APROKSIMASI NON-UNIFORM SPASIAL PERSAMAAN PANAS 1D DENGAN FINITE POINTSET METHOD

Transkripsi

1 Indonesan Sysmphosum on Computng 05 ISSN : APROKSIMASI NON-UNIFORM SPASIA PERSAMAAN PANAS D DENGAN FINITE POINTSET METHOD Putu Harry Gunawan, Frska Frstella Industral and Fnancal Mathematcs Research Group. Faculty of Mathematcs and Natural scences, Insttut Teknolog Bandung, Jalan Ganesha 0, Bandung 403, Indonesa. Computatonal Scence. Faculty of Mathematcs and Natural scences, Insttut Teknolog Bandung, Jalan Ganesha 0, Bandung 403, Indonesa harry.gunawan.putu@gmal.com, frskafrstella@ymal.com Abstrak Hampran numerk satu dmens (D) dar persamaan panas dengan metoda partkel dabarkan. Metoda Fnte Pontset Method (FPM) dgunakan untuk mencar solus numerk dar persamaan panas. Komparas hasl numerk FPM dengan hasl numerk metoda beda hngga dan solus analtk uga dperlhatkan. Hasl solus numerk metoda FPM dperlhatkan sesua dengan solus analtk. Tabel dskrt analtk. -norm eror uga dberkan untuk melhat kekonvergenan solus numerk terhadap solus Kata kunc : Persamaan panas, metoda numerk, metoda partkel, FPM.. Pendahuluan Persamaan panas merupakan persamaan dferensal parsal tpe hperbolk yang menggambarkan suatu perpndahan panas sepert temperatur pada suatu daerah dan waktu tertentu. Dalam satu dmens (D), persamaan panas pada daerah perhtungan atau doman ( 0, ) dapat dtuls dalam bentuk u u, t 0, x () t x u ( t, 0, t 0, x () dengan adalah konstanta postf, dan u adalah suatu fungs yang menggambarkan temperatur panas pada lokas spasal dan akan berubah nla bergantung terhadap waktu. Batas daerah perhtungan atau doman dtetapkan dengan batas drchlet yatu dengan batas nla tetap konstan (dalam hal n 0) untuk setap waktu. Berbaga macam metoda numerk untuk menghampr solus persamaan (-) datas sudah dpaparkan d dalam berbaga referens (sebaga contohnya dapat dlhat d [,3,6]). Salah satu metoda numerk yang sangat sederhana yang basanya dgunakan untuk menghampr solus persamaan (-) adalah metoda beda hngga (Fnte Dfference Method - FDM). Metoda tersebut menggunakan expans Taylor untuk menghampr suatu turunan fungs, dalam tulsan n yakn fungs. Selan tu, metoda beda hngga merupakan mesh method yatu suatu metoda dmana dskrtsas spasal dlakukan dengan membag doman perhtungan menad beberapa grd atau ttk. Dalam peneltan n, kam tertark untuk menggunakan metoda lan selan metoda beda hngga, dmana dalam dskrtsas spasal tdak menggunakan grd atau meshfree yatu dengan Fnte Pontset Method (FPM) yang dperkenalkan oleh Twar, dkk [,7,8,9,0]. Metoda FPM dkenal sebaga partcle method karena doman perhtungan tdak lag berupa grd akan tetap berupa partkel-partkel bebas yang possnya bsa berubah d setap waktu (lhat [7,0]). Pada tulsan n akan delaskan bagamana metoda FPM dapat dgunakan untuk menghampr turunan spasal suatu partkel dar beberapa partkel tetangganya. Meskpun menghampr turunan spasal suatu partkel dengan umlah partkel tetangga yang banyak, metoda n tdak banyak membutuhkan perubahan dalam skema numerk yang dapat terad pada metoda FDM. Hal nlah yang menad kelebhan dar metoda FPM dalam menghampr turunan spasal terhadap metoda grd lannya. Sebaga tambahan, dengan adanya nla turunan setap partkel maka dharapakan dapat daplkaskan untuk menghampr persamaan panas. Dalam penyusunan dskrtsas nsal partkel pada peneltan n, dharapkan dapat dsebarkan secara nonunform (tdak seragam). Tentu saa, dengan menggunakan metoda FPM, dskrtsas partkel secara tdak seragam sangat mudah dtangan. Sebaga tambahan, smulas numerk dar FPM akan dberkan dengan perbandngan terhadap solus analtk dan uga dar FDM. Untuk melhat kekonvergenan solus numerk dar FPM, maka dalam tulsan n akan dberkan tabel dskrt -norm eror. x u t 79

2 Indonesan Sysmphosum on Computng 05 ISSN : Makalah n dsusun sebaga berkut, pada Bab Metoda FPM akan dabarkan untuk menghampr turunanturunan spasal. Bab 3 akan membahas hasl smulas numerk dar persamaan panas. Terakhr, kesmpulan dar makalah akan dberkan pada Bab 4.. Fnte Pontset Method FPM merupakan metoda partkel yakn tanpa menggunakan dskrtsas grd. Metoda n sudah banyak daplkaskan dalam berbaga smulas alran fluda yang compressble maupun ncompressble (lhat [7,8,0]). Pada umumnya, metoda n dgunakan untuk masalah yang memlk daerah komputas dua dmens ( tetap, dalam peneltan n penuls akan menggunakan FPM pada persamaan panas untuk satu dmens ). Akan. Gambar. Hampran partkel dalam fungs kernel W dengan radus h. Dberkan sebaran poss N partkel x,,,, N yang sebarannya dapat berupa sebaran acak (lhat Gambar ). Partkel-partkel tersebut merupakan ttk-ttk grd dar daerah komputas yang akan kam gunakan. Selanutnya, msalkan sembarang partkel h x dan tentukan uga partkel tetangganya yang berarak tdak lebh dar radus. Selan tu, pada peneltan n kam perkenalkan weght functon atau fungs kernel W W( x x, h) dengan nla compact support h yang basanya bernla cukup kecl. Berbaga macam fungs kernel untuk metoda partkel dapat dlhat d berbaga macam referens [4-5]. Dalam tulsan n kam akan menggunakan Gaussan weght functon yang uga dapat dtemukan d [7,0] dengan bentuk: r exp W ( x x, h) h 0 x x r f h otherwse dengan r dan sebuah konstanta postf. Untuk menghampr persamaan panas satu dmens, FPM mengaproksmas fungs ( pada setap partkel dengan menggunakan ekspans Taylor. u u u( x ) u( ( x ( x e (4) x x dengan x menyatakan poss partkel ke- ( N merupakan resdu eror. Selanutnya, tuls persamaan (4) dalam bentuk persamaan matrks yakn, e Ma b (5) dengan (3) u, dalam hal n x,,, ), N adalah umlah partkel dalam smulas dan e x 80

3 Indonesan Sysmphosum on Computng 05 ISSN : dx dx M, dxn dx N (6) u( x ) u( b, u( xn ) u( (7) u dan a x. u x (8) a Menurut Twar [7], vektor dapat dhtung dengan memnmumkan weghted error pada ttk-ttk tetangganya. Sehngga, harus memnmumkan persamaan bentuk kuadratk berkut N T J We Ma b Ma b, (9) dengan W Dengan memnmumkan J T a M M M 0 0. (0) W N b dar persamaan (9), vektor a dapat dperoleh sebaga berkut T, () dmana konds matrks M T M harus berupa matrks non sngular. Nla dar vektor pada persamaan (8) terdr dar nla hampran turunan spasal pertama dan kedua yang selanutnya akan dgunakan untuk menghampr persamaan (). Berkut bentuk dskrt untuk persamaan () u n u n n dengan u u( t t, x ) dan 3. Smulas Numerk u t () x FPM u x FPM adalah nla dar vektor a bars kedua. Dalam bab berkut n, algortma dar persamaan-persamaan FPM pada Bab akan dberkan untuk menghampr persamaan panas satu dmens. Selanutnya beberapa smulas numerk akan dtamplkan untuk melhat kemampuan FPM untuk menghampr persamaan panas satu dmens dengan arak antar partkel tdak seragam. Sebaga tambahan, tabel dskrt numerk yang ddapatkan. 3.. Algortma -norm eror akan dsuguhkan untuk melhat kekonvergenan solus Berkut akan dberkan algortma FPM datas untuk menghampr solus persamaan panas satu dmens. Tabel Algortma FPM angkah Instruks 0 Mula Berkan nsalsas fungs u ( 0, sesua dengan sebaran partkel yang dngnkan. a 8

4 Indonesan Sysmphosum on Computng 05 ISSN : Bentuk matrks M dar persamaan (0) dan vektor b dar persamaan (6), matrks dar persamaan (7). 3 Selesakan persamaan () untuk mendapatkan nla hampran turunan spasal kedua. 4 Htung persamaan () untuk mendapatkan nla hampran d setap langkah waktu. 5 akukan langkah -4 sampa waktu yang dngnkan. 6 Selesa Pada Tabel, tersusun algortma untuk menghampr solus persamaan panas satu dmens dengan menggunakan persamaan-persamaan FPM yang telah dabarkan d Bab. Algortma n selanutnya akan dgunakan sebaga acuan untuk menyelesakan beberapa smulas numerk d subbab berkutnya. 3.. Smulas Persamaan Panas Smulas numerk yang kam lakukan pada peneltan n menggunakan persamaan panas satu dmens (), dengan doman (0, ), konds awal : u( 0, 4x( dan konds batas drchlet : u ( t,0) 0, u( t,) 0. Pada smulas n sebaran poss awal partkel dskrtsas secara tdak seragam, doman dbag menad bagan, kr (0,0.5) dan kanan (0.5,), dengan arak antar partkel pada doman kr x dan pada doman kanan x x ), parameter lan yang dgunakan : =, t 0.5( x ) x, 3 x h (. x. Dplh u( 0, 4x( x, (0, ) Gambar. Konds awal ) x, dengan x = 0.05 dan x =

5 Indonesan Sysmphosum on Computng 05 ISSN : t = 0.03 t = 0.06 t = 0. t = 0.3 Gambar 3. Solus persamaan panas (FPM, PDM, analtk) pada t = 0.03, t = 0.06, t = 0., dan t = 0.3 Gambar merupakan konds awal pada smulas n, dapat dlhat bahwa sebaran partkel/ttk grd yang dgunakan pada smulas n tdak seragam (non-unform). Pada Gambar, terlhat bahwa partkel tersebar mengkut fungs nsal yatu fungs parabola terbuka ke bawah. Partkel yang berada d doman sebelah kanan atau x 0. 5 lebh padat dbandngkan dengan partkel d doman sebelah kr. Pada Gambar 3, dapat dlhat bahwa solus numerk dar persamaan panas satu dmens dengan menggunakan FPM cukup bak untuk menghampr solus analtknya, dan pada gambar tersebut pun dbandngkan haslnya dengan solus numerk menggunakan FDM. u( 0, Berkut kam berkan tabel dskrt dengan FPM, FDM, dan solus analtk pada berbaga nsas awal N u u dx u u FPM FDM analtk FPM FDM ( ) / analtk Eror /. x -norm eror, perbandngan solus numerk persamaan panas satu dmens Tabel x Partkel/grd dx -norm eror Eror ( ) x dan FPM x, dengan Eror ( ) FDM Dar Tabel dapat dlhat bahwa solus numerk untuk persamaan panas satu dmens dengan FPM konvergen terhadap solus analtk dar persamaan tersebut. Dan dapat dlhat bahwa untuk partkel yang semakn banyak, solus numerk dengan FPM memlk eror yang lebh kecl dar pada solus numerk dengan FDM. Pada peneltan n kam melakukan smulas lannya dengan menggunakan konds awal yang dskontnu. Konds awal : dengan =0.3, x 0.3 x 0.7 u( 0,, x (0, ), dan konds batas drchlet : u ( t,0) 0, ( t,) 0 0 lannya x = = 0.05 dan u, 83

6 Indonesan Sysmphosum on Computng 05 ISSN : (a) Gambar 4. (a). Konds awal (b) (b). Solus numerk dengan FPM u( 0, Pada Gambar 4(a) dapat dlhat bahwa sebaran partkel mengkut fungs nsal yang dskontnu berupa fungs tangga dan untuk hasl solus numerk dengan FPM d setap waktu dapat dlhat pada Gambar 4(b). Sesua dengan sfat dar solus persamaan panas [3], maka dengan fungs nsal yang dskontnu, solus pada akan selalu smooth atau kontnu. Hal n sesua dengan hasl solus numerk yang dtamplkan pada Gambar 4(b). 4. Kesmpulan t 0 Fnte Pontset Method (FPM) yang merupakan metoda meshfree, metoda n dapat dgunakan untuk menghampr solus persamaan panas. Dskrtsas partkel-partkel pada FPM dberkan secara tdak seragam atau non-unform. Perbandngan antara solus numerk FPM dengan solus numerk dar metoda beda hngga (FDM) dan solus analtk menunukkan hasl yang sangat bak. Beberapa smulas numerk dhadrkan untuk melhat kemampuan FPM untuk menangan persamaan panas satu dmens dengan fungs nsal yang beragam. Sebaga tambahan, tabel dskrt -norm eror dbuat untuk melhat kekonvergenan solus numerk terhadap solus analtk dengan menngkatkan umlah dskrtsas partkel/grd pada FPM dan FDM. Hasl kekonvergenan FPM yang dtunukkan pada Tabel sedkt lebh bak dbandngkan dengan FDM serng dengan bertambahnya umlah partkel untuk FPM atau ttk grd untuk FDM. Daftar Pustaka: [] [] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] Burden, R.., & Fares, J. D. 00. Numercal analyss. Brooks/Cole, 7. Drumm, C., Twar, S., Kuhnert, J., & Bart, H. J Fnte pontset method for smulaton of the lqud lqud flow feld n an extractor. Computers & Chemcal Engneerng, 3(), Matthe, R. M., Renstra, S. W., & ten The Boonkkamp, J. H Partal dfferental equatons: modelng, analyss, computaton. Sam. Monaghan, J. J Smoothed partcle hydrodynamcs. Reports on progress n physcs, 68(8), 703. u, G. R., & u, M. B Smoothed partcle hydrodynamcs: a meshfree partcle method. World Scentfc. Thomas, J. W. 03. Numercal partal dfferental equatons: fnte dfference methods (Vol. ). Sprnger Scence & Busness Meda. Twar, S., Klar, A., & Hardt, S. 04. Numercal smulaton of wettng phenomena by a meshfree partcle method. arxv preprnt arxv: Twar, S., & Kuhnert, J Fnte pontset method based on the proecton method for smulatons of the ncompressble Naver-Stokes equatons (pp ). Sprnger Berln Hedelberg. Twar, S., & Kuhnert, J A Numercal Scheme for Solvng Incompressble and ow Mach Number Flows by the Fnte Pontset Method. In Meshfree Methods for Partal Dfferental Equatons II (pp. 9-84

7 [0] Indonesan Sysmphosum on Computng 05 ISSN : ). Sprnger Berln Hedelberg. Twar, S., & Kuhnert, J Modelng of two-phase flows wth surface tenson by fnte pontset method (FPM). Journal of computatonal and appled mathematcs, 03(),