? 4. Bagamana analss komonen utama d dalam samel ukuran besar?.3 Batasan Masalah Dalam makalah n, enuls akan membatas masalah ada analss komonen utama saja..4 Tujuan Peneltan Tujuan dar eneltan n secara umum adalah untuk memerkenalkan dan mengkaj tentang metode Komonen Utama yang d urakan sebaga berkut:. Untuk mengetahu komonen utama ada oulas.. Untuk mengetahu nla varas samel dengan menggunakan komonen utama. 3. Untuk mengetahu nterretas komonen utama dalam suatu grafk. 4. Untuk mengetahu analss komonen utama dalam samel ukuran besar.

5 .5 Sstematka Penulsan Sstematka enulsan dalam makalah n adalah sebaga berkut : BAB I : Meruakan endahuluan mencaku latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan eneltan, serta sstematka enulsan. BAB II : Mengemukakan BAB III : Kesmulan dan saran..6 Daftar Pustaka Johnson, Rchard A. Aled Multvarate Statstcal Analyss. Prentce Hall.

6 BAB II ISI Novtr Smanjuntak Komonen Utama Poulas Secara aljabar, komonen utama adalah kombnas lnear khusus dar varabel acak X, X,..., X. Secara geometrs, kombnas lnear n menggambarkan emlhan dar sstem koordnat yang deroleh dengan merotaskan sstem awal dengan X, X,..., X sebaga sumbu koordnat. Seert yang kta lhat, komonen utama semata-mata bergantung ada matrks kovarans Σ ( atau matrks korelas ρ ) dar X, X,..., X. dalam erkembangannya tdak membutuhkan asums multvarat normal. D ss lan, komonen utama yang berasal dar oulas multvarate normal memunya nterretas yang berguna dalam keadatan ellsod konstan. Msalkan vektor acak X ' = X, X,..., X memlk matrks kovarans Σ dengan nla egen λ λ... λ 0. Perhatkan kombnas lnear Y = l ' X = l X + l X l X Y = l ' X = l X + l X l X (8-)....

7 .. Y = l ' X = l X + l X l X Dengan menggunakan -45, Var Y = l Σl (8-) ( ) ' Cov( Y, Y ) = l' Σl (8-3) k k komonen utama adalah kombnas lnear Y, Y,..., Y dmana varans ada (8-) sebesar mungkn. Komonen utama ertama adalah kombnas lnear dengan varans maksmum. Yang memaksmumkan Var( Y ) = l' Σl. Jelas Var( Y ) = l' Σl daat menngkat dengan mengalkan l dengan konstanta. Berdasarkan kenyataan d atas, maka daat dbuat ernyataan umum yang berkatan dengan konse analss komonen utama, sebaga berkut: Komonen utama ke- = kombnas lnear l ' X yang memaksmumkan Var( l ' X ) serta l' l dan = Cov( l' X, l ' X ) = 0 untuk k < Result 8.. Msalkan Σ matrks kovaran yang bersesuaan dengan vektor acak X ' = X, X,..., X. Msalkan Σ memlk asangan nla egen- vektor k ( λ e ),( λ e ),...,( λ e ) dmana λ λ... λ 0. Komonen uama ke-i egen,,, dberkan oleh Y = e' X = e X + e X e X, =,,, (8-4) Dengan,

8 Var( Y ) = e' Σ e = λ =,,..., Cov( Y, Y ) = e' Σ e = 0 k (8-5) k k Jka beberaa λ sama, dengan vektor koefsen e yang bersesuaan, maka Y tdak tunggal. Bukt. Kta tahu dar (-5) bahwa B = Σ, l ' Σ l max = λ l 0 l ' l ( deroleh ketka l = e ) e' e = karena vektor egen dnormalkan. Dengan demkan l ' Σ l e' Σe max = λ = = e ' Σ e = Var( Y ) l 0 l ' l e' e Dengan cara yang sama, menggunakan (-45) max l e, e,..., ek l ' Σ l = l ' l λ k + k =,,, Untuk l = e k +, dengan e' k+ e = 0, untuk =,,,k dan k =,,..,, e ' e' Σe e k + k + k + k + = e ' Σ e = Var( Y ) k + k + k + e' ( Σ e ) = λ e' e = λ maka Var( Yk + ) = λk +.tnggal Karena k + k+ k+ k+ k+ k + menunjukkan bahwa e tegak lurus terhada e ( e' e = 0, k ) memberkan k k Cov( Y, Y ) = 0. Vektor egen dar Σ orthogonal jka semua nla egen k λ, λ,..., λ berbeda.jka nla egen tdak berbeda semuanya, maka vektor egen yang bersesuaan dengan nla egen daat dlh suaya orthogonal. Dengan demkan, untuk seta dua vektor egen e dan e k, e' e k = 0, k. Karena Σ ek = λkek, erkalan dengan e ' memberkan

9 Cov( Y, Y ) = e' Σ e = e' λ e = λ e' e = 0 untuk seta k k k k k k k. terbukt. Dar akbat 8., komonen utama tdak berkorelas dan memlk varans sama dengan nla egen dar Σ. Result 8.. Msalkan X ' = X, X,..., X memlk matrks kovarans Σ, dengan asangan nla egen-vektor egen ( λ, e ),( λ, e ),...,( λ, e) dmana λ λ... λ 0. Msalkan Y = e' X, Y = e' X,..., Y = e ' X adalah komonen utama. Maka σ + σ σ = Var( X ) = λ + λ λ = Var( Y ) = = Bukt. Dar defns A.8, σ + σ σ = tr( Σ ). Dar (-0) dengan A = Σ, kta daat menuls Σ = PΛ P ' dmana Λ adalah matrks dagonal dar nla egen dan P = e, e,..., e sedemkan sehngga PP ' = P ' P = I. dengan menggunakan result A.(c), maka deroleh tr tr P P tr P P tr λ λ λ ( Σ ) = ( Λ ') = ( Λ ' ) = ( Λ ) = Maka, Var( X ) = tr( Σ ) = tr( Λ ) = Var( Y ) = = Result 8. mengatakan Total varans oulas = σ + σ σ = λ + λ λ (8-6)

10 Dan sebaga akbatnya, roors varans total dar komonen utama ke-k adalah roors var ans oulastotaldar = komonenutama ke k λk λ + λ λ k =,,, (8-7) Msal aabla berukuran besar, sedangkan dketahu bahwa sektar 80% - 90% varans oulas total telah mamu dterangkan oleh satu, dua, atau tga komonen utama yang ertama, maka komonen-komonen utama tu telah daat menggant buah varabel asal tana mengurang nformas yang banyak. Seta komonen dar vektor koefsen e' = e,..., ek,..., e juga harus derksa. Besar e k dukur dar varabel ke-k ke komonen utama ke-, tana memerhatkan varabel yang lan. Secara khusus e k roorsonal terhada koefsen korelas antara Y dan X k. Result 8.3. Msalkan Y = e' X, Y = e' X,..., Y = e ' X adalah komonen utama yang deroleh dar matrks kovaran Σ, maka ρ Y, X k e λ k =, k =,,, (8-8) σ kk adalah koefsen korelas antara komonen Y dan varabel X k. Dsn ( λ e ),( λ e ),...,( λ e ) adalah asangan nla egen vektor egen dar Σ.,,, Bukt. Ambl ' [ 0,...,0,,0,...,0 ] l sedemkan sehngga berdasarkan (- k = 45) X k =l ' k X dan Cov( X k, Y ) = Cov( l ' k X, e' X ) = l ' k Σe. Karena Σ e = λe, Cov( X, Y ) = l ' λe = λe. k k k

11 Maka Var( Y ) = λ [ lhat (8-5)] dan Var( X ) = σ menghaslkan: k kk ρ Y, X k Cov( Y, X k ) λe e k k λ = = =, k =,,, Var( Y ) Var( X ) λ σ σ k kk kk Contoh 8. Msalkan varabel acak X, X, dan X 3 memlk matrks kovaran 0 Σ = Maka ddaat asangan nla egen vektor egen adalah λ = e ' = [ 0,383; 094;0] 5,83 λ = e ' = [ 0, 0,],00 3 0,7 Sehngga komonen utamanya adalah λ = e ' = [ 0,94;0,383;0 ] Y = e' X = 0,383X 0,94X Y = e' X = X 3 Y = e' X = 0,94X + 0,383X Varabel X 3 adalah slah satu komonen utama karena tdak berkorelas dengan dua varabel lannya. Persamaan (8-5) daat dtunjukkan dar komonen utana ertama. Contoh: Var( Y ) = Var(0,383X 0,94 X ) = (0,383) Var( X ) + ( 0,94) Var( X ) + (0,383)( 0,94) Cov( X, X ) = 0,47() + 0,854(5)-0,708(-) = 5,83 = λ

12 Cov( Y, Y ) = Cov(0,383X 0,94 X, X ) 3 = 0,383 Cov( X, X ) 0,94 Cov( X, X ) 3 3 = 0,383(0) 0,94(0) = 0 Juga daat dtunjukkan bahwa σ + σ + σ = = λ + λ + λ = 5,83 +, , seert yang dtunjukkan oleh ersamaan (8-6). Proors varans total untuk λ komonen utama ertama adalah = 5,83/ 8 = 0,73. Proors untuk ( λ + λ + λ ) 3 komonen utama kedua adalah (5,83 + ) / 8 = 0,98 dar varans oulas. Dalam hal n komonen Y dan Y daat menggant ketga varabel asal tana mengurang nformas yang banyak. Akhrnya, dengan menggunakan (8-8) ρ Y, X e λ = = = σ 0,383 5,83 0,95 ρ Y, X e λ = = = σ 0,94 5,83 5 0,998 Juga ρ = ρ = 0 dan Y X Y X ρ Y X3 λ = = = σ 33 Korelas lannya daat dabakan karena komonen ke-3 tdak dergunakan. Msalkan X berdstrbus N ( µ, Σ ). Kta tahu dar (4-7) bahwa keadatan dar X adalah konstanta ada ellsod yang berusat d µ ( x µ )' Σ ( x µ ) = c

13 dengan sumbu ± c λ e, =,,...,, dmana ( λ, e ) adalah asangan nla egenvektor egen dar Σ. Ttk A yang berada ada sumbu ke- dar ellsod akan memlk roorsonal koordnat terhada e' = e,..., ek,..., e dalam sstem koordnat dengan ttk asal µ dan sumbu yang sejajar dengan sumbu awal x, x,..., x. Adalah teat untuk mengambl µ = 0. Dar bab.3 dengan A = Σ, kta daat menuls c = x ' Σ x = ( e' x) + ( e' x) ( e' x) λ λ λ dmana e' x, e' x,..., e' x adalah komonen utama dar x. Ambl y = e' x, y = e' x,..., y = e ' x, maka ddaat c = y + y y λ λ λ dan ersamaan n ddefnskan oleh sebuah ellsod ( dengan λ, λ,..., λ ostf) ada sstem koordnat dengan sumbu y, y,..., y terletak dengan arah e, e,..., e secara berurutan. Jka λ adalah nla egen terbesar, maka sumbu utama terletak ada arah e. Ssanya terletak ada arah e,..., e. Secara sngkat, komonen utama y = e' x, y = e' x,..., y = e ' x terletak dengan arah sumbu keadatan ellsod konstan. Sehngga, seta ttk ada sumbu ellsod ke- roorsonal koordnat x dengan e' = e, e,..., e dan koordnat komonen utama dengan bentuk [ 0,...,0,,0,...,0] y.

14 Dw Melan P Komonen Utama yang Deroleh dar Varabel yang Dbakukan Komonen utama daat juga deroleh untuk varabel yang dbakukan Z ( X µ ) = σ Z ( X µ ) = σ (8-9) Z ( X µ ) = σ Persamaan transformas Z (ersamaan 8-9) daat dnyatakan secara sngkat dalam bentuk matrks, Z V X µ / = ( ) ( ) (8-0) Dmana matrks dagonal smangan baku / V ddefnskan d (-35) yatu : V σ 0 L 0 0 σ L 0 / = M M O M 0 0 L σ Dengan jelas E( Z ) = 0 dan V ρ V = dan ρ = ( V ) ( V ) / / Cov( Z) ( V ) ( V ) ρ = = oleh (-37) yatu : Komonen utama dar Z mungkn deroleh dar vektor egen matrks korelas ρ dar X. Semua hasl yang sebelumnya berlaku, ta dengan beberaa

15 enyederhanaan karena varans dar seta Z adalah unty(kesatuan). Kta daat teta menggunakan notas Y untuk mengacu ada komonen utama ke- dan ( λ, e ) untuk asangan nla egen-vektor egen. Akan teta, nla yang ddaat dar, secara umum, tdak sama seert yang ddaat dar ρ. Hasl 8.4. Komonen utama ke- dar varabel baku (varabel asal yang dbakukan satuan engukurannya) Z ' = [ Z, Z,..., Z ], dengan Cov( Z ) = ρ, dberkan oleh Y e Z e V X / = ' = ' ( ) ( µ ), =,,..., Selan tu, Var( Y ) = Var( Z ) = (8-) = = Dan ρy, Z = ek λ,, k =,,..., k Dalam hal n, ( λ, e ),( λ, e ),...,( λ, e) adalah sebaga asangan-asangan nla egen-vektor egen untuk ρ dengan λ λ... λ 0. Bukt. Hasl 8.4 mengkut dar hasl 8., 8., dan 8.3, dengan Z, Z,..., Z sebaga enggant X, X,..., X dan ρ sebaga enggant. Kta lhat dar (8-) bahwa total (varabel baku) varans oulasnya adalah, jumlah elemen-elemen dagonal matrks ρ. Gunakan (8-7) dengan Z sebaga enggant X, roors dar total varans yang djelaskan oleh komonen utama ke-k dar Z adalah

16 Proors dar (baku) λk varans oulas seharusnya =, k =,,..., (8-) untuk komonen utama ke-k Dmana λ 's adalah nla egen dar ρ. k Contoh 8. (Komonen Utama yang Deroleh dar Matrks Kovarans dan Korelas) Anggalah matrks kovarans 4 Σ = 4 00 Dan matrks korelas yang ddaat ρ = *untuk mencar nla egen, dgunakan rumus : λι = λ = 0 λ 4 = λ (( λ)( λ) ) ( )( ) = 0 + = 00 λ 00λ λ 6 0 λ λ + = λ, ± = b b 4ac a

17 , ( ) ( )( ) ( ) 0± λ = 0± λ, = λ = = dan λ = = *Untuk mencar vektor egen, dgunakan rumus : Jka Ax = λx, maka vektor egennya adalah e = x x ' x 4 A = = 4 00 dan λ = 00.6, λ = 0.84, maka x = λ x 4 x x = x x () dan x = λ x 4 x x = x x () Dar ersamaan, deroleh : x + 4x = 00.6x 4x + 00x = 00.6x Ambl x = (sembarang), maka ( ) ( ) + 4x = x = 00.6x Deroleh x = dan x = 4.79, sehngga x = 4.79.

18 e = = = = ( )( ) ( 4.79)( 4.79) [, 4.79] 4.79 Dar ersamaan, deroleh : x + 4x = 0.84x 4x + 00x = 0.84x Ambl x = (sembarang), maka ( ) ( ) + 4x = x = 0.84x Deroleh x = dan x = 0.04, sehngga x = e = = = = ( )( ) ( 0.04)( 0.04) [, 0.04] 0.04 Pasangan nla egen-vektor egen dar adalah λ = 00.6, e' = [0.040, 0.999] λ = 0.84, e' = [0.999, 0.040] Dengan cara yang sama, asangan nla egen-vektor egen dar ρ adalah λ = + ρ =.4, e' = [0.707, 0.707] λ = ρ = 0.6, e' = [0.707, 0.707] Masng-masng komonen utama menjad : Y = 0.040X X Y = 0.999X 0.040X Dan

19 ρ : X µ X µ Y = 0.707Z Z = = 0.707( X µ ) ( X µ ) X µ X µ Y = 0.707Z 0.707Z = = 0.707( X µ ) ( X µ ) Oleh karena varansnya besar, X dengan seenuhnya mendomnas komonen utama ertama yang dtentukan dar. Selan tu, komonen utama ertama menjelaskan roors λ 00.6 λ + λ = 0 = 0.99 dar total varans oulas. Ketka varabel X dan X dbakukan, bagamanaun, menghaslkan varable yang berkontrbus sama untuk komonen utama yang dtentukan dar ρ. Gunakan hasl 8.4 ρ, = e λ = = Y Z Dan ρ, = e λ = = Y Z Dalam hal n, komonen utama ertama menjelaskan roors λ.4 = = 0.7 Dar total (baku) varans oulas. Varabel-varabel mungkn erlu dbakukan jka dukur dalam satuan engukuran dengan jarak berbeda yang luas atau jka satuan engukurannya tdak setara/sama. Contohnya, jka X mewakl enjualan tahunan dalam jarak $0,000

20 sama $350,000 dan X adalah raso/erbandngan (endaatan tahunan)/(total asset) dalam jarak 0.0 sama 0.60, maka total varas akan eksklusf mendekat enjualan dolar. Dalam n, kta harakan komonen utama tunggal (entng) dengan menmbang berat X. Sebaga kemungknan lan, jka kedua varable dbakukan, keentngan yang berkut akan menjad order yang sama dan X (atau Z ) akan memankan eran yang lebh besar dalam konstruks komonen. Hal n derhatkan ada contoh 8.. Komonen Utama untuk Matrks Kovarans dengan Struktur Khusus Ada matrks kovarans dan korelas berola tertentu yang komonen utamanya daat dnyatakan dalam format sederhana. Andakan adalah matrks dagonal σ 0 L 0 0 σ 0 L = M M O M 0 0 L σ (8-3) Plh e' = [ 0, K,0,,0, K,0], dengan ada oss ke-, kta erhatkan bahwa 0 0 σ 0 0 M M L σ L 0 M M O M L σ M M 0 0 = σ or e = σ e

21 Dan kta smulkan bahwa (,e ) Karena kombnas lnear e' X σ adalah asangan nla egen-vektor egen ke-. = X, kumulan dar komonen utama hanya kumulan asl dar varabel-varabel acak yang tdak dkorelaskan. Untuk matrks kovarans dengan ola ada (8-3), tdak ada aaun yang deroleh dar mencar komonen utama. Dar seg andangan lan, jka X berdstrbus N ( µ, ), bentuk dar keadatan teta adalah ellsod yang sumbu X nya berada ada arah varas maksmum. Konsekwensnya, tdah usah berutar untuk mengkoordnas system. Standardsas tdak ada hakekatnya mengubah keadaan untuk ada (8-3). Dalam hal n, ρ = I, matrks denttas x. Lebh jelasnya, ρ e = e, maka nla egen memunya keragaman dan e' = [ 0, K,0,,0, K,0], =,, K,, adalah lhan teat untuk vektor egen tu. Konsekwensnya, komonen utama yang dtentukan dar ρ adalah juga varabel-varabel asl Z, K, Z. Selan tu, dalam hal n nla egen sama, elsod normal multvarate dar keadatan teta adalah sherods (bentuk bola). Pola lan matrks kovarans, yang serng menggambarkan koresondens dantara varabel-varabel yang berhubungan dengan lmu bolog tertentu seert ukuran makhluk hdu, memunya bentuk umum σ ρσ L ρσ ρσ σ L ρσ = M M O M ρσ ρσ L σ (8-4) Menghaslkan matrks korelas,

22 ρ L ρ ρ ρ ρ L = M M O M ρ ρ L (8-5) Adalah juga matrks kovarans dar varabel yang dbakukan. Matrks ada (8-5) menyratkan bahwa varable X, X, K, X dengan sama dhubungkan. nla egen dar matrks korelas (8-5) daat dbag menjad dua gru. Ketka ρ ostf, yang alng besar adalah λ = + ( ) ρ (8-6) Dengan vektor egennya e' =,, K, (8-7) Ssanya nla egen adalah λ = λ = = λ = ρ 3 L Dan satu lhan untuk vektor egennya adalah e' =,,0, K,0 x x e ' 3 =,,,0, K,0 x 3 x 3 x 3 M ( ) e' =, K,,,0, K,0 ( ) ( ) ( ) M ( ) e' =, K,, ( ) ( ) ( ) Komonen utama ertama

23 Y = e' X = X = Sebandng dengan jumlah dar varable asl. Itu bsa dangga sebaga ndeks dengan bobot yang sama. Komonen utama n menjelaskan roors λ + ( + ) ρ ρ = = ρ + (8-8) Dar total varas oulas. Kta lhat bahwa λ / = ρ untuk ρ dekat dengan atau besar. Contohnya, jka ρ = 0.80 dan = 5, komonen ertama menjelaskan 84% dar total varans. Ketka ρ dekat, komonen terakhr, secara bersama, menyumbang sangat kecl ada total varans dan serng dabakan. Jka varable baku Z, Z, K, Z berdstrbus normal multvarate dengan matrks kovarans yang dberkan oleh (8-5), maka ellsod dar keadatan teta adalah cgar-shaed dengan sumbu utama sebandng dengan komonen utama ertama Y ( )[ ] = /,, K, X. Komonen utama n menjad royeks X ada gars equangular ' = [,, K,]. Sumbu tambahan (dan ssa komonen utama) berbentuk bola arah smetrs yang tegak lurus dengan sumbu utama (dan komonen utama ertama).

24 Nurul Kurnawat 0448 Interretas dar samel komonen utama Samel komonen utama memunya beberaa nterretas. Pertama kta angga yang mendasar dar x adalah mendekat N ( 0, ) Maka samel ) y e ) komonen utama = ( x x) adalah realsas dar oulas komonen utama ) Y ) e = ( X µ) N yang berdstrbus ( 0, ). Matrk dagonal memunya entr-entr λ λ λ λ,,..., dan (, ) e adalah seasang nla egen-vektor egen dar Σ juga, dar nla samel x, kta daat memerkrakan µ dengan x j dan Σ Σ dengan S. Jka S adalah terdefns dan ostf. Bentuk gars (contour) terdr dar semua x vektor yang memenuh S ( x x)' ( x x) = c (8.4) Yang memerkrakan keadatan konstan gars bentuk (contour) ( x µ )' Σ ( x µ ) dengan keadatan normal gars bentuk kra-kra daat dlukskan ada scaterlot dengan mengndkaskan dstrbus normal. Scaterlot mungkn aagak menymang dar bentuk ellsod ta kta teta daat menggal nla egen dar S dan memeroleh samel komonen utama. Secara geometr data meungkn dlot sebaga n ttk ada ruang. Data daat deksreskan dalam koordnat baru, yang serua dengan sumbu gars bentuk dar (8.4) Sekarang (8.4) mendefnskan sentral hyerlsod yang terusat ada x dan sumbu dberkan oleh vektor egen dar S atau sama dengan S. anjang dar

25 sumbu hyerlsod n adalah sebandng dengan λ, =,., dmana λ λ... λ 0 ) adalah nla egen dar S. Karena e memunya ) anjang, nla mutlak dar komonen utama ke I = ( x x) ) y e memberkan ) anjang royeks (x- x ) ada arah dar sumbu e Konsekuensnya samel komonen utama daat dandang sebaga hasl dar translas dar system koordnat asl x dan koordnat sumbu x melewat enyebaran arah dar varans maksmum. Interretas geometr dar samel komonen utama yang dlustraskan ada gambar 8. untuk =. Gambar 8.(a) menunjukkan sebuah el dengan jarak konstan, dengan usat x dengan. Samel komonen utama dtentukan dengan bak. Mereka terletak seanjang sumbu x dar ellsod ada arah erotongan dar samel varans maksmum. Gambar 8.(b) menunjukkan sebuah jarak ell dengan usat x dengan =. Pada kasus n sumbu dar ells( lngkaran) jarak konstan ells(lngkarang adalah tdak unk, dan terletak ada dua arah erotongan, termasuk erotongan dar sumbu asl. Ketka gars bentuk dar jarak konstan hamr bundar atau sama dengan ketka nla egen dar S hamr sama. Varans samel adalah homogen dalam semua arah, maka tu tdak mungkn mewakl data yang bak yang lebk sedkt dar dmens. Jka akhrnya nla egen cuku kecl sedemkan sehngga varans dalam koresondens daat dabkan, akhrnya samel komonen utama daat

26 dabakan dan data menjad cuku dengan erwaklan dalam ruang dar komonen yang menguasa. Dena Rahayu Varas Samel dengan Menggunakan Komonen Utama Menstandardsas (membakukan) Samel Komonen Utama Samel komonen utama secara umum, tdak berbeda berkenaan dengan erubahan dalam skala (lhat lat 8.). Ketka kta menyebutkan erlakuan dalam komonen oulas, satuan engukuran dar varabel-varabel x, x, x 3,..., x n berbeda, maka satuan varans baku engukuran tu erlu dbakukan dengan jalan melakukan transformas varabel x ke dalam varabel baku z. Untuk contoh, standardsas terenuh dengan mengkonstruks : z = D / x x= j =,,..., n (8-5) n matrks data dar engamatan yang dstandardsas Z = z,z,, z = z z z z z z z z z = (8-6) Akbatnya menghaslkan samel vektor rata-rata [lhat (3-4)]

27 z= Z = =0 (8-7) dan matrks samel kovarans [lhat (3-7)] S = n Z n Z Z n Z = n Z z Z z = ZZ = =R (8-8) Samel komonen utama dalam engamatan yang dstandardsas dberkan oleh ersamaan (8-0), dengan matrks R sebaga enggant S. Karena engamatan telah "dusatkan" dengan mengkonstruks, maka tdak usah menuls komonen tu dalam bentuk ersamaan (8-). Jka z,z,,z adalah engamatan yang dstandardsas dengan matrks kovarans R, samel komonen utama ke- adalah y = e z= e z +e z + + e z, =,,.., d mana (λ,e adalah asangan nla egen vektor egen ke- dar R dengan λ λ λ 0. Juga, varans samel y = λ, =,,, kovarans samel y,y =0 k (8-9)

28 Sebaga tambahan, total (yang dstandardsas) varans samel = tr(r) = = λ + λ + + λ dan r, = e λ,, k =,,..., Gunakan (8-9), roors total varans samel yang dterangkan oleh samel komonen utama ke- adalah roors yang dstandardsas samel varans dalam katan ke = λ samel komonen utama =,,..., (8-30) Sebuah aturan menyarankan menahan komonen tu dengan varans, λ, adalah lebh besar dar kesatuan atau setara dengan, hanya komonen tu yang secara ndvdu, menjelaskan sedktnya suatu roors / dar total varans. Aturan n tdak memunya banyak endukung teorts, bagamanaun, dan tu harus tdak dterakan dengan berlebhan. Contoh 8.5 Tngkat engembalan mngguan untuk lma bursa/stock (Alled Chemcal, du Pont, Unon Carbde, Exxon, dan Texaco) yang ddaftarkan d asar bursa New York telah dtentukan untuk erode Januar 975 sama Desember 976. Tngkat engembalan mngguan dgambarkan sebaga (Jumat sekarang yang menutu harga - Jumat sebelumnya yang menutu harga) / (Jumat sebelumnya yang menutu harga) yang dsesuakan untuk saham yang decah dan dvden. Data tersebut ddaftarkan ada tabel 8. dalam lathan. Pengamatan dalam 00 mnggu berurutan namak seert dengan bebas dbag-bagkan, teta hanyalah tngkat tar kembalan ke seberang bursa/stock dhubungkan, karena, seert seseorang harakan, bursa/stock cenderung untuk ndah bersama-sama sebaga jawaban atas konds-konds ekonom umum.

29 Msalkan x,x,,x menandakan tngkat engembalan mngguan yang damat untuk Alled Chemcal, du Pont, Unon Carbde, Exxon, dan Texaco secara berurutan. Maka x =[0.0054,0.0048,0.0057,0.0063,0.0037] Dan R= Catatan kta bahwa R adalah matrks kovarans dalam engamatan yang dstandardsas. z = x x s, z = x x s,, z = x x s Nla egen dan yang dnormalsr bersesuaan dengan vektors egen R telah dtentukan oleh suatu komuter dan dberkan d bawah n. λ =.857, e =[ 0.464,0.457,0.470,0.4,0.4] λ =0.809, e =[ 0.40,0.509,0.60, 0.56, 0.58] λ =0.540, e =[ 0.6,0.78,0.335,0.54, 0.435] λ =0.45, e =[ 0.387,0.06, 0.660,0.47, 0.38] λ =0.343, e =[ 0.45,0.676, 0.400, 0.76,0.385] Penggunaan varabel yang dstandardsas, kta memeroleh dua samel komonen utama yang ertama. y = e z=0.464z z z +0.4z + 0.4z y = e z=0.40z z z 0.56z 0.58z Komonen n melut untuk

30 λ + λ 00%= %=73% 5 dar total (yang dstandardsas) samel varans, memunya enafsran menark. Komonen yang ertama adalah (dengan kasar) enjumlahan dengan sama dharga, atau ndex, dar lma bursa/stock. Komonen n boleh jad dsebut suatu bursa/stock umum - komonen asar, atau secara sederhana suatu komonen asar. (Sesungguhnya, lma bursa/stock n adalah tercaku d Dow Jones Industr Average) Komonen yang kedua menghadrkan suatu kontras antara bursa/stock kma (Alled Chemcal, du Pont, dan Unon Carbde) dan bursa/stock mnyak (Exxon dan Texaco). Itu mungkn dsebut suatu komonen ndustr. Dengan begtu kta lhat bahwa kebanyakan dar varas d dalam engembalan bursa/stock n adalah dalam katan dengan aktvtas asar dan tdak dhubungkan dengan aktvtas ndustr. Penafsran bursa/stock n mengharga erlaku yang telah ula dusulkan oleh Raja. Komonen yang ssanya tdaklah mudah untuk mengnterretaskannya dan secara bersama, menghadrkan varas yang mungkn dkhususkan untuk bursa/stock masng-masng. Bagamanaun juga, mereka tdak menjelaskan sebagan besar total samel varans. Contoh n menyedakan suatu kasus d mana tu namak masuk akal untuk memertahankan suatu komonen y berhubungan dengan suatu nla egen kurang dar. Contoh 8.6 Ahl genetka serng terkat dengan warsan dalam karakterstk yang daat dukur beberaa kal selama seumur hdu bnatang. Berat badan (dalam gram)

31 untuk n = 50 tkus-tkus betna telah deroleh dengan seketka setelah kelahran mereka yang ertama. Berat lahr tkus betna dtamlkan dar matrks n dengan samel vektor rata-rata dan matrks samel korelasnya adalah x =[39.88,45.08,48.,49.95] R= Nla egen dar matrks n adalah λ = 3.058, = 0.38, λ 0.34, dan λ = Catatan kta bahwa nla egen yang ertama mendekat sama dengan + ( ) = + (4 )( = 3.056, dmana adalah rata-rata artmatk dar unsurunsur dagonal-off dalam R. Ssa nla egen adalah kecl dan sektar sama, walauun λ sedkt banyaknya lebh kecl dbandng dan λ. Maka ada beberaa bukt dmana bersesuaan dengan oulas matrks korelas mungkn dalam korelas sama berbentuk seert dalam (8-5). Dugaan n dseldk lebh lanjut dalam contoh 8.9. Komonen utama yang ertama y = e z=0.49z +0.5z +0.49z +0.50z melut 00 λ %=00. %=76% dar total varans. Walauun berat rata-rata os kelahran menngkat dar waktu ke waktu, varas dalam berat cuku bak dterangkan oleh komonen utama yang ertama dengan koefsen yang hamr sama.

32 .3 Grafk komonen utama Plot dalam komonen utama daat mengungkakan kecurgaan engamatan, seert halnya menyedakan emerksaan engambl-alhan dalam kenormalan. Karena komonen utama adalah kombnas lnear dalam varabel yang asl, tu tdaklah tdak beralasan untuk mengharakan lot dalam komonen utama menjad mendekat normal. Itu serng derlukan untuk memverfkas bahwa komonen utama yang awal kra-kra berdstrbus normal ketka lot dalam komonen dgunakan sebaga data masukan untuk analsa tambahan. Komonen utama yang terakhr daat membantu menunjukkan dengan teat kecurgaan engamatan. Masng-masng engamatan x daat dnyatakan sebaga sebuah kombnas lnear x =x e e + x e e + + x e e y e + y e + + y e dar hmunan lengka vektor egen e,e,,e dalam S. Maka entng dalam menentukan komonen utama yang terakhr seberaa bak kecocokan awal engamatan. Yatu : y e + y e + + y e berbeda dengan x dar y e + + y e yang anjang kuadratnya adalah y y. Mencurga engamatan akan serng sedemkan hngga sedktnya satu da koordnat y,,y mendukung anjang kuadrat n akan menjad besar. (lhat lamran 8A untuk hasl erkraan yang lebh umum).

33 Pernyataan yang berkut merngkas gagasan n.. Untuk membantu memerksa asums yang normal, konstruks dagram yang menyebar untuk asangan komonen utama yang awal. Juga membuat Q-Q lot dar nla-nla samel yang dhaslkan oleh masng-masng komonen utama.. Konstruks dagram yang menyebar dan Q-Q lot untuk awal komonen utama yang terakhr. Bantuan n mengdentfkas kecurgaan engamatan. Dagnostk menyertakan komonen utama dengan sama keada emerksaan asums untuk suatu model regres berganda multvarat. Sesungguhnya, kta memunya beberaa model yang cocok dar metoda enlaan manaun, hal tu bjaksana untuk memertmbangkan bahwa vektor yang dramalkan vektor resdual = (vektor engamatan) nla nla yang derkrakan atau e = y z β, j =,,..., n ( x ) ( x ) ( x ) untuk model lner multvarat. Komonen utama, deroleh dar matrks kovarans yang bersfat ssa, daat dtelt dengan cara yang sama sebaga yang dtentukan dar suatu samel acak. Kta harus sadar bahwa ada ketergantungan lner d antara yang bersfat ssa dar suatu analsa regres lner, sehngga nla egen yang terakhr akan menjad nol d dalam membulatkan kesalahan.

34 Naom Nessyana Analss samel Besar Nla egen dan vektor egen dar matrks kovaran (korelas) adalah analss komonen utama yang entng. Penentuan vektor egen bertujuan untuk memaksmumkan eubah dan enentuan nla egen bertujuan untuk menentukan varans. Berkenaan dengan keutusan, kualtas enaksran komonenn utama haruslah berdasarkan asangann nla egen-vektor egen yang dambl dar S atau R. Karena varas enarkan samel, nla egen dan vektor egen n akan berbeda dar oulasnya. Sfat-Sfat Samel Besar Perhatkan hasl samel besar dengan nterval keercayaan untuk dan dasumskan dengan mengamat adalah samel acak dar oulas normal. In juga dasumskan nla egen yang tdak dketahu dar ada dan bernla ostf, sehngga. Kecual, ukuran dmana angka- angka dar nla egen dketahu. Basanya konklus untuk nla egen ada d gunakan kecual kalau ada alasan yang kuat untuk memercaya memunya matrks yang khusus untuk menghaslkan ersamaan nla egen. Terkadang asums normal dlanggar, nterval keercayaan ada cara n terseda untuk beberaa ndkas dar nla dan yang belum ast.

35 Anderson dan Grshck menentukan teor dstrbus samel-besar dbawah n untuk nla egen dan vektor egen dar S, yatu:. Msalkan A adalah matrks dagonal dar nla egen dar maka adalah enaksr. Msalkan maka adalah enaksr 3. Seta berdstrbus bebas dar anggota yang berasosas. Hasl mlkasnya adalah untuk n besar, berdstrbus bebas. Selanjutnya berdstrbus dengan enaksrnya dstrbus N. Dengan menggunakan dstrbus normal P. Untuk samel besar nterval keercayaannya untuk menjad (8-33) dmana datas ersentl dar dstrbus normal standar. Jens ersamaan smultan Bonterron nterval untuk m dgant. Hasl mlkas bahwa adalah dstrbus normal yang berkoresondens untuk samel besar. Elemen-elemen seta berkorelas dan korelasnya bergantung untuk emsahan nla egen yang tdak dketahu dan samel berukuran n enaksran standar eror untuk koefsen dberkan dengan akar kuadrat dar dagonal-dagonal elemen-elemen dar dmana ddaatkan dar dengan mensubsttus untuk dan untuk

36 Contoh 8.8 Ddaatkan nterval keercayaan untuk varans oulas komonen utama menggunakan ersedaan harga ada data tabel 8.. Asumskan ersedaan suku dar hasl yang mewakl gambar dar oulas dmana adalah defnt ostf dengan nla egen berbeda dengan. Karena n=00 besar, kta menggunakan 8.33 dengan = untuk mengkontruks nterval keercayaan untuk sebesar 95%. Dar 8.0, dan maka dengan taraf nyata 95% Sewaktu-waktu nla egen besar, msalkan 00 atau bahkan 000. Pada umumnya daat menjad besar, untuk level keercayaan masuk akal. Pada mumnya nterval keercayaan memeroleh rata-rata yang sama lebh besar sehngga nla membesar. Pengujan Kesamaan Struktur Korelas Struktur korelas yang khusus adalah struktur entng dmana nla egen dar atau tdak berbeda dan hasl sebelumnya tdak dgunakan. Untuk engujann struktur n, msalkan

37 Pengujan melawan ddasarkan dengan raso statstk lkelhood. Teta lawley menunjukkan hal tu ekuvalen dengan rosedurr uj yang daat dkonstruks dar elemen dagonal dar R. Prosedur Lawley memerlukan kuanttas (8-34) In jelas bahwaa adalah rata-rata elemen dagonal d kolom (bars) ke-k dar R dan adalah secara keseluruhan rata-rata dar elemen dagonal. Penaksran samel besar, uj level- memeunya bentuk tolak dan terma jka (8-35) dmana dbawah ersentl ke dar dstrbus ch- kuadrat dengan derajat kebebasannya. Contoh 8-9: Matrks samel korelas dkonstruks dar berat lahr tkus betna yang dbahas ada contoh 8-6 dan dsajkan d bawah n

38 Kta akan menggunakan matrks korelas untuk menggambarkan engujan samel besar dan akan dtentukan Dengan menggunakan 8-34 dan 8-35

39 dan Karena (8-5)adalah, dan nla krts 5% untuk engujan ada. nla engujan statstk yang dtaksr sama dengan ttk krts 5% sehngga Ho dtolak. Perhatkan contoh 8-6, nla egen terkecl dan agak berbeda, dengan lebh kecl darada dan. Akbatnya, dengan ukuran samel besar ada masalah n, erbedaannya kecl dar struktur sehngga matrks kesamaan korelasnya menunjukkan ssecara statstk berart. Penaksr komonenn utama samel dalam bdang Geometr Kta akan menunjukkan nterretas untuk enaksran data yang ddasarkan ada r ertama komonen utama samel. Interretas dar sebaran lot dan bdang dmens-n mewakl keercayaan hasl aljabar dbawah n. Perhatkan enaksran bentuk = berart engertan rata-rata matrks data Eror dar enaksran dukur dar jumlah eror kuadrat n (8A-) Hasl 8A-. MIsalkan sembarang matrk dengan rank (A) r<mn(,n). eror dar enaksran jumlah kuadrat (8A-) dmnmumkan oleh

40 Sehngga kolom ke-j dar adalah dmana adalah nla r ertama komonen utama samel untuk unt ke-j. Selanjutnya, dmana adalah nla egen terkecl dar S. Bukt: Perhatkan sembarang kolom A adalah kombnas lnear dar hmunan dar r vektor yang tegak untuk L tertentu, lurus sehngga memenuh meruakan enaksr terbak dengan royeksnya terentang oleh atau (8A-) Karenanya, untuk vektor yang berubah-ubah Sehngga jumlah kuadrat eror adalah

41 Dmana hasl kal menghlang karena. Hubungan terakhr bernla ostf kecual jka dlh sehngga royeks Lebh jauh, dengan memlh, (8A-)menjad (8A-3) Kta memosskan untuk memnmumkan eror sehngga memlh L dengan memaksmumkan hubungan terakhr 8A-3. Dengan sfat-sfat dar trace (8A- Sehngga lhan terbak untuk L dengan memaksmumkan jumlah elemen dagonal dar. Dar 8-9 emlhan untuk memaksmumkan, elemen dagonal ertama dar memberkan Untuk yang tegak lurus ke, dmaksmumkan oleh. Selanjutnya, kta menentukan Dengan dan. memlh n, elemen dagonal ke-i dar adalah sehngga tr. Juga

42 Interretas Bdang Geometr Dmens Interretas geometr melut enentuan bdang enaksr terbak ke lot menyebar dmens. bdang asal dtentukan oleh yang terdr dar semua ttk x dengan Bdang n dartkan melewat a menjad a+lb untuk beberaa b Kta ngn memlh bdang jumlah kuadrat jarak antara engamatan dmens r sehngga dan bdang. Jka memnmumkan dtaksr oleh dengan oleh hasl 8A- memunya rank(a) r. Batas bawah djangkau dengan mengambl sehngga bdang melewat rata-rata samel. Bdang n dtentukann oleh. Koefsen dar adalah, komonen utama samel ke-k d evaluas ada engamatan ke-j. Sebuah nterretas alternatve dberkan. Penelt menematkan bdang seanjang, dan langkah selanjutnya mendaatkan enyebaran terbak dantara

43 bayangan dar engamatan. Dar 8A-, royeks devas dalam bdang adalah. dan jumlah kuadrat anjang royeks devas adalah dmaksmumkan oleh. Karena Dan bdang n juga memaksmumkan varans total. Interretas Bdang Geometr Dmens n Perhatkan enaksran d 8A. bars dem bars. Untuk, bars ke-. Panjang vektor dtaksr oleh kelatan dtentukan dar vektor. Panjang kuadrat eror dar enaksran anjang kuadrat Perhatkan dengan sehngga

44 memnmumkann jumlah anjang kuadrat sehngga tujuan terbaknya dtentukan oleh nla vektor dar komonen utama ertama. Ilustras n ada gambar 8.6 d halaman 388. Vektor devas lebh anjang memunya engaruh alng besar untuk memnmumkan. Jka varabel-varabel adalah standardsas ertama, vektor haslnya memunya anjang untuk seta varabel dan seta engaruh yang sama menggunakan tujuan lhan. Pada ukuran lan, vektor berndah mengellng temat-n untuk memnmumkan jumlah dar jarak kuadrat antara dan royeksnya ada gars dtentukan oleh b. Komonen utama kedua memnmumkan kuanttas yang sama selama semua vektor tegak lurus ada lhan ertama.

45 BAB III KESIMPULAN Pada dasarnya analss komonen utama bertujuan untuk menerangkan struktur varans-kovarans melalu kombnas lner dar varabel-varabel. Secara umum analss komonen utama bertujuan untuk mereduks data dan mengnterretaskannya. k buah komonen utama daat menggant buah varabel asal dalam bentuk matrks berukuran n x yang dreduks menjad matrks berukuran lebh kecl yang mengandung n engukuran ada k buah komonen utama ( matrks berukuran n x k, dmana k < ). Secara aljabar, komonen utama adalah kombnas lner khusus dar X, X,..., X varabel acak. Secara geometrs, kombnas lner n menggambarkan emlhan dar sstem koordnat yang deroleh dengan X, X,..., X merotaskan sstem awal dengan sebaga sumbu koordnat. Komonen utama oulas bergantung ada matrks kovarans yang memlk ( λ, e ),( λ, e ),...,( λ, e) asangan nla egen-vektor egen dmana λ λ... λ 0, maka komonen uama ke- dberkan oleh Y = e' X = e X + e X e X, =,,, Dengan, Var( Y ) = e' Σ e = λ =,,..., Cov( Y, Yk ) = e' Σ ek = 0 k Dan roors total varans dar komonen utama ke-k dar X adalah

46 = k =,,, Komonen utama oulas yang deroleh dar varabel yang dbakukan Z ( X µ ) = σ bergantung ada matrks korelas ρ yang memlk asangan ( λ, e ),( λ, e ),...,( λ, e) nla egen-vektor egen λ λ... λ 0 dmana, maka komonen utama ke- dberkan oleh Y e Z e V X / = ' = ' ( ) ( µ ), =,,..., Dengan, Var( Y ) = Var( Z ) = = = ρy, Z = ek λ,, k =,,..., k Dan roors total varans dar komonen utama ke-k dar Z adalah Proors dar (baku) λk varans oulas seharusnya =, k =,,..., untuk komonen utama ke-k Komonen utama samel bergantung ada matrks kovarans samel S berukuran x yang memlk asangan nla egen-vektor egen ( ˆ λ eˆ ),( ˆ λ eˆ ),...,( ˆ λ eˆ ),,, ˆ λ ˆ λ ˆ... λ 0 dmana, maka komonen utama samel ke- dberkan oleh yˆ = eˆ ' x = eˆ x + eˆ x eˆ x, =,,, Dengan,

47 Varans samel = ˆk λ, k =,,, Kovarans samel ( ˆ ˆ ) k y, y = 0, k Dan total varans samel = s = ˆ λ + ˆ λ ˆ λ = eˆ ˆ k λ ryˆ,,,,,..., x = k = k s kk Komonen utama samel yang deroleh dar varabel yang dbakukan = bergantung ada matrks kovarans R (jka z,z,,z adalah engamatan yang dstandardsas) d mana ( λ,e adalah asangan nla egen vektor egen ke- dar R dengan λ λ λ 0, maka komonen utama samel ke- adalah y = e z= e z +e z + + e z, =,,.., Dengan, varans samel y = λ, =,,, kovarans samel y,y =0, k Dan total (yang dstandardsas) varans samel = tr(r) = = λ + λ + + λ dan r, = e λ,, k =,,..., Proors total varans samel yang dterangkan oleh komonen utama samel ke- adalah roors yang dstandardsas samel varans dalam katan ke = samel komonen utama =,,...,