1. Pendahuluan MENENTUKAN PROPORSI SAHAM PORTOFOLIO DENGAN METODE LAGRANGE

Transkripsi

1 Prosdng SNaPP04 Sans, Teknolog, dan Kesehatan ISSN EISSN MENENTUKAN PROPORSI SAHAM PORTOFOLIO DENGAN METODE LAGRANGE Et Kurnat, Gan Gunaan, 3 Tegar Aj Sukma Bestar,,3 Prod Matematka FMIPA UNISBA, Jl. Ranggamalela No. Bandung 406 e-mal: et_kurnat00@yahoo.com, ggan9905@gmal.com, Abstrak. Investas adalah enanaman modal atau uang dengan tujuan untuk mendaatkan keuntungan d aktu yang akan datang. Kumulan berbaga jens nvestas dsebut ortofolo. Portofolo n bsa meruakan kumulan dar berbaga saham yang dmlk nvestor.saham dkenal sebaga jens nvestas yang memlk rsko dalam mendaatkan keuntungan (return). Oleh karena tu memlk berbaga jens saham dalam suatu ortofolo memlk rsko yang besar. Rsko saham dukur berdasarkan nla varan dar return. Tujuan dar enulsan n adalah menentukan roors saham-saham yang tergabung dalam ortofolo sehngga ddaat rsko mnmum dengan return terbesar menggunakan metode Lagrange. Kata kunc: Portofolo saham, Metoda Lagrange. Pendahuluan Secara umum engertan nvestas meruakan enanaman uang atau modal dalam suatu erusahaan atau royek tertentu untuk tujuan memeroleh keuntungan. Sedangkan nvestas saham adalah enanaman modal yang berhungan dengan embelan dan enymanan saham ada sebuah asar modal oleh seorang nvestor bak erorangan mauun erusahaan, dengan haraan akan mendaatkan devden dan kenakan nla saham yang bermbas ada roft atau keuntungan yang akan ddaat dalam enjualan saham tersebut. Suatu nvestas dlakukan dengan tujuan mendaatkan keuntungan yang maksmal, dengan rsko semnmal mungkn. Dalam nvestas saham, rsko yang dhada oleh nvestor cuku fluktuatf. Ada hal-hal yang harus derhatkan oleh nvestor dalam enanaman modalnya untuk embelan saham, karena tdak semua saham memlk rsko yang sama. Oleh karena tu, untuk mendaatkan suatu keuntungan dalam bernvestas ada saham, seorang nvestor selalu dhadakan ada dua lhan yatu, aakah nvestor akan memlh exected return yang tertngg dengan varan tertentu atau memlh varan yang mnmum dengan exected return tertentu. Secara umum blamana suatu nvestas dalam embelan saham dlakukan dengan lhan varan yang mnmum dengan exected return tertentu, tentunya rsko yang dtmbulkannya untuk bernvestas ada saham adalah kecl, dengan erolehan exected return yang maksmum. Sehngga jka seorang nvestor akan menanamkan modalnya dalam suatu ortofolo saham, maka haruslah menyusun ortofolo saham dengan memerhtungkan bobot masng-masng saham yang dlhnya untuk mendaatkan roors yang teat. Oleh karena tu, dalam makalah n akan derlhatkan suatu cara matemats untuk menentukan bobot masngmasng saham blamana seorang nvestor akan bernvestas dalam bentuk ortofolo saham agar resko kerugan yang dtmbulkannya mnmum dengan return yang maksmum.. Permasalahan Pengertan ortofolo dalam nvestas adalah gabungan dar berbaga nstrument nvestas seert saham, deosto, orert, oblgas, logam mula dan lan-lan. 55

2 56 Et Kurnat, et al. Menentukan ortofolo dalam bernvestas harus dutuskan melalu suatu erencanaan yang matang untuk keentngan masa yang akan datang. Bukt emrs menunjukkan baha semakn banyak jens saham yang dkumulkan dalam keranjang ortofolo, maka rsko kerugan saham yang satu daat dnetralsr dengan keuntungan saham yang lan. Dalam embentukan ortofolo haruslah ddentfkas efek-efek mana saja yang akan dlh dan beraa resentase dana yang akan dnvestaskan ada masng-masng efek tersebut. Evaluas atas ortofolo yang dlh sangatlah entng karena dengan evaluas yang bak bsa mengetahu engembalan yang dharakan (return) mauun resko yang dtanggung. Dalam hal n rsko meruakan kemungknan terjadnya ersta yang tdak menguntungkan. Rsko adalah kerugan yang dhada oleh ara nvestor. Rsko juga ddefnskan sebaga kemungknan enymangan atau varabltas actual return suatu nvestas dengan exected return (Elton dan Gruber, 995). Sedangkan dalam konteks manajemen nvestas, return meruakan mbalan yang deroleh dar nvestas, dan Exected return adalah rata-rata tertmbang dar berbaga return hstors, faktor enmbangnya adalah robabltas masng-masng return. Sedangkan untuk exected return ada ortofolo adalah rata-rata tertmbang dar exected return saham ndvdual, faktor enmbangnya adalah roors dana yang dnvestaskan ada masng-masng saham (Halm, 00:3), secara matemats dtuls Dengan : R = exected return ortofolo R s R = roors saham dalam ortofolo R = exected return saham Rsko ortofolo saham sangat berbeda dar rerata rsko masng-masng saham dalam ortofolo tersebut. Varan ortofolo dua saham daat lebh kecl darada varan masng-masng saham dalam ortofolo (Zalm Zubr, 0). Rsko dartkan sebaga kemungknan enymangan actual return terhada exected return. Pengukuran rsko dukur berdasarkan enyebaran d sektar rata-rata yang lebh dkenal dengan standar devas. Standar devas n yang akan dgunakan untuk mengukur rsko dar realzed return, sedangkan rsko dar exected return dukur dengan varance. Varan dgunakan dalam menghtung rsko suatu nvestas. Rsko nvestas dukur berdasarkan erbedaan antara exected return dan realzed return. Varan mengukur kuadrat erbedaan antara realzed dan realzed return. Semakn tngg erbedaan tersebut maka semakn besar rsko yang dhada nvestor dalam seta return yang akan dterma. Msalkan R t adalah return saham d har ke t dan R adalah exected return saham ke,dengan bantuan formula (.) ddaat formula varan dar return adalah. n ( Rt R ) (.) n Atau bsa dtulskan sebaga E( R R ) t (.) Prosdng Semnar Nasonal Peneltan dan PKM Sans, Teknolog dan Kesehatan

3 Menentukan Proors Saham Portofolo Aabla ortfolo terdr dar dua jens saham. Msalkan R t adalah return saham har ke t dan R t adalah return saham ada har ke t. Jka R adalah return ortfolo dmana R = R t + R t, maka E( R ) E( R R ) E( R ) E( R ) R R (.3) Sehngga varan dar return suatu ortofolo dengan saham adalah E( R R ) ( R R ) ( R R )] E[ ( R R ) R R ] t t t t t Besaran untuk E( R t R )( Rt R ) dkenal dengan sebutan kovaran dan dnyatakan sebaga. Dengan demkan varan dar saham adalah Persamaan (.) derlukan untuk mengetahu varan ortofolo dengan banyak jens saham. Selanjutnya varan satu saham dsebut dengan varan saham dan varan dua atau lebh saham dsebut dengan varan ortofolo. Dengan menggunakan smbol angkat sebaga varan saham ke dan j sebaga kovaran saham dan saham j, maka varan ortofolo yang terdr dar saham secara umum dnyatakan sebaga berkut : m m m j j j (.4) Dar ersamaan (.4) n, akan dtentukan roors ortofolo saham agar resko yang deroleh sekecl mungkn. 3. Pembahasan Secara matematka konds mnmum varan ortofolo daat dcaa dengan konds Dengan : = varan ortofolo = roors saham = roors saham j j = kovaran saham dan j j s s ( ) jj j D mana konds atau kendala yang harus denuh adalah.. s s R R 0 Dengan : 0 = roors saham R = exected return saham ke R = return ortofolo (3.) ISSN , EISSN Vol 4, No., Th, 04

4 58 Et Kurnat, et al. Konds n menyatakan baha jumlah erkalan roors dan exected return masngmasng saham dalam ortofolo haruslah sama dengan return ortofolo, dan total seluruh roors dalam suatu ortofolo haruslah sama dengan satu. Objectve functon ersamaan Lagrange ddaat dar engkombnasan ketga ersamaan d atas, dan dnyatakan dalam ersamaan berkut s s s s (3.) Mnmum Var j j ( R R ) ( ) j Besaran dan adalah engal Lagrange atau Lagrange multler. Lamda ( ) adalah harga rsko er unt exected return. Lamda ( ) adalah harga rsko er unt untuk seta unt exected return yang terkat dengan erubahan roors saham-saham dalam ortofolo. Dengan menggunakan Teorema De Fermat dalam enjabaran matematsnya, maka deroleh det( A ) R ( R R) R( R R) R R det( A) ( R R)( R R) ( R R) ( R R) det( A ) R( R R) R ( R R) R R det( A) ( R R)( R R) ( R R) ( R R) det( A3 ) R R ( ) 4 ( R R) R det( A) ( R R)( R R) (3.3) det( A4 ) det( A) 4. Hasl R ( R R) ( R ) 4 R ( R R)( R R) ( R R)( R R) ( ) ( ) R R R R R R R ( R R)( R R) R R R R R R ( ) ( ) R ( R R)( R R) ( R R)( R R) Imlementas hasl embahasan d atas derlhatkan ada contoh kasus berkut, d mana erhtungan dlakukan dalam enentuan bobot jens saham untuk satu ortofolo yang menghaslkan varans mnmum. Kedua jens saham yatu ASGR dan INCO dlh secara acak. Data saham tersebut daat dlhat ada table berkut. Tabel 3. Nla Saham dalam Satu Perode ASGR dan INCO ASGR INCO ASGR INCO ASGR INCO 95 3, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,450 Prosdng Semnar Nasonal Peneltan dan PKM Sans, Teknolog dan Kesehatan

5 Tabel 3. Return Satu Perode Menentukan Proors Saham Portofolo ASGR INCO ASGR INCO ASGR INCO Tabel 3.3 Varan dan Ex. Return Tabel A varan dan ex. Return ASGR INCO ER Tabel 3.4 Varan dan kovaran Tabel B varan dan kovaran saham ASGR INCO ASGR INCO Tabel 3.5 Varan untuk matrks Tabel C varan untuk matrks ersamaan Lagrange ASGR INCO ASGR INCO Untuk mendaatkan nla covaran menggunakan ersamaan (.4) yatu n cov(, ) R R R R 3 R R cov(, ) 0, , ,00003 Matrks untuk ersamaan Lagrange ASGR dan INCO 0, , , , , , , , nverse matrks , 038, , 038 0, , , 037 0, 837 0, 5058,9443 0,944 0, , 0074 Dalam embuatan ersamaan matrksnya erhatkan kolom 3 dan 5 atau bars ke 3 dan 5. Akan ddaat ersamaan 367,038R, ,037R 0, 944 0,837 0,505 0, ISSN , EISSN Vol 4, No., Th, 04

6 60 Et Kurnat, et al. Persamaan yang ddaat masng mengandung varabel yang harus dtentukan oleh nvestor. Agar daat memodelkan ersamaan dambl varas ersamaan return ortofolo seert ada tabel 3.6 dan tabel 3.7 Tabel 3.6 Varas ors untuk berbaga ex. Return Tabel F Pors Saham untuk Berbaga Ex. Return Er K 0.% 0.5% 0.5% 0.75% 0.3% Total melambangkan saham ASGR sedangkan melambangkan saham INCO. Tabel 3.7 Proors, varan dan devas standar saham, exected return 0,% Tabel G 0,% E(R) 0,00 varan ortofolo untuk ex.return Untuk mendaatkan nla varan ada tabel G, H, I, J, dan K adalah dengan cara engalan antara nla dan yang ddaat dengan nla varan yang dcar ada aal. Contoh erhtungannya nla ada tabel G x x Dan nla varan Tabel G, H, I, J, dan K adalah varan dar emat varan yang ddaat dar erkalan seta bobot terhada varan aal saham tu sendr. Tabel 3.8 Proors, varan dan devas standar saham, exected return 0,5% Tabel H 0,5% E(R) 0,005 varan ortofoo untuk ex.return Prosdng Semnar Nasonal Peneltan dan PKM Sans, Teknolog dan Kesehatan

7 Menentukan Proors Saham Portofolo... 6 Tabel 3.9 Proors, Varan dan Devas Standar Saham, Exected Return 0,5% Tabel I 0,5% E(R) 0,005 varan ortofoo untuk ex.return Tabel 3.0 Proors, varan dan devas standar saham, exected return 0,75% Tabel J 0,75% E(R) 0,0075 varan ortofoo untuk ex.return Tabel 3. Proors, varan dan devas standar saham, exected return 0,3% Tabel K 0,3% E(R) 0,003 varan ortofoo untuk ex.return Tabel 3. Exected return dan varan ortofolo saham Tabel L Exected Return dan Varan Portofolo Interval 0,05% E(R) total ket 0.% % % % mn 0.3% Dar tabel 3. ddaat baha return ortofolo sebesar 0,75% meruakan return yang rskonya terkecl dantara return ortofolo lannya, bobot saham ASGR dengan 8,5% sedangkan saham INCO 7,5%. Kurva Hubungan Antara Exected Return dengan Devas Standar jens saham dengan Inteval Kecl, daat dlhat ada grafk 3. d baah n ISSN , EISSN Vol 4, No., Th, 04

8 6 Et Kurnat, et al Grafk 3. kurva hubungan ER vs Dar grafk d atas terlhat baha semakn besar maka exected return bsa semakn nak atau semakn turun. In menunjukan baha bla bernvestas dalam bentuk ortfolo saham mengharakan keuntungan yang sangat tngg tentunya reskonya juga tngg. Namun dar seluruh resko yang mungkn terjad ada resko yang alng kecl yang mash mungkn untuk memeroleh return yang dharakan. 5. Kesmulan Benvestas dalam ortofolo saham, exected return yang kecl tdak akan selalu memberkan devas standar yang mnmum, dan juga tdak berlaku sebalknya yatu semakn kecl exected return maka semakn kecl devas standarnya. Namun dar seta exected return yang dharakan untuk masng-masng roors saham akan ada standar devas yang memberkan nla mnmum.semakn kecl exected return maka semakn kecl devas standarnya Daftar Pustaka Elton, EdnJ. and MartnJ.Gruber (995); Modern Portfolo Theory and Investment Analyss, Ffth Edton, John Wley &Sons, Inc. Toronto, Canada. Fabozz, Frank J. (995); Investment Management, Prentce Hall, Ne Jersey-USA. Halm, Abdul. (005); Analss Investas. Eds ke-. Salemba Emat. Jakarta. InvestmentAnalyss, Ffth Edton, John Wley &Sons, Inc. Toronto, Canada. Jogyanto, (000); Teor Portofolo dan Analss Investas, Eds Kedua, Yogyakarta, Penerbt BPFE. Jogyanto. (003); Teor Portofolo dan Analss Investas, Eds ketga. BPFE. Yogyakarta. Manurung, Adler Haymans. (009); Beran Berman Saham Panduan Jtu Investas d Lanta Bursa, Buku Komas, Jakarta. Setya Budh, Wono. (00); Kalkulus Peubah Banyak dan Penggunaannya, ITB, Bandung. Zubr Zalm. (0); Manajemen Portofolo Peneraannya dalam Investas, Salemba Emat, Jakarta. Prosdng Semnar Nasonal Peneltan dan PKM Sans, Teknolog dan Kesehatan