LANDASAN TEORI. x R, untuk suatu fungsi f : R [0, )

Transkripsi

1 LANDASAN TEORI Dalam baga aa dbahas teor-teor yag berata dega embahasa selautya, yag dbera dalam betu defs-defs, beberaa lema da teoremateorema etg Ruag Cotoh, Keada, da Peluag Defs (Percobaa Aca) Percobaa aca adalah suatu ercobaa yag daat dulag dalam ods yag sama Namu hasl ada ercobaa berutya tda daat dteba dega teat, teta daat detahu semua emuga hasl yag mucul [Hogg da Crag, 995] Defs (Ruag Cotoh) Ruag cotoh adalah hmua yag beraggotaa semua hasl yag mug mucul dar suatu ercobaa aca da basa dotasa dega Ω [Hogg da Crag, 995] Defs 3 (Meda-σ) Meda-σ adalah suatu hmua F yag aggotaya adalah hmua baga dar ruag cotoh Ω serta memeuh syarat-syarat berut: F Ja A, A, F maa A F c c 3 Ja AF maa A F, dega A meyataa omleme dar hmua A [Grmmett da Strzaer, 99] Defs 4 (Uura Peluag) Suatu uura eluag P ada (, F ) adalah suatu fugs P : F [0,] yag memeuh syarat-syarat berut: P( ) 0 da P( ) Ja A, A, F adalah hmuahmua yag salg leas, yatu A A utu seta asaga, dega maa P A P( A ) Pasaga (, F, P) dsebut ruag eluag [Grmmett da Strzaer, 99] Peubah Aca da Sebaraya Defs 5 (Peubah Aca) Suatu eubah aca adalah suatu fugs : R dega sfat bahwa utu seta R, { ; ( ) } F [Grmmett da Strzaer, 99] Defs 6 (Fugs Sebara) Fugs sebara dar suatu eubah aca adalah fugs F : R [0,], yag dbera oleh F ( ) P ( ) [Grmmett da Strzaer, 99] Defs 7 (Peubah Aca Kotu) Peubah aca dataa otu a fugs sebaraya daat desresa sebaga berut F ( ) f ( u) du R, utu suatu fugs f : R [0, ) yag daat dtegrala Selautya fugs f dsebut fugs eeata eluag bag [Grmmett da Strzaer, 99] Defs 8 (Fugs Keeata Peluag) Msala adalah eubah aca Fugs f : R [0, ) sedema sehgga utu seta hmua A R, P( A) f ( ) d dsebut fugs eeata eluag dar eubah aca [Grmmett da Strzaer, 99] Nla Haraa, Ragam, Stadar Devas da Koragam Defs 9 (Nla Haraa) Msala adalah eubah aca otu dega fugs eeata eluag f ( ) Nla haraa dar adalah E[ ] f ( ) asala tegralya ada A, Beberaa sfat dar la haraa Ja suatu ostata, maa E[ ]

2 Ja suatu ostata da, adalah E[ ] E[ ] E[ ] Secara umum, a,,, adalah ostata da,,, adalah E[ ] E[ ] E[ ] E[ ] [Grmmett da Strzaer, 99] Defs 0 (Ragam) Ragam dar eubah aca adalah la haraa dar uadrat selsh atara dega la haraaya Secara matemats daat dyataa sebaga berut Var( ) E ( E [ ]) E[ ] ( E[ ]) Beberaa sfat dar ragam Ja suatu ostata, maa Var( ) Var( ) Ja suatu ostata da, adalah Var( ) Var( ) Var( ) E [ E ( )][ E( )] [Ghahrama, 000] Defs (Stadar Devas) Ja adalah eubah aca, dsebut stadar devas dar yag ddefsa sebaga Var( ) E E [Ghahrama, 000] Defs (Koragam) Msala da Y dua eubah aca dega E( ) da E( Y), maa Cov(, Y ) E ( )( Y ) E ( Y ) dsebut oragam eubah aca da Y Beberaa sfat dar oragam Ja suatu ostata da, Y adalah Cov(, Y) Cov(, Y) Ja suatu ostata da, Y adalah Cov(, Y ) Cov(, Y) Ja suatu ostata da,,, adalah Cov(, ) Cov(, ) Cov(, ) Cov(, ) [Ghahrama, 000] Fugs Pembagt Mome, Mome, Mome Pusat Defs 3 (Fugs Pembagt Mome) Fugs embagt mome dar suatu eubah aca ddefsa sebaga t t M ( t) E e e f ( ) utu t R sehgga la haraa d atas ada Turua ertamaya d setar ol sebaga la haraa dar eubah aca ' d t M ( t) M ( t) e f ( ) dt M (0) e f ( ) f ( ) M ' t 0 ' (0) E [ ] Turua eduaya d setar ol sebaga la haraa dar eubah aca '' d t M ( t) M ( t) e f ( ) dt M (0) e f ( ) f ( ) M '' t0 (0) E[ ] '' [Hogg da Crag, 995] Defs 4 (Mome) Ja adalah eubah aca dsret dega fugs eraata massa, maa mome e- dar ddefsa sebaga m E( ), =,,3, [Hogg da Crag, 995] Defs 5 (Mome Pusat) Msala la haraa dar eubah aca, m, maa mome usat e- dar eubah aca ddefsa sebaga berut m E ( m ), dega =,,3, m = mome e-= la haraa dar eubah aca [Hogg da Crag, 995]

3 Deret Taylor, Metode Lagrage, da Teorema Amlo Defs 6 (Deret Taylor) Ja suatu fugs f dega y f ( ) meml turua maa fugs tersebut meml esas deret Taylor h f ( h) f ( ) h f '( )! f ''( ) h3 f '''( ) 3! [Fsher, 988] Defs 7 (Metode Lagrage) Utu memasmuma atau memmuma f (, ) terhada edala g(, ) 0, adalah dega meyelesaa sstem ersamaa berut masmuma f (, ), dega edala g(, ) 0 Dar masalah tersebut, maa deroleh fugs Lagrage sebaga berut: L(,, ) f (, ) g(, ) Syarat erlu utu esstes tt estrm (, ) (, ) aa tereuh a turua arsal dar fugs Lagrage sama dega ol sehgga meghasla: L (,, ) 0 f g L (,, ) 0 (, ) (, ) 0 f g (, ) (, ) 0 (a) (b) L (,, ) g (, ) 0 Dar ersamaa (a) da (b) aa dhasla tt estrm (, ) yag beradaa dega fugs g(, ) 0 dsebut egal Lagrage [Rao, 978] Teorema Amlo Teorema Amlo adalah teorema dasar yag dguaa utu meyelesaa masmsas masalah dalam mroeoom Peryataa dar teorema sebaga berut: Dbera masalah masmsas arbtras dega suatu fugs f bergatug ada arameter a: M ( a) ma f (, a) dega fugs M ( a) membera la masmal dar fugs f sebaga fugs dar arameter a Dbera ( a) la dar yag megatas masmsas masalah dalam arameter a sehgga M ( a) f ( ( a), a) Teorema amlo meyataa bagamaa erubaha M ( a) sebaga erubaha arameter a, yatu: dm a f a da a ( ) (, ) ( a ) Turua ertama dar M bergatug ada a yag dbera oleh turua arsal dar f (, a ), teta, emuda dhtug lha otmal ( ) Dega dredsa ( a) Fugs Koaf [McLea, 999] Defs 8 (Fugs Koaf) Fugs f dataa fugs oaf ada selag I a da haya a f ( ( ) ) f ( ) ( ) f ( ) utu seta, I da utu seta 0 Ja yag berlau f ( ( ) ) f ( ) ( ) f ( ) utu da 0 maa f dataa fugs oaf semura (strctly cocave) [Peress, 988] Fugs Keuasa Vo Neuma da Morgester Defs 9 (Fugs Keuasa Vo Neuma da Morgester) Fugs euasa U ddefsa oleh ' Dega dbera m ( m, m m ) adalah egeluara yag alg dsua da m ( m, m m ) adalah egeluara yag alg sedt dsua Utu masg-masg egeluara m ddefsa u( m) q sehgga m ( m ( q), m ( q)) Fugs euasa Vo Neuma da Morgester utu m ' adalah la yag dharaa dar fugs euasa u( m) sebagamaa ddefsa ()

4 U( m ( q ), m ( q ),, m ( q )) q u( m ) q u( m ) q u( m ) Two-fud Searato () [Goyal da Saea, 008] Defs 0 (Two-fud searato) Two-fud searato berlau a da haya a ortofolo otmal utu seta fugs euasa u U teta dar fras ostf yag dvestasa dalam ortofolo asar da ssa aset berso dtulsa T E[ u '( ) ] 0, 0 u U Ja, vestor aa memam (megambl short osto dalam aset berso), a, vestor aa memama (megambl log osto dalam aset berso), a vestor aa meaha ortofolo asar taa memama atau memam [Post da Vers, 005] Portofolo Otmal Berdasara Model Marowtz Model Marowtz meruaa model yag megguaa dua arameter yag memegaruh eutusa vestor utu bervestas, yatu la haraa mbal hasl, E( R ), da rso aset, σ Model Marowtz berladasa asums sebaga berut: Haya dua arameter yag memegaruh eutusa vestor dalam bervestas, yatu la haraa mbal hasl da rso Ivestor bersfat rs averse Artya utu ortofolo dega mbal hasl yag sama vestor aa memlh rso yag alg ecl, da uga bla dhadaa ada tgat rso yag sama vestor aa memlh ortofolo yag meml la haraa mbal hasl alg tgg 3 Ivestor meml erode vestas yag sama Ivestor uga meml erses yag sama utu la haraa mbal hasl, ragam da oragam dar ortofoloortofolo yag ada d asar 4 Dalam embetua ortofolo, haya seurtas berso saa yag dlhat 5 Ada seurtas yag derdagaga dega ragam berhgga da la haraa mbal hasl yag berbeda Imbal hasl yag dharaa dar suatu ortofolo adalah eumlaha mbal hasl yag dharaa dar seta seurtas dala dega roors masg-masg seurtas dalam ortofolo E( R ) la haraa mbal hasl da adalah meruaa roors seurtas dalam ortofolo atau dtuls sebaga E( R ) E( R ) Karea dalam embetu ortofolo haya dlhat seurtas yag berso saa, maa umlah roors dalam suatu ortofolo adalah satu, atau secara matemats dtuls Ragam ortofolo, meruaa rso dar ortofolo adalah roors seurtas e- dalam ortofolo Secara matemats ragam dar suatu ortofolo dtulsa sebaga berut Var( R ) Cov( R, R ) Cov( R, R ) Cov( R, R ) Cov( R, R ) Dega meulsa Cov( R, R ) Var( R ), dega Var( R ) adalah ragam seurtas e- maa Var( R ) Var( R ) Var( R ) Cov( R, R ) Cov( R, R ) Cov( R, R ) ( ) ( ) (, ) Var R Var R Cov R R ; Karea Cov( R, R ) Cov ( R, R ) dega Cov( R, R ) adalah oragam seurtas da utu da maa ( ) ( ) (, ) Var R Var R Cov R R ; Portofolo Marowtz dguaa utu memlh sehgga Var( R ) mmum atau daat dtuls { } m Var( R ) dega edala Model Ides Tuggal [Va Keee, 00] Model des tuggal dguaa utu meyederhaaa eghtuga ada model Marowtz Model ddasara ada

5 aggaa bahwa harga seurtas berubah searah dega harga des asar Model des tuggal adalah model yag meyataa bahwa mbal hasl seta seurtas memuya hubuga dega mbal hasl ortofolo asar Portofolo asar adalah ortofolo yag terdr atas semua seurtas yag ada d asar da ortofolo asar daat dwal oleh des asar Hubuga mbal hasl dar suatu seurtas dega mbal hasl des asar daat dtulsa sebaga berut R c b Rm ;,,, dega R :mbal hasl seurtas, c : suatu eubah aca yag meuua omoe dar mbal hasl seurtas yag tda bergatug ada asar, b : oefse rso yag meguur R m erubaha R abat dar erubaha R, m : Tgat mbal hasl dar des asar, uga meruaa eubah aca c adalah omoe mbal hasl yag Karea tda bergatug ada mbal hasl asar maa c daat decah mead la yag dharaa ( a ) da esalaha/resdu ( ) yag dtulsa sebaga berut c a ;,,, Sehgga hubuga mbal hasl dar suatu seurtas dega mbal hasl des asar daat dtulsa sebaga berut R a b R ;,,, m dega E( ) 0, area ersamaa tersebut berfugs meduga mbal hasl seurtas suaya la yag dduga medeat la yag sebearya maa dharaa tda ada esalaha atau esalahaya medeat ol Pada model des tuggal, mbal hasl dar seurtasya daat uga dyataa dalam betu la haraa mbal hasl [Bode, et al, 00] Catal Asset Prcg Model (CAPM) Kemamua utu megestmas mbal hasl da rso sebuah seurtas dvdual meruaa hal yag sagat etg da derlua oleh vestor eta heda meaama modalya ada sebuah asar seurtas Catal Asset Prcg Model (CAPM) meruaa suatu model utu memreds esembaga mbal hasl yag dharaa dar suatu aset berso Model membera reds tetag bagamaa hubuga atara rso da mbal hasl yag dharaa Pedeata berladasa ada asumsasums berut: Terdaat baya vestor, merea bertda sebaga rce taers yatu seta tdaa yag merea laua secara eroraga tda memegaruh harga suatu seurtas Seluruh vestor merecaaa utu satu erode vestas yag sama 3 Ivestas dbatas haya ada aset euaga yag derdagaga secara umum seert saham da oblgas 4 Ivestor tda membayar aa atas mbal hasl da uga tda terdaat baya trasas atas erdagaga seurtas 5 Seluruh vestor berusaha megotmala mbal hasl rso yag rasoal 6 Seta vestor memuya haraa yag sama utu seta modal yag dvestasaya [Bode, et al, 00] PEMBAHASAN Pembetua Harga Aset Modal (CAP) Model dar embetua harga aset modal yag basa dsebut Catal Assets Prcg Model (CAPM) membera reds tetag hubuga atara rso da mbal hasl yag dharaa CAPM memreds la haraa mbal hasl berdasara asums bahwa seluruh vestor megguaa daftar ut yag sama, yatu estmas yag sama tetag mbal hasl yag dharaa, ragam da oragam Keta seluruh vestor daat memam da member ama daa ada tgat bebas rso, maa seluruh vestor aa memuya tt ortofolo yag otmal Keta ama dbatas, maa suu buga ama lebh tgg darada suu buga embera ama sehgga ortofolo asar tda lag meruaa ortofolo otmal