BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Knapsack Problem merupakan permasalahan optimasi kombinatorik dengan

Transkripsi

1 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Kapsack Problem Kapsack Problem merupaka permasalaha optmas kombatork dega memaksmalka proft dar tem ddalam kapsack (karug) tapa melebh kapastasya. Kapsack problem dapat dlustraska sebaga berkut. Dberka beberapa barag yag masg-masg memlk berat (weght) da keutuga (proft), dega ketetua barag yag dmasukka kedalam Kapsack memlk total berat barag yag jka dmasukka tdak boleh melebh kapastas Kapsack, maka dapat dkataka telah mecapa optmal packg. Sebaga cotoh, terdapat 8 macam tem. Masg-masg weght da proft dapat dlhat pada Tabel 2.1., kapastas = 10. Tabel 2.1. Weght da Proft utuk Kapsack Problem (Sgh, 2011). Item pj wj

2 8 Terdapat beberapa macam tpe kapsack problem (Martello, 1990), dataraya adalah: /1 Kapsack Problem (0/1 KP) 0/1 atau bary, Kapsack problem adalah dberka satu set tem da satu Kapsack dega: p = proft dar tem ke- w = weght dar tem ke- c = kapastas Kapsack Plh sebaga dar tem tersebut sehgga memeuh persamaa berkut: max : z p x 1 (2.1) w 1 s.t : x c (2.2) x 0 or 1, N 1,..., (2.3) x 1; jka tem ke- terplh 0; laya Bouded Kapsack Problem (BKP) Dberka tpe-tpe tem da Kapsack, dega: p = proft dar tem w = weght dar tem b = batas atas yag terseda dar tem tpe c = kapastas dar Kapsack

3 9 Plh sejumlah x 1,..., dar masg-masg tpe tem sehgga: max : z p x 1 (2.4) w 1 s.t : x c (2.5) 0 da teger, N 1,..., x b (2.6) Multple Kapsack Problem (MKP) Dketahu tem sejumlah da Kapsack sejumlah m (m ), dega p = proft dar tem w = weght dar tem c = kapastas Kapsack max : m z p x 1 j1 s.t : w x c, j M 1 m x j 1 m j j,..., (2.7) (2.8) xj 1, N 1,..., 1 (2.9) 1; jka tem ke- terplh ke Kapsack j 0; laya j 2.2. Implemetas Heurstk utuk Kapsack Peyelesaa Kapsack Problem secara umum dkelompokka mejad dua, yatu solus eksak da solus heurstk. Solus eksak dkembagka megguaka algortma yag berbass pada matematka yag sagat kompleks atau bersfat matemats. Algortma dapat bekerja pada data yag berskala kecl. Cotohya

4 10 Greedy Algorthm, Dyamc Programmg, Brach ad Boud, dll. Namu solus heurstk meujukka beberapa kemugka solus terbak. Cotohya GA. Saat telah bayak peelta-peelta terkat Kapsack problem, tdak haya megguaka algortma eksak amu juga algortma heurstk. Berkut dataraya hasl peelta yag cukup dkeal tetag Kapsack problem. Martello et al (2000) melaporka beberapa algortma eksak utuk meaga 0-1 Kapsack problem. Algortma tersebut yatu Brach-ad-boud, Dyamc programmg, Core algorthms da Tghter bouds. Dalam peelta laya, Martello et al megkombaska dyamc programmg dega tght bouds serta meghaslka suatu algortma yag dber ama combo. Peelta dlakuka dega membagktka beberapa data, kemuda data dkelompokka kedalam tujuh tpe data. Hasl peelta Martello et al melaporka bahwa dar keempat algortma yag dbadgka, combo merupaka algortma yag mampu memecahka permasalaha dalam berbaga tpe da pada rage data kecl maupu besar. Zhao et al (2009) meghadrka cara baru utuk meyelesaka 0-1 Kapsack problem. GA da strateg greedy dkombaska dega tujua agar megurag waktu peyelesaa serta utuk memperbak akuras solus yag dhaslka dega megurag teras.

5 11 Sgh (2011) mejelaska tetag mplemetas dar Kapsack problem megguaka GA. Tujua utama dar paper adalah utuk megmplemetaska Kapsack problem megguaka suatu algortma yatu Geetc Algorthm. Kapsack problem dselesaka dega megguaka tga metode seleks yatu Roulette-Wheel, Touramet Selecto da Stochastc Selecto. Sgh berhasl membuktka bahwa GA mampu meaga NP Complete Kapsack problem dega megguaka tga metode seleks tersebut Geetc Algorthm (GA) GA dkeal sebaga salah satu metode pecara heurstk yag dkembagka berdasarka prsp geetka da proses seleks alamah Teor Darw. Proses pecara peyelesaa atau proses terplhya suatu peyelesaa dalam algortma berlagsug sama sepert terplhya suatu dvdu utuk bertaha hdup dalam proses evolus. Pecara dalam GA bekerja dega sekumpula kaddat solus (kromosom) yag dkeal dega stlah populas (populato). Masg-masg kromosom terdr dar sejumlah ge yag merepresetaska suatu beberapa solus (feasble / feasble) utuk persoala yag aka dselesaka. Struktur umum GA yag dperkealka oleh Ge & Cheg (2000) dtujukka pada prosedur berkut.

6 12 Prosedur: Geetc Algorthm beg talze P(t); evaluate P(t); whle (ot termato codto) do beg recombe P(t) to yeld C(t); evaluate C(t); select P(t + 1) from P(t) ad C(t); t t + 1; ed ed Meurut Goldberg (1989), GA melakuka pecara terhadap solus optmal dega empat cara sebaga berkut: 1. GA bekerja dega proses codg dar parameter. 2. Proses pecara dalam GA megguaka sekumpula kaddat solus (kromosom). 3. Fugs tujua merupaka formas petg dalam GA da buka fugs turua da sebagaya. 4. Atura probabltas dguaka ddalam GA. GA dkeal sebaga suatu metode yag berhasl memecahka permasalaha pecara optmas, dega begtu GA tetuya memlk beberapa struktur dasar pembetuk. Meurut Haupt da Haupt (2004), struktur dasar GA terdr atas beberapa lagkah sepert berkut. 1. Isalsas populas 2. Evaluas populas 3. Seleks populas yag aka dkea operator geetka 4. Proses peylaga pasaga kromosom tertetu 5. Proses mutas pada kromosom tertetu 6. Evaluas populas yag baru 7. Ulag dar lagkah 3 selama syarat berhet belum terpeuh.

7 13 Beberapa stlah-stlah petg dalam GA dtujukka pada Tabel 2.1. Istlah-stlah merupaka hasl pemetaa proses alamah kedalam proses komputas. Tabel 2.2. Pemetaa Proses Alamah ke dalam GA (Syarf, 2014). Idvdu / Kromosom Kaddat solus dar masalah yag aka dselesaka Populas Hmpua dar kromosom Ge Baga dar kromosom (satu kromosom terdar berapa ge) Paret Kromosom yag terplh utuk proses reproduks (bak tu crossover maupu mutato) Offsprg Keturua dar hasl reproduks Ftess Suatu la yag melambagka kualtas suatu kromosom Crossover Proses reproduks yag dlakuka dega proses perkawa slag atara dua kromosom Mutato Proses reproduks yag dlakuka dega memodfkas ge yag ada ddalam kromosom Isalsas Populas Proses awal GA adalah salsas populas. Proses salsas merupaka proses yag palg petg dalam GA, karea pada proses semua ttk-ttk yag mugk mejad solus optmal aka djadka sebaga kaddat solus atau dsebut kromosom (Zukhr, 2013). Sela tu, proses sagat mempegaruh efektvtas da efeses GA. Lagkah awalya alah dega memlh represetas kromosom berdasarka pada masalah yag dhadap. Hal lah yag mejadka proses sult, karea saat

8 14 meemuka masalah yag berbeda dbutuhka represetas kromosom yag berbeda pula. Represetas kromosom pada satu masalah belum tetu cocok utuk masalah yag laya. Jka pembagkta kromosom secara acak maka lagkah selajutya bagktka blaga acak (radom) sebayak ukura populas yag dgka da sebayak ge yag dbutuhka utuk memeuh satu kromosom. Beberapa model represetas (ecodg) kromosom yatu bary ecodg, permutato ecodg, value ecodg, tree ecodg da matrx ecodg. Tabel 2.3. Kromosom pada Kapsack Problem. Kromosom Ge Pada kapsack problem, kromosom meggambarka sekelompok tem-tem yag mugk dapat dmasukka kedalam kapsack. Sedagka ge yag bers bt 1 pada uruta ke- meggambarka tem ke- dmasukka kedalam kapsack Evaluas Setap kromosom yag dbagktka secara acak oleh sstem komputer memlk sfat layak da tdak layak. Jka kromosom dbagktka darahka keruag solus yag layak maka otomats semua kromosom awal adalah kromosom yag layak. Namu akbat dar proses reproduks (crossover da mutato) kromosom yag dhaslka kemugka mejad tdak layak. Maka dar tu, dlakuka evaluas terhadap setap kromosom. Kapsack problem merupaka salah satu permasalaha yag dapat memlk satu atau lebh kedala (costrat) sepert pada persamaa 2.2. Maka dar tu

9 15 dperluka cara khusus utuk megatas hal. Ada beberapa cara yag dapat dguaka utuk megatas kedala pada permasalaha kapsack, yatu dega strateg pealt ataupu dega strateg perbaka. Pada peelta dguaka metode strateg pealt. Sebelum suatu kromosom dberka la pealt, kromosom tersebut aka dhtug fugs tujuaya (pers. 2.1.), agar dapat dketahu apakah kromosom layak atau tdak. Jka dketahu bahwa kromosom tersebut tdak layak maka la fugs tujuaya aka dberka la pealt. Hasl dar perhtuga fugs tujua juga dsebut ftess value. Ftess value meujukka kualtas kromosom dalam populas. Semak besar ftess value maka semak besar pula kemugkaya utuk dpertahaka kedalam populas selajutya (Zukhr, 2014) Seleks Proses selajutya dalam GA adalah proses seleks. Proses dmaa dlakuka seleks pada masg-masg kaddat solus (kromosom). Peyeleksa dlakuka agar haya kromosom terbaklah yag mampu bertaha hgga ke geeras selajutya. Beberapa metode seleks yag terkeal alah Roulette Wheel Selecto, Rak Base Selecto, Eltst da (µ + λ) selecto (Syarf, 2014). Metode-metode dguaka sesua permasalaha yag aka dselesaka agar algortma lebh efektf. Pada proses dvdu yag dseleks berdasarka pada ftess value. Idvdu-dvdu yag lolos membetuk geeras baru sebayak populas awal

10 16 (Sgh, 2011). Ftess value merepresetaska la pada masg-masg kromosom. Nla lah yag aka mejad tolak ukur suatu kromosom dapat bertaha hgga ke geeras berkutya Pdah Slag (Crossover) Paret Offsprg Gambar 2.1. Metode Oe-pot Crossover. Crossover merupaka proses reproduks dalam geetka. Proses dbetuk atas dua kromosom yag kemuda dslagka sehgga melahrka dua dvdu baru (offsprg) dar kombas kedua kromosom tersebut (Zhao, 2009). Lagkah sederhaa utuk mecapa crossover yatu dega memlh ttk potog secara acak da membagktka offsprg dega megkombaska baga dar salah satu paret ke sebelah kr ttk potog dega baga paret yag la ke sebelah kaa ttk potog. Metode damaka Oe-pot Crossover. Metode bekerja dega bak pada represetas ber. Probabltas crossover dotaska dega pc. Probabltas crossover merupaka la yag medeskrpska seberapa besar kemugka kromosom tersebut aka megalam crossover. Sela tu, pc meetuka seberapa bayak

11 17 kromosom yag d slagka dalam satu populas. Jka la pc berla 0 maka dapat dsmpulka tdak aka terjad crossover. Basaya pc dbuat berla 0<pC<1. Beberapa metode crossover yag terkeal alah Oe-pot Crossover, Two-pot Crossover, Partal Mapped Crossover (PMX), Order Crossover (OX), Posto-based Crossover (PX), Order-based Crossover, Cycle Crossover (CX) da Weght Mappg Crossover (WMX) Mutas Sama halya mutas ge ddalam geetka. Mutas ddalam GA juga dtada dega megubah satu atau lebh ge yag ada pada kromosom sehgga terbetuk dvdu baru (Zhao, 2009). Ge yag dplh utuk dmutas berdasarka pada probabltas mutas yag dharapka. Probaltas mutas dotaska dega pm. Jka pm berla 0,10 maka berart haya 10% dar kromosom yag aka megalam mutas. Beberapa metode yag serg dguaka alah Flp Mutato (Metode Peggata), Swap Mutato (Metode Peukara), Iverso Mutato (Metode Pembalka), Iserto Mutato (Metode Peyspa) da Dsplacemet Mutato (Metode Pemdaha). Metode sederhaa yag palg serg dguaka pada permasalaha yag megguaka represetas ber adalah flp mutato. Metode dlakuka dega megubah ge terplh pada kromosom. Jka ge yag terplh bers bt 0 maka ge dubah mejad bt 1, da sebalkya. Gambar 2.2. merupaka lustras metode flp mutato.

12 18 Paret : Offsprg : Gambar 2.2. Metode Flp Mutato Pealty Strategy Strateg pealt merupaka salah satu tekk peagaa kedala dega meghadrka fugs pealt. Kawasa Tdak Layak Kawasa Layak Gambar 2.3. Kelayaka Solus Persoala Optmas. Pada Gambar 2.3. terlhat bahwa ttk c yag berada pada kawasa yag tdak layak justru lebh dekat dega ttk d (ttk d adalah la optmum). Hal mejelaska bahwa keturua yag tdak layak juga memlk formas yag berharga dalam proses pecara utuk meuju ke ttk optmum. Fugs pealt dapat dtambahka dalam fugs evaluas megguaka dua acara, yatu: 1) Metode Peambaha Pejumlaha atara fugs tujua da fugs pealt aka meghaslka fugs evaluas, sepert berkut.

13 19 eval x f x px (2.12) merupaka fugs tujua awal, jka kromosom tdak memeuh fugs pembatas maka la fugs evaluas dtambah dega fugs pealt p x. Terlhat jelas bahwa la fugs evaluas aka berla sama dega la fugs tujua jka la dar pembatas. px berla 0. Artya kromosom tersebut memeuh fugs 2) Metode Perkala Metode la yag bsa dguaka adalah dega megalka fugs tujua dega fugs pealt sebaga berkut. x f x px eval * (2.13) Berbeda dega metode sebelumya, pada metode perkala jka kromosom memeuh pembatas (feasble) maka p x 1. Nla fugs pealt utuk persoala maksmas haruslah 0 x 1 mmas, la fugs pealt haruslah p. Sebalkya, utuk persoala w 1. Meurut lapora Aagu da Sarac (2006), peambaha fugs pealt pada masg-masg kromosom berla sama. Berkut merupaka prosedur pealt dar hasl peelta tersebut. Prosedur pealt : a w x f 1 a c the

14 20 beg a p 1 ; 5* c f p <= 0 the p:= ; ftess value of strg = ftess value of strg *p; ed Beberapa lteratur sepert yag dsebutka oleh Olse (1994) mejelaska fugs pealt memlk kadar yag berbeda utuk setap kromosom. mc, 1 w c (2.14) p x w x c 1 1 (2.15) Tekk peetua fugs pealt (Ge da Yu, 2010) dawal dega medefska skala pealt sepert pada persamaa Lagkah pembagkta pealt djelaska pada Gambar 2.4. (Data lhat dtabel 2.1.) Kromosom Tdak Layak Solus Optmal Gambar 2.4. Ilustras Pembagkta Nla Pealt. Pada Gambar 2.4. kaddat solus (kromosom) 0011 da 1100 adalah kromosom yag layak, karea kromosom tersebut memeuh fugs kedalaya (pers. 2.2),

15 21 amu kedua kromosom tersebut memlk proft yag lebh kecl dbadgka kromosom Sehgga ada kemugka kromosom 1010 yag aka terplh sebaga solus optmal meskpu kromosom tdak memeuh kedala. Maka dar tu, utuk meghdar terjadya permasalaha dberka la pealt terhadap kromosom 1010 sehgga proft-ya turu mejad 50. Karea 50 < 64 < 65, maka dapat dketahu bahwa solus optmal dperoleh pada kromosom 0011 dega total weght = 9 dega proft = 65.