MA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: Distribusi Samp

Transkripsi

1 MA3081 STATISTIKA MATEMATIK(A) Bab 2: We love Statistics

2 Pengantar Parameter adalah...

3 ...suatu karakteristik dari populasi.

4 Statistik adalah...

5 ...suatu karakteristik dari sampel.

6 Statistik adalah fungsi dari sampel; T = g(x 1, X 2,..., X n ). Fungsi T adalah peubah acak; contoh T = X atau T = S 2 X.

7 Distribusi sampel adalah...

8 ...distribusi dari statistik; distribusi sampel dari X adalah distribusi dari X.

9 Pengantar Diskusi: Sampel tidak acak Sampel acak Distribusi populasi

10 Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak berukuran n (random sample of size n). Fungsi peluang n-variat nya adalah f X1,X 2,,X n (x 1, x 2,..., x n ) = n f Xi (x i ) i=1

11 Contoh/Latihan: 1 Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari distribusi eksponensial dengan parameter θ. Fungsi peluang n-variatnya adalah... 2 Misalkan X 1, X 2 sampel acak berukuran 2 dari distribusi Uniform pada selang (a, b). Fungsi peluang 2-variatnya adalah...

12 Pengantar Misalkan fungsi peluang n-variat bergantung pada parameter yang tidak diketahui θ. Fungsi peluang tersebut ditulis sebagai f X1,X 2,...,X n (x 1,..., x n θ 1,..., θ k ) atau f X (x θ)

13 Contoh/Latihan: 1 Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari distribusi N(µ, σ 2 ). Fungsi peluang n-variat yang bergantung pada parameternya ditulis sebagai...

14 Definisi: Fungsi likelihood adalah ukuran yang menyatakan sebarapa sering nilai θ, diberikan bahwa x telah terobservasi. Fungsi likelihood BUKAN suatu peluang. Fungsi likelihood diperoleh dengan (i) menukar peran θ dan x dalam fungsi peluang n-variat, dan (ii) membuang suku yang tidak bergantung pada θ. Notasi: L(θ) = L(θ x) f X (x θ)

15 Contoh/Latihan: Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari distribusi Eksponensial dengan parameter θ. Fungsi likelihoodnya adalah...

16 function likefunction; % this function calculates the likelihood function % of certain distribution % % created by K Syuhada, 25/2/2013 clear clc n = input( n = ); % size of random sample % data x = exprnd(0.5,n,1); sumx = sum(x);

17 % parameter of exponential distribution lambda = 0.5:0.05:5; for i = 1:length(lambda) L(i) = (lambda(i)^n)*exp(-lambda(i)*sumx); end plot(lambda,l)

18 Contoh/Latihan: Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari distribusi Uniform pada selang (π, b). Fungsi likelihoodnya adalah...

19 Prinsip Jika dua percobaan, yang melibatkan model dengan parameter θ, memberikan likelihood yang sama, maka inferensi terhadap θ haruslah sama.

20 Ilustrasi: Pandang percobaan 1 dimana sebuah koin dilantunkan sebanyak n kali secara bebas. Misalkan p adalah peluang muncul MUKA dan X peubah acak yang menyatakan banyaknya MUKA yang muncul. Fungsi peluang dari X adalah... Untuk n = 20, x = 6, fungsi likelihoodnya adalah...

21 L(θ x = 6) = θ 6 (1 θ) 14

22 Pandang percobaan 2 dimana sebuah koin dilantunkan hingga diperoleh MUKA sebanyak 6 kali secara bebas. Misalkan Y peubah acak yang menyatakan banyaknya lantunan yang dibutuhkan agar diperoleh enam MUKA. Fungsi peluang dari Y adalah...

23 f Y (y θ, r) =

24 Misalkan sukses ke-6 terjadi pada lantunan ke-20. Fungsi likelihoodnya adalah...

25 Dari 2 percobaan diatas, misalkan kita ingin melakukan uji hipotesis: H 0 : p = 0.5 versus H 0 : p < 0.5 Nilai signfikansinya atau p-value adalah...

26 P(X 6 n = 20, θ = 0.5) = =

27 P(Y 20 r = 6, θ = 0.5) = =

28 Pengantar Definisi 1: Suatu statistik T = t(x) adalah CUKUP atau sufficient untuk suatu keluarga distribusi f X (x θ) JIKA dan HANYA JIKA fungsi likelihoodnya bergantung terhadap X hanya melalui T : L(θ) = h(t(x), θ)

29 Definisi 2: Suatu statistik T = t(x) adalah CUKUP untuk suatu keluarga distribusi f X (x θ) JIKA dan HANYA JIKA distribusi bersyarat dari X TIDAK BERGANTUNG pada θ : f X T (x t, θ) = h(x)

30 Definisi 3: Suatu statistik T = t(x) adalah CUKUP untuk suatu keluarga distribusi f X (x θ) JIKA dan HANYA JIKA fungsi peluangnya dapat difaktorkan sebagai : f X (x θ) = g(t(x) θ) h(x)

31 Contoh/Latihan: 1. Misalkan X i untuk i = 1,..., n saling bebas dan berdistribusi identik Bernoulli(p). Tunjukkan bahwa Y = n i=1 X i adalah statistik cukup. 2. Misalkan X 1,..., X n sampel acak berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Tunjukkan bahwa T = n i=1 X i adalah statistik cukup. 3. Misalkan X i untuk i = 1,..., n saling bebas dan berdistribusi identik N(µ, 1). Tunjukkan bahwa Y = X adalah statistik cukup.

32 4. Misalkan X 1,..., X n sampel acak berdistribusi Gamma dengan parameter (α, λ). Tunjukkan bahwa T = n i=1 ln(x i) adalah statistik cukup. 5. Pandang sampel acak berukuran n dari U(a, b), dengan a diketahui. Tunjukkan bahwa T = X (n) adalah statistik cukup. 6. Pandang sampel acak berukuran n dari N(µ, σ 2 ), dengan µ, σ 2 tidak diketahui. Tunjukkan bahwa statistik T berikut adalah cukup: ( ) S 2 T = X X

33 Pengantar Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak berukuran n dari distribusi Poisson dengan parameter λ. Peubah acak X i, i = 1,..., n saling bebas dan berdistribusi identik dengan fungsi peluang n-variat: P(X = x) = n i=1 e λ λ x i x i! = e nλ λ y n i=1 x i!, dengan y = x i. Dapat ditunjukkan juga Y = X i cukup.

34 Distribusi sampel dari Y adalah f Y (y θ) = e nλ (nλ) y y!.

35 Misalkan X i U(0, θ). Peubah acak-peubah acak X i tersebut saling bebas dan berdistribusi identik, dengan fungsi peluang: f X (x θ) = Statistik T = X (n) cukup dan memiliki fungsi distribusi: P(X (n) x) = dan fungsi peluang: f(x) =

36 Pengantar Misalkan X 1,..., X n sampel acak berukuran n dari suatu populasi yang berdistribusi tertentu, dengan fungsi peluang f X dan fungsi distribusi F X. Pandang X (k), statistik terurut ke-k. Untuk menentukan f X(k) (x), pertama partisikan I 1 = (, x]; I 2 = (x, x + dx]; I 3 = (x + dx, ).

37 Fungsi peluang f X(k) (x) adalah peluang mengamati sejumlah k 1 dari X di I 1, tepat sebuah X di I 2, dan sejumlah n k dari X di I 3 : ( ) n (FX f X(k) (x) (x) ) k 1 ( fx (x)dx ) 1 ( 1 FX (x) ) n k k 1, 1, n k yang dengan metode diferensial maka kita peroleh ( ) n (FX f X(k) (x) = (x) ) k 1 ( 1 FX (x) ) n k fx (x) k 1, 1, n k

38 Contoh/Latihan: 1 Fungsi peluang dari statistik terurut terkecil/terbesar adalah... 2 Statistik terurut ke-k pada distribusi U(0, 1) memiliki fungsi peluang...