- PDF Free Download

Transkripsi

1 BB 1 DSR-DSR NLSS DLM LMU MEKNK BHN 1.1. Kedudukan Mekanika Bahan dalam Teknik Sipil Mekanika bahan merupakan ilmu ang mempelajari karakteritik elemen truktur berkaitan dengan kekuatan (trength), kekakuan (tiffne) dan tabilita (tabilit) akibat adana beban ang bekerja pada item truktur. Suatu item truktur pati dirancang untuk memenuhi fungi tertentu dan menanggung pengaruh luar ang mungkin terjadi. Sebuah gedung perkantoran berfungi untuk melindungi komunita manuia ang melakukan aktifita di dalamna, menanggung dan melindungi egala peralatan ang terimpan di dalamna, memikul berat endiri erta mampu menahan beban angin maupun gempa ang mungkin terjadi pada bangunan terebut. Beban maupun pengaruh luar ang bekerja pada uatu item truktur akan menimbulkan tanggap (repone) dari item truktur itu endiri. Struktur ang pada awalna menempati kedudukan awal (initial configuration) ang eimbang dengan beban nihil, akan berpindah untuk mencapai kedudukan akhir ang berimbang dengan beban ang bekerja. Perpindahan (diplacement) pada etiap titik bermateri dalam item truktur terjadi ecara tidak eragam ehingga menimbulkan deformai. Hal inilah ang menimbulkan gaa dalam pada etiap elemen truktur, ebagai reaki akibat bekerjana beban luar untuk diterukan ke bagian tumpuan. lmu mekanika bahan ini angat berguna dalam membantu para ahli di bidang teknik ipil untuk melakukan perancangan truktur ecara optimal ang memenuhi peraratan; a.) Setiap elemen haru mampu menahan gaa luar (eternal force) ang bekerja dalam item truktur. b.) Deformai ang terjadi akibat bekerjana beban pada emua elemen truktur tidak boleh terjadi ecara berlebihan mekipun kekuatan 1 widodo@un.ac.id

2 c.) material ang digunakan maih mencukupi. Hal ini diebabkan karena deformai ang terlalu bear akan menebabkan tidak optimalna fungi item truktur dan timbulna raa tidak aman dan naman bagi penggunana. Pada aat beban bekerja, emua elemen truktur haru tetap dalam kondii eimbang. Stabilita truktur ang tidak memadai dapat menimbulkan deformai tidak diperkirakan ebelumna, mialna uatu kolom langing menanggung beban akial maka akan timbulna kemungkinan kegagalan akibat fenomena tekuk (buckling). 1.. umi-umi ang digunakan Beberapan anggapan daar ang ering digunakan dalam berbagai peneleaian analii matemati berkaitan dengan mekanika bahan meliputi : a.) b.) c.) d.) e.) Kontinuita (continuit). Semua titik bermateri ang ada dalam elemen truktur dianggap elalu berhubungan ecara kontinu. Pada kenataanna tidak ada material kontinu empurna, karena etiap bahan teruun dari atom ang juga berongga. Tetapi karena elemen truktur ang diperhitungkan berukuran jauh lebih bear dari jarak uunan atom, maka aumi ini dapat digunakan. Homogen (homogeneit). nggapan ini berarti emua titik bermateri ang ada dalam elemen truktur diaumikan memiliki ifat (propertie) ang ama. otropi (iotrop). Semua titik bermateri dalam elemen truktur dianggap memiliki ifat (propertie) ang ama dalam egala arahna. Tidak ada tegangan awal (tre-free material). Hal ini berarti dalam material ang digunakan ebagai elemen truktur beba dari egala tegangan ia (reidual tre) ang mungkin timbul pada proe fabrikai. Memenuhi prinip Saint Venant ang menatakan ditribui tegangan ang terdapat pada potongan tampang melintang (cro-ection) dianggap eragam, kecuali pada bagian ujungna. widodo@un.ac.id

3 1.3. Klaifikai Elemen Struktur Bangunan Sipil menurut rah Beban Dalam bidang Teknik Sipil berbagai elemen truktur dapat dibedakan menurut jeni beban ang bekerja padana. Jeni-jeni truktur ang ering digunakan antara lain : a.) Elemen Struktur dengan Beban Longitudinal i.) Batang Tekan merupakan elemen truktur dengan beban akial tarik. ii.) Batang Tarik merupakan elemen truktur dengan beban akial tekan. iii.) Kolom merupakan batang tekan ang pada umumna diletakkan dengan poii vertikal. b.) Elemen Struktur dengan Beban Tranveral i.) Balok ang pada maing-maing ujungna diberikan tumpuan. ii.) Kantilever merupakan balok dengan tumpuan jepit pada alah atu ujungna. c.) Elemen Struktur dengan Beban ang bekerja di ata Luaan Bidang i.) Plat merupakan elemen truktur berupa luaan ang pada umumna diletakkan pada poii horiontal dengan beban tranveral diatana. ii.) Panel merupakan ejeni plat dengan poii vertikal. iii.) Cangkang merupakan elemen truktur ejeni plat ang berbentuk kurvatur. a.) i. a.) ii a.) iii b.) ii 3 widodo@un.ac.id b.) i

4 1.4. Tumpuan Jeni-jeni tumpuan ang ering digunakan dalam bidang teknik ipil dapat dibedakan menurut arah reaki dan kekangan ang diberikan. Jeni-jeni tumpuan terebut meliputi : c.) i c.) iii a.) Rol merupakan tumpuan ang hana memberikan reaki dalam arah vertikal, ehingga terjadi pergerakan dalam arah horiontal dan rotai. b.) Sendi merupakan tumpuan ang memberikan reaki dalam arah vertikal dan horiontal, ehingga hana terjadi perpindahan dalam bentuk rotai. c.) Jepit merupakan jeni tumpuan ang mampu memberikan reaki dalam bentuk gaa arah vertikal, horiontal dan momen ehingga tidak ada lagi pergerakan ang dapat terjadi. a. b. c. Gambar 1.. Jeni Tumpuan dan rah Reaki 4 widodo@un.ac.id c.) ii Gambar 1.1. Jeni Elemen Struktur dan Pembebanan

5 1.5. Formulai Umum Sifat Penampang Datar Dalam analii truktur, khuuna mekanika bahan ering kali muncul kebutuhan untuk mendefiniikan ifat-ifat geometri (geometrical propertie) bidang datar ang digunakan. Mialna, beban akial ang bekerja pada uatu batang akan menimbulkan intenita gaa (tegangan) ang dihitung ebagai bearan gaa per atuan lua penampang, ehingga muncul kebutuhan untuk menentukan lua tampang datar dalam perhitungan tegangan. Bahaan materi dalam bagian ini mencakup penajian formulai dan langkah penghitungan beberapa ifat geometri bidang datar. Sifat-ifat geometri tampang datar (cro-ectional propertie) ang ering diterapkan dalam mekanika bahan di antarana; lua, momen tati dan momen ineria. Semua bearan ifat tampang datar dapat diwakili oleh formulai terpadu ang ada di bawah ini. m M d (1.1.a.) n m M d (1.1.b.) m n n M d (1.1.c.) M n r m n n r d + n / ( ) d (1.1.d.) di mana M m merupakan momen ke-m dari tampang datar terhadap umbu X, M n momen ke-n terhadap umbu Y dan M r n adalah momen ke-n dari tampang datar terhadap umbu Z, edangkan M m n datar Lua Penampang merupakan momen entrifugal tampang Lua tampang () merupakan lua bidang datar ang dihitung menurut fungi umbu X dan Y, mewakili lua tampang melintang elemen truktur ang widodo@un.ac.id menanggung beban di atana. Rumu untuk menghitung lua tampang 5

6 merupakan kau paling khuu dari Peramaan (1.1.) di mana m n, ehingga diperoleh Peramaan d (1..) di mana dalam tata umbu Karteiu mialna, dapat digunakan bentuk diferenial lua d d.d. Y 1.7. Momen Stati d Gambar Luaan Tampang datar Didefiniikan ebagai momen pertama luaan tampang ang dihitung berdaarkan jarak puat berat luaan () terhadap umbu ang ditinjau (X dan Y). Rumu ang digunakan untuk menghitung momen tati ini didapatkan dengan menggunakan Peramaan 1.1.a dan 1.1.b dengan nilai m 1 dan n 1, ehingga diperoleh Peramaan berikut : S S M M 1 1 d d d widodo@un.ac.id X (1.3.a.) d (1.3.b.) 6

7 1.8. Puat Berat Penampang Titik berat uatu penampang dapat dipandang ebagai ebuah titik, ang jika eluruh permukaan dipuatkan (lumped) di ana, akan memberikan momen tati ang nilaina ama terhadap kedua umbu atau terhadap umbu manapun juga, dengan kata lain momen tati uatu penampang terhadap emua gari ang melalui puat berat penampang elalu bernilai nol. bawah ini; Koordinat puat berat tampang dapat dihitung menggunakan Peramaan di. d S X (1.4.a.) d. d S Y (1.4.b.) d Y S d (X, Y ) d S d Gambar. 1.. Momen Stati Tampang datar 7 widodo@un.ac.id X

8 1.9. Momen neria Momen neria ( dan ) merupakan momen kedua dari luaan tampang () ang dihitung menurut kwadrat jarak antara puat berat luaan () dengan umbu ang ditinjau (X dan Y), edangkan momen ineria (J) ang dihitung terhadap umbu ang tegak luru luaan tampang (umbu Z) diebut ebagai momen ineria polar. Nilai ketiga jeni momen ineria terebut (, dan J) elalu berharga poitif. Momen entrifugal () ang dihitung berdaarkan jarak luaan tampang terhadap umbu X dan Y dapat mengambil emua nilai real (poitif, negatif maupun nol). Rumu ang digunakan untuk menghitung momen tati ini didapatkan dengan menggunakan Peramaan 1.1.a dan 1.1.b dengan nilai m dan n, nilai m n 1 pada Peramaan 1.1.c dan nilai n pada Peramaan 1.1.d, ehingga diperoleh Peramaan berikut : M M M r 1 1 d d d J M r d ( + ) d + X Z r (1.5.a.) (1.5.b.) (1.5.c.) (1.5.d.) Y 8 widodo@un.ac.id d Gambar Momen neria Tampang datar

9 Tabel 1.1. Momen neria Tampang ang Sering Digunakan Bentuk Tampang Empat Peregi Panjang Segitiga Siku-Siku h h b b _ X b 4.h/3.π π.b.h 3.(1/8 8/9π ) h π.h.b 3 /8 b Jo π.b.h(h /8 8h /9π + b /8) 9 widodo@un.ac.id _ Y b/ h/ b.h 3 /1 Momen neria Tampang h.b 3 /1 Jo (b.h 3 + h.b 3 )/1 b/3 h/3 b.h 3 /36 h.b 3 /36 Jo (b.h 3 + h.b 3 )/36 -b.h /7 Lingkaran D.R D/ D/ π.d 4 /64 π.r 4 /4 Ellipe Setengah Lingkaran Semi-ellippe.h R D.b π.d 4 /64 π.r 4 /4 Jo π.d 4 /3 π.r 4 / h b π.b.h 3 /4 π.h.b 3 /4 Jo π.b.h(h + b )/4 D/ 4.R/3.π π.r 4.(1/8 8/9π ) π.r 4 /8 Jo π.r 4.(1/4 8/9π )

10 1.1. Radiu Girai Radiu (jari-jari) girai didefiniikan ebagai ebagai letak uatu titik terhadap tata umbu ang melalui puat berat tampang, di mana apabila eluruh permukaan dipuatkan di ana akan memberikan momen ineria ang ama terhadap umbu terebut. Dalam bentuk Peramaan matemati dapat dinatakan bahwa :. r. r r z. J Selanjutna radiu girai r, r dan r z dinatakan dalam rumu : 1 (1.6.a.) (1.6.b.) (1.6.c.) r (1.7.a.) 1 r (1.7.b.) 1 J r z (1.7.c.) Bearan radiu girai memberikan indikai tendeni penebaran permukaan tampang relatif terhadap puat berat. Untuk lua tampang () ang ama dengan nilai radiu girai ang lebih bear maka emakin jauh pula titik-titik permukaan menebar dari puat permukaan tampang, dan emakin kecil jari-jari girai maka emakin dekat ebaran titik-titik permukaan dari puat berat. Radiu (jari-jari) girai terhadap umbu X dan Y (r dan r ) elalu bernilai poitif Tranformai Sumbu Pemutaran tampang melintang (cro-ection) dengan kemiringan udut tertentu akan menebabkan berubahna nilai bearan ifat geometri tampang, widodo@un.ac.id 1

11 ang diebabkan terjadina perubahan jarak antara puat berat luaan tampang terhadap umbu Karteian ang digunakan ebagai acuan perhitungan ifat geometri tampang. Pemutaran umbu pada uatu tampang datar dapat digambarkan ebagai berikut : T Gambar 1.4. Tranformai Sumbu Karteian Berdaarkan Gambar 1.4 ang mengilutraikan perputaran umbu Karteian dengan kemiringan udut α, dapat diperoleh Peramaan matemati ebagai berikut :. coα +. inα (1.8.a.) t. inα +. coα (1.8.b.) Peramaan di ata jika diubah dalam bentuk matri, dapat dinatakan ebagai berikut : coα t in α Y in α co α (1.9.) Selanjutna ifat-ifat tampang datar dalam orientai umbu Karteian baru, ang meliputi momen tati (S) terhadap umbu S maupun T dan momen ineria () terhadap umbu S maupun T juga berubah, euai dengan perubahan fungi jarak terhadap titik referenina (O). O t widodo@un.ac.id Momen tati terhadap umbu ang baru berubah menjadi : 11 a S X

12 S S t S S t. d.inα. +.coα. S.coα S.inα (1.1.a.). d.inα. +.coα. S.coα + S.inα (1.1.b.) t Dalam bentuk Peramaan matri dapat ditulikan menjadi : coα inα inα S coα S widodo@un.ac.id Nilai momen ineria entrifugal dapat diperoleh dari Peramaan berikut : 1 (1.11.) Momen ineria dalam perputaran tata umbu dapat ditulikan dalam bentuk Peramaan berikut : t t t t. d (.inα +.coα). d +. d.co α. d.in α... d.in α.coα.in α +.co α..inα. 1 coα. + coα 1+ coα.. in α. +.coα.in α + (1.1.). d (.coα +.inα). d +. d.in α +. d.co α... d.coα.inα.co α +.in α..inα. + t 1+ coα. + coα 1 coα. +. in α. + t.coα +.in α (1.13.)

13 t t t. t. d (.coα +.inα).(.inα +.coα). d. d.inα.coα.. d.in α +. d.coα.inα +.. d.co α. coα.inα +.inα.coα.in α.co α + in α in α 1 coα 1+ coα t t.in α +.co α (1.14.) Nilai ektrim momen ineria erta arah tata umbu ang berangkutan (ang ditentukan oleh udut rotai α relatif terhadap umbu X) dapat diperoleh dengan menamakan turunan terhadap α dengan nol, ehingga diperoleh : +.coα.in α + d..in α..coα dα. +.coα.in α..coα +.in α ( ) ( ).in α..co in α. coα ( α ). tan α (1.15.) ( ) nalog Peramaan di ata maka diperoleh :. tan α t (1.16.) ( ) widodo@un.ac.id 13

14 Sudut putar untuk mendapatkan nilai momen ineria entrifugal ektrim dapat diperoleh menurut Peramaan di bawah ini : t.in α +.co α dt..coα..in α dα..coα.in α..in α.co ( ) α in α + coα. ( ) tan α t + (1.17.). nalii ifat tampang datar akibat tranformai umbu juga dapat dilakukan dengan cara grafi ang dikenal dengan Metode Lingkaran Mohr. Keandalan metode ini angat tergantung pada kecermatan penggambaran, ketelitian pengukuran kala dan udut putar. Berikut ini diampaikan urutan langkah penggambaran Lingkaran Mohr untuk analii ifat tampang datar : a.) b.) c.) d.) e.) Tentukan uatu tata umbu Karteiu dengan bearan dan diukurkan pada umbu abi dan bearan pada ordinat dengan kala ang tepat. Tentukan titik O ebagai puat lingkaran dengan nilai ( + )/ pada arah umbu mendatar. Pada titik dengan abi dan, maing-maing diukurkan ebagai ordinat, ehingga diperoleh titik (, ) dan titik B(, - ). Gambarkan lingkaran dengan puat titik O(( + )/,) melalui titik dan titik B. Jari-jari lingkaran ini dapat dihitung ebear Perpotongan lingkaran dengan umbu abi memberikan nilai dan ektrim (makimum di ebelah kanan (C) dan minimum di ebelah kiri ()) widodo@un.ac.id +.

15 f.) rah umbu ektrim a a t untuk mendapatkan ineria makimum diberikan oleh etengah udut OC ang etara dengan bear udut DC, atau etengah udut BOD. rah umbu ektrim a t diberikan ebagai etengah udut OE atau etengah udut BOF. Dalam hal ini perputaran umbu dianggap poitif jika berlawanan dengan putaran jarum jam. Keterangan : + E D O C B F (, ) B(, - ) C( ma, ) D( min, ) E(, t ma ) F(, t min ) Gambar 1.5. Lingkaran Mohr untuk nalii neria Tampang 15 widodo@un.ac.id

16 aitu : Berdaarkan Gambar 1.5, ada beberapa hal penting ang dapat diampaikan a.) b.) c.) d.) e.) Tata umbu ang memberikan nilai dan t ektrim membentuk udut ebear π/4 atau 45 o ektrim. terhadap umbu ang memberikan nilai t Pada aat nilai ektrim untuk dan t tercapai, maka nilai t elalu berharga nol. Untuk kau dengan, maka nilai dan pada umbu abi juga merupakan nilai dan t ektrim. Pada kau dimana nilai dan, maka nilai t untuk emua arah umbu. Nilai t ektrim ama dengan bearna jari-jari lingkaran mohr ang terbentuk, atau dapat juga dinatakan ebagai etengah dari eliih momen ineria non-ilang makimum dan minimum (( ma min )/). Selanjutna nilai momen ineria ektrim dapat dihitung dengan Peramaan di bawah ini : ma + ± + (1.18.) 1 ma ± + (1.19.) t 1.1. Contoh Penerapan Contoh 1.1. : Suatu balok ang memiliki bentuk tampang T, dengan ukuran ang tercantum pada Gambar 1.6. Hitung nilai ineria ektrim dari tampang balok terebut widodo@un.ac.id 1

17 Peneleaian 1 cm widodo@un.ac.id d d 1 Y 1 Y Y 75 cm 45 cm 3 cm 45 cm Gambar 1.6. Tampang Melintang Balok T Untuk mempermudah peneleaian oal, dapat digunakan tabel perhitungan dengan membagi tampang melintang balok menjadi dua bagian luaan. a. Perhitungan ifat tampang dengan acuan umbu X Bagian Lua (cm ) (cm) S (cm 3 ) d (cm) (cm 4 ).d (cm 4 ) 1 8, 96, 4,7 1, 73394,8 5 37, , -17, , ,9 ΣS Y 55, 8 Σ , , ,98 cm X X + d , , ,48 cm 4 17

18 b. Perhitungan ifat tampang dengan acuan umbu Y Bagian Lua (cm ) (cm) S (cm 3 ).. tan α ( ) 597, , a 18 widodo@un.ac.id d (cm) (cm 4 ).d (cm 4 ) ΣS 7 X 6 Σ cm Y Y + d 16875, +, , cm c. Perhitungan momen ineria entrifugal Bagian Lua (cm ) (cm) (cm) d (cm) 4 d (cm).d.d (cm 4 ) 1 6 8, 4, ,5-17,78 XY Σ. d. d cm d. Perhitungan momen ineria ektrim cara analiti

19 coα.in α.co..in. 597, , 597, , +.co 597, , 597, , , ,4 597,48 cm 4 e. Perhitungan momen ineria entrifugal ektrim cara analiti tan α tan t α t a t 45 + ( 597, ,). t.in α +.co α t.in.45 + t t t.co , ,.in 9 597, , ,4 + t 456,4 cm 4 widodo@un.ac.id +.co9.in 19

20 f. Penentuan momen ineria ektrim dengan lingkaran Mohr i.) ii.) B D a t 45 widodo@un.ac.id O Gambar 1.7. Lingkaran Mohr Berdaarkan Gambar di ata dapat ditentukan ecara kalati bahwa Bearna momen ineria ektrim pada titik C berimpit dengan titik, maka ma 597,48 cm 4 Bearna udut putar untuk mendapatkan momen ineria ektrim pada titik C dapat diukur menurut udut OC.a a iii.) Bearna momen ineria entrifugal ektrim pada titik E dapat diukur menurut jari-jari lingkaran Mohr, atau ebear t ma R ma min 456,4 cm 4 E 597, , iv.) Bearna udut putar untuk mendapatkan momen ineria entrifugal ektrim pada titik E dapat diukur menurut udut OE.a t 9 F C

21 Soal Latihan 1.1. Tentukan bearan ifat-ifat tampang berikut nilai momen ineria ektrim dari bentuk-bentuk penampang ang tergambar di bawah ini : a.) mm c.) 8 mm 11 mm 1 mm 11 mm b.) 1 mm 1 mm 1 mm 1 mm mm mm mm 1 widodo@un.ac.id 11 mm

22