STRUKTUR KOALJABAR UNIVERSAL DALAM SISTEM STATE-BASED Universal CoAlgebra Structures in State-Based System

Transkripsi

1 Jural Barkg Vol. 8 No. Hal. 7 6 (4) STRUKTUR KOLJBR UNVERSL LM SSTEM STTE-BSE Uivral Colgbra Structur i Stat-Ba Sytm HENRY W. M. PTTY Staf Jurua Matmatika Fakulta MP Uivrita Pattimura Jl. r. M. Putuha, Kampu Upatti, Poka-mbo hrywmpaty8@gmail.com BSTRK Kop koalabar uivral yag mrupaka ualita ari alabar apat ipaag bagai uatu tori alam itm tat ba. alam kotak hitam (black box), automata a truktur Kripk yag mrupaka cotoh itm tat-ba, truktur koalabar mrupaka pggabuga ua pmtaa yag mmbawa uatu tat k paaga lm ari hail kali tor ua himpua. Kata kuci : koalabar, itm tat-ba, kotak hitam, automata, prima PENHULUN Matmatika mrupaka truktur formal yag maari uatu prhituga, pgukura, traformai, a lai-lai bagaiya. alam matmatika khuuya alabar ikmbagka i-i aar iataraya itm bilaga, grup a ruag vktor imaa truktur a ifatifatya maari ilmu-ilmu yag lai. Mialya itm iamik yag truktur bahaaya aalah alabar atau yag lbih ikal bagai mi turig. Mi turig (mol komputai cara toriti yag itmuka olh la Mattio Turig paa tahu 935) mrupaka mol ial utuk mlakuka prhituga matmati. ga kata lai mi turig mtuka apakah uatu fugi apat ilaika ga komputr atau tiak. Mi ii maih brupa kop, ampai kmuia iwuuka alam btuk yata bbrapa tahu kmuia. Scara tori, tiap mi mmiliki tat yag apat brubah ari uatu tat k tat yag lai. imaa para pggua komputr apat mlihat bagia tat lwat layar komputr (pritr) a bahka apat mrubah tat komputr ga mgiput pritah a lautya komputr aka mampilka prilaku tat trbut. Namu alam kyataaya mrupaka uatu itm yag cukup rumit ikripika cara formal. hli matmatika a computr prti Rutt [4], Kurz [5] a Jacob [6] mmprkalka bbrapa truktur ari itm tat-ba yaitu automata, itm traii, arig ptri (ptri t), a truktur-truktur laiya. ari bbrapa truktur trbut iabtrakika kop koalabar yag mrupaka ual ari alabar. Hal ii ibabka kara alabar uivral tiak apat iguaka alam mmolka mua truktur alabar higga ibutuhka koalabar uivral yag apat mmolka itm tat-ba []. Sitm tat-ba ii apat ipaag bagai cikal bakal bahaa pmograma alam ilmu komputr. Tip ata alam bahaa pmrograma komputr trgolog alabar agka kla ataya mrupaka uatu koalabar. Suatu tip ata cara lgkap apat ibaka lwat pmbaguya, yaitu mlalui uatu fugi alabar uivral alam btuk F( S) S ga tat S. Tip ata ii apat iabtrakika ga fugi alabar amu kla ata S F( S) tiak apat iabtrakika ga fugi alabar, ibutuhka ualita ari alabar yag ibut koalabar. Utuk mfiiika koalabar ii mmbutuhka tori katgori. Mialka C aalah obk atau katgori a mialka F : C C aalah fugtor (ofugtor). Slautya F-koalabar ata katgori C ifiiika bagai obk S ari C yag ilgkapi ga morfima : S F( S) S a iotaika ( S, ) imaa S mrupaka barag himpua a mrupaka pmtaa. S TNJUN PUSTK Suatu koalabar uivral apat ipaag bagai tori ari itm tat-ba. Murut Ha & Rutt

2 Barkg Vol. 8 No. Hal. 7 6 (4) [7] koalabar iprluka kara (i) apat mgugkapka truktur itm yag komplk, (ii) bagai cara paag baru ari plitia yag uah aa blumya, (iii) hail yag baru atau graliai lwat cara paag cara umum, (iv) ibutuhka utuk mmbuktika torma tori itm a (v) bagai alat alam matmatika yaitu: morfima, biimulai, kuivali a mol logika. Sblum ifiiika cara formal apa yag imakuka ga koalabar, aka ibrika bbrapa cotoh itm tat-ba a morfima iatara itm trbut. Slautya ga koalabar rta homomorfima koalabar aka iugkapka ifat-ifat abtrak a cotoh-cotohya. Stiap itm tat-ba mmpuyai iput, output a ir tat (kaaa ari alam itm trbut). Prilaku (bahaviour) bbrapa itm tiak haya brgatug ari iput aa tapi uga ari ir tat ya alam pgrtia uatu output apat brba ga iput kara ipgaruhi ir tat itm trbut. Scara umum uatu itm tat-ba mmiliki bbrapa karaktritik:(i) prilaku itm yag trgatug paa ir tat imaa tat ii tiak tampak olh pggua itm, (ii) itm apat ipgaruhi olh kaaa ikitarya, (iii) prilaku itm braarka opraiya. Scara khuu, uatu itm tat-ba mmbaha ttag prilaku iput-output tat yag iprolh a aplikaiya. Suatu itm uga apat itrapka utuk mmiimalka ir-tat ga ala mmbuag tiap tat yag tiak iprluka, higga tat yag ituukka tiak brba ga prilaku iput-output ya. Pguraga prbaa ii ikal ga ama biimulai (biimilarita). ua ir-tat a ibut biimilar ituli ~, ika a tiak apat ibaka ari prilaku iput-output ya ga aggapa rlai ~ aalah rflkif a imtri. alam tulia ii aka ibrika bbrapa cotoh itm tat-ba yaitu kotak hitam (black-box), tip ata (ata tram), automata a truktur Kripk alam itm yag lautya aka ilihat bagai koalabar uivral. Sbagia bar tori alam tulia ii mgacu paa Uivral lgbra a Coalgbra yag ituli Klau ck a Shlly L. Wimath []. Kotak-Hitam (Black-Box) Kotak-hitam mrupaka uatu kla khuu alam itm tat-ba yag mmpuyai layar a tombol h a t imaa aat tombol h itka maka layar aka muukka uatu lm ata ga =himpua ata. Sagka tombol t aka mrubah ir-tat higga ktika tombol h itka (tlah trlbih ulu i tka tombol t) maka kotak-hitam aka mampilka lm. h t Gambar. Kotak Hitam Gambar. Kotak Hitam Mialka S aalah himpua ir-tat ari uatu kotak hitam, maka iprolh paaga pmtaa: h : S t : S S fiii : Mialka aalah himpua lm ata. Suatu kotakhitam ata himpua lm ata aalah tripl ( S; h, t ) imaa S aalah himpua lm yag ibut tat a h : S, t : S S aalah pmtaa. Jika ibrika ir-tat ari uatu kotak-hitam, maka aka iprolh uruta lm ata tak brhigga (( h( ), h( t( )), h( t( t( ))), ) Kara itulah kotak-hitam rig ibut uruta automata (tram automata). Slautya mgai automata aka ilaka amu utuk mmbaha priip black-box bagai truktur koalabar prlu ilaka ttag hail kali tor (tor prouct) yag iruuk paa [] fiii : Mialka : E, : F imaa, E a F uatu himpua ata paa itm tat-ba. Suatu pmtaa : E F ibut hail kali tor ari a ika ipuhi ( )( ) : ( ( ), ( )), fiii 3: Mialka p :, p : B B aalah pmtaa proyktif paa hail kali B maka utuk tiap fugi h : B a k : C ifiiika p p h k:( h ) ( k ) : C B yag mmuhi ( h k)( a, c) : ( h( a), k( c)) utuk tiap ( a, c) C. Suatu pmtaa mmiliki ifat ktuggala yag mrupaka ifat uivral ari prouk, yaitu ika pmtaa : E, : F maka trapat uatu pmtaa tuggal yag mmuhi p ( ) a p ( ). ua tat alam uatu kotak hitam apat ibaka ika ari baria iput yag itik aka mmbrika output yag brba. Olh kara itu ~ aka brarti h( ) h( ) a t( ) t( ), cara rigkaya iaika alam fiii brikut fiii 4: Suatu rlai ~ paa kotak-hitam ( S : h t) aalah rlai ~ S S yag mmuhi atura ~ : h( ) h( ) a t( ) ~ t( ') Suatu biimulai trai paa kotak hitam ( S : h t) ika tiap rlaiya mmuhi fiii 4 i ata. 8

3 Barkg Vol. 8 No. Hal. 7 6 (4) Cotoh. Mialka uat kotak hitam ga lapa lm yaitu,, 8. Jika ibrika uatu aki paa kotak hitam trbut, brupa uatu pmtaa traii maka aka iprolh bahwa tiap tat aka mmiliki output ( h ( )) a aak paah ari k k t( ). Mialka : 6 33 k artiya, 7, 4 8 (33) (7) (4) (7) (4) (33) (4) (7) ari iagram i ata trlihat bahwa ua tat yag ama apat ibaka, mialka tat 33. Saat tombol t kmuia h itka aka mmbrika agka 7 paa atu ii a 4 paa ii yag lai. imulai ari tat 33 iprolh baria ata 33, 7, 4, 7, 4, 33, ari tat 33 iprolh baria ata 33, 4, 7, 4, 7, Trlihat bahwa tat a 6 apat ibaka kara baria ataya brba. Sagka tat aka mghailka baria ata yag ama 4, 7, 4, 7,...higga ktiga tat ii tiak apat ibaka.. Uruta ata (ata Stram) Suatu uruta ata aalah baria tak brhigga imaa lm prtamaya aka ibut kpala (ha) a lm trakhirya ibut kor (tail). Uruta ata alam kaitaya ga kotak hitam mrupaka baria tak brhigga ari uatu himpua ata yag ilgkapi ga pmtaa : imaa himpua trurut bilaga ali a ( k) lm k-k ari uruta utuk tiap k fiii 5: Uruta ata aalah uruta lm uatu himpua yag ilgkapi ga ua pmtaa h a tl imaa h : a tl : imaa iartika bagai mua pmtaa ari k maka utuk brlaku h( ) : h( ) : () a t( ) : tl( ) imaa tl( )( k) : ( k ) Jika ituli ( (), (), ) brarti h ( ) () aalah kpala a tl( ) ( (), (), ) bagai kor. Uruta trbut apat ipaag bagai itm (, : h tl) imaa h tl : ga ifat bahwa tiap ua tat yag brba apat ibaka ~ ' :. 3. utomata utomata aalah mi abtrak yag apat mgali (rcogiz), mrima (accpt) atau mmbagkitka (grat) buah kalimat alam bahaa trttu. utomata braal ari bahaa Yuai automato yag brarti uatu yag bkra cara otomati (mi). Pgrtia mi buka haya brifat lktroi/mkai aa mlaika gala uatu (trmauk pragkat luak) yag mmuhi ktiga ciri i ata. plikai automata paa pragkat luak trutama paa pmbuata kompilr bahaa pmrograma komputr. tilah automato bagai btuk tuggal a automata bagai btuk amak. Tori automata aalah tori ttag mi abtrak yag : (i) bkra kuial, (ii) mrima iput, (iii) mgluarka ouput utomato tapa output ibut prima (accptor) atau rcogizr. iotaika ga H (, S; ) imaa =iput, S =tat, :S S ga uatu pmtaa traii. Sagka automato ga output ibut quitupl (, S, O ;, ) imaa (, S, ) =prima, O/=output, : S O =pmtaa output. Jai utuk tiap S a ilai (, ) ' a (, ) output yag ihailka aat iput ibaca a mi aka myataka. Jika mua himpua, S,O aalah brhigga maka automato aka brhigga a balikya. Suatu, S,O yag brhigga iyataka ga, S, O yag artiya, S, O mmuat lm. Jika a aalah pmtaa maka haya aa atu bayaga (imag) utuk tiap paaga tat (, ) maka prilaku automata apat ibaka (trmiitic). Slai itu automata ibut otrmiitic. a ua tip automata yag brba brgatug paa output a fugi. ifiiika (i) Maly automata ika :S O aalah fugi bir a (ii) Moor automata ika :S O aalah fugi uary. alam bbrapa kau output tiak brgatug ari lm iput aa tapi uga brgatug paa tat. Jika, imaa aalah tat awal a ituli (, S;, ) atau (, S, O;,, ). Jika lmya brhigga, automata apat iaika alam tabl utuk a atau itampilka alam uatu graph brarah. Titik ari graph muukka tat a ii (g) ibri imbol ; k ari titik k titik imaa (, ) a (, ). k Mialka, S,, 3,, 3, O, ituukka ga tabl brikut :

4 Barkg Vol. 8 No. Hal. 7 6 (4) Gambar. Graph ari utomata Mialka aalah tat awal a,,, aalah baria iput maka baria yag uai ga tat yag iprolh aalah, (, ), ( (, ), ),, (, ). Cotoh blumya tlah muukka bahwa aa lm-lm yag ama alam baria a baria lm ouput aalah (, ),, (, ). Jlalah bahwa ua tat a ' alam automato tiak apat ibaka ika kua tat ii mghailka output yag ama a tat yag ama utuk tiap iput higga ifiiika uatu biimulai utuk automata. fiii 6: Biimulai alam automata aalah rlai ~ SS yag mmuhi atura ~ ' : ( (, ) ( ', ), (, ) ~ ( ', ), utomata yag fiit (brhigga) iguaka utuk mmbaka bahaa atau uatu himpua kata. imaa bahaa triri ata imbol-imbol atua yag ika ikombiaika aka mmpuyai arti yag brba-ba.. Simbol-imbol yag biaa iguaka alam buah bahaa trbata umlahya, yag mmbtuk buah himpua a ibut bagai aba (alphabt). Kaagkala iguaka itilah karaktr yag makaya ama ga imbol. rta karaktr mmbtuk trig. Bahaa (laguag) ifiiika bagai himpua mua trig yag apat ibtuk ari uatu aba. Kaiah/atura pmbtuka kata/kalimat ibut tata bahaa (grammar). Mialka trapat uatu himpua brhigga,,, mrupaka uatu aba brhigga ga. iotaika * aalah himpua mta ari mooi bba yag ibagu olh. Stiap btuk mooi ari * apat mggambarka kata yag iuu ari huruf-huruf alam ga aggapa bahwa huruf-hurufya apat iulag. Cotoh, a 33 aalah kata ari aba 3,, 3. Scara umum tiap kata (wor) apat iwakili ga a,,, w, i,, i im utuk uatu m i i im. Notai m aalah paag kata w a iimbolka w. Jika m= brarti mrupaka uatu kata koog (mpty wor) iimbolka ga. Himpua ifiiika bagai himpua mua huruf yag tiak koog paa aba. Maka mrupaka uatu migrup ari mooi * ga oprai bir. iktahui bahaa aalah himpua kata, cara khuu bahaa ata aba aalah ubt ari mta mooi *. a bbrapa oprai yag ifiiika bagai himpua bahaa, alah atuya aalah oprai gabuga alam tori himpua. Smtara hail kali ari ua bahaa, katakalah U a V ifiiika bagai UV : uv u U, v V. Maka aka brlaku U( VW ) ( UV ) W utuk tiap bahaa U, V, a W paa a U U U U U., imaa fiii 7: Hail kali ari oprai ii apat iprlua cara iuktif mai himpua kuaa ari bahaa (powr of m laguag). Utuk tiap bahaa U ifiiika U utuk mua m m U U U, m m bagai : (i) U a (ii) m Maka apat ifiiika U* mn U a m U m U. Suatu kata w * aka braa alam U* ika a haya ika w aalah kata koog, ga mikia w apat iyataka ga m u u,, u m utuk uatu m. Jai aalah himpua mua kata ga ga paag m paa aba a * m. Oprai uary yag mn mgambil bahaa U mai bahaa U* ibut itrai. fiii 8: Suatu himpua Rg bahaa bratura ata aba mrupaka himpua mua trkcil R mikia higga (i) R aalah himpua a x R, x a (ii) utuk tiap U a V alam R, U V, UV a U* R ari fiii i ata maka tiap bahaa yag brhigga aalah bratura. ifiiika uatu himpua Rg bagai himpua trkcil ari bahaa

5 Barkg Vol. 8 No. Hal. 7 6 (4) ata yag mmuat mua bahaa brhigga a trtutup trhaap tiga oprai bahaa bratura. imaa tiga oprai trbut aalah oprai gabuga, prgaaa a itrai. iguaka imbol bir (+) utuk oprai gabuga, imbol bir ( ) utuk oprai prgaaa a imbol uary * utuk oprai itrai. Slai itu iotaika oprai ullary utuk a kata koog. Jika ibrika tip alabar (,,,, ), maka tip ii ibut kpri rgular ata aba. fiii 9: Suatu automato atau accptor (, S, O ;, ),,a ga pmtaa output uary : S O * pmtaa traii *:S S aka mmuhi : (i) * (, ), S a (ii) * (, w) * ( (, ), w), w *,. Maka biimulai ari automata apat ifiiika ga atura bagai brikut: ~ ' : ( ) ( '), ( (, ) ~ ( ', )) iprkalka uatu kogrui baru yag ifiiika paa tiap automata, imaa aka ibaha karaktritik ari biimulai yag trbar paa automato. fiii : Mialka (, S, O ;, ) aalah automato. Suatu Nro atau kogrui itatic paa, aalah rlai ~ N yag ifiiika bagai brikut: (, ' S) ~ N w *, ( ( * (, w)) ( * ( ', w)) w * (( * (, w), * ( ', w)) Kr w * ((, w),( ', w)) Kr ( *) Propoii : Mialka (, S, O ;, ) aalah uatu may-ort alabar yag mwakili uatu automata. Kogrui Nro aalah biimulai trbar a kogrui trbar paa yag mmuhi Kr Bukti Jla braarka fiii paa S. Utuk mlihat bahwa kogrui, imialka tat a a, w * iprolh : ( ) ( * (, )) ( * ( ', )) ( ') ~ N aalah rlai kuivali ~ N aalah rlai ' maka ~ N ', (, )~ N ( ', ) Mialka ~ biimulai paa S, aka ituukka ~ ~ N ka ibuktika bahwa utuk tiap kata w * a utuk mua tat, ' S brlaku ~ ' ( * (, w)) ( * ( ', w)) ga iuki : Utuk w, la ipuhi kara lagug ari fiii biimulai Utuk w v, utuk uatu huruf a utuk kata v imaa : ( * (, v)) ( * ( ', v)) ( * (, v)) ( * ( (, ), v)) ~~ N ( * ( ( ', ), v)) ( * ( ', v)) Utuk tiap biimulai ~ ipuyai ~ Kr, maka aka ituukka bahwa Kr aalah kogrui ari may-ort alabar (, S, O;, ) Mialka (, ') aalah paaga alam. Jika aalah kogrui maka ( ) ( ') a * (, ) * ( ', ). ggaplah w u utuk uatu huruf a kata u imaa * (, u) * ( ', u) maka ( (, ), ( ', )) a * ( (, ), u) * ( ( ', ), u) iprolh : * (, u) * ( (, ), u) ~ N * ( ( ', ), u) * ( ', u) ibrika uatu himpua tat S bagai himpua automata brhigga yag trmiitic, ga tat aalah tat awal a himpua F S aalah akhir (fial)/himpua tat yag itrima. Suatu kata (wor) ikataka apat itrima olh automato ika * (, w) F. Mialka L ( ) aalah himpua bahaa yag apat itrima olh. Suatu bahaa L ikataka apat ikali ika trapat automata brhigga yag trmiitic atau prima mikia higga L L( ). Torma Kl mgataka bahwa uatu bahaa apat ikali ika a haya ika bahaa trbut rgular. fiii : Mialka L aalah bahaa ata aba maka Maka, w * iprolh : ifiiika: ( * ( (, ), w)) ( * (, w) L : w * w L ( *( ', w) ( * ( ( ', ), w ))

6 Barkg Vol. 8 No. Hal. 7 6 (4) apat itrapka tiap tat ari automato (prima) yag mmuat mua kata yag braal ari k alam uatu tat yag itrima L(, ) : w * * (, w) F Propoii : Mialka S aalah himpua tat ari uatu automato ata aba a mialka F S aalah tat akhir ari. (, ' S)( ) brlaku : (, ) ' L(, ) L(, ') Bukti ( ) iktahui : (, ) ' ka ibuktika : L(, ) L(, ') L (, ) w * w L (, ) w * * (, w) F w * * ( (, ), w) F w * * ( ', w) F L(, ') ( ) iktahui : L(, ) L(, ') ka ibuktika : (, ) ' L(, ) L(, ) w * * ( (, ), w) F (, ) ' w * * (, w) F 4. Struktur Kripk Bayak iformai alam itm tat-ba yag triri ari bbrapa kompo brupa kumpula program yag brhubuga atu ama lai a alig bkra ama. Namu bbrapa oprai/itrakiya tiak apat ibaka a bahka ibutuhka uatu pmtaa utuk mtuka tat yag brubah a ouputya bagai himpua bataa. Bataa yag ibrika brupa uatu rlai R tiak tuggal ari ii kaa. Suatu rlai R yag tiak tuggal ari ii kaa brupa rlai atara paaga ( ab, ) a ( ac, ) ga b c. Struktur yag yag imolka lwat automata yag tiak apat ibaka trbut ikal alam ilmu komputr bagai truktur Kripk. Suatu ifat utama ari truktur Kripk aalah rlai traii a buka fugi traii prti paa automata. fiii : Mialka uatu himpua tak koog. Struktur Kripk ata aalah tripl ( SR ; ; ) ga S himpua tat, R rlai bir alam S ( R S S ) a fugi : PS ( ) imaa PS ( ) aalah himpua kuaa ari S. Slautya paaga ( S; R) ibut bigkai Kripk. Suatu prubaha ari tat k tat alam uatu truktur Kripk iyataka alam btuk paaga alam rlai R. Hal ii ibut rlai traii (iotaika R ). Utuk myataka truktur Kripk alam uatu oprai tuggal paa S apat ikombiaika rlai traii R S S a uatu fugi valuai : PS ( ) k alam uatu pmtaa ga omai S. Lagkah prtama, apat ibawa iformai alam rlai R k alam btuk pmtaa. Mialka R B aalah barag rlai. Slautya ifiiika uatu pmtaa parial f : P( B) ga x y x x : ( y) y imaa C : c B ( a, c) R y x y hal ii brarti tiap lm a alam himpua mua lm alig brlai ga rlai R. Sbalikya tiap pmtaa f : P( B) alam rlai R f : B bagai R f : a, c c C f ( a) C. Hal ii brakibat aa korpoi atu-atu atara rlai R B a pmtaa parial f : P( B). alam kaitaya ga truktur Kripk apat ibawa (iubah) rlai traii R S S k alam uatu fugi iuki xt : S P( S). Slautya ga pambaha uatu pmtaa prop: S P( ) yag ifiiika bagai a ( a). Kara kua pmtaa trbut mmiliki omai yag ama S maka apat iguaka hail kali tor xt prop: S P( S) P( ). Shigga truktur Kripk ari ( SR ; ; ) apat iyataka bagai paaga ( S; xt prop ). Utuk mfiiika biimulai alam truktur Kripk ibutuhka ua tat. Utuk ua tat yag apat ibaka katakalah x a y, biimulaiya aalah x y: ( x) ( y). Hal ii brarti kua tat trbut myataka ua propoii yag brba a ahih (wll fi). Sgka utuk ua tat yag tiak apat ibaka,haru ikoiika bahwa utuk tiap traii yag imulai ari x haru aa traii yag imulai ari y. ifiiika biimulai ari x a y bagai brikut: x yx x: ( y) y y x y a x y y y: ( x) x x x y. HSL N PEMBHSN alam bagia ii aka ibaha priip-priip koalabar alam itm tat-ba. Kop koalabar alam itm tat-ba apat ilihat ari bbrapa cotoh brikut ii. a. Kotak Hitam (Black box) Kotak-hitam apat ipaag bagai uatu truktur alabar. Utuk uatu himpua ata a himpua tat S yag ilgkapi ga pmtaa h : S, t : S S maka apat ibtuk (, ;, ). S h t Slautya kotak hitam apat ipaag uga bagai uatu koalabar

7 Barkg Vol. 8 No. Hal. 7 6 (4) ga mggabugka ua pmtaa h a t k alam atu pmtaa : S NS ga fiii ( ) : ( h t)( ). ( a, ') b. Rkig Bak (Bak ccout) alam itm program rkig bak, aa ua pmtaa yag bia ibtuk how: S Z; tra: S Z S imaa kuaya apat igabugka mai uatu pmtaa Z : S Z S. Pmtaa ii mmbawa tiap tat S mai paaga: bilaga bulat a uatu pmtaa ari Z k S c. utomato Utuk uatu automata brhigga (tip Moor utomata) ua pmtaa : S, : S S apat igabugka mai uatu pmtaa : S S. Pmtaa mmtaka tiap tat k paaga: lm output a pmtaa ari tiap himpua iput k tat S.. Prima (ccptor) Utuk buah prima ga himpua F S, imaa F aalah tat akhir (fial tat) apat igabugka ua pmtaa : F a pmtaa : S S : S, S., Pmtaa mmbawa tiap tat k paaga:, (imaa :=tiak itrima, :=itrima) a pmtaa ari k S.. Struktur Kripk Tlah ilaka blumya alam uatu truktur Kripk ( SR ; ; ), rlai R S S apat igatika ga uatu pmtaa xt : S P( S) Utuk mmprolh tiap pmtaa xt iaggap bahwa tiap rlai R mgguaka tiap tat S abagai kompo prtama. Slautya ga kombiai pmtaa prop: S P( ) apat ipaag truktur Kripk ( SR ; ; ) bagai ( S; xt prop ) imaa xt prop: S P( S) P( ) ari bbrapa cotoh yag tlah ikmukaka i ata iprolh uatu truktur koalabar ( ; ) imaa : F( ) mrupaka uatu fugi ari barag 3 himpua k uatu fugtor F( ). Hal ii apat ifiiika bagai brikut. fiii : Suatu F-koalabar atau biaa iigkat koalabar aalah uatu itm ; mmuat himpua a pmtaa : ( ) F utuk kotruki tori himpua F(). Homomorfima Sitm Stat-ba fiii 3: Mialka S, h, tl a S, h, tl aalah kotak hitam. Suatu pmtaa f : S S ibut homomorfima ari kotak hitam ika utuk tiap S brlaku : (i) h( ) ( h f )( ) h ( f ( )) a (ii) f ( tl( )) ( tl f )( ) tl( f ( )) alam hal ii yag imakuka ga rprtai koalabar ari uatu kotak hitam, yaitu ika koii (i) a (ii) trpuhi. Maka utuk tiap S brlaku : ( h( ),( f tl( )) (( h f )( ),( tl f )( )) atau apat ituli alam btuk ( f ) ( h tl) ( h tl) f (*) imaa : aalah pmtaa itita paa. Pramaa (*) apat ilihat ari iagram komutatif brikut ii : Gambar 3. Homomorfima kotak hitam Propoii 3: Suatu pmtaa f : S S aalah homomorfima ari kotak hitam ika a haya ika ( f ) ( h tl) ( h tl) f Bukti ( ) Jla braarka fiii homomorfima uatu kotak hitam/tiap homomorfima f ari kotak hitam aka mmuhi koii (*) ( ) ga mgguaka ifat umum ari uatu prouk kartia bahwa utuk tiap pmtaa f : C a g : C B maka trapat uatu pmtaa tuggal f g : C B yag mmuhi: p ( f g) f a p ( f g) g imaa p a proyki/kaoik. p aalah uatu pmtaa

8 Barkg Vol. 8 No. Hal. 7 6 (4) ggaplah koii (*) trpuhi maka ga uatu pmtaa f maka utuk S brlaku : ari rua kiri iprolh : ( f ) ( h tl)( ) ( f )( h( ), tl( )) ( h)( ),( f tl)( )) ( ( h( )), f ( tl( )) ( h( ), f ( tl( ))) ari rua kaa iprolh : (( h tl) f )( ) h ( f ( )) tl( f ( )) ( h ( f ( )), tl( f ( )) Jai koii (*) trpuhi ika a haya ika S iprolh ( h( ), f ( tl( ))) ( h ( f ( )), tl( f ( ))). ga kata lai h( ) h ( f ( )) a f ( tl( )) tl( f ( )) yag tiak lai mrupaka fiii ari homomorfima uatu kotak hitam. Scara umum utuk uatu oprai f : himpua kuaa f cara iuktif ifiiika bagai f i, f f f utuk. Stiap kotak hitam apat mghailka uatu baria 3 ( h( ),( h tl)( ),( h tl )( ),( h tl )( ), ) S Propoii 4: Mialka ( S; h, tl) a ( S; h, tl) aalah kotak hitam a f : S Saalah uatu homomorfima, maka utuk tiap S brlaku ( h tl )( ) ( h ( tl) )( f ( )) Bukti ka ituukka ga uatu iuki paa bahwa f tl ( tl) f imaa f : S S aalah homomorfima uatu kotak hitam. Utuk la brlaku. Utuk mmuhi koii (ii) homomorfima kotak hitam Utuk a mialka S maka iprolh : ari rua kiri iprolh : ( f tl )( ) ( f tl tl )( ) ( tl f tl )( ) ( tl ( tl) f )( ) (( tl) f )( ) ari rua kaa iprolh : ( h ( tl) )( f ( )) ( h ( tl) f )( ) ( h f tl )( ) ( h tl )( ) Suatu utomata yag ittapka ga iput aba, output aba maka apat ibtuk uatu automata brhigga yag trmiitik brupa tripl ( S;, ) imaa (i) : S S aalah pmtaa traii (ii) : S aalah pmtaa ouput. 4 fiii 4: Mialka ( S;, ) a ( S;, ) aalah automata. Suatu pmtaa f : S S aalah homomorfima automata ika utuk tiap S a tiap brlaku: (i) (, ) ( f ( ), ) a (ii) ( f )(, ) ( f ( ), ) Koii (i) ari fiii i ata mmpuyai arti bahwa tat a f() mmpuyai output yag ama utuk tiap iput. Jika (, ) a f : S S maka fugi f trai haya paa atu bagia aa, hal ii mmbuat fiii fugi f brba ga fiii homomorfima cara umum. Koii (ii) ari fiii i ata mmpuyai arti bahwa f kompatibl ga pmtaa a Mialka f : B aalah pmtaa a mialka C aalah barag himpua, maka tiap pmtaa ari C k. f : B pmtaa yag mmbawa tiap C f ( h) : f h B C C C C C motaika aalah C h, higga Propoii 5: Mialka ( S;, ) a ( S;, ) aalah automata brhigga yag trmiitik. Suatu pmtaa f : S S aalah homomorfima automata ika a haya ika iagram i bawah ii komutatif Gambar.4. Homomorfima automata Bukti iktahui : (( f ) ( ))( ) ( f ) (( )( )) (( f) ( ))( ) utuk tiap tat a iput f aalah homomorfima automata (, ), ( f )(, ) (( ( f ( ), ), ( f ( ), )) (( f ) ( ))(, ) ( )( f ( ), ) ( f )(( )( )( ) (( ) f )( )( ) (( f ) ( ))( )( ) (( ) f )( )( ) iatara truktur homomorfima automata ga homomorfima uatu kotak hitam aa hubugaya. Suatu kotak hitam aalah koalabar ga uatu pmtaa S : S F( S), imaa F aalah pmtaa

9 Barkg Vol. 8 No. Hal. 7 6 (4) uatu ilai fugi (t-valu) ga F( X ) X utuk tiap himpua X. Sagka uatu homomorfima automata ipaag bagai uatu koalabar ga pmtaa S : S T( S), imaa pmtaa ilai fugi T iartika bagai T( X ) ( X ) utuk tiap tat X. Kua pmtaa F a T apat ikaka pmtaa brikut ii: Mialka f : S S maka F( f ) f : S S ; T( f ) ( f ) : ( S) ( S), maka ( S; S ) a ( S; S ) aalah rprtai ari kotak hitam a automata. Suatu pmtaa f : S S aalah homomorfima ika a haya ika F( f ) S S f. apat ilihat ari iagram ibawah ii yag komutatif., F( ) F ( ) 5 Mialka ( ; ), ( ; ) a ( ; ) aalah F- koalabar a mialka f : ( ; ) ( ; ) a g : ( ; ) ( ; ) aalah homomorfima. Jika f a g aalah homomorfima maka ua prgi yag kcil ari iagram brikut ii aka komutatif Gambar 7. Kompoii homomorfima Gambar 5. Homomorfima F-koalabar Hal ii muukka bahwa ika homomorfima aalah pmtaa yag mgawtka uatu truktur maka miimal aa ua ifat yag haru iprtahaka : (i) Pmtaa itita aalah uatu homomorfima (ii) kompoii ua homomorfima aalah homomorfima uga alam koalabar, ika f : B maka lalu trapat F( f ) : F( ) F( B). Braarka ifat trbut maka aka ilihat apakah apat iprolh ifat yag lai ika ua ifat homomorfima i ata uga ipuhi. Utuk tiap ( ; ), uatu pmtaa aalah homomorfima ika iagram brikut ii komutatif. Suatu pmtaa g f aalah homomorfima ika prgi yag palig bar ari iagram iata komutatif mikia higga ( g f ) F( g f ) ga aggapa bahwa F( g f ) F( g) F( f ) fiii 5: Fugtor paa himpua aalah uatu oprai F paa himpua trbut a pmtaa yag mmuhi : (i) Jika aalah himpua maka F( ) uga himpua. (ii) Jika f aalah pmtaa maka F( f) uga pmtaa ga ifat : a. Jika f : B maka F( f ) : F( ) F( B) F( ) b. F ( ) c. F( f g) F( f ) F( g) aalah kompoii imaa f : B a g : B C. fiii 6: Mialka F : St St aalah fuctor a ( ; ) a ( ; ) aalah F-koalabar. Suatu pmtaa f : B aalah homomorfima koalabar ari ( ; ) k ( ; ) ika F( f ) iagram brikut ii komutatif. f a Gambar 6. Homomorfima tita ari iagram trlihat bahwa F( ), hal ii muukka bahwa F mgawtka uatu pmtaa itita Gambar 8. Homomorfima koalabar

10 Barkg Vol. 8 No. Hal. 7 6 (4) Propoii 6: Mialka F : St St aalah fuctor maka utuk tiap koalabar ( ; ), ( ; ) ( ; ) brlaku : (i) : ( ; ) ( ; ) aalah homomorfima koalabar Jika (ii) f : ( ; ) ( ; ) a g : ( ; ) ( ; ) aalah homomorfima koalabar maka g f : ( ; ) ( ; ) 6 [6] Hauo, L., Jacob, B., a Sokolova,., 7, Gric Trac Smatic via Coiuctio, Logical Mtho i Computr Scic 3, u, pp -36 [7] Ha, H.,H., a Rut, J., 4, Stram a Coalgbra, Rabou Uivrity Nimg & CW mtram KESMPULN. Koalabar alam itm tat-ba mrupaka kombiai bbrapa pmtaa ari itm tat-ba mai uatu pmtaa.. Kotak hitam alam itm tat-ba mgguaka priip koalabar ga mggabugka pmtaa : E, : F mai : E F yag mrupaka hail kali tor ari a higga apat ituli ( S, ). 3. utomata alam itm tat-ba mgguaka priip koalabar ga mggabugka pmtaa :S S a :S O mai uatu pmtaa yaitu : S S S a S : ( O S). 4. Struktur Kripk alam itm tat-ba mgguaka priip koalabar ga mggabugka pmtaa xt : S P( S) a prop: S P( ) higga truktur Kripk ( SR ; ; ) apat ipaag bagai ( S; xt prop ) imaa xt prop: S P( S) P( ) FTR PUSTK [] ck K., Wimath, S.L.,9, Uivral lgbra a Coalgbra, Worl Scitific. Nw York [] Gumm, H.P., 9, Uivral Coalgbra a Thir Logic, Th rabia Joural for Sci a Egirig (JSE), Volum, p. 5-3 [3] Jacob, B, 5, trouctio to Coalgbra Towar Mathmatic of Stat a Obrvatio, titut for Computig a formatio Scic, Rabou Uivrity Nimg, Nthrla [4] Rutt, J.,, Uivral Coalgbra Thory of Sytm Thoritical Computig Scic, p 49, Elvir [5] Kupk, C., Kurz,., a Pattio,., 4, lgbraic Smatic for Coalgbraic Mol Logic, Elctroic Not i Thoritical Computr Scic, p 6, Elvir