Transformasi Dua atau Lebih Peubah Acak. Dr. Kusman Sadik, M.Si Departemen Statistika IPB, 2016

Transkripsi

1 Transormasi Dua atau Lebih Peubah Acak Dr. Kusman Sadik M.Si Departemen Statistika IPB 06

2 Transormasi Dua atau Lebih Peubah Acak Misalkan diketahui kp bersama bagi p.a. X dan X adalah X X x ). Jika kemudian dideinisikan p.a. lainna aitu x dan dimana = h x x ) dan = h x x ) maka ingin diketahui kp bersama bagi p.a. dan aitu ).

3 Teorema Misalkan diketahui kp bersama bagi p.a. X dan X adalah X X x ) ang positi dan kontinu pada gugus S R dan x dideinisikan ungsi h h : S R dan T merupakan baangan S sebagai tranormasi satu-satu one-to-one) dari h h ). Oleh karena itu jika = h x x ) dan = h x x ) maka inversna x = h - ) dan x = h - ) dengan ) T. Anggap bahwa untuk ) T dx /d dan dx /d ada kontinu dan tidak sama dengan 0. Maka kp bersama bagi p.a. dan adalah: ) X X { h ) h )}. J ) T 3

4 4 T J h h X X ) )}. ) { ) x x x x Jacobi J

5 Kasus Misalkan p.a. kontinu X mempunai sebaran U0 ) sedangkan X dan X merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini. Apabila dideinisikan = X + X dan = X X tentukan: a. Fungsi kepekatan bersama bagi p.a. dan aitu ). b. Fungsi kepekatan marginal bagi p.a. dan aitu ) dan ). 5

6 Karena X U0 ) sedangkan X dan X merupakan contoh acak bebas dan identik dari sebaran ini maka kp bersama bagi X dan X adalah: X ) ). ) ; 0 dan 0 X x x x x x x X X kemudian dideinisikan bahwa = h x x ) = x + x = h x x ) = x x 6

7 = h x x ) = x + x = h x x ) = x x Melalui metode substitusi ataupun eliminasi dari persamaan di atas akan diperoleh persamaan berikut: x = h - ) = + )/ x = h - x x ) = )/ x / = ½; x / = ½; x / = ½; x / = -½; 7

8 x / = ½; x / = ½; x / = ½; x / = -½; J 8

9 9 Sehingga kepekatan bersama bagi p.a. dan adalah T J h h X X X X ) ; ). }. ) / ) / { )}. ) { ) Persoalan berikutna adalah menentukan batas nilai bagi dan aitu T

10 Untuk 0 < x < 0 < x < 0 < + )/ < 0 < + < 0 < + dan + < > dan < Untuk 0 < x < 0 < x < 0 < )/ < 0 < < 0 < dan < < dan > 0

11 Sehingga batas nilai bagi dan adalah > ; < ; < ; dan > = - = - = = -

12 = - = - = = - Sebaran marginal bagi adalah Untuk 0 < ) ) d d

13 3 Untuk < < ) ) d d Sehingga lainna ; 0 ; 0 ; )

14 = - = - = = - Sebaran marginal bagi adalah Untuk - < 0 ) ) d d 4

15 5 Untuk 0 < < ) ) d d Sehingga lainna ; 0 0 ; 0 ; )

16 Kasus Misalkan p.a. kontinu X mempunai kp sebagai berikut X ) x x e x 0 sedangkan X dan X merupakan contoh acak bebas dan identik dari kp ini. Ingin ditentukan kp p.a. = X /X + X ). Karena X dan X merupakan contoh acak bebas dan identik dari sebaran ini maka kp bersama bagi X dan X adalah X x x x x ) x x) e e e ; x 0 dan x X 0 6

17 Perlu dideinisikan satu peubah acak lain agar transormasi terjadi dari ruang berdimensi dua ke ruang berdimensi dua. Misalkan Z = X + X sehingga diperoleh sepasang transormasi aitu = x /x + x ) dan z = x + x. Trasormasi ini bersiat satu-satu untuk seluruh daerah ungsi. = x /x + x ) dan z = x + x Melalui metode substitusi ataupun eliminasi dari persamaan di atas akan diperoleh persamaan berikut: x = z x = )z 7

18 x = z x = )z x / = z; x /z = ; x / = - z; x /z = - ; z J z z 8

19 Sehingga kepekatan bersama bagi p.a. dan Z adalah z) Z X X e ze z x x z ) z) ). J. z z) T Selanjutna menentukan batas nilai bagi dan z aitu T. Perhatikan karena x 0 dan x 0 maka 0 = x /x + x ) 0 z = x + x 0 z 0 sehingga ) z Z z ze 0 dan z 0 9

20 0 0 dan 0 ) z ze z z Z Sebaran marginal bagi p.a. = X /X + X ) adalah 0 ze z dz Dengan demikian kp bagi p.a. = X /X + X ) adalah lainna ; 0 0 ; )

21 Kasus 3 Lihat Example 4 Roussas Sub-bab 6. hlm

22

23 3

24 Kasus 4 Misalkan peubah acak X dan saling bebas dan mempunai kp Eksponensial Negati dengan = dan dideinisikan bahwa peubah acak U = X + )/ dan V = X )/. a. Tentukan kp bersama UV u v). b. Tentukan kp marginalna aitu U u) dan V v). Lihat Roussas Bab 6 Exercise.3 hlm. 83. Sebaran Eksponensial Negati adalah: X ) x x e x 0 0 4

25 Kasus 5 Misalkan peubah acak X dan saling bebas dan mempunai kp Normal0 ) dan dideinisikan U = X + dan V = X. a. Tentukan kp bersama UV u v). b. Tentukan kp marginalna aitu U u) dan V v). c. Tunjukkan bahwa U dan V independen. d. Hitung peluang PU < 0 V > 0). Kasus 6 Misalkan peubah acak X dan saling bebas dan mempunai kp Normal0 ). Tunjukkan bahwa peubah acak U = X + mempunai kp Eksponensial Negati dengan =/ ). 5

26 Latihan : Kerjakan Kasus 4 Kasus 5 dan Kasus 6 di atas 6

27 . Roussas G Introduction to Probabilit and Statistical Inerence. Academic Press. Nasoetion A. H. dan Rambe A Teori Statistika untuk Ilmu-Ilmu Kuantitati. Bhratara Kara Aksara Jakarta. 3. Hoog RV McKean JW Craig AT Introduction to Mathematical Statistics 6 th Edition. Pearson Prentice Hall. 4. Wackerl D Mendenhall W Scheaer RL Mathematical Statistics with Applications 7 th Edition Duxbur Thomson Learning 5. Pustaka lain ang relevan. 7

28 Bisa di-download di 8

29 9