Analisis Survival dengan Model Accelerated Failure Time Berdistribusi Log-normal

Transkripsi

1 Analisis Survival dengan Model Acceleraed Failure Time Berdisribusi Log-normal Rachmaniyah *, Erna, Saleh 3 ABSTRAK Diabees melius (DM) adalah penyaki yang diandai dengan peningkaan kadar gula darah yang erusmenerus. Unuk mengurangi angka kemaian akiba Diabees Melius, maka peneliian ini akan memodelkan waku survival dengan sudi kasus pada pasien diabees melius di RS Wahidin Sudirohusodo Makassar dari Januari 005 Mei 006. Meode yang digunakan adalah Analisis Survival dengan model Acceleraed Failure Time. Adapun hasil analisisnya berdasarkan uji Wald menunjukkan bahwa variabel bebas yang signifikan adalah umur. Dari model Acceleraed Failure Time (AFT) log-normal erbaik disimpulkan bahwa pasien dengan umur yang lebih ua sau ahun cenderung memiliki peluang kemaian yang lebih cepa dari pasien yang lebih muda. Kaa Kunci : Diabees Melius, Analisis Survival, Model Acceleraed Failure Time, Uji Wald, Disribusi Log-normal.. Pendahuluan Analisis saisika yang mencari hubungan anara variabel erika dengan variabel bebas salah saunya adalah dengan menggunakan meode regresi. Jika variabel erika yang digunakan berupa daa survival (waku) maka analisis yang digunakan adalah analisis survival (Liang, dkk, 0). Analisis survival aau dikenal sebagai analisis keahanan hidup merupakan prosedur saisika unuk menganalisis daa berupa waku anar kejadian. Analisis ini digunakan keika kasus berkaian dengan waku aau lama waku hingga erjadi perisiwa erenu. Perisiwa dalam analisis ini dapa berupa imbulnya penyaki, kambuhnya penyaki, kesembuhan, kemaian aau sesuau yang menarik unuk diamai pada objek erenu (Kleinbaum dan Klein, 005). Meode-meode yang digunakan unuk analisis survival adalah meode nonparamerik yaiu meode Kaplan-Meier dan uji log-rank, meode semiparamerik yaiu model Cox PH dan model Cox dengan waku dependen kovaria, dan meode paramerik yaiu model paramerik PH dan model AFT (Jiezhi Qi, 009). Tugas akhir ini membahas mengenai Analisis Survival dengan Model Acceleraed Failure Time Berdisribusi Log-normal.. Tinjauan Pusaka. Analisis Survival Analisis survival (analisis keahanan hidup) merupakan prosedur saisika unuk menganalisis daa berupa waku anar kejadian, yaiu dimulai dari ime origin aau sar poin sampai pada suau kejadian khusus (failure even/end poin). Dalam menenukan waku survival, T, erdapa iga elemen yang harus diperhaikan yaiu waku awal (ime origin), definisi failure ime yang harus jelas, dan skala waku sebagai sauan pengukuran. Disribusi waku survival erdiri dari empa fungsi, yaiu: fungsi densias peluang, fungsi disribusi kumulaif, fungsi ahan hidup (fungsi survival), dan fungsi kegagalan (fungsi hazard).. Disribusi Log-normal Secara sederhana benuk disribusi log-normal dapa didefinisikan sebagai disribusi suau variabel dalam benuk logarima yang menyebar normal. Variabel acak, T, dikaakan memiliki disribusi log-normal, dengan parameer μ dan σ, jika logt memiliki disribusi normal dengan raaraa μ dan sandar deviasi σ. Fungsi kepadaan peluang dari disribusi log-normal adalah: f() = exp [ (ln( i) μ) ] πσ σ.3 Maximum Likelihood Esimaion (MLE) Salah sau meode dalam penaksiran parameer adalah Maximum Likelihood Esimaion (MLE). Prinsip dari MLE adalah menenukan θ yang memaksimumkan fungsi likelihood dengan disama dengankan nol. *Prodi Saisika, Jurusan Maemaika, Universias Hasanuddin rachmaniyah_saisik@yahoo.com

2 Misalkan Y, Y,, Y n sampel acak dengan fungsi kepadaan peluang f(y i ; θ), i =,,, n. Apabila L fungsi peluang bersama dari Y, Y,, Y n yang dipandang sebagai fungsi dari θ maka: L(θ) = f(y ; θ) f(y ; θ) f(y n ; θ) disebu fungsi likelihood. Nilai parameer θ dapa diperoleh dengan memaksimumkan fungsi kepadaan peluang bersama. Hal ersebu dilakukan dengan meode urunan perama dari fungsi likelihood-nya erhadap seiap parameernya sama dengan nol. Selain iu, karena biasanya suli unuk mencari urunan fungsi likelihood, maka yang dilakukan adalah menenukan nilai maksimum dari logarima naural fungsi likelihood ersebu aau disebu dengan fungsi log-likelihood..4 Model AFT (Acceleraed Failure Time) Model AFT menggambarkan hubungan anara probabilias survival dan himpunan kovaria. Definisi Dikeahui suau grup pasien dengan kovaria (x, x,, x p ). Modelnya secara maemaik diulis sebagai : S( x) = S 0 ( ) η(x) dimana S 0 () : fungsi baseline survival η : fakor percepaan rumus dari fakor percepaan yaiu η(x) = exp (β x i + β x i + + β p x pi ). dimana p =,,,7, i =,,, n. Keerangan : β : parameer skala x variabel bebas n : banyaknya daa Fungsi hazard dengan kovaria x, x,, x p dapa diuliskan : h( x) = [ ] h η(x) 0[ ] η(x) dimana η(x) : fakor percepaan x : variabel bebas h 0 () : fungsi baseline hazard.4. Uji Anderson Darling Uji Anderson-Darling adalah nama dari Theodore Wilbur Anderson dan Donald A. Darling, mereka menemukan saisik unuk menguji kenormalan daa. Menuru Sephens (974), uji Anderson-Darling digunakan sebagai uji kenormalan aau kebaikan suai (goodness of fi) unuk peubah kuaniaif. Uji Anderson-Darling bisa digunakan unuk menguji kenormalan berbagai macam disribusi daa, yaiu disribusi normal, lognormal,eksponensial, weibull, sebaran logisik. Rumus dari uji Anderson-Darling adalah sebagai beriku: n A = n n ( i )[ln F( i ) + ln ( F( n+ i ))] i= Keerangan: A = saisik uji unuk meode Anderson-Darling n = ukuran sampel F = fungsi disribusi kumulaif dari disribusi erenu i = waku survival Hipoesis: H 0 : daa mengikui disribusi erenu H : daa idak mengikui disribusi erenu Suau daa dikaakan mengikui suau disribusi erenu jika nilai Anderson-Darling yang diperoleh adalah yang erkecil dibandingkan dengan nilai Anderson-Darling pada disribusi yang

3 lain, dan nilai p-value lebih besar dari 0,05. Jika p-value lebih kecil dari 0,05 maka olak hipoesa awal (H 0)..4. Uji Wald Uji Wald dilakukan unuk meliha apakah erdapa variabel bebas yang idak signifikan di dalam model. Jika erdapa variabel bebas yang idak signifikan, maka perlu dilakukan reduksi erhadap variabel bebas ersebu. Langkah-langkah uji Wald adalah sebagai beriku (Agresi, 007):. Merumuskan Hipoesis: H 0 : β j = 0 (variabel bebas idak signifikan) H : β j 0 (variabel bebas signifikan) dimana j =,,, p.. Memilih ingka signifikansi α. 3. Menenukan saisik uji saisik uji yang digunakan adalah uji Wald: Keerangan: β j : penduga β j SE(β j) : sandar error dari β j β j W = ( SE(β j) ) 4. Krieria kepuusan: Tolak H 0 jika W > χ α (, ) aau nilai signifikansi < α, yang arinya variabel bebas signifikan di dalam model. Sebaliknya, erima H 0 jika W χ α (, aau nilai signifikansi α, yang arinya variabel bebas idak signifikan di dalam model sehingga variabel bebas ersebu harus dikeluarkan dari model..4.3 Penyaki Diabees Melius Diabees melius (DM) adalah penyaki yang diandai dengan peningkaan kadar gula darah yang erus-menerus. Kadar gula darah bervariasi sepanjang hari. Gula darah akan meningka seelah makan dan kembali normal dalam waku jam. Kadar gula darah yang normal cenderung meningka secara ringan eapi progresif seelah usia 50 ahun, eruama pada orang-orang yang idak akif. Penyebab diabees biasanya karena hasil insulin idak cukup unuk mengakomodasi kadar gula dan sel-sel ubuh idak merespon insulin dan ini biasanya erjadi karena kandungan lemak yang besar dalam ubuh idak sempurna karena kurangnya akivias seiap hari. Penyebab lainya biasanya dikarenakan: a. Kurangnya insulin karena virus aau fakor gizi pada saa anak-anak idak memadai. b. Pengaruh geneik aau keurunan. c. Terjadinya obesias. d. Tingginya kadar korikoseroid. e. Adanya kehamilan yang membua kurangnya kadar insulin dalam darah. f. Tumbuh racun yang mempengaruhi kinerja insulin. Peneliian erakhir menunjukkan bahwa komplikasi diabees dapa dicegah, diunda aau diperlamba dengan mengonrol kadar gula darah. Pengauran die sanga pening. Biasanya penderia idak boleh erlalu banyak makan makanan manis dan harus makan dalam jadwal yang eraur. Penderia diabees cenderung memiliki kadar koleserol yang inggi, karena iu dianjurkan unuk membaasi jumlah lemak jenuh dalam makanannya. Teapi cara erbaik unuk menurunkan kadar koleserol adalah mengonrol kadar gula darah dan bera badan. Semua penderia diabees hendaknya memahami bagaimana menjalani die khusus penderia diabees, olahraga eraur, pola makan, dan gaya hidup seha unuk mengonrol penyakinya. 3. Hasil dan Pembahasan 3 )

4 3. Daa Daa yang digunakan dalam peneliian ini merupakan daa sekunder berupa daa pasien penyaki diabees melius di RS Wahidin Sudirohusodo Makassar dari Januari 005 Mei 006. Pada peneliian ini fakor yang dielii adalah umur, jenis kelamin, bera badan, kadar gula darah, komplikasi, dan die DM. 3. Meode Analisis 3.. Menaksir Parameer dengan Meode Maximum Likelihood Esimaion (MLE) Penaksiran parameer dengan menggunakan meode Maksimum Likelihood Esimaion (MLE) erhadap disribusi log-normal dilakukan unuk memperoleh benuk parameer dari disribusi log-normal yaiu μ dan σ. Benuk parameer μ dan σ ini selanjunya akan digunakan unuk menghiung nilai μ dan σ yang kemudian akan dimasukkan ke dalam model AFT. Selain iu, akan dilakukan juga penaksiran parameer β dari model AFT. 3.. Pengujian Disribusi Daa Pengujian disribusi daa sanga pening dalam analisis survival. Pengujian ini berguna unuk meliha keepaan disribusi dengan daa, apakah waku survival mendekai suau disribusi erenu aau idak. Penenuan disribusi yang mendasari daa dapa diunjukkan dari benuk plo aau nilai Anderson-Darling dari masing-masing disribusi. Plo yang membenuk garis lurus dan nilai Anderson-Darling yang erkecil menunjukkan disribusi yang mendasari daa. Gambar 3. menunjukkan gambar plo disribusi daa yang merupakan hasil oupu dari sofware Miniab 6. Pada Gambar 3. menunjukkan perbandingan plo disribusi daa dari disribusi log-normal, eksponensial, normal, dan logisik. Dari keempa disribusi ini akan diliha disribusi mana yang mendasari daa, caranya adalah dengan meliha nilai Anderson-Darling dan nilai p-value. Suau daa dikaakan mengikui disribusi erenu jika nilai Anderson-Darling yang diperoleh adalah yang erkecil dibandingkan dengan nilai Anderson-Darling pada disribusi yang lain, dan nilai p-value lebih besar dari 0,05. Gambar 3.. Perbandingan plo disribusi daa. (a) plo disribusi Lognormal, (b) plo disribusi Exponenial, (c) plo disribusi Normal, (d) plo disribusi Logisic. Keerangan Gambar 3. : 3..(a) menunjukkan plo disribusi log-normal dengan nilai Anderson-Darling adalah 0,77 dan nilai p-value adalah 0, (b) menunjukkan plo disribusi eksponensial dengan nilai Anderson-Darling adalah,96 dan nilai p-value adalah 0,0. 3..(c) menunjukkan plo disribusi normal dengan nilai Anderson-Darling adalah 5,06 dan nilai p-value < 0, (d) menunjukkan plo disribusi logisik dengan nilai Anderson-Darling adalah,84 dan nilai p-value < 0,005. Dari keerangan gambar dan plo yang diperoleh seperi pada Gambar 3. menunjukkan bahwa nilai Anderson-Darling paling kecil erdapa pada plo (a) disribusi lognormal yaiu 0,77 4

5 dan nilai p-value > 0,05 yaiu 0,056. Hal ini menunjukkan bahwa disribusi yang mendasari daa adalah disribusi lognormal Uji signifikansi erhadap variabel bebas dengan menggunakan uji Wald Uji Wald digunakan unuk menguji signifikansi erhadap variabel bebas unuk meliha apakah erdapa variabel bebas yang idak signifikan. Jika erdapa variabel bebas yang idak signifikan, maka perlu dilakukan reduksi erhadap variabel bebas ersebu. Tabel 3. merupakan abel uji Wald yang merupakan hasil oupu dari sofware SPSS. Pada abel 3. akan diliha nilai Wald dan nilai signifikansi dari variabel bebas. Jika nilai Wald > χ α (, dan nilai signifikansinya < α = 5% = 0,05 maka variabel bebas ersebu signifikan di dalam ) model. Tabel 3. Uji Wald Variables in he Equaion B S.E. Wald df Sig. Exp(B) umur -,070,09 5,965,05,93 jk() -,646,648,993,39,54 bera -,039,03,64,03,96 gd -,005,004,87,7,995 komp 6,587 4,59 komp() -,5,676,57,450,600 komp() -,739,864,730,393,478 Sep a komp(3),74,034,839,09 5,7 komp(4) -, ,540,000,999,000 die 3,430 4,489 die(),466,04,984,59 4,33 die(),495,856,335,563,64 die(3),434,98,37,44 4,96 die(4),734,834,60,689,083 saus(),9,985,46,7 3,89 Consan 5,045,86 3,87,074 55,3 Hipoesis: H 0 : β j = 0 (variabel bebas idak signifikan) H : β j 0 (variabel bebas signifikan) dimana j =,,, p Digunakan araf signifikansi α = 5% = 0,05. Kepuusan: Tolak H 0 jika nilai W > χ α (, ) = χ (,0.05) = 5,04 arinya variabel bebas signifikan. Dari abel 3. dapa diliha bahwa variabel bebas yang signifikan adalah umur dimana nilai Wald dari umur W umur = 5,965 > χ α (, = χ (,0.05) = 5,04 dengan nilai signifikansi dari umur adalah 0,05 < α = 0,05. ) 5

6 3..4 Membenuk Model Acceleraed Failure Time (AFT) Log-normal Terbaik Dikeahui fungsi hazard AFT: dimana dan maka h( x) = [ η(x) ] h 0 [ η(x) ] = η(x) = σ π [ exp ( 0,7 umur) h( x) = [ η(x) ] h 0[ η(x) ] η(x) = exp (β x i + β x i + + β p x pi ) h o () = exp [ (ln ( η(x) ) μ) ] ln ( η(x) ) μ Φ ( ) σ ] 0,3409 π [ (ln μ) exp [ σ π σ ] ln μ Φ ( ) σ exp [ (ln ( exp ( 0,7 umur) ),03) ] ln ( exp ( 0,7 umur) ),03 Φ ( ) 0,3409 Dari model ersebu dapa diliha bahwa jika variabel umur meningka sau (ahun) maka akan meningkakan fungsi hazard sebesar e 0,7 arinya pasien dengan umur yang lebih ua sau ahun cenderung memiliki peluang kemaian yang lebih cepa dari pasien yang lebih muda. 4. Kesimpulan dan Saran 4. Kesimpulan Berdasarkan penulisan mengenai analisis survival dengan model Acceleraed Failure Time berdisribusi log-normal, maka diperoleh kesimpulan sebagai beriku:. Penaksiran parameer erhadap fungsi kepadaan peluang dari disribusi log-normal dengan menggunakan meode Maximum Likelihood Esimaion (MLE) menghasilkan μ =,03 dan σ = 0, Hasil dari uji wald menunjukkan bahwa variabel bebas yang signifikan adalah umur dimana nilai Wald dari umur adalah 5,965 > χ α (, = χ (,0.05) = 5,04 dengan nilai signifikansi dari umur adalah 0,05 < α = 0, Pada model Acceleraed Failure Time (AFT) log-normal erbaik pada daa penyaki diabees melius disimpulkan bahwa pasien dengan umur yang lebih ua sau ahun cenderung memiliki peluang kemaian yang lebih cepa dari pasien yang lebih muda. 4. Saran Model yang digunakan pada penulisan ini adalah model Acceleraed Failure Time (AFT) yang berdisribusi log-normal. Disarankan agar dapa dilakukan peneliian pada model Acceleraed Failure Time (AFT) dengan disribusi yang berbeda. DAFTAR PUSTAKA ) ] 6

7 Agresi, Alan An Inroducion o Caegorical Daa Analysis Second Ediion. Florida: Deparemen of Saisics Universiy of Florida. Colle, D Modelling Survival Daa in Medical Research. London: Chapman & Hall. Heriawan Perbandingan Penggunaan Model Acceleraed Failure Time dan Model Proporional Hazards. Makassar: Jurusan Maemaika FMIPA, Universias Hasanuddin. hp://meodehidupseha.blogspo.com/03/0/enang-diabees-fakor-penyebab-dan.hml (diakses pada anggal 5 Februari 05, pukul 07:5 WITA) hp://senyawahai3.blogspo.com/03/04/pngerian-dan-penyebab-penyaki.hml (diakses pada anggal 5 Februari 05, pukul 07:5 WITA) hp://saforall.blogspo.com/009/03/normaliy-es-uji-sebaran-normal.hml (diakses pada anggal 5 November 04, pukul 06:54 WITA) hp://umc.unej.ac.id/index.php/78-beria/93-diabe (diakses pada anggal 5 Februari 05, pukul 07:7 WITA) Jiezhi, Qi Comparison of Proporional Hazards and Acceleraed Failure Time Models. Thesis of Graduae Sudies and Research of Maser of Science. Saskaoon: Universiy of Saskachewan. Jong, P. D. & Heller, G. Z Generalized Linear Models for Insurance Daa. Cambridge: Cambridge Universiy Press. Kleinbaum, D.G. dan Klein, M., 005. Survival Analysis. Springer Verlag, New York. Lawless, J.F. 98. Saisical Model and Mehods for Lifeime Daa. New York: John Wiley and Sons, Inc. Liang, C., Zheng, G., dkk. 0. A New Environmenal Hea Sress Index for Indoor Ho and Humid Envirenmens Based on Cox Regression. Journal Inernaional of Building and Environmen, 46, China: Tianjin Universiy. Nawari. 00. Analisis Regresi dengan MS Excel 007 dan SPSS 7. Jakara: PT Elex Media Kompuindo. Nega, W., Woncheko, E., dkk. (0). The Deerminans of Birh Inerval in Rural Ehiopia. Ehiopia: Addis Ababa Universiy. Pyke, D. And J. Thompson. (986). Saisical Analysis of Survival and Removal Rae Experimens. Ecology 67(): Sanuo. (0). Penaksiran Parameer Model Regresi Inverse Gaussian dengan Peubah Respon Koninu Non-Negaif. Makassar: Jurusan Maemaika FMIPA, Universias Hasanuddin. Sephens, M. A. (974). EDF Saisics for Goodness of Fi and Some Comparisons, Journal of he American Saisical Associaion, 69, pp Walpole, Ronald E. (993). Penganar Saisika Edisi ke-3. Jakara: Gramedia Pusaka Uama. 7