Teori Sistem dan Dasar Sinyal. Yeffry Handoko Putra

Transkripsi

1 Teori Sisem dan Dasar Sinyal Yeffry Handoko Pura ЌП PERCETAKAN TALITHA KHOUM 6

2 Teori Sisem dan Dasar Sinyal Dipublikasi oleh Perceakan Taliha Khoum Bandung hp:// 6 by Perceakan Taliha Khoum Dipublikasi oleh Perceakan Taliha Khoum Diproduksi di Bandung Seluruh maeri di dalam buku ini boleh diperbanyak dan difoo kopi anpa seijin penerbi maupun pengarang demi kepeningan perkembangan ilmu.

3 Tenang Penulis Yeffry Handoko Pura mendapakan gelar Sarjana Teknik pada ahun 996 dari Deparemen Teknik Fisika Insiu Teknologi Bandung dengan predika sanga memuaskan. Pada ahun 999 mendapakan gelar Magiser Teknik dari Program Sudi Magiser Insrumenasi dan Konrol, Insiu Teknologi Bandung dengan predika Cum-Laude. Bidang kajian yang diekuni saa ini adalah Sensor dan Pengonrolan Cerdas. Saa ini penulis sedang melanjukan program dokoral di Insiu Teknologi Bandung dengan bidang kajian pengonrolan robo dalam air. Penulis banyak erliba dalam beberapa seminar nasional dan inernasional sera menjadi anggoa beberapa himpunan keanggoaan profesi seperi Ikaan Alumni Teknik Fisika, Himpunan Fisika Indonesia dan Persauan Insinyur Indonesia. Beberapa peneliian yang inensif dilaksanakan adalah peneliian mengenai robo ikan, robo beroda dan robo perahu. Buku lain yang elah dipublikasikan : Pengelolaan Insalasi Kompuer (UNIKOM, 5), Sisem Operasi (UNIKOM, 5). Saa ini penulis adalah dosen eap di Jurusan Teknik Kompuer, Universias Kompuer Indonesia, Bandung. Penulis dapa dihubungi melalui yeffry@unikom.ac.id 3

4 Dafar Pusaka Bab I : Sisem.. Pengenalan Sisem.. Sinyal-sinyal Elemener.3. Sisem Elemener Elemen Saik Elemen Dinamik Elemen Arihmaik 3.4. Diagram Blok Koneksi Seri (Cascade aau Tandem) Koneksi Paralel Koneksi Umpan Balik 5 Bab II : Sisem Linier Sasioner.. Sisem Linier 8.. Sisem Sasioner 9.3. Sisem Linier Sasioner.4. Inegral Konvolusi.4.. Inerpresasi Grafik unuk Konvolusi 4.5. Respon Sep 6.6. Sifa-sifa Respon Impuls Dalam Diagram Blok 6.7. Sisem Dinyaakan dengan Persamaan Differensial 7 Bab III : Respon Sinusoidal 3.. Benuk Ampliuda-Fasa Unuk Sinyal Sinusoida Benuk Eksponensial Fungsi Transfer unuk Sisem Linier Gain dan Phase Shif Sinyal Konsan Sisem Dinyaakan sebagai Persamaan Differensial Reduksi Diagram Blok 36 Bab IV : Analisis Domain Frekuensi Ampliuda dan Fasa Speksrum Kompleks Analisis Domain Frekuensi unuk Sisem Linier Sasioner Filer Translasi Spekrum dan Modulasi 46 4

5 Bab I Sisem.. Pengenalan Sisem Sisem merupakan susunan dari elemen-elemen yang berkoordinasi membenuk suau fungsi. Cara penggambaran sysem biasanya dengan menggunakan diagram blok. Inpu Sisem Oupu Gambar.. Diagram blok sisem Sinyal adalah kuanias fisik yang dapa diukur dan bervariasi (berubah) erhadap waku. Conoh : () adalah besaran yang merupakan fungsi waku Inpu : sinyal penyebab (eksiasi) Oupu : sinyal akiba (respon) Misal : Sisem audio amplifier () y() k() y() Gambar.. Sisem audio amplifier () inpu berupa egangan lisrik pada erminal suara y() oupu berupa arus lisrik pada loudspeaker hubungan inpu dan inpu dinyaakan dengan persamaan maemais y() k() dengan k gain Analisa sisem adalah penguraian sisem menjadi beberapa komponen, misal pada sisem audio amplifier : v() Phone w() Amplifier () carridge Loudspeaker y() Gambar.3. Sisem Audio Amplifier yang diuraikan (breakdown) Conoh sisem : (a) Rangkaian RLC (b) Dinamika pesawa erbang dan kendaraan (c) Algorima unuk menganalisa fakor finansial dalam menenukan harga baas (d) Algorima pendeeksi lekukan (edge deecion) dalam penciraan.. Sinyal-sinyal Elemener Sinyal-sinyal elemener biasanya digunakan sebagai sinyal uji dari kinerja suau sisem. Sinyalsinyal elemener ini berupa : sep, pulsa koak (recangular pulse), impulse, sinusoida, pulsa eksponensial. 5

6 A. Sep Fungsi uni sep : u () u() > Gambar.4. Fungsi uni sep Sinyal sep dinyaakan dengan () u() () ; ampliuda dari sep o Gambar.5. Sinyal sep B. Pulsa koak (Recangular Pulse) Fungsi recangular pulse dinyaakan dengan r () r() < lainnya Gambar.6. Fungsi Pulsa Koak Pulsa recangular dinyaakan dengan ( ) r ampliuda pulsa (sauannya sama dengan ()) durasi pulsa (sauannya waku) 6

7 () Gambar.7. Sinyal pulsa koak C. Impluse (fungsi dela / dirac dela) Fungsi dela dinyaakan dengan : du( ) δ ( ) d dengan u() adalah fungsi uni sep Dua sifa pening fungsi dela : δ ( ), dan δ ( ) d Fungsi dela adalah fungsi keju (spike) yang lebarnya sanga pendek dan ampliudanya ak hingga. Misal di kehidupan sehari-hari adalah peir δ() Gambar.8. Fungsi dela aau impulse Impulse () dinyaakan dengan () aδ() aδ() Gambar.9 Sinyal impulse Beberapa sinyal impulse yang berdere unuk waku yang berbeda akan membenuk sinyal diskri. 7

8 D. Sinusoida - T/ 3T/ T T Gambar.. Sinyal sinusoida Sinyal sinusoida dinyaakan dengan π ( ) cos T ampliuda puncak (peak ampliuda) sinus T perioda Aau () cosπf cos E. Pulsa Eksponensial Pulsa eksponensial dinyaakan dengan () e -/ u() () Gambar.. Pulsa eksponensial ampliuda awal pulsa pada + Konsana waku Dalam seiap jarak n ampliuda pulsa eksponensial berkurang dengan facor pengali e -n : ( + n) e -n () Misal unuk n 3 dan + (3) ( + + 3) e -3 ( + ),5 Ampliuda pulsa drop sebesar 5% dari ampliuda awal... Sinyal koninu dan sinyal Diskri e - Sinyal berdasarkan variabelnya bisa berupa sinyal dimensi (D), dimensi (3D), bahkan bisa n dimensi. Khusus unuk sinyal dimensi dengan variabel bebas yang disebu waku dikenal dua jenis sinyal yaiu sinyal koninu dan diskri. Sinyal koninu adalah sinyal yang ada seiap saa nilainya aau dengan pewakuan yang koninu (selalu ada) dan diulis dengan benuk () yang berari variabel merupakan fungsi waku koninu. Sedangkan sinyal diskri adalah sinyal yang idak ada seiap saa, nilainya hanya ada pada waku kelipaan waku sampling yang diulis [kt] aau [nt] aau [n]. Variabel k aau n bernilai ineger sedangkan variabel T adalah waku sampling yang erkadang jarang diuliskan. Pada gambar di bawah ini diperlihakan gambar sinyal koninu dan diskri 8

9 (a) (b) Gambar.. (a) Sinyal koninu () dan (b) sinyal diskri [n] Conoh sinyal koninu sanga mudah diemui di alam ini seperi egangan lisrik, arus lisrik, ekanan, emperaur, kecepaan dan banyak lagi. Sedangkan conoh sinyal diskri bisa berupa sinyal koninu yang disampling, uruan DNA manusia, populasi unuk spesies erenu. Pada gambar.3. diperlihakan conoh daa diskri yang dibua oleh manusia (a) (b) Gambar.3 Daa diskri buaan manusia: (a) daa ahunan jumlah produksi barang (b) gambar digial Sinyal diskri dianggap pening di era ini karena dapa diproses dengan kompuer digial modern dan prosesor pemrosesan digial (Digial Signal Processor). Diinjau dari sisi sisem, suau sisem yang bersifa koninu maka masukan dan keluarannya adalah koninu demikian juga unuk sisem diskri maka masukan dan keluarannya adalah diskri. Suau sisem yang mengubah dari sisem koninu menjadi sisem diskri adalah sisem sampling yaiu sisem yang mencacah daa koninu unuk suau perioda pewakuan diskri. Pada gambar.4 ini digambarkan diagram blok dari kedua sisem secara sederhana. [n] Sisem diskri y[n] () Sisem koninu y() Gambar.4. Diagram blok sisem diskri dan koninu 9

10 Berdasarkan nilai dan responnya erhadap waku sinyal dapa dibedakan menjadi 4 jenis Waku koninu, nilai koninu Didefinisikan unuk seiap saa dan ampliudanya bervariasi secara koninu dan bisa berapa saja. Conoh : - sinyal dari ransduser - sinyal analog Waku diskri, nilai koninu Didefinisikan unuk waku diskri dan ampliudanya koninu bisa berapa saja Waku koninu, nilai diskri Didefinisikan unuk saa erenu ampliudanya diskri. Conoh sinyal hasil sampling Waku diskri, nilai diskri Didefinisikan unuk waku diskri nilai ampliudanya diskri Gambar.5.Jenis-jenis sinyal berdasarkan pewakuan dan nilainya. Sekali lagi waku diskri berari wakunya berdasarkan kelipaan erhadap perioda sampling sedangkan nilai diskri adalah nlai yang erbaas pada hasil kuanisasi bi Dalam eori mengenai sinyal, suau sinyal dapa direpresenasikan erhadap domain waku juga dalam domain frekuensi. Kedua domain ini biasanya merupakan absis dalam suau koordina. Suau sinyal sinyal sinus dengan frekuensi unggal dalam benuk domain waku dan frekuensi digambarkan sebagai beriku Gambar.6. (a) Sinyal dalam domain waku (b) sinyal dalam domain frekuensi

11 Dalam domain waku sinyal digambarkan sebagai perubahan ampliuda erhadap perubahan waku, sinyal ini disebu sebagai respon waku. Sedangkan dalam domain frekuensi sinyal yang sama dinyaakan sebagai ampliuda unuk frekuensi yang dimiliki oleh sinyal. Dalam hal ini hanya ada sau frekuensi saja sehingga represenasinya berupa sinyal impulse. Sedangkan unuk sinus dengan dua frekuensi digambarkan sebagai beriku : Gambar.7. (a) Sinyal dalam domain waku (b) sinyal dalam domain frekuensi.3. Sisem Elemener Sisem elemener dinyaakan dengan hubungan inpu-oupu yang sederhana y() operasi pada () Relasi ini disebu karakerisik ransfer. Sisem Elemener dibagi menjadi. Elemen Saik. Elemen Dinamik 3. Elemen Arihmaik Elemen saik jika oupu hanya berganung pada inpu saa yang sama Elemen dinamik jika salah sau oupu berganung pada inpu dari waku sebelumnya Elemen arihmaik : penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.3.. Elemen Saik Salah sau elemen saik adalah elemen proporsional yang dinyaakan dengan y() k() Oupu pada waku berganung pada nilai inpu pada yang sama. Dengan diagram blok dapa digambarkan : () K y() Gambar.8. Elemen Saik Conoh : Roda gigi θ N Hubungan perpindahan angular roda gigi N θ θ N Dapa dinyaakan dengan diagram blok N θ θ N N θ

12 Beberapa jenis elemen saik lainnya : Tabel.. Jenis-jenis sisem elemener dengan fungsi wakunya Nama Deskripsi Grafik Sof Limier y y < y y y - y > -y Hard Limier y y y < > y -y Half-wave Recifier y y > y y Full-wave Recifier Comparaor y y y y > y - Square-Law Recifier y y y y Elemen Dinamik A. Elemen Tunda (delay elemen) Adalah elemen dinamik dengan benuk karakerisik ransfer : y() ( - )

13 dengan waku unda (delay ime) Inpu dan oupu sauannya sama Simbolnya : () - y() Gambar.9 Simbol elemen unda Conoh : Tenukan oupu y() bila inpu () e -/ u() Jawab : ( ) / y ) e u( ) ( Elemen delay sanga berguna dalam banyak sisem missal radar dan sonar yang memanfaakan propagaion delay B. Elemen Inegral Adalah elemen dinamik dengan benuk karakerisik ransfer : Simbol inegraor : y ( ) K ( ) d Gambar.. Simbol elemen inegral Conoh: Tenukan oupu dari inegraor di aas bila inpunya : a) Sinyal sep : () u() b) Pulsa eksponensial : () e -/ u() Jawab: a) y ( ) k u( ) d () Karena uni sep bernilai unuk maka y() unuk sehingga K y() y( ) k d k ; > k u( ) y() k o () 3

14 / b) y ( ) k e u( ) d Karena uni sep bernilai unuk maka y() unuk sehingga y( ) k k k k / e d [ e ] / k ( e / o +) / ( e ) ; > / ( e ) u() k y() () C. Elemen Differensiaor Benuk karakerisik ransfernya : Simbol differensiaor : d() y () k d () d K d y() Gambar.. Simbol elemen differensiaor Conoh : Tenukan Oupu differensiaor unuk inpu () r Jawab : Pulsa recangular (koak) () dapa dinyaakan sebagai selisih dua sinyal sep r u() - u(-) () r d() d () k k [ u() u( ) ] d d y [ u( ) u( ) ] 4

15 k [ δ() δ( ) ] y() k - -k Conoh : Carilah oupu dari differensiaor unuk inpu : () e -/ u() Jawab : / d / / du() de y() k [ e u() ] k e + u() d d d / / k e δ() e u() Karena fungsi dela adalah nol unuk, kia dapa menggani eksponensial dengan e pada pernyaaan perama sehingga : / y() k δ() e u() y() D. Elemen kompresi Benuk karakerisik ransfernya : y() (η) () inpu y() oupu η rasio kompresi Simbol : k () η y() Gambar. Simbol elemen kompresi 5

16 Conoh : Carilah oupu dari elemen kompresi unuk inpu () r Jawab : η y() ( η) r r benuknya masih pulsa koak dengan ' unuk η> erjadi kompresi sehingga durasi y() < durasi () () ' η y() /η unuk η< erjadi ekspansi sehingga durasi y() > durasi () () y() /η 6

17 .3.3. Elemen Arihmaik Elemen arihmaik erdiri dari elemen penjumlahan/pengurangan dan perkalian Simbol : Penjumlahan () () 3 () Σ y() ()+ ()+ 3 () Gambar.3. Simbol elemen penjumlahan Perkalian () () k y() k () () Gambar.4. Simbol elemen perkalian Conoh : Unuk rangkaian beriku gambarkan oupu y() jika π () cos f dengan () f () r dan Σ y() 3 () Jawab : y() () + () r + cos πf () () Σ y() 3 y() () 3 () 7

18 Conoh : Unuk rangkaian beriku gambarkan oupu y() jika () r dan () cos πf dengan f () Jawab: () () k y() y() () -.4. Diagram Blok Sisem elemener di aas dapa dihubungkan secara seri, parallel aau umpan balik..4.. Koneksi Seri (Cascade aau andem) Conoh : () () y() k z() k z() + Bila inpu () r dari gambar y() k() k r z () y( ) k r 8

19 Conoh : Tenukan oupu z() dari sisem beriku bila inpunya () e -/ u() () y() η K Jawab: Oupu dari elemen kompresi : η / y() ( η) e u( η) e / ' u() dengan ' dan dari kenyaaan u ( η) u() unuk η> η sedangkan oupu dari inegraor z() k y()d k '( e.4.. Koneksi parallel / ' )u() z() Conoh : - v () () v () k w() Tenukan oupu dari muliplier jika () u() Jawab: v () () u() v () ( ) u( - ) Sehingga oupunya : w() kv ()v () k()(- ) k u()u(- ) w() k.4.3. Koneksi umpan balik () - Σ ()-y(- ) K y() () K k()y() η y() 9

20 Conoh : Carilah oupu y() unuk sisem di bawah ini, bila inpunya adalah <. Asumsikan bahwa y() unuk <. () r dengan () + Σ y() K Jawab: Dari gambar ini diperoleh oupunya adalah : y() () + ky( ) (*) Relasi ini mengandung y() dan y( ). Kia akan mencari relasi (karakerisik ransfer) dalam benuk y() operasi pada () Relasi seperi ini dapa diperoleh dengan mengulang-ulang persamaan oupu dengan menggangi dengan, yang memberikan : dengan cara yang sama y( ) ( ) + ky( ) (**) y( ) ( ) + ky( 3 ) (***) dan seerusnya. Menggunakan persamaan (**) unuk mengeliminasikan y( ) dari persamaan (*) diperoleh y() () + k( ) +k y( ) menggunakan persamaan (***) unuk mengeliminasikan y( ) diperoleh y() () + k( ) + k ( ) + k 3 y( 3 ) + Jika dieruskan akan diperoleh dere : y() () + k( ) + k ( ) + k 3 y( 3 ) + Relasi ini dapa diuliskan secara ringkas : n n y() k ( n ) unuk inpu y () r diperoleh : n n y () k r n y y < k < k k >

21 y y y - < k <.5. Conoh conoh sisem (a) Rangkaian RLC k - k < - (b) Sisem Mekanik

22 Beberapa sisem fisik dapa dimodelkan dengan persamaan maemaik yang sama (c) Sisem Termal.6. Sifa-sifa sisem (Kausalias, Linierias, bervariasi erhadap waku) Beberapa sisem yang berbeda memiliki sifa-sifa yang umum dan sifa-sifa ini menenukan analisis dan sifa-sifa yang lain. Misal sisem linier akan menghasilkan oupu yang memiliki superposisi unuk renang inpu yang luas.

23 .6.. Kausalias (Causaliy) Sebuah sisem bersifa kausal jika oupu idak menganisipasi nilai inpu yang akan daang. Jadi suau oupu yang muncul hanya berganung erhadap nilai inpu yang masuk saa iu saja. Semua sisem waku nyaa (realime) adalah kausal karena waku yang berjalan maju. Efek muncul seelah akiba. Bayangkan jika suau erdapa sisem non kausal yang erganung pada harga saham besok hari. Sifa kausal idak dimiliki oleh sisem yang bervariasi secara spasial (ruang), perekaman suara. Secara maemaik sisem kausal dapa dinyaakan dengan persamaan beriku : Sebuah sisem yang memeakan sinyal inpu ke oupu (() y() ) adalah kausal jika () y () () y () dan () () unuk semua maka y () y () unuk semua.6.. Tidak Berganung Waku (ime-invarian) Suau sisem idak berganung waku (ime-invarian) jika sifanya idak berganung pada berapun wakunya. Sisem yang memiliki sifa idak erganung waku sering juga disebu sisem sasioner. Secara maemaika diskri sebuah sisem yang memeakan inpu ke oupu ([n] y[n] ) adalah ime-invarian unuk semua inpu [n] dan semua pergeseran waku n. Jika [n] y[n] maka [n-n ] y[n-n ] Demikian juga unuk sisem dengan waku koninu: Jika () y() 3

24 maka (- ) y(- ) Jika inpu pada suau sisem ime-invarian adalah periodik maka oupunya adalah juga periodik dengan perioda yang sama dengan inpu.6.3. Sisem linier dan non linier Banyak sisem yang non linier. Misalnya sisem rangkaian dioda, ermisor, dinamika pesawa erbang, respon elinga manusia, model ekonomerik. Teapi umumnya fokus pada analisa sisem pada sisem yang liner saja unuk ingka sraa sau. Mengapa demikian karena beberapa alasan yaiu : 4

25 a. Model linier merepresenasikan keakuraan dari beberapa sifa sisem. Misal resisor linier, kapasior, b. Mudah mengamai perubahan dari pengaruh sinyal yang kecil disekiar iik kerja c. Sisem linier mudah unuk dielusuri, memberikan dasar pengamaan yang mudah dan jelas Suau sisem koninu disebu linier jika memiliki sifa superposisi: Jika () y () dan () y () maka a () + b () ay () + by () 5

26 Bab II Sisem Linier Sasioner Sebuah sisem linier sasioner memenuhi superposisi dan memiliki parameer yang konsan idak berubah erhadap waku (invarian waku).. Sisem Linier Sisem linier adalah sisem yang mengikui prinsip superposisi : Jika inpu () secara sendirian menghasilkan oupu y () dan Inpu () secara sendirian menghasilkan oupu y () maka inpu () a () + a () menghasilkan oupu y()a y () + a y () Conoh -: Perlihakan bahwa sisem beriku linier a) b) () K y() () y y y() Jawab : a. Oupu unuk inpu : () a () + a () adalah y() k a k [ a() + a () ] ()d+ a a y () + k a y d ()d () dengan y () adalah oupu unuk inpu () dan y () adalah oupu unuk inpu () Jadi sisem inegraor adalah linier b. Karakerisik ransfer dari sisem : () y() y Oupu unuk inpu () a () + a () adalah a() + a y() y () a y Hasil ini idak memiliki benuk y() a y () + a y () + a () () y + aa y () () 6

27 dengan y () adalah oupu unuk inpu () dan y () adalah oupu unuk inpu () Jadi sisem ini nonlinier Superposisi dapa diperluas unuk inpu dengan lebih dari komponen. Misal unuk inpu : () a () + a () +. + a n n () makan oupunya adalah y() a y () + a y () +. + a n y n () dengan y i () adalah oupu unuk inpu i () ; i,,..,n Conoh : () d K d Σ y() Carilah oupu y() dari sisem unuk inpu : () 5 cos () + 4 cos () 3 cos 3 Jawab : Karena sisem linier dapa digunakan superposisi. Inpu adalah kombinasi linier dari benuk i () cos i unuk i,, 3 dengan oupunya : y i () k cos i k i sin i ; i,, 3 Melalui superposisi oupunya : y() 5y () + 4y () 3y 3 () 5 (k cos k sin ) + 4 (k cos k sin ) - 3 (k cos 3 k sin 3 ) Seiap sisem yang erdiri dari beberapa sub sisem linier adalah sisem linier. Proporsi, delay, kompresi, inegraor, differensiaor dan penjumlahan adalah elemen yang berupa sisem linier.. Sisem Sasioner K Sisem sasioner adalah sisem yang mengikui prinsip invarian waku : Jika inpu () menghasilkan oupu y(), maka inpu (- ) menghasilkan oupu y(- ) () - Sisem Sasioner y( ) () Sisem Sasioner - y( ) 7

28 Conoh : Perlihakan bahwa sisem beriku adalah sisem sasioner () K Σ y() K Jawab : unuk memperlihakan sisem ini linier diambahkan elemen unda () K Σ - - y () K () () - K Σ y () K Sisem sasioner jika y () y () dan y () k ()d k ( ) y() k ( )d k ( misal α maka y () k ( α)dα k ( ) Karena y () dan y () idenik maka sisem adalah sasioner ) 8

29 Conoh : Apakah elemen kompresi sasioner? () η - y() () - η y() Jawab : y () [η( )] (η - η ) y() (η- ) unuk η, y () y () jadi elemen kompresi idak sasioner Laihan : Bukikan aau perlihakan apakah elemen proporsional dengan gain k() adalah sasioner Suau elemen aau sisem yang erdiri dari sub sisem sasioner adalah sasioner dan sisem anpa parameer berubah erhadap waku adalah sasioner.3 Sisem Linier Sasioner Sisem Linier Sasioner memenuhi syara superposisi dan ime variance. Oupu dari sisem linier sasioner unuk inpu : () a ( ) + a ( ) + adalah y() a y ( ) + a y ( ) + dengan y i () adalah oupu unuk inpu i () ; i,, 3, Conoh : oupu dari suau sisem linier sasioner unuk inpu () u() adalah / i y () y e u() Carilah oupu unuk inpu () 5 r Jawab : inpu () dapa dinyaakan dengan () 5 u() 5 u(- ) 5 () - 5 ( - ) Melalui superposisi dan ime invarian oupunya adalah y() 5y () 5y ( ) 5y e u() y e / 5 ( ) / u( Jadi suau sisem adalah linier dan sasioner jika mengandung elemen proporsional, delay, inegral, diffensial, penjumlahan dan anpa parameer yang bervariasi erhadap waku ) 9

30 Conoh : Carilah oupu y() dari sisem beriku unuk inpu () 5r r () K Σ y() K Dari pengamaan diagram blok ini adalah linier dan sasioner jadi dapa digunakan superposisi dan ime invariance Inpu dapa dinyaakan sebagai () 5 u() 5 u( - ) u( ) + u( -) 5 () 5 ( - ) ( ) + ( - ) dengan () u() Oupunya unuk sisem linier sasioner : y() 5y () 5y ( - ) y ( ) + y ( - ) dengan y () adalah oupu dari inpu () y() ku()d k u() ku() k u() (k k )u() Sehingga y() 5 (k k )u() 5 k ( ) k u( ).4. Inegral Konvolusi [ ] - [k( ) k ]u( ) + [k ( ) k ]u( ) Respon impuls dari sisem linier sasioner dinyaakan sebagai fungsi h() dengan y() ah() adalah oupu unuk inpu () aδ() Unuk inpu sembarang y() dapa diperoleh dengan inegral konvolusi : y () ( λ)h( λ) dλ Conoh : Respon Impuls dari sisem linier sasioner adalah : / h() e u() Carilah oupu y() unuk inpu () u() 3

31 Jawab : y() u( λ)e ( λ) / u( λ)dλ Fungsi u(-λ) unuk - λ > dengan λ > dan u(-λ) unuk λ lainnya Maka y() e ( λ) / u( λ)dλ Fungsi u(λ) unuk λ > maka ( λ) / y() e dλ / y() e e e ( e / u()(e / λ / dλ / )u() ) ; > Terkadang lebih mudah menggani variable inegral λ menjadi η - λ y () ( η)h( η) dη Conoh : Respon Impuls dari suau sisem linier sasioner adalah : / h() e (sin)u() Carilah oupu y() unuk inpu () o u() Jawab : Karena inpu () lebih sederhana dari respon impuls h() maka y() - u( η) e e e η / η / η / (sinη)u( η)dη (sinη)dη (sinη)u( η)dη / [ e (sin+cos)] u() + ( ) Maka oupunya : / [ e (sin+cos)] y() u() + ( ) 3

32 Conoh : Respon impuls unuk suau sisem linier sasioner adalah : / h() δ() e u() Carilah oupu y() unuk inpu () u() Jawab : y() ( η)h( η)dη u( η) δ( η) e - Kia uliskan sebagai : y() y () - y () dengan dan y () y () - - u( η) δ( η)dη δ( η)dη e e η/ η / u( η)dη η / u( η)u( η)dη y () [u() u(- )] u() y () ( e -/ )u() u( η) dη Oupu y() y () y () u() ( e -/ )u() e -/ u().4.. Inerpresasi Grafik unuk Konvolusi Inegral konvolusi : Misal : () u() h() e / y () u() ( λ)h( λ) dλ 3

33 Dalam benuk grafik : (λ) h(λ) h(-λ) λ h( -λ) λ (λ)(h( -λ) λ λ λ (λ)(h(-λ) λ (λ)(h( -λ) λ (λ)(h( -λ) λ 33

34 .5. Respon Sep Respon sep dari sisem linier adalah fungsi g() dengan y() g() adalah oupu unuk inpu u(). Hubungan anara respon impuls dan respon sep dg() h () d Conoh : Carilah respon sep dan respon impuls unuk sisem beriku : w() d () Σ K y() K - d Jawab : w() k ()d k ()d dw() y() k kk [() ( )] d Unuk () u() y () k k [u() u( )] kk r Respon sep : y() g () k k r Respon impuls dg() h() kk ( δ() δ( )) d.6. Sifa-Sifa Respon Impuls Dalam Diagram Blok () h() y() ( λ)h( λ) dλ () h () h () Σ y() () h () + h () y() () h () h () y() () h () h () y() () h( λ)h ( λ)dλ y() 34

35 Conoh : Carilah respon impuls unuk sisem : () h () h () y() dengan h() / e u() h() u() Jawab : h() h( λ)h ( λ)dλ e ( e ) / u() λ / u( λ)u( λ)dλ.7. Sisem Dinyaakan Dengan persamaan Differensial Beberapa sisem dapa dinyaakan dengan persamaan differensial : n n m m d y d y dy d d + a... a a y bm bm... b n n + + n + + m + + m d d d d d d d + Conoh : Carilah persamaan differensial unuk sisem v() () K Σ - K 3 y() b d K d Jawab : d() dy() v() k() + k k 4 d d () k v() y 3 d() dy() kk 3() + k k 3 k 3k 4 d d dy() d() k 3k 4 + y() k k 3 + kk 3() d d dy() k d() k + y() + () d k k k d k K 4 d d 35

36 Laihan : Carilah persamaan differensial unuk a) b) v() () Σ y() K () Σ Σ y() K K K K 3 36

37 Bab III Respon Sinusoidal Sinyal sinusiodal digunakan sebagai inpu uji erhadap kinerja sisem, misal unuk mengeahui respon frekuensi, disorsi harmonik dan disorsi inermodulasi. 3.. Benuk Ampliuda-fasa unuk Sinyal Sinusoidal Sinyal sinusoidal () dapa dinyaakan dalam benuk ampliuda-fasa : () A cos( + θ) A Ampliuda puncak frekuensi sudu θ fasa awal 3.. Benuk Eksponensial Sinyal sinusoidal dapa dinyaakan dalam benuk eksponensial () Xe j + X*e -j dengan X ampliuda kompleks X* Konjuga dari X Menggunakan idenias Euler : cos α ½ e jα + ½ e -jα diperoleh X ½ Ae jθ dengan A X θ X Conoh : Sinyal sinusoidal : () cos( - π/4) V Nyaakanlah dalam benuk eksponensial Jawab : () 5e -jπ/4 e j + 5e jπ/4 e -j V Conoh : Sinyal sinusoidal () dinyaakan dalam benuk eksponensial () Xe j + X*e -j dengan X 4e j3π/4 ma. Nyaakan dalam benuk Ampliuda fasa Jawab : () 8 cos(+3π/4) ma 37

38 Laihan :. Nyaakan sinyal-sinyal beriku dalam benuk ampliuda fasa (a) () 5 cos( - π/) ma (b) () - + sin V 38

39 (c) () 3cos + 4 sin mv (d) () 5e -j + 5e j V (e) () + (+j)e -j + (-j)e j ma (f) () je j( - π/3) -j( - π/3) je mv j j e e (g) () + 5 ma j + j. Nyaakan sinyal-sinyal beriku dalam benuk eksponensial (a) () + 5 cos( - π/4) V (b) () + cos + 5 cos( - π/) V (c) () - + sin ma (d) () 3cos + 3sin V (e) () 5 + cos + cos( - π/4) sin( + π/4) V 3.3. Fungsi Transfer unuk Sisem Linier Oupu unuk sisem linier : y() h( η)( η) dη Unuk inpu () Xe j maka oupunya : dengan y() H(j) j( η) Xh( η)e d η j η Xe h( η)e j d j Xe H(j) h( η)e jη η dη Fungsi Transfer Fungsi Transfer nilainya berubah sesuai dengan frekuensi dari sinyal inpu Oupu dapa juga diuliskan : y() Ye j dengan Y H(j)X Ampliuda kompleks oupu Conoh : Respon impulse suau sisem linier : k / h() e u() dengan ms dan k 3 V/A. Carilah oupu y() unuk inpu () cos( + π/4) ma dengan krad/s Jawab : Ampliuda puncak : A ma Fasa awal : θ π/4 rad Ampliuda kompleks inpu : X ½ Ae jθ 5e jπ/4 ma,5e jπ/4 A 39

40 Fungsi Transfer sisem : H(j) h( η)e k e jη dη k + j Ampliuda Kompleks Oupu : 3 Y H(j )X + j + j 5e 5e ( + j) η / k e π / u( η)e jη dη ( + j) η / k e dη ( + j)/ jπ / 4 (, 5e ) 3 ( )( ) (, e ) jπ / jπ/4 j, 5e Ampliuda puncak oupu : B Y 5 V Fasa awal : ϕ Y -,3 rad j, 3 Oupu dinyaakan dalam benuk Ampliuda-fasa : y() 5 cos(, 3) dengan krad/s V η η Laihan Carilah fungsi ransfer unuk sisem yang memiliki respon impuls beriku : / (a) h() () - e δ u() (b) h() e / u() / (c) h() e ( sin) u() (d) h() e / / e + u( ) ( e) h() r ( f) h() r cos ( g) h() r sin ( h) h() 4δ() + 3δ( ) + δ( ) 3.4. Gain dan Phase Shif (pergeseran fasa) Telah diperlihakan bahwa oupu sisem linier sasioner sabil unuk inpu () A cos( + θ) adalah y() H(j ) Acos[ + θ + H(j )] dengan H(j) fungsi ransfer sisem Kia nyaakan gain dengan Γ() dan pergeseran fasa dengan φ() 4

41 4 Γ() H(j) φ() H(j) sehingga y() Γ( )Acos[ + θ + φ( )] Conoh : Fungsi Transfer unuk suau sisem linier sasioner adalah ( ) ( )( ) / j / j / j K ) H(j dengan K V/V, krad/s, krad/s dan 3 3 krad/s Carilah oupu y() unuk inpu () 5cos( - π/3) dengan krad/s Jawab : Gain : Γ() H(j) ( ) ( ) ( ) / / / K / j / j / j K / j )( / j ( ) / j K( Unuk krad/s ( ) V/V Γ Pergeseran fasa : ( ) φ 3 j j j K ) H(j + 3 / an / an / an Unuk ( ) φ 3 5, an an, an,46 -,79 -,3 -,65 rad Jadi oupunya : y() Γ( )Acos[ + θ + φ()] (75)(5)cos[ + (-π/3), cos(,7) V 3.5. Sinyal Konsan (DC Direc Curren)

42 Sinyal konsan (DC) dinyaakan dalam benuk (). Sinyal konsan ini dapa dianggap sebagai sinyal sinuisoida yang memiliki frekuensi. Benuk Ampliuda-fasa unuk sinyal DC: A cosθ A θ π < Benuk eksponensial unuk sinyal DC: X Ae jθ dengan A X θ X Oupunya : y() H() H() DC gain Conoh : Tenukan oupu dari conoh sebelumnya unuk inpu () -5 mv Jawab : K( + j) H( ) K V/V + j + j ( )( ) y() H() (-,5) -5 mv 3.6. Sisem Dinyaakan sebagai Persamaan Differensial Fungsi Transfer sisem linier sasioner yang sabil, oupu dan inpunya dihubungkan dengan persamaan differensial : n n m m d y d y d d + a... a y bm bm... b n n + + n + m + + m d d d d Karena oupu unuk inpu () Xe j adalah y() H(j)Xe j maka dengan mensubsiusikan ke persamaan di aas diperoleh : aau n n j [( j ) + an ( j) a] H(j)Xe bm( j) b H(j) m j [ +... b ] Xe + m m m( j) + bm ( j) n n ( j) + an ( j) a b Conoh : Inpu () dan oupu y() dari suau sisem dihubungkan dengan persamaan differensial sebagai beriku : 3 d y d y dy d + a + a + ay b + b 3 d d d d 4

43 dengan a b 4 9 a 6 6 a 9 3 b 4 6 Carilah oupu unuk inpu π () cos o dengan 5 krad/s Jawab : Fungsi ransfer sisem : b( j) + b H(j) 3 j + a j + a j jb+ b 3 j a + a a ( ) ( ) ( ) + a ( ) Unuk 5 krad/s H(j ) 6 ( 5)( 4 ) [( 6 )( 5) ( 5) ] + 4 ( 9 )( 5) j 4+ j, 6e - + j5 j j, 75 Dari benuk polar H(j ) ini dikeahui Γ( ),6 φ( ) -,75 ( 3, 3) A/A π y(), 6(, )cos 75,, cos + 4 Laihan : Tenukan oupu dari sisem yang dinyaakan dengan persamaan differensial di bawah ini unuk inpu : () 5 + 5cos V dengan rad/s dy d ( a) + 5y d d dy d ( b) + 5y + d d d y dy d d ( c) + 3 y d d d d d y dy d ( d) + 3 y + d d d 9 43

44 3 3 d y d y dy 3 d e) y 3 d d d d ( 3 Superposisi Superposisi digunakan unuk memperoleh oupu sisem linier sasioner yang inpunya erdiri dari beberapa komponen sinusoidal Conoh : Carilah oupu dari sisem yang memiliki fungsi ransfer : H(j) + j dengan ms unuk inpu : π () 5+ 4cos + 3cos ; dengan krad/ s Jawab : Gain dan pergeseran fasa sisem Γ( ) + φ ( ) ( ) + j - - an Oupu unuk komponen DC o 5 y H() ()(5) 5 Oupu unuk () 4 cos y () Γ( ) 4cos[ + φ( )] 8,3 cos( - π/4) Oupu unuk () 3 cos( - π/) adalah π y() Γ 3cos +φ 3,4 cos, 68 ( ) ( ) ( ) dengan superposisi y() y + y () + y () π 5+ 8, 3cos + 3, 4cos 4 ( 68), Laihan : Carilah oupu unuk sisem yang memiliki fungsi ransfer beriku unuk inpu π () 5+ 4cos+ 3cos V - j( / ) (a) H(j) ma/v (b) H(j) + 4j( / ) + 5j( / ) V/V 44

45 j( / ) j( / ) c)h(j ) V/V ( d)h(j) V/V + j + + j( / ) ( (e) H(j) (g) H(j) 5e [ + j( / )][ + j( / )] jπ/ ma/v ma/v 5 (f)h(j), 5+ j ( / ) V/V 3.7. Reduksi Diagram Blok Fungsi Transfer dapa dinyaakan dengan diagram blok sebagai beriku : X H(j) Y Y H(j)X H (j) X H (j) Y X H (j)+h (j) Y X H (j) H (j) Y X H (j)h (j) Y 3 X ± H (j) Y X H + H ( j) ( j) H ( j) Y H (j) 45

46 46 H(j) Y X W ) (j H Y X W 4 H(j) Y X W H(j) Y H(j) X W H(j) 5 H(j) X X Y H(j) X ) (j H X Y H(j) X Y Y H(j) X H(j) Y Y

47 Conoh : Carilah Fungsi Transfer dengan mereduksi diagram blok beriku : H (j) X H (j) H 3 (j) Y Jawab : - H (j)/h (j) H 4 (j) X H (j)h 3 (j) Y - H 4 (j) H (j)/h (j) X H (j)h 3 (j) - H 4 (j) Y X +H (j)/h (j) H + H (j ( j) H3( j) )H ( j) H ( j) 3 4 Y 47

48 Bab IV Analisis Domain Frekuensi 4.. Ampliuda dan Fasa Suau sinyal () yang berada pada inerval hingga < + T dapa dinyaakan dengan dere harmonik sebagai beriku : ( +θ ) + A cos( +θ )... () A cosθ + A cos + n A n cos ( n +θ ) dengan frekuensi naural/dasar π/t πf n (*) Benuk dere harmonik ini menunjukkan spekrum Ampliuda dan spekrum fasa dengan frekuensi masing-masing yang dapa digambarkan sebagai beriku : θ A (f) (f) A A θ A A3 θ θ θ 3 f f 3f f f f 3f f Spekrum Ampliuda dan fasa (one-sided specrum) An f nf A (f) f nf θn f nf θ(f) f nf Conoh : Gambarkan spekrum dari sinyal π () 5+ cos + 5cos + 4 dengan f 5 khz 3π 4 Jawab : Komponen DC dapa dinyaakan dengan : -5 5 cos π π rad 5 f π rad A f 5kHz θ (f) (f) 5 f 3π 4 khz rad 4 f yang lain f f 5kHz f khz f yang lain 48

49 A (f) θ (f) 5 5 π 3π/4 f, khz 5 f, khz 5 -π/4 Laihan : Gambarkan spekrum dari sinyal beriku : (a) () + cos( - π/4) + 5 cos(3 + π/), f khz (b) () - 5 cos( - π/4) + cos(3 ), f 5 khz (c) () 4 cos( - π/4) + 8 cos(4 + π/) + 9cos(7 + 3π/4), f khz (d) () + 8 cos(3 + 3π/4) + cos(5 + π/6), f 4 khz 4.. Spekrum Kompleks Sinyal () pada persamaan (*) dapa dinyaakan dalam benuk eksponensial ()... + X e + X e + X + X e + X e j j j j dengan X A cosθ (Komponen DC) dan jθn Xn Ane unuk n,, 3,... Dari definisi X -n X* Sehingga persamaan di aas dapa diulis +... () X e jn n n Ampliuda kompleks X n kemudian dinyaakan sebagai fungsi frekuensi yang disebu spekrum frekuensi : C (f) Xn f nf C (f), n, ±, ±,... f nf Spekrum kompleks dalam gambar dinyaakan dengan magniuda dan sudunya yaiu C (f) disebu spekrum ampliuda (wo-sided ampliude specrum) dan C (f) disebu spekrum fasa sisi (wo-sided phase specrum) 49

50 C (f) C (f) X -. X - X X X. f. -f -f θ θ θ. f -f -f f f f f Hubungan spekrum -sisi dengan spekrum -sisi -θ -θ C(f) A (f) C(f) f f > aau θ (f) C (f), f j A (f)e jθ (f C(f) A (f)e jθ A (f)e θ (f ) ) (f ) f < f f > Spekrum -sisi simeris pada f. Conoh : Gambarkan spekrum -sisi unuk sinyal inpu () n X n e jn dengan f 5 khz, X -5, X 5e -jπ/4, X,5e j3π/4 caaan : X - X * X - X * 5

51 C (f), , C (f) f π/4 π 3π/ f Laihan : -3π/4 -π/4 Gambarkan spekrum -sisi unuk sinyal inpu () 3 n X n e jn dengan f khz, X, X 4e -jπ/4, X 6e j3π/4, X 3 8e -jπ/ Analisis Domain Frekuensi unuk Sisem Linier Sasioner Unuk sinyal inpu jn () X n e n Oupu unuk sisem linier sasioner adalah aau ( ) jn y() H jn X n e n jn y() Y n e n dengan Y n H(jn )X n spekrum kompleks oupu : Y n H(jπf)X n f nf f nf 5

52 aau C y sehingga (f) H j ( πf) C ( f) C y (f) H j ( πf) C ( f) ( f) H( j πf) + C (f) C dan unuk spekrum -sisi A y ( f) Γ( πf) A (f) θ (f) φ( πf) +φ (f) Conoh : Fungsi ransfer sebuah sisem ( ) H j + j ( / ) dengan f /π khz Spekrum sisi unuk inpunya : C (f) f, khz C (f) π/ -5-5 f, khz Carilah : a. Spekrum kompleks dari oupu b. Benuk ampliuda fasa dari oupu c. Persamaan oupu dalam fungsi waku -π/ 5

53 a. Jawab : f, khz C (f) H(jπf) C y (f) -5 5e jπ/,96e j,37,98e j,94 -,77e j,785 7,7e j, ,77e -j,785 7,7e -j, e -jπ/,96e -j,37,98e -j,94 b. Spekrum sisi dari dari oupu f, khz A y (f) θ y (f), rad 5 4, -,785 5,96 -,94 c. (, 785) + 96, cos( 5 94) y() 5+ 4, cos dengan f khz, Laihan : a. Gambarkan respon frekuensi dari oupu dalam benuk spekrum -sisi unuk sisem dengan fungsi ransfer : + j/ H(j) 3( + j/ )(j/ dengan f khz, f khz. Unuk inpu : () + cos( π/ 4) cos 3+ π dengan f 4 khz ) ( ) / 4.4. Filer Filer adalah sisem linier sasioner yang dirancang unuk melewakan sinyal sinus pada frekuensi erenu (passband) aau menghilangkan sinyal sinus pada frekuensi erenu (sopband) Tabel 3.. Filer Ideal dengan frekuensi cu off (f c ) Nama Filer Fungsi Transfer Simbol Low Pass Filer H(jπf) f c f LPF f <f c 53

54 High Pass Filer H(jπf) f c f HPF f c f Band Pass Filer H(jπf) f c f a f b f BPF f a f <f b Band Sop Filer H(jπf) f a f b f BSF f f a, f b <f Conoh : Carilah oupu dari filer band pass ideal () BPF 5 f <35 khz y() Unuk inpu : () n A n cos ( n +θ ) n dengan f khz, θ n -,n rad 4 A n + n Jawab : A (f) 4 H(πf) 3 4 f, khz 54

55 Filer melewakan komponen inpu berfrekuensi 3 khz dan mensop komponen-komponen inpu yang lainnya. Sehingga oupunya : y() A dengan 3f 3 khz 4 ( +θ ) cos( 3 6) 3 cos 3 3, 4.5. Translasi Spekrum dan Modulasi Translasi spekrum pada sinyal inpu : y() ()e jc aau C y (f) C (f - fc) C (f) C y (f) Translasi -f f f c -f f c f c +f Modulasi Sinyal B cos c () K y() y() ½ K B ()cos c ; dengan c frekuensi gelombang pembawa (carrier) Menggunakan idenias Euler y() KB j c jc [ ()e () e ] + aau dalam benuk spekrum kompleks Cy () KB c + [ C (f f ) + C (f f )] c 55

56 C (f) C y (f) Modulasi -f f -f c -f -f c -f c +f f c -f f c f c +f Unuk mengembalikan sinyal ermodulasi ke benuk semula digunakan demodulasi B cos c y() K z() LPF w() z() K B y()cos c () K B K B ()cos c D()cos c Menggunakan idenias cos α + cosα diperoleh z() ½ D() + ½ D()cos c () Sinyal asli Sinyal ermodulasi Dalam benuk spekrum kompleks : C z (f) ½ DC (f) + ¼ D[C (f-f c ) + C (f+f c )] C z (f) Gain LPF -f c -f -f c -f c +f -f f c -f f c f c +f f Menggunakan LPF diperoleh w() ½ D() dengan caaan bandwidh LPF f<f c dan f c >nf (unuk mencegah aliasing) 56

57 Bab V Fourier Jean Bapise Joseph Fourier (768 83) adalah ahli Fisika dan Maemaika Perancis yang menggunakan dere harmonik unuk mempelajari konduksi panas dalam benda pada 5.. Dere Fourier Seiap benuk gelombang riil dapa dihasilkan (secara maemaik) dengan mendisorsikan sebuah gelombang berbenuk sinus. Sebagai conoh di bawah ini adalah sisem yang menghasilkan gelombang segiiga, gelombang koak dan gelombang gigi gergaji (sawooh) sebagai respon dari inpu sinus w() w cos w() cos () d K y() K z() d w ( ) π π () π/ y() π π k -k π π z() k k π π π 57

58 Hal ini menyaakan bahwa seiap sinyal periodik dapa dinyaakan oleh dere harmonik (karena oupu dari sebuah eksiasi sinus pada sisem saik dapa dinyaakan sebagai dere harmonik). Sebagai conoh gelombang segiiga yang dihasilkan dari rangkaian di aas dapa dinyaakan dengan sebuah dere harmonik : ) A cosθ + A cos + θ + A cos + θ ( ) ( )... ( + Dengan A n adalah ampliuda puncak dan θ n adalah fasa awal (n,,,..) 4..A. Koefisien Fourier Diasumsikan bahwa sinyal periodik () dapa dinyaakan dengan dere harmonik sebagai beriku : Dengan ( ) X X n A n n cos ( n + θ ) A n n n n Aau dalam benuk eksponensial : n θ X ( jn ) ( ) X n ep n Karena perioda dari dere harus sama dengan perioda sinyal yang direpresenasikannya maka frekuensi dasar dapa dinyaakan dengan f ; T perioda sinyal T jk Jika sinyal () dikalikan dengan e dan diinegrasikan unuk sau perioda sampai + T. Memberikan ransformasi Fourier koninu: + T + T ( ) e e j( n k ) jk d Τ d n X n k n k n e j( n k ) Sehingga nilai yang idak nol pada sumasi di aas hanya unuk n k maka + T X ( ) e k T jk X k T aau + T jk ( ) e d; d k, ±, ±,... k ini disebu koefisien Fourier unuk sinyal () sedangkan dere harmonik yang dibenuknya disebu dere Fourier. Conoh 4.. Carilah dere Fourier dari dere pulsa koak beriku : 58

59 () - -,5,5 Jawab : Perioda dari sinyal () adalah T ms, maka frekuensi dasar dere Fourier unuk () adalah : f 5 Hz, π πf π krad / s, Misal dipilih T T ms sehingga + T ms maka X k T T / T / ( ) e jk d dengan ( ) ; ; ; T / < / / < / / < / Koefisien Fouriernya adalah : T / X d T T T / T dan sinyal ini sekarang dapa dinyaakan dengan ( ) + X k cos( k ) k 59