Penggunaan Statistik Tataan untuk Menentukan Median Contoh Acak dari Distribusi Eksponensial

Transkripsi

1 Jurnal Penelitian Sains Volume 3 Nomer A) 3 Penggunaan Statistik Tataan untuk Menentukan Median Contoh Acak dari Distribusi Eksponensial Herlina Hanum Yuli Andriani dan Retno Jurusan Matematika FMIPA Universitas Sriwijaya Sumatera Selatan Indonesia Intisari: Statistik Tataan merupakan statistik dengan prinsip pengurutan suatu sampel acak dari sebaran bertipe diskrit atau kontinu yang positif Misalkan X X X n suatu sampel acak maka Y i adalah statistik tataan ke-i dari sampel acak tersebut dengan i = n di mana Y < Y < < Y n Pada penelitian ini prinsip Statistik Tataan digunakan pada penentuan nilai median dari suatu distribusi Eksponensial dengan parameter yang memiliki bentuk fungsi kepadatan peluang fx) = e x/ untuk < x < dan sama dengan untuk lainnya Median merupakan nilai tengah dari sekelompok objek Median dari peubah acak berdistribusi Eksponensial yang diperoleh adalah m = ln )! 4 x 3)/ ) /n+) ) )!n + ) untuk n ganjil dan m = ln n + n) x n )! n )! ) /n+) 6 untuk n genap Abstract: Order statistics is statistics with principle is ordering a random sample of the positive discrete or continous distribution Let X X X n denote a random sample so Y i is called the i th order statistics of that random sample with i = n and Y < Y < < Y n In the research principle of order statistics is used in determining the median of a random samples of an Exponential distribution with parameter which has probability density function fx) = e x/ for < x < and = for otherwise Median is central value of the random sample of An Exponential Distribution is found as: for odd n and for even n m = ln m = ln )! 4 x 3)/ ) /n+) ) )!n + ) n + n) x n )! n )! ) /n+) 6 Mei PENDAHULUAN latar Belakang P enyelidikan segugus data kuantitatif akan sangat membantu bila didefinisikan ukuran-ukuran numerik yang menjelaskan ciri-ciri data Ukuran yang penting adalah ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran Ukuran pemusatan menunjukkan pusat penyebaran nilai-nilai data Salah satu ukuran pemusatan yang banyak digunakan adalah median Median merupakan nilai tengah dari segugus data yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar atau sebaliknya Nilai median dalam suatu pengamatan yang berupa segugus data dalam bilangan riil dapat dengan mudah ditentukan karena nilai-nilai tersebut mudah untuk diurutkan Sebaliknya jika diberikan suatu sampel acak X X X n yang non numerik pengurutan nilai tidak dapat dilakukan Akibatnya penentuan letak median dari sampel acak tersebut tidak dapat langsung ditentukan Dalam teori statistika dikenal statistik tataan order statistics) yaitu urutan nilai peubah acak dari yang terkecil ke terbesar Dengan statistik tataan tersebut sebaran dari median dapat ditentukan Selanjutnya nilai median dapat dicari dengan menggunakan defic FMIPA Universitas Sriwijaya 3-5

2 Herlina dkk/penggunaan Statistik Jurnal Penelitian Sains 3 A) 3 nisi bahwa nilai peluang peubah acak dengan batas atas median adalah / Oleh karena itu dalam penelitian ini diangkat permasalahan bagaimana menentukan median dari sampel acak yang non numerik jika diketahui fungsi kepekatan peluang peubah acak asal sampel acak tersebut Penelitian ini diterapkan pada peubah acak Eksponensial karena memiliki terapan yang sangat luas Pada contoh soal digunakan nilai parameter = Tujuan dan Manfaat Tujuan penelitian ini adalah untuk mendapatkan nilai median dari contoh acak dari distribusi Eksponensial Manfaat yang bisa didapat dari penelitian ini antara lain dapat memahami kaitan penggunaan statistik tataan dalam menentukan nilai median serta dapat mengetahui nilai median dari suatu peubah acak yang memiliki distribusi Eksponensial TINJAUAN PUSTAKA Distribusi Eksponensial Suatu peubah acak kontinu X berdistribusi Eksponensial dengan parameter skala > memiliki bentuk fungsi kepadatan peluang: { fx) = e x/ untuk < x < untuk lainnya Untuk peubah acak kontinu X yang menyebar menurut distribusi Eksponensial dengan parameter jika dan hanya jika P X > a + t Xa = P [X > t] untuk semua a > dan t > [] Median Bila X X X n menyatakan sampel acak berukuran n diurutkan membesar menurut besar nilainya maka median sampel ditentukan sebagai statistik X = X n+ genap [] bila n ganjil X = X n/+x n/)+ bila n Menurut Waxmann [3] median adalah rerata posisi karena median adalah nilai bilangan ditengah dari sekolompok objek Nilainya ditemukan dengan menyusun bilangan dalam suatu urutan baik menaik maupun menurun lalu menentukan subjek mana yang ada ditengah 3 Statistik Tataan Misalkan X X X n sampel acak dari sebaran bertipe kontinu dengan fx) positif pada a < x < b Misalkan Y adalah sampel acak terkecil dari X i Y sampel acak terkecil kedua dari X i dan seterusnya sampai Y n sampel acak terbesar dari X i Jadi Y < Y < < Y n mewakili X X X n jika diurutkan dari yang terkecil hingga terbesar Secara spesifik dinyatakan bahwa Y i i = n adalah statistik tataan ke-i dari sampel acak X X X n Sebagai sampel acak dari peubah acak yang memiliki fungsi kepadatan peluang fx) = X X X n masing-masing adalah peubah acak yang memiliki sebaran seperti X dan bersifat bebas stokastik identik Dari sifat tersebut dan banyaknya kemungkinan urutan X X X n fungsi kepadatan peluang bersama Y < Y < < Y n adalah fy )fy ) fy n ) gy y y n ) = dengan a < y < y n < b untuk selainnya Dengan melakukan pengintegralan terhadap peubah acak Y i yang lain fungsi kepadatan marginal Y j j n didapat j )!n j)! [fy j)] j [ F y j )] n j fy j ) g j y j ) = untuk a < y j < b untuk selainnya dengan fy j ) adalah fungsi kepadatan peluang X pada X = y j sementara F y j ) adalah fungsi sebaran X pada X = y j Sementara fungsi kepadatan peluang bersama dari statistik tataan Y i dan Y j i < j n adalah g ij y i y j ) = untuk a < y i < y j < b [4] 3 METODOLOGI i )!j i )!n j)! [F y i )] i [F y j )] j i [ F y j )] n j fy i )fy j ) Pada penentuan nilai median langkah-langkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut : Diberikan sampel acak X X X n dari peubah acak X dalam bentuk fungsi kepadatan peluang suatu distribusi Eksponensial Untuk median dengan n ganjil diketahui rumus yaitu X k = X n+ maka langkah selanjutnya adalah menentukan fungsi kepadatan peluang median tersebut yaitu g k y k ) dengan k = n+ sedangkan untuk median dengan n genap diketahui rumus yaitu X = X n/+x n/)+ sehingga perlu dilakukan transformasi peubah acak Y n/ dan Y n/)+ ke peubah acak Z didapat hz Z ) dan selanjutnya ditentukan fungsi kepadatan peluang median untuk n genap 3-6

3 Herlina dkk/penggunaan Statistik Jurnal Penelitian Sains 3 A) 3 3 Menentukan nilai median dengan mengintegralkan fungsi kepadatan peluang median baik untuk n ganjil maupun n genap dengan batas atas m dan batas bawah berdasarkan batas bawah distribusi Eksponensial) dengan menyamakan pengertian peluang yaitu P X < m) = 4 HASIL DAN PEMBAHASAN Diberikan sampel acak X X X n yang berdistribusi Eksponensial dengan parameter dalam bentuk fungsi kepadatan peluang yaitu : fx) = e x = lainnya < x < Fungsi Sebaran dari sampel acak X X X n yang berdistribusi Eksponensial berbentuk fx) = x e x = lainnya dx = e x < x < ) 4 Penentuan Nilai Median dengan n ganjil Suatu median dengan jumlah n ganjil didefinisikan M = Y n+)/ di mana Y n adalah sampel acak tertinggi dari suatu sampel acak X X X n maka fungsi kepadatan peluang median dari distribusi Eksponensial dengan jumlah n ganjil diperoleh sebagai fungsi kepadatan peluang Statistik Tataan ke-k g k y k )) dengan k = n + )/ yaitu g k y k ) = ) )! )! e y k e y k ) Dari fungsi kepadatan peluang median tersebut dapat ditentukan nilai mediannya yaitu dengan mengintegralkan fungsi kepadatan peluang median terhadap Y k dengan batas bawah berdasarkan batas bawah distribusi Eksponensial) dan batas atas m serta dengan menyamakan pengertian peluang yaitu P X < m) = / = median = m )! )! e y k ) e y k ) dy k ) Berdasarkan pers) dapat dimisalkan u = e y k/ du = e y k/ dy k dan ) du = e y k/ dy k sehingga = )! )! m u du Akhirnya didapat nilai median contoh acak berdistribusi Eksponensial untuk jumlah n ganjil m = ln )! 4 n 3)/ )!n + ) ) n+ 4 Penentuan Nilai Median dengan n genap dari Peubah Acak Berdistribusi Eksponensial 3) Diambil Y sebagai sampel acak terkecil Y sebagai sampel acak terkecil kedua dan seterusnya hingga Y n sebagai sampel acak terbesar sehingga Y < Y < < Y n dari sampel acak X X X n yang diberikan maka median dengan jumlah n genap didefinisikan sebagai M = Y n/ + Y n/)+ )/ Selanjutnya ditentukan fungsi kepadatan peluang bersama statistik tataan gy n/ + Y n/)+ ) untuk suatu distribusi Eksponensial Fungsi kepadatan peluang bersama statistik tataan ke-y n/ dan ke-y n/)+ untuk suatu distribusi Eksponensial diberikan oleh y n + +y n gy n/ + Y n/)+ ) = n )! n )!e ) e y n/ n ) e y n/)+ n 4) untuk < y n/ < y n/)+ < dan sama dengan untuk lainnya Penentuan fungsi kepadatan peluang median dari fungsi kepadatan peluang bersama pada pers4) tidak dapat langsung diselesaikan Berdasarkan definisinya bahwa M = Y n/ + Y n/)+ )/ yang merupakan fungsi linier dari statistik tataan ke-n/) + dan ken/ maka perlu dilakukan transformasi dari peubah acak M ke peubah acak Z dengan mengambil Z = Y n/ + Y n/)+ )/ dan Z = Y n/ sehingga didapat Y n/)+ = Z Z dan Y n/ = Z Selanjutnya dengan mendifferensialkan peubah Y n/)+ dan Y n/ masing-masing terhadap Z dan Z diperoleh nilai Jacobian J = δy n/)+ δz δy n/)+ δz δy n/ δz δy n/ δz = = Dengan mengalikan nilai mutlak Jacobian terhadap fungsi kepadatan peluang statistik tataan 3-7

4 Herlina dkk/penggunaan Statistik Jurnal Penelitian Sains 3 A) 3 gy n/ + Y n/)+ ) diperoleh fungsi kepadatan peluang bersama Z dan Z yaitu hz Z ) = n )! n )!e ) e Z n Z e Z Z ) n untuk < Z < Z < dan sama dengan untuk lainnya Akhirnya fungsi kepadatan peluang median dapat diperoleh dengan mengintegralkan hz Z ) terhadap Z yaitu: hz ) = n )! n )! e Z/ 5) Z ) e Z n ) e Z Z n dz Dengan pemisalan u = e Z/ diperoleh fungsi kepadatan peluang median dengan n genap dari peubah acak berdistribusi Eksponensial sebagai berikut hz ) = 4 n n+ n )! n )! e nz/ e Z ) n untuk < Z < dan sama dengan untuk yang lainnya Selanjutnya dari fungsi kepadatan peluang median dapat ditentukan mediannya yaitu dengan mengintegralkan fungsi kepadatan peluang median dengan n genap yang telah diperoleh terhadap Z dengan batas bawah berdasarkan batas bawah distribusi Eksponensial) dan batas atas m serta dengan menyamakan pengertian peluang yaitu P X < m) = / diperoleh dengan pemisalan u = e Z/ ) = 4 n n n )! n )! n + ) u n+ m 6) Berdasarkan penguraian statistik tataan terhadap suatu peubah acak berdistribusi Eksponensial tersebut diperoleh suatu nilai median untuk jumlah n genap yaitu m = ln n + n) x n )! n )! ) /n+) ) 7) 6 43 Contoh Penggunaan Rumus Median Contoh Diberikan X X X 7 suatu sampel acak berukuran n = 7 dari suatu distribusi Eksponensial dengan parameter = Tentukan nilai mediannya! Penyelesaian: Karena n = 7 ganjil maka dari pers3) diperoleh nilai mediannya m = ln 7694) = 54 Contoh Diberikan X X X 8 suatu sampel acak berukuran n = 8 dari suatu distribusi Eksponensial dengan parameter = Tentukan nilai mediannya? Penyelesaian: Karena n = 8 genap maka dari pers7) diperoleh nilai mediannya m = ln 475) = 39 5 SIMPULAN DAN SARAN 5 Simpulan Berdasarkan uraian pada bagian pembahasan dapat disimpulkan bahwa: Statistik Tataan untuk peubah digunakan pada penentuan nilai median dengan n ganjil sedangkan Statistik Tataan untuk peubah digunakan pada penentuan nilai median dengan n genap Suatu fungsi kepadatan peluang median untuk peubah acak berdistribusi Eksponensial tergantung dari fungsi kepadatan peluang dan fungsi distribusi Eksponensial itu sendiri dengan faktor pengali tergantung dari jumlah n pada suatu nilai tertentu 3 Nilai Median untuk n ganjil dapat ditentukan melalui rumus ) /n+) ) )! )!n + ) m = ln 4 x 3)/ Sementara untuk n genap digunakan rumus m = ln 5 Saran n + n) x n )! n )! ) /n+) ) 6 Untuk pengembangan lebih lanjut disarankan untuk membahas tentang: Penentuan median suatu peubah acak dengan distribusi yang berbeda Keterkaitan median dengan dan n dari suatu distribusi Eksponensial 3-8

5 Herlina dkk/penggunaan Statistik Jurnal Penelitian Sains 3 A) 3 DAFTAR PUSTAKA [] Nugroho S 8 Bab Peubah Acak wwwgeocitiescom/mhsmatmipaunib/ StatistikaMatematikaPdf diakses pada tanggal 6 september 8; Bab 4 Sebaran Fungsi Peubah Acak wwwgeocitiescom/dosmatmipaunib/ StatistikaMatematika4pdf diakses pada tanggal 6 september 8 [] Suryadi C 3 Beberapa Distribusi Peluang Kontinu II file/cn%if5%beberapa% Distribusi%Peluang%Kontinu%II%pdf diakses pada tanggal 6 september 8 [3] Waxmann P 993 Businiss Mathematics and Statistics 3rd edition Prentice Hall Victoria [4] Hogg RV and AT Craig 995 Introduction to Mathematical Statistics 5th edition Prentie Hall New Jersey 3-9