Transkripsi

1 4.1. nti Tampang Kolom BB 4 NSS BTNG TEKN Kolom merupakan jenis elemen struktur ang memilki dimensi longitudinal jauh lebih besar dibandingkan dengan dimensi transversalna dan memiliki fungsi utama menahan gaa aksial tekan, biasana kolom terpasang pada posisi vertikal. ada Gambar 4.1 dapat ditunjukkan bekerjana gaa tekan di titik ang memiliki nilai eksentrisitas tehadap pusat berat O. Besarna tegangan ang terjadi pada penampang kolom dapat dihitung dengan menguraikan tegangan ang terjadi akibat : (a.) Gaa normal sentris terhadap pusat berat O ; (b.) Gaa momen kopel terhadap pusat berat O, aitu : M. n M. m sehingga tegangan total ang terjadi dapat dihitung dengan ersamaan berikut : σ M. M. (4.1.) a Y X 0 u O Y m b Gambar 4.1. embebanan pada Kolom 90 n v Y 0 X

2 atau σ. n.. m. (4..) Y Dengan cara ang sama dapat dihitung radius girasi sehingga ersamaan 4. dapat diubah menjadi : σ n. m r r ersamaan 4.3 akan bernilai nol jika : r r dan r, (4.3.) n. m (4.4.) r ersamaan 4.4 merupakan garis lurus ab ang disebut sebagai garis nol, aitu garis ang melalui serat-serat pada penampang kolom dengan tegangan sama dengan nol. Semua serat pada penampang kolom ang terletak pada daerah arsiran mengalami tegangan tarik sedangkan daerah ang tidak diarsir mengalami tegangan tekan. Batasan eksentrisitas pada penampang kolom ang hana menimbulkan tegangan tekan sangat penting bagi elemen struktur ang menggunakan bahan seperti beton, ang memiliki kuat tarik sangat kecil dibandingkan dengan kuat tekanna. Daerah pada penampang kolom ang merupakan batasan eksentrisitas di mana jika di dalamna dikerjakan gaa tekan maka tegangan ang terjadi pada seluruh penampang kolom masih merupakan tegangan tekan murni disebut sebagai inti tampang. nti tampang pada penampang kolom dapat ditentukan dengan menghitung batasan eksentrisitas pada setiap sisi kolom menggunakan ersamaan di bawah ini : u r (4.5.) 0 r v (4.6.) 0 91

3 4.. ersamaan Tekuk Euler Teori ang dikemukakan oleh eonhard Euler pada tahun 1744 didasarkan pada asumsi-asumsi berikut : a.) b.) c.) Kolom ang dianalisis berbentuk lurus sempurna. Beban aksial tekan bekerja secara sentris pada penampang kolom. Dimensi longitudinal kolom jauh lebih besar dibandingkan dimensi transversalna. ada kasus kolom ideal dapat digunakan berbagai macam kondisi tumpuan. ersamaan tekuk Euler pada kolom ang menggunakan tumpuan sendi pada kedua ujungna dapat diperoleh dengan cara berikut ini : Gambar 4.. Tekuk pada Kolom Bertumpuan Sendi-Sendi 9 X Y

4 d E.. M d.( ) d E... d d +. 0 (4.7.) d E. dengan k, maka ersamaan 4.7 dapat diubah menjadi : E. d + k. 0 (4.8.) d enelesaian dari ersamaan 4.8 adalah :. cos k + B. sin k di mana dan B, merupakan konstanta integrasi. ada saat 0 maka 0, sehingga diperoleh 0 Sin k 0 maka 0, 0 B.sin k k 0, π, π, 3π,... Nilai B tidak boleh sama dengan nol, karena semua penelesaian ersamaan akan selalu bernilai nol dan merupakan trivial solution, sedangkan nilai π, 3π dan seterusna tidak memberikan nilai praktis ang signifikan, maka : atau. E. π π π. E. atau Maka Beban kritis tekuk Euler pada kolom bertumpuan sendi-sendi; π. E. cr min (4.9.) 93

5 Beban kritis tekuk Euler pada kolom ideal ang lain dapat dihitung dengan cara analog seperti kasus kolom bertumpuan sendi-sendi. Formulasi beban kritis untuk jenis kolom ideal ang lain adalah : a.) b.) c.) Kolom bertumpuan sendi-jepit, Kolom bertumpuan jepit-jepit, Kolom bertumpuan jepit bebas, cr cr cr. π. E. 4. π. E. π. E. 4. min min min Formulasi tekuk Euler secara umum dapat dinatakan dalam bentuk ersamaan berikut : cr π. E. (4.10.) min k Hasil formula beban kritis pada masing-masing jenis kolom ideal menunjukkan adana perbedaan karena pengaruh nilai faktor tekuk k untuk setiap jenis kolom ideal. Nilai faktor tekuk tersebut akan mempengaruhi besarna panjang tekuk efektif k ang merupakan fungsi panjang aktual dan nilai faktor tekuk k. Besarna panjang tekuk efektif k untuk masing-masing jenis kolom ideal adalah : Tabel 4.1. anjang Tekuk Efektif Kolom deal No. Jenis Tumpuan anjang Tekuk Efektif ( k ) Sendi-Sendi Sendi-Jepit Jepit-Jepit / Jepit-Bebas. 94

6 Besarna tegangan normal kritis pada kolom ideal juga dapat ditentukan dari ersamaan Euler, aitu : min k. cr π. E. atau σ cr di mana π k. r E min k r min (4.11.) menunjukkan angka kelangsingan kolom λ, sehingga ersamaan 4.11 juga bisa dinatakan dalam bentuk. π E σ cr λ (4.1.) Tegangan kritis ang dihitung dengan ersamaan Euler hana berlaku dalam batasan hukum Hooke, sehingga : σ cr p σ (4.13.) di mana σ merupakan batas tegangan proporsional ang besarna dapat p ditentukan sama dengan nilai tegangan leleh σ. Selanjutna dengan mensubstitusikan ersamaan 4.13 ke dalam ersamaan 4.1 dapat diperoleh :. π E σ (4.14.) λ atau E λ π. (4.15.) σ Berdasarkan ersamaan di atas dapat disimpulkan bahwa ersamaan tekuk Euler hana berlaku jika angka kelangsingan kolom λ memenuhi kriteria kolom panjang ang ditunjukkan pada ersamaan ngka kelangsingan batas dapat dihitung dengan : E λ g π. (4.16.) σ 95

7 σ σ cr ersamaan arabola Johnson ersamaan Tetmaer Gambar 4.3. ersamaan Kurva Empiris Kolom Baja 4.3. ersamaan arabola Johnson Sebagaimana telah dijelaskan pada sub-bab di atas bahwa ersamaan Tekuk Euler hana sesuai untuk digunakan pada kolom panjang (slender column), di mana keruntuhan kolom tejadi akibat fenomena tekuk (buckling) ang disebabkan bekerjana gaa aksial tekan dan momen lentur ang berkerja secara simultan. ada kasus kolom pendek dengan angka kelangsingan kurang dari 30 (λ 30) kegagalan ang terjadi murni disebabkan karena bekerjana gaa aksial tekan tanpa adana lenturan sehingga besarna tegangan kritis (σ cr ) dapat ditentukan sama dengan tegangan leleh material ang digunakan (σ ). Kasus ang lain adalah kolom sedang (intermediate column) dengan angka kelangsingan berkisar dari 30 sampai angka kelangsingan batas (30 λ < λ g ) tegangan ang terjadi akibat gaa aksial dan momen lentur memiliki kontribusi ang sama-sama signifikan, sehingga sampai saat ini tegangan kritis ang terjadi dihitung menurut formula empiris ang merupakan hasil penelitian ang dilakukan para ahli, misalna penelitian oleh J.B. Johnson ang menghasilkan ersamaan arabolik Johnson dan digunakan dalam konsep perancangan menurut SC ersamaan Euler λ 96

8 Tegangan kritis pada kasus kolom sedang dapat dihitung menurut ersamaan berikut : l k σ cr σ. γ (4.17.) rmin ersamaan di atas dapat digunakan untuk menghitung tegangan kritis kolom sentris ang memiliki nilai kelangsingan lebih kecil dari angka kelangsingan batas, di mana pada Gambar 4.3 berada di sebelah kiri. Nilai γ ditentukan oleh sifat material dan ukuran geometris ang digunakan. Selanjutna beban maksimum ang boleh dikerjakan dapat dihitung dengan : σ (4.18.) cr cr ersamaan Garis urus Tetmaer ersamaan garis lurus ini merupakan hasil penelitian ang dilakukan oleh Tetmaer dan Bauschinger terhadap kolom baja struktural bertumpuan sendisendi. Hasil penelitian tersebut menghasilkan formula empiris berdasarkan tegangan tekan rata-rata ang terjadi pada kolom baja. Formula empiris ang dihasilkan adalah : l k σ cr σ β. (4.19) rmin Khusus untuk kolom baja struktural, tegangan kritis dapat dihitung dengan : l k σ cr 330 1,45. Ma r (4.0.) min ersamaan ini berlaku untuk kolom baja dengan angka kelangsingan ang berkisar 30 sampai 110 (30 λ < 110) Kolom dengan Beban Eksentris Jika suatu beban dikerjakan pada kolom dengan eksentrisitas e, maka pada suatu titik ang berjarak X akan terjadi momen lentur, M. 97

9 d E... d d +. 0 d E. atau d + k. 0 (4.1.) d Gambar 4.4. Kolom dengan Beban Eksentris enelesaian dari ersamaan di atas adalah :. cos k + B. sin k (4..) di mana dan B merupakan suatu konstanta Mengacu pada Gambar 4.4, e pada saat 0 maka diperoleh nilai e Dengan menggunakan ersamaan 4., O e d.sin k + B.cos k d 98 X Y

10 maka d d 0 pada saat 0 e.sin + B.cos atau B e.tan sehingga diperoleh ersamaan e. cosk + e.tan. sin k e. cos k + tan. sin k (4.3.) erlu diingat bahwa dalam ersamaan 4.3 terdapat nilai k, E. defleksi kolom terjadi pada semua nilai beban tidak seperti pada kasus beban aksial sentris, di mana defleksi hana terjadi pada saat cr. Defleksi maksimum terjadi pada bagian tengah kolom (kasus simetris). Sehingga ersamaan 4.3, berubah menjadi : ma e. cos + tan.sin e.sec. cos + sin e.sec (4.4.) ma pada saat nilai sec atau pada saat π atau. π E. 99

11 atau pada saat nilai π. E. cr pabila nilai (Beban kritis tekuk Euler) mencapai, hal ini merupakan kasus terburuk ang ma dalam kenatanna tidak akan pernah terjadi, maka harus dicatat bahwa pada kolom eksentris biasana beban ang dikerjakan harus lebih kecil dari beban kritis tekuk Euler. Jika Z merupakan modulus tampang σ ma di mana. ma + (4.5.) Z. e.sec + (4.6.) Z. e. 1 +.sec Z c (4.7.) Z, dengan c merupakan jarak antara garis netral penampang kolom dengan serat terluar pada sisi tekan. Sedangkan.r 0, di mana r 0 merupakan jari-jari girasi penampang kolom terhadap sumbu di mana terjadi momen lentur, maka : Z. c r 0 c.. r c 0 Berdasarkan ersamaan 4.7, σ ma e. + c. 1.sec r0 e. + c. 1.sec. (4.8.) r0 E. e r0 c.sec. r 0 (4.9) E. 100

12 Untuk mendapatkan ersamaan ang dapat berlaku untuk semua kondisi tumpuan kolom, maka digunakan besaran panjang efektif ( k ), sehingga diperoleh ersamaan : σ ma e r0 c k.sec. r 0 E. (4.30.) ersamaan di atas berlaku untuk semua jenis kolom dengan berbagai nilai angka kelangsingan k. ersamaan 4.30 dikenal dengan sebutan ersamaan Secant. r ersamaan tersebut mudah digunakan untuk menghitung besarna tegangan maksimum ( σ ) ma, jika semua data ang diperlukan telah diketahui. Namun apabila ingin dihitung harga dengan data tegangan maksimum, maka perlu dilakukan penelesaian dengan metode numeris. Cara lain ang dapat dilakukan adalah dengan menggunakan cara Webb s pproimation untuk nilai ang berlaku pada kisaran sec θ. θ 1+ 0,6. π. θ 1 π π 0 < θ <, di mana : Substitusi ersamaan 4.31 ke dalam ersamaan 4.4 mendapatkan : sec (4.31.) ,6.. ma e. π 4 1. π 1+ 0,6. cr e. 1 cr ( cr + 0,6. ) e. ( cr ) ( cr + 0,6. ) M ma.ma. e. (4.3.) ( ) cr 101

13 Selanjutna ersamaan 4.5 dapat diubah menjadi : σ ma ( e cr + 0,6. ).. ( cr ) + (4.33.) Z ersamaan 4.33 akan memberikan penelesaian ang lebih mudah jika dibandingkan dengan ersamaan 4.6 dan 4.7. ersamaan 4.31 juga dapat lebih disederhanakan lagi menjadi : sec θ 1+ 0,1. θ 1 0,4. θ Sehingga ersamaan 4.6 dapat diubah menjadi : k. 1+ 0,1.. e σ ma +. 4 Z k. 1 0,4. 4. e 4 + 0,1. k. +. Z 4 0,4. k Kombinasi Beban ksial dan Momen entur (4.34.) (4.35.) Dalam lingkup pekerjaan teknik sipil sering dijumpai kasus di mana suatu elemen struktur menerima beban ang berupa momen lentur M dan gaa aksial sebagaimana ditunjukkan Gambar 4.5, misalna pada struktur balok beton prategang atau elemen struktur ang berupa kolom. Kolom berfungsi untuk menahan beban aksial searah dengan sumbu batangna, tetapi jika gaa aksial tersebut bekerja dengan eksentrisitas m, maka akan terjadi momen lentur sebesar.m terhadap sumbu Y. M Gambar 4.5. Balok dengan Kombinasi Gaa ksial dan Momen entur M 10

14 ada kasus di atas tegangan ang terjadi dalam material ang digunakan dapat dibedakan menjadi dua, aitu : tegangan normal akibat beban aksial; dan tegangan normal akibat momen lentur; X σ a σ a σ a 103 σ a l σ ± (. m). di mana merupakan jarak beban aksial terhadap sumbu Y dan adalah momen inersia terhadap sumbu Y. Tegangan total ang bekerja pada elemen struktur tersebut dapat dihitung dengan cara superposisi antara tegangan normal akibat beban aksial dengan tegangan akibat momen lentur, di mana jika tegangan akibat momen lentur bekerja sesuai dengan tegangan akibat beban aksial (kasus di atas berupa tegangan tarik) maka diberikan tanda positif, sedangkan jika berlawanan diberikan tanda negatif. m Y m

15 σ a σ l σ l σ l σ l σ a + σ l 0 σ a + σ l σ l σ a (a.) (b.) (c.) Gambar 4.6. Superposisi Tegangan kibat Beban ksial dan Momen entur Berdasarkan ilustrasi pada Gambar 4.6 dapat dijelaskan bahwa : a.) Besarna tegangan total σ r dipengaruhi oleh tegangan normal tekan akibat beban aksial dan tegangan normal akibat momen lentur. Sisi ang mengalami tegangan tekan akibat momen lentur mengakibatkan bertambahna tegangan normal tekan, sedangkan sisi ang mengalami tegangan tarik akibat momen lentur mengakibatkan semakin kecilna tegangan tekan ang diakibatkan beban aksial, dan jika tegangan tarik ang diakibatkan momen lentur telah melebihi tegangan tekan ang diakibatkan beban aksial akan terjadi fenomena pembalikan tegangan seperti ditunjukkan pada Gambar 4.6.c. b.) dana eksentrisitas menebabkan sumbu normal tidak berimpit dengan pusat berat, namun dalam perhitungan jarak tetap dihitung dari pusat berat. Jika beban aksial bekerja dengan eksentrisitas m dari sumbu Y dan n dari sumbu X seperti terlihat pada Gambar 4.7, maka akan terjadi momen lentur ke arah sumbu X maupun Y, sehingga tegangan total ang terjadi adalah : σ a + σ l 104

16 σ r (. m). (. m). ± ± (4..) m. m. 1 ± ± r r Gambar 4.7. Beban Eksentris dalam Dua rah (4.3.) Dalam kasus ini tegangan maksimum akan terjadi pada kuadran di mana beban aksial bekerja, sedangkan tegangan minimum terjadi pada kuadran ang berseberangan Contoh enerapan Contoh 4.1 : Tentukan dan gambarkan batas-batas inti tampang dari profil berikut : 15 mm X n 15 mm Y m Y 300 mm 15 mm 300 mm Gambar 4.8. rofil WF X

17 enelesaian : Bentuk dan ukuran profil pada Gambar 4.8 simetris dalam arah vertikal maupun horisontal, sehingga garis berat berimpit dengan sumbu-sumbu simetrina. uasan tampang ( 30015) + (15 70) mm Momen inersia tampang 3 X mm mm mm 4 Y i X i Y Garis maka mm mm mm ,41 mm Y ,604 mm B i u mm 0 530,604 0, mm 4 mm i 14467,41 v 96, mm D b 3 b b 1 B b 4 C

18 b ( u; v) (0,00; 96,45 mm) karena simetris b 1 ( u; v) (0,00; 96,45 mm) Garis maka BC i u mm ,604 34, i 14467,41 v 0, 00 b3 ( u; v) ( 34,87 mm; karena simetris b 4 ( u; v) (34,87 mm; 0 0,00) 0,00) (-34,87; 0,00) (0,00; -96,45) mm Contoh 4. : Sebuah kolom setinggi 7 m dengan kondisi ujung sendi-jepit mm (0,00; 96,45) (34,87; 0,00) menggunakan profil WF seperti ang ditunjukkan pada Gambar 4.8 dengan tegangan leleh 40 Ma dan modulus elastisitas 10 Ga, tentukan besarna beban aksial maksimum ang boleh dikerjakan pada kolom tersebut. 107

19 enelesaian : Sifat tampang ang telah dihitung sebelumna mm X mm 4 Y mm 4 i X i Y 10,8 mm 7,3 mm ngka kelangsingan l λ k r min λ 68, ,3 Kelangsingan batas. E λ g π π σ 40 λ g 131,4 karena λ<λ g, maka kolom baja tersebut tergolong sebagai kolom sedang dan untuk analisisna dapat digunakan ersamaan arabolik Johnson : 1 lk σ cr 1. ( σ ) C. r min (40) 131,4.7,3 07, 45 Ma maka beban aksial maksimum ang boleh dikerjakan adalah : cr σ cr 07, ,65 kn 108

20 Contoh 4.3. : Sebuah batang tekan dengan panjang 1 m, diameter luar 70 mm enelesaian : dan diameter dalam 60 mm, kedua ujungna bertumpuan sendisendi menerima gaa tekan dengan eksentrisitas 5 mm. Hitung beban maksimum ang dapat dikerjakan, jika batas tegangan ang diijinkan 50 Ma dengan nilai elastisitas baja sebesar 00 Ga. uas tampang () batang tekan, π.( ) mm Eksentrisitas (e), e 5 mm Momen inersia tampang (), π 4 4.( ) mm 4 Modulus tampang (Z), Z c mm 3 Menggunakan ersamaan 4.3, sec 1+ 0,1. 1 0, ,1. E ,4. E , ,

21 1+ 0,1. 0, ,4. 0, , ,43410 Berdasarkan ersamaan 4.6, σ ma ,1. 0,4.. e.sec + Z 6 5 0, , , ,4. 0, , , , ,1. 0,4. 9, N atau 0, N 6 6 Digunakan nilai beban terkecil, sehingga beban maksimum ang diijinkan adalah 18 kn. Soal atihan 4.1. Sebuah kolom bertumpuan jepit-sendi dengan bentuk tampang lingkaran berlubang sepanjang 8 m ang digunakan untuk menahan gaa tekan 400 kn, jika ditentukan diameter luar ang digunakan adalah 00 mm dan nilai elastisitas besi tuang sebesar 80 Ga, hitung tebal penampang ang diperlukan dengan menggunakan ersamaan Euler! 110

22 4.. Diketahui profil baja dengan bentuk tampang tergambar 8 mm 50 mm 10 mm 110 mm a. Tentukan daerah inti tampang profil tersebut! 0 mm b. Jika profil di atas digunakan sebagai kolom dengan panjang aktual 5,00 meter dan kondisi tumpuan kedua ujungna adalah jepit-bebas, sedangkan tegangan lelehna 40 Ma dengan modulus elastisitas 00 Ga, tentukan beban kritis ang boleh dikerjakan pada kolom tersebut! 4.3. Sebuah tiang terbuat dari baja dengan tegangan maksimum ang diijinkan sebesar 10 Ma, panjang tiang adalah 3 m dengan kondisi kedua ujungna bertumpuan sendi-sendi. Diameter luar tiang terukur sebesar 60 mm dengan tebal 6 mm. Jika gaa tekan () pada tiang baja tersebut dikerjakan dengan eksentrisitas 15 mm, hitung maksimum ang diijinkan! 4.4. Suatu balok beton prategang berbentuk segi empat dengan lebar balok 35 cm dan tinggi 60 cm diberi gaa tekan secara konsentris (di pusat berat) sebesar 500 kn, jika kuat tekan karakteristik beton (fc ) sebesar 50 Ma, dan tegangan tarik ang diijinkan pada beton sebesar 5 Ma, hitung beban terbagi rata ang boleh dikerjakan di atas struktur balok! 10 m 111