Efesiensi Interpolasi Spatial menggunakan Metode Dekomposisi Gelanggang

Transkripsi

1 Semnar Nasonal Statstka IX Insttut Teknolog Sepuluh Nopember, 7 November 29 Efesens Interpolas Spatal menggunakan Metode Dekomposs Gelanggang Amran 1), Nur Irawan 2), Irhamah 3), dan Subono 4) 7 Nopember 29 1) Jurusan Matematka FMIPA Unv. Hasanuddn dan Mahasswa S3, Jurusan Statstka FMIPA ITS, Surabaya Emal : amran@mhs.statstka.ts.ac.d 2), 3) Jurusan Statstka FMIPA ITS, Surabaya 4) Jurusan Matematka, FMIPA ITS, Surabaya ABSTRAK Masalah yang serng dtemu pada mplementas Interpolas Spasal menggunakan data real adalah ukuran data dan grd yang sangat besar, hal n mengakbatkan dmens matrks covarans (C) spasal yang terbentuk sangat besar. Dalam peneltan n, akan dseldk tentang aplkas metode Dekomposs Gelanggang terhadap matrks Kovarans Spatal dalam konteks Interpolas Spasal menggunakan metode Smulas Bersyarat. Dengan menganggap bahwa matrks kovarans spasal sebaga suatu matrks gelanggang atas lapangan rl ( ), matrks n dapat dnyatakan sebaga jumlah langsung dar sub modul. Selanjutnya dengan dekomposs LU pada sub modul n dperoleh matrks segtga bawah L yang dgunakan untuk membangun realsas dekomposs rng. Untuk mengukur efesens, metode n akan dbandngkan dengan metode dekomposs Lower Upper(LU) yang serng dgunakan dalam berbaga aplkas. Menggunakan data ekspermental dan ukuran grd yang sama, metode dekomposs LU dan metode dekomposs rng membangun realsas yang serupa dan varogram yang dreproduks kedua metode n dapat mempertahankan bentuk varogram data ekspermental. Dekomposs rng secara sgnfkan member penngkatan ukuran data ekspermental dan grd yang akan dsmulaskan. Kata Kunc : Smulas bersyarat,semvarogram, dekomposs LU, matrks kovarans spasal, sub modul, dekomposs gelanggang. 1

2 1. Pendahuluan Metode geostatstk basanya dgunakan untuk tujuan: Mengestmas hubungan spasal nla varabel pada lokas yang belum damat dan melakukan smulas ketdakpastan hasl nterpolas. Kedua hal tersebut dlakukan dengan metode krgng dan smulas stokastk dengan data sampel berfungs sebaga data control (syarat) atau dkenal sebaga Smulas Bersyarat. Perbedaan kedua metode n terletak pada tujuannya ( Journel dan Hujbregts, 1978). Jka ngn mengetahu varabltas spasal atau dstrbus varabel d suatu lokas depost maka dgunakan smulas stokastk. Pada smulas stokastk gambaran varabltas sebenarnya dapat dperoleh karena momen orde duanya sama dengan momen orde dua data ekspermental. Momen orde dua menunjukkan varabltas varabel spasal, sehngga untuk mendapatkan gambaran tentang varabltas spasal lokas depost dapat dlakukan melalu smulas stokastk. Salah satu metode nterpolas yang basa dgunakan dalam smulas bersyarat alah Smulas Stokastk dengan Dekomposs Lower Upper (LU), dsngkat dengan SSDLU. Dalam melakukan nterpolas dan mensmulas ketdakpastannya, dgunakan parameter varogram model. Parameter yang dmaksud antara lan : range(a), sll(co) dan lan-lan. Berdasarkan nla parameter n dlakukan proses nterpolas d lokas lannya. Dalam prakteknya SSDLU membag suatu lokas depost menjad beberapa grd, seluruh grd yang dbuat menutup lokas pengamatan, nla nterpolas dhtung berdasarkan nla nterpolas setap lokas grd yang telah dbuat. Dar hasl n dperoleh deskrps reservor yang dkenal dengan model numerk reservor. Smulas stokastk yang menggunakan grd sebaga representas lokas sebenarnya dsebut smulas berbass grd. Hasl nterpolas SSDLU selan mendapatkan nla varabel pada lokas yang tdak mempunya sampel, juga dapat mereproduks varogram ekspermental baru, dengan memerksa varogram yang dreproduks dar data nterpolas dapat dukur keakuratan hasl nterpolas. Jka varogram data nterpolas secara sgnfkan tdak berbeda atau mrp dengan varogram data ekspermental dkatakan hasl tersebut cukup akurat. Jka jumlah data dan grd dan jumlah realsas yang dngnkan sedkt maka SSDLU mampu memberkan solus yang cepat.(deutsch, dan Journel, 1992), namun 2

3 dss lan SSDLU cukup efektf jka jumlah data dan grd kurang dar serbu ( Dowd, dan Sarac, 1992). Sehngga untuk jumlah data dan grd yang lebh dar serbu dan beberapa realsas yang dngnkan, SSDLU sudah tdak akurat lag mengukur varabltas spasal varabel d lokas depost yang damat. Hal n dsebabkan karena keterbatasan kemampuan proses komputas yang harus dgunakan pada metode n. Untuk mengatas masalah tersebut, dapat dgunakan Smulas Stokastk dengan Dekomposs Rng (SSDR). SSDR merupakan pengembangan baru dar SSDLU. SSDR dapat dlakukan untuk jumlah data dan grd serta realsas yang lebh banyak. 2. Smulas Bersyarat Varabel teregonal z(s), dapat dnyatakan sebaga suatu realsas dar varabel acak statoner Z(s) dengan ekspektas m dan covarans C(h) atau varogram 2 (h). Dalam smulas stokastk akan dbuat suatu realsas dar varabel acak Z cs (s) yang somorpk dengan Z(s), yakn suatu varabel acak dengan nla ekspektas dan C(h) atau (h) yang sama. Selanjutnya realsas Z cs (s) pada lokas data ekspermen, menghaslkan nla smulas yang sama dengan nla data ekspermental : Z cs (s ) = Z(s ), s I. I hmpunan data. 2.1 Sfat-Sfat Aljabar Dekomposs LU Untuk menyelesakan suatu system persamaan yang mengandung banyak varabel, sstem persamaan tersebut dtransformas menjad sstem persamaan segtga. Metode elmnas gauss mengkonverskan sstem : Ax = y (1) ke suatu sstem segtga yang equvalen. Konvers dlakukan pada kombnas lner yang bersesuaan dengan persamaan dalam (1). Berkut akan dberkan prosedur konvers pada dekomposs matrks segtga bawah(l) dan matrks segtga atas (U) sehngga : A = LU Penyelesaan persamaan (1), dtentukan dengan dua tahap penyelesaan yakn : Lw = y, Ux = w Ax = LUx = Lw = y. 3

4 3. Metode Dekomposs Gelanggang Metode dekomposs gelanggang merupakan pengembangan metode dekomposs LU yang terbatas pada jumlah data ekspermental dan grd yang kecl. Dengan dekomposs rng kta dapat melakukan dekomposs matrks yang mempunya jumlah grd dan data ekspermental yang besar. Metode dekomposs gelanggang dapat dgunakan untuk mereduks pemakaan memor secara sgnfkan. Suatu R-modul adalah perumuman dar suatu ruang vektor dengan skalar merupakan unsur suatu gelanggang. Jumlah subgroup suatu R-modul adalah submodul. R-modul adalah jumlah langsung ( ) dar sub-modul. (Kasch, 1982). M dsebut jumlah langsung dar hmpunan { B I } sub-modul dar M, dlambangkan dengan : M = I B 2). 1). M j I I, [ Bj B I j B ] dmana, I B b fnte b B M = I dsebut juga sebaga dekomposs langsung M atas sub-modul { B I} dan dasumskan, B, I. Dalam kasus I = {1, 2,, n} hngga, M juga dtuls sebaga: M = B 1 B 2 B n. Teorema 1: B, Msal { B I } sub-modul, B M dan M = dengan : I B, persamaan 2) ekuvalen x M, penulsan x = Corollary 2: I' b, dengan b B, I I, I hngga, adalah tunggal. Jka M adalah suatu matrks gelanggang atas lapangan, maka M adalah suatu jumlah langsung B, dengan B adalah bars ke- elemen M. 4

5 Berdasarkan corollary n dan karena C dapat juga dpandang sebaga matrks gelanggang atas lapangan, maka C adalah jumlah langsung dar B. Msal C = (C j ) nxn. e = (,,, I,,, ), I matrks denttas. defnskan B = e C maka C = B dan e C = (C 1, C 2,, C n ) karena vektor (C 1, C 2,, C n ) dapat ddentfkas dengan B, akbatnya : C = e 1 C e 2 C e n C = B 1 B 2 B n Selanjutnya dekomposskan B menjad matrk segtga bawah dan matrks segtga atas, sebaga berkut : B 1 dapat dgunakan dekomposs : ec C C 2 C n L 11 L L L L L 1n 2n nn u 11 u u u u u 1n 2n nn LU L 11 U 11 = C 11 (gunakan dekomposs LU) L 1 = C 1 2 L j = C,j-1 - C j 2 j -1 L U = C,-1 - C 2 (gunakan dekomposs LU) L j = j > 4. Contoh Numerk Untuk melhat dan menganalss hasl yang dcapa oleh metode dekomposs rng, metode n akan dbandngkan dengan metode dekomposs LU. Akan dtunjukkan bahwa nla nterpolas kedua metode n serupa untuk data dan lokas data ekspermental yang sama. Pengamblan data untuk keperluan n dlakukan pada jumlah data dan grd yang dapat djangkau oleh dekomposs LU, selanjutnya dengan data tersebut dlakukan dekomposs rng untuk dbandngkan haslnya. Dsn dgunakan tujuh lokas data ekspermental, 93 realsas dan 5 x 6 lokas grd yang berukuran 2m 5

6 x 2m dan dambl dar 7 lokas sumur produks lapangan mnyak Jatbarang. Lapangan mnyak Jatbarang terletak d kabupaten Indramayu memanjang dar tmur ke barat 16 km dan dar utara ke selatan 1 km. Mnyak dan gas-bum dtemukan pada basn Jawa Barat yang merupakan suatu antklnal d bawah permukaan yang tdak selaras dar zona 4 sampa 12m, memanjang dar tmur-barat. Dua patahan besar melntang dar utara-selatan membag lapangan menjad tga blok atau patahan. Selan patahan besar juga terdapat beberapa patahan kecl. Dalam peneltan n akan dgunakan 83 data sumur sampel dengan koordnat : 117m sampa 183m arah tmur-barat dan -34m sampa 34m arah utara-selatan. Dar ketujuh data ekspermental yang dberkan, model varogram dapat dhampr dengan varogram model sotropk dengan parameter : Model varogram : Spherkal Range : 39 Sll : 3.5 Jka kedua metode dlakukan pada data ekspermental n, dperoleh hasl dalam Tabel 1: Tabel 1:Hasl nterpolas dekomposs LU dan dekomposs Rng menggunakan 7 data ekspermental 3 lokas grd. No Lokas Dekomposs LU Dekomposs Rng X Y rata-rata st.devas rata-rata st.devas E

7 Berdasarkan perbandngan nla pada Tabel 1, terlhat bahwa nla rata-rata hasl yang dcapa oleh kedua metode nterpolas hampr sama d setap lokas grd, lebh jelasnya dapat dlhat pada kontur hasl nterpolas pada Gambar 1 : a. dekomposs rng b. dekomposs LU gambar 1 : Kontur hasl dekomposs rng dan dekomposs LU dar gambar 1 terlhat bahwa hasl yang dcapa oleh kedua metode n hanya memlk sedkt perbedaan, yakn pada 128 < x < 132 dan 15 < y < 16, pada lokas n dekomposs rng mash dapat menggambarkan perbedaan kadar porostas yakn sebesar 14.8, 15. dan 15.2 sedangkan dekomposs LU menganggap d lokas tu perbedaan kadar porostas, yakn hanya 14.8 dan 15.. Hal n terjad karena adanya perbedaan elemen matrks L GD dan L GG yang bersesuaan untuk lokas yang dmaksud, elemen matrks L GD dan L GG pada dekomposs rng relatf lebh besar darpada elemen 7

8 matrks L GD dan L GG dekomposs LU. Nla elemen matrks L GD dan L GG yang bersesuaan dengan lokas lannya pada kedua metode n memlk nla relatf sama, sehngga pada lokas tersebut kadar porostas oleh kedua metode n relatf sama. Untuk menguj apakah kedua varogram yang dreproduks dar hasl nterpolas n berbeda atau tdak secara sgnfkan terhadap varogram data ekspermental, dlakukan dengan menggunakan uj ft comparson dan haslnya sebaga berkut : Dar Tabel Tabel 2 : Uj kecocokan varogram hasl nterpolas dan varogram data ekspermental pada tngkat kepercayaan 95%. Metode p-value kesmpulan Dekomposs LU Dekomposs Rng tdak berbeda secara sgnfkan. tdak berbeda secara sgnfkan. 2 dapat dsmpulkan bahwa varogram metode dekomposs rng dan dekomposs LU tdak berbeda secara sgnfkan terhadap varogram data ekspermental. Jad kedua metode n dapat mempertahankan bentuk varogram data ekspermental. Berkut dtamplkan statstk deskrptf hasl nterpolas : Tabel 3 : Statstk deskrktf data ekspermental dan hasl nterpolas Statstk Data ekspermental Hasl nterpolas dekomposs LU Hasl nterpolas dekomposs rng Mean St.Devas Koef.varas Mnmum Maksmum Dar tabel 3 dapat dsmpulkan bahwa nla rata-rata hasl nterpolas sangat dekat dengan nla rata-rata data ekspermental, selsh nla rata-rata untuk dekomposs LU =.1298 dan dekomposs gelanggang =.7548 yang menunjukkan bahwa rata-rata dstrbus hasl nterpolas dan rata-rata dstrbus data ekspermental sangat mrp. Hal n sesua dengan asums kestasoneran varabel acak Z(s). Dar uraan d atas dapat dsmpulkan bahwa hasl nterpolas yang dperoleh metode dekomposs rng serupa dengan hasl nterpolas yang dperoleh melalu metode dekomposs LU, bak metode dekomposs rng maupun dekomposs LU tetap mempertahankan struktur analss atau varogram data ekspermental. 8

9 5. Aplkas Metode Dekomposs Rng Pada Lapangan Mnyak Jatbarang Berdasarkan 83 data ekspermental yang dberkan, dperoleh statstk deskrptf sepert yang dsajkan pada Tabel 4: Tabel 4: Statstk deskrktf 83 data ekspermental Statstk 83 Data ekspermental Mean St.Devas Koef.varas Mnmum 5.57 Maksmum Model varogram 83 data ekspermental n dapat dhampr dengan : - Model(sotropk) : Spherkal - Range : 2m dan - Sll : 7.5 Lokas 83 data ekspermental ddefnskan pada grd 33 x 35 berukuran 2m x 2m sehngga jumlah grd keseluruhannya alah 1155, total data dan grd yatu : = 1238, ukuran matrks kovarans yang akan terbentuk yakn 1238 x 1238 merupakan jumlah yang sangat besar bag dekomposs LU. Dengan menggunakan dekomposs gelanggang pada matrk kovarans grd, dperoleh hasl nterpolas dengan statstk deskrptf pada Tabel 5: Tabel 5: Statstk deskrptf hasl nterpolas dekomposs gelanggang Statstk dan grafk hstogramnya : 83 Data ekspermental Mean St.Devas Koef.varas Mnmum Maksmum Gambar 2 : Hstogram hasl nterpolas dekomposs gelanggang 9

10 Nla Varogram Jka dbandngkan antara hasl nterpolas dekomposs rng matrks kovarans grd dengan data ekspermental maka dapat dsmpulkan bahwa nla rata-rata dstrbusnya mempunya selsh yang amat kecl yakn hanya :.16755, sehngga boleh dkatakan bahwa nla rata-rata dstrbus metode dekomposs rng hampr sama dengan nla rata-rata dstrbus data ekspermental. Pada Gambar 3, dtunjukkan perbandngan varogram data ekspermental dengan varogram hasl nterpolas dekomposs rng yang menunjukkan kemrpan bentuk dan nla parameternya. sampel hasl rng Jarak (m) Gambar 3 : Perbandngan varogram hasl nterpolas dekomposs rng dan varogram data ekspermental Berdasarkan uj ft comparson untuk kedua varogram dperoleh nla p-value = >.5 =, sehngga dsmpulkan bahwa kedua grafk tdak berbeda secara sgnfkan pada tngkat kepercayaan 95%. Dar hasl n dapat dlhat bahwa hasl nterpolas pada lapangan mnyak Jatbarang menunjukkan bahwa dstrbus dan varogram hasl nterpolas dekomposs rng serupa dengan dstrbus dan varogram data ekspermental. Berkut dsajkan hasl nterpolas porostas pada lapangan mnyak jatbarang menggunakan 83 data ekspermental melalu dekomposs rng matrks kovarans grd dengan 13 realsas yang dtamplkan dalam kontur kadar porostas: 1

11 Gambar 4 : Kontur kadar porostas dengan dekomposs rng. Dar Gambar 4, terlhat bahwa pada koordnat x > 17. dan y > 2; 14. < x < 16. dan y > 22; 136 < x < 15 dan y < -26; serta 136 < x < 156 dan < y < 18 merupakan daerah yang memlk nla rata-rata kadar porostas lebh tngg darpada kadar porostas lokas lannya. 4. Kesmpulan Metode Dekomposs Lower-Upper(LU) banyak dgunakan dalam karaktersas reservor karena mudah untuk dgunakan, menjalankan smulas dengan data bersyaratnya secara serempak, tdak terbatas pada bentuk fungs kovarans, sehngga dapat pula dgunakan pada kasus ansotropk. Metode Dekomposs Rng merupakan pengembangan dar metode dekomposs LU untuk dmens matrks kovarans yang cukup besar. Dengan asums bahwa matrks kovarans sebaga suatu matrks gelanggang atas lapangan rl ( ), matrks n selanjutnya dnyatakan sebaga jumlah langsung dar sub modul. Dekomposs LU dlakukan pada sub modul n untuk membuat suatu realsas dekomposs rng. Dengan menggunakan delapan puluh tga data ekspermental pada lapangan mnyak Jatbarang, dapat dlhat bahwa hasl nterpolas pada lapangan mnyak jatbarang menunjukkan bahwa dstrbus dan varogram hasl nterpolas dekomposs 11

12 rng serupa dengan dstrbus dan varogram data ekspermental.hal terlhat dar nla rata-rata dstrbusnya mempunya selsh yang amat kecl yakn hanya : Penggunaan dekomposs rng pada matrk kovarans lokas grd, dapat menngkatkan ukuran data ekspermental dan grd yang akan dsmulaskan. Daftar Pustaka Armstrong, M., (1998). Basc Lnear Geostatstcs, Sprnger, Berln. Cresse, N. A. C., (1993). Statstcs for Spatal Data, Eds Revs, John Wley & Sons, New York. Deutsch, C.V., dan Journel, A.G., (1992), GSLIB Geostatstcal Software Lbrary and User s Gude. Oxford Unversty Press, New York. Fetkovch, M. J., (198). Declne Curve Analyss Usng Type Curves, SPE Hohn, M.E., (1999), Geostatstcs and Petroluem Geology, Second Edton, Kluwer Academc Publsher, Dardrecht. Ktands, P.K., (1999). Introducton To Geostatstcs: Applcatons to Hydrogeology, Cambrdge Unversty Press, New York. Matheron,G., (1963). Prncples of Geostatstcs. Economc Geology 58,