Pendekatan Model Markov Dalam Penentuan Premi Tunggal Bersih Asuransi Jiwa Multi-Life

Transkripsi

1 Sear Nasoal FMIP UNDIKSH III Tah Pedekaa Model Markov Dala Peea Pre Tggal Bersh sras Jwa Ml-Lfe I Gs Noa Yd Harawa Jrsa Peddka Maeaka FMIP Udksha, Sgaraja harawa.ah@gal.co bsrak Pada akalah, dgaka odel arkov dala eodelka kedakbebasa aara ssa sa hd sa da sr. Dala odel arkov rass aar sae eerbagka sae sekarag asaga erseb berada. Esas esas rass ada odel arkov eggaka eode aks lkelhood. Hasl esas erseb keda dgaka dala eghg re ggal bersh ada asras jwa l lfe dega sas las srvvor. Kaa-kaa kc: odel arkov, esas rass, eode aks lkelhood, re ggal bersh, sas las srvvor. Pedahla sras jwa eraka salah sa jes asras ag ada d asaraka. sras eaggg resko keaa ag dala asabaha. Jka erjad keaa aka eaggg aka eberka saa (afaa keaa) dala jlah ere keada ahl wars dar asabah erseb sras jwa l lfe eraka salah sa jes asras jwa daa ag daggg adalah resko keaa k sekelook orag, dala akalah sekelook orag adalah asaga sa sr. Terdaa da sas ada asras, a sas jo lfe da las srvvor. Perhga kovesoal serg egasska sas dar sa da sr deede adahal sd erk ejkka adaa korelas aara sas sa da sr. Seer ag djkka oleh Jagger da So (99) a adaa egkaa resko relaf keaa seelah keaa asagaa. Uk ada akalah kedakbebasa erseb aka dodelka dega odel arkov daa ada odel rass aar saes deka oleh esas ark rass erseb.. Dasar Teor. Proses Sokask Defs. Proses Sokask { X, T} adalah ha varabel rado, dega X adalah varabel rado da adalah deks aa araeer dala T. Jka ha deks T erhg aka { X, T} dseb roses sokask wak dskr, da jka ha deks T eraka sa erval dar gars blaga aka { X, T} sokask wak ko. Raa Markov dseb roses Defs. Proses sokask { X, T} dkaaka raa arkov jka P{ X = j X =, X =,..., X =, X = } = P + j,,,, j Uk sea sae (Ross,). Marks Probablas Trass Perhaa aa dar aalss raa arkov adalah eghg robablas dar kegka realsas dar roses. Pokok dar erhga adalah arks robablas rass lagkah ke- () j ( ) j( ) P =. Ds berar robablas roses dah dar sae ke sae j dala rass. j ( ) = X + = j X = Pr{ } Teorea Probablas rass lagkah ke dar raa arkov eeh = j( ) k kj( ) dega k = j() jka = j = jka j. 7

2 Sear Nasoal FMIP UNDIKSH III Tah.4 Persaaa haa Kologorov Persaaa haa Kologorov ejelaska lasa (ah) ag dla ada sas ada wak ej sas j ada wak elal beberaa sas k ada wak w. Persaaaa sebaga berk: j k kj =, ( w ) w w k I. Pebahasa. Model Markov Pada odel erdaa 4 sae ag gk dea asaga erseb. Pada awala asaga berada ada sae keda jka saa eggal aka sr ask sae, jka sr eggal lebh dahl aka sa ask sae da jka jada aa dda erseb eggal dega jarak wak lebh dar 5 har aka ask sae. Jka jarak wak keaa sr da sa dak lebh dar 5 har aka asaga erseb lagsg ask sae (keaa ergolog coo shock). Doaska x + eraka force of or-al dar sr ag bersa x jka dkeah sa ash hd da sebalka k sa. Uk esas berdah sae ke secara lagsg doaska dega. Berk eraka robablas bersara seseorag ag berr z + ah berada ada sae j jka dkeah da berada ada sae saa ber z ah j = Pr( X = j X = ),, j =,,, z z + z Dega eggaka ersaaa forwad kologorov deroleh: d d ( + + ) j k kj j jk = z z z z z k =, k j Persaaa dfferesal d aas daa dba dala bek arks, a d P ( z, z + ) = P ( z, z + ) ( z + ) d dega P( z, z + ) eraka sebah arx ag era adalah j, z, j =,,, da ( z + ) dseb arx esas daa eleea adalah k j da j z + k j =, j = j. j z + Dega eelesaka ersaaa dfferesal d aas deroleh = ex ( + + ) ds z z + s z + s z + s = ex z z + s = ex z z + s = ds ds z s z z + s s z + s ( ) ds = z s z z + s s z + s ( ) ds = z s z z + s ds z = s z z + s ds. Esas Paraeer Lagkah selaja dala roses ecar fgs dar robablas rass adalah egesas araeera. Dala akalah dgaka eode esas aks lkelhood ( MLE). Prs dar eode adalah eakska esaor araeer sehgga laa deka dega araeer. Terlebh dahl ddefska fgs desas bersaa dar T da x T, daa T eraka varabel x rado ssa sa dar sr da T eraka varabel rado ssa sa dar sa. Fgsa sebaga berk: * jka < v x: x+ v + + v * f (, v) = jka > v T ( x) T ( ) v x: + v v x+ v x+ jka = v x: Dar fgs desas bersaa d aas daa dcar fgs lkelhooda, a: L = f (, v ) = Tx, T,, 74

3 Sear Nasoal FMIP UNDIKSH III Tah Uk edahka dala roses erhga aka fgs lkelhood erseb dlogka, sehgga deroleh: = v l( ) ( ) l( ) x v l = L = + + d + d + d l( ) l( ) + d x + v, j * * + d + h l( ) j =, k k = x + v +, j x + v + j j j j, j * * + d + h l( ) + v +, k + v + k k k k, k Daa adalah oal jlah asaga dala daa ( ) adalah oal jlah dar dda (jada) dala daa v adalah wak saa asaga ke- kelar dar sae, =,,..., j d = jka asaga ke- berdah dar sae ke sae j ada = v, =,,...,, j =,, ( ) adalah wak saa dda ke-j, j, k aa jada ke-k eggalka sae aa j =,,...,, k =,,...,. h = jka dda eggal ada, j, j ) =, h = jka jada eggal ada =, j, k x da eraka sa ask dar sr da sa dar asaga ke-. Dega eggaka hk goerz ersaaa loglkelhood erseb ejad l = = x v v B ( ) x + v B ( ) + d l( B ) l( ) l( ) + v + d l( B ) v + d l( ) x + v j j, j B ( ) x + v + j j, j = + l( ), j l h B l j = + v k k, k B ( ) = + k k = l 4 Daa ( B, ) da (, ) l h B + v + k k, k l( ), 4 4 ) B eraka araeer Goerz k oralas sr B, da da sa ada sae. ( ) (, ) 4 4 B eraka araeer Goerz k oralas sr da sa ada sae da. Lagkah selaja adalah eakska fgs lkelhood d aas a dega ecar ra arsala ag dsaaka dega l k l = B l =, l = l = l B Deka jga k l da l. = Dega eelesaka dar ersaaa d aas deroleh esaor k asgasg araeera.. Perhga Pre sras Jwa Ml Lfe Srvvorsh Pada odel arkov erdaa kegka kejada ag daa dala asg-asg asaga, a:. Sa da sr ea hd saa akhr erode egaaa,. Isr ea hd saa akhr erode egaaa ea saa eggal ada sa wak d erode egaaa, da. Sa ea hd saa akhr erode egaaa ea sra eggal ada sa wak d erode egaaa. Berdasarka foras erseb, daa dcar re ggal bersha, a: E[ z ] z ( ) d = = T ( x ) T ( x ) T ( x ) x : Dkeah hbga berk: a x : x : = δ Dega, ( ) δ δ a = e d = e + + d x: x x x x sehgga rea daa dcar dega x : ( ) e δ = δ + + d 4. Sd Kass Hasl ada ebahasa aka deraka ada daa aas jo lfe da las srvvor ag daa deroleh ada Jlah daa ag dgaka adalah.66 asaga. Berk rgkasa daaa, Tabel : Rgkasa Daa 75

4 Sear Nasoal FMIP UNDIKSH III Tah Ur (sa) Jlah Jlah keaa 5 r < r < r < r Toal Ur (sr) Jlah Jlah keaa 5 r < r < r < r Toal Dar abel d aas daa dlha jlah keaa sa lebh baak darada sr a har kal la. Selaja dlakka esas ada odel arkov, berk hasla Tabel : hasl esas araeer odel arkov Paraeer Esas B 7.58 Sd.error B B B Dar hasl o d aas daa dba force of oral ada asg-asg sae. Uk elha bagaaa erbaha force of oral dar sa da sr serg erabaha sa, dba lo dar force of oral ada asg-asg sae, lo dar force of oral a sebaga berk: force of oral force of oral lo xsar x lo xsar sar Gabar : lo force of oral ada odel arkov Dar lo erseb daa daa, k asg-asg jes kela force of oral seelah keaa asaga (lo ) lebh gg dar force of oral sebel kehlaga asagaa (lo 4) ea-daka adaa daak dar kehlaga asagaa. Dar lo erseb daa jga dlha force of oral dar sa lebh gg darada sr eadaka sa lebh beresko egala keaa dar ada sr. Lagkah selaja adalah eeraka hasl-hasl ag elah deroleh dala ecar re ggal bersh k asras jwa l lfe dega sas las srvvor. Uk dberka sa cooh kassa, a: Baak Noa da Ib Made eraka asaga sa sr ag saa bersa 55 da 5 ah, ereka berecaa ebel rodk asras jwa d salah sa ersahaa asras ag ada d koa ereka ggal. Uk, ereka daag ke ersahaa erseb k ea foras keada karawa ersahaa erseb. Mereka g egeah rodk asras aa ag ea k ereka. Karawa ersahaa erseb eawarka rodk asras jwa berjagka l lfe dega sas las srvvor dega afaa keaa sebesar R... da sk bga 6%. Hglah besara re ag hars dbaarka asaga erseb keada ersahaa asras erseb agar edaaka afaa keaa er-seb? force of oral force of oral lo sar + x lo

5 Sear Nasoal FMIP UNDIKSH III Tah Uk eghg re ggal bersha dgaka rs berk: x : ( ) e δ = δ + + d Dega easkka la-la esaor kedala ersaaa erseb da dega eggaka egras erk deroleh a = x: Dega deka, x : = δ a = x: =.5696 Sehgga re ggal bersh k asras jwa srvvorsh berjagka ah dega afaa keaa sebesar R... adalah ( ) R R.. = x : Jad besara re sekal baar ag hars dbaarka oleh asaga sa sr erseb adalah sebesar R Kesla Dar ebahasa d aas daa dslka sebaga berk:. Force of oral dar sa lebh gg darada sr eadaka sa lebh beresko darada sr.. Terdaa kedakbebasa aara wak hd aara sa da sr daa erjad egkaa force of oral seelah kehlaga asaga.. Pre ggal bersh (Ne Sgle Pre) dar asras jwa llfe sas las srvvor dega edekaa arkov daa dcar dega rs berk: x : ( ) e δ = δ + + d 6. Psaka kso, K. 99.Eleear Nercal alss Secod Edo. Joh Wle & Sos. aada. Ba, Lee J da Egelhard, Max. 99. Irodco o Probabl ad Maheacal Sascs. alfora : Dxbr, 99 Bowers, N.L., Gerber, H.U., Hcka, J.., Joes, D.. da Nesb,.J., 997, caral Maheacs d Edo, The Soce of cares, Iasca, Illos. Fazah, Ira.8.Modfkas gka Kla Fraser Pada Pols sras Jwa Svrvvorsh. Tess. Progra Sd S Maeaka UGM J, M., Hard, Mar. da L, Joh S-Hag.. Markova roaches o Jo Lfe Moral. Norh erca caral Joral, Vole 5, ber. Lodo, Dck, 997, Srvval Models ad Ther Esao rd Edo, cex Pblcao, Wsed Norberg, R caral alss of Deede Lves. Blle of he Swss ssocao of cares : Ross, Sheldo M.. Irodco o Probabl Models h edo. US : Elsever, Ic. Sreew, J., ad X. Wag. 8. Modellg he Shor-Ter Deedece bewee Two Reag Lfees. valable a h:// Talor, Howard M. da Karl, Sael.998. Irodco o Sochasc Modelg rd edo. cadec Press, US Vekaaraa, P. (). led Ozao wh Malab Prograg. Joh Wle & Sos, New York. Waers, H. R roach o he Sd of Mlle Sae Models. Joral of he Ise of cares 4: