TRANSPOR POLUTAN. April 14. Pollutan Transport

Transkripsi

1 TRANSPOR POLUTAN April 14 Pollutan Transport

2 2 Transpor Polutan Persamaan Konveksi-Difusi Penyelesaian Analitis Rerensi Graf and Altinakar, 1998, Fluvial Hydraulics, Chapter 8, pp , J. Wiley and Sons, Ltd., Sussex, England

3 Transpor Polutan di Sungai 3 Sungai tercemar polutan Sungai Songhua, China, November 2005 Sungai Danube, Eropa, Oktober 2010

4 4

5 5

6 q More stories on Harbin s Songhua River pollution in November webarchive on Harbin s Songhua River pollution in November

7 7 Penampungan limbah di sebuah pabrik kimia di Ajka, Hungary, jebol pada awal Oktober 2010

8 8

9 q More stories on Danube River pollution in October webarchive file webarchive file 9

10 Transpor Polutan 10 Mekanisme penyebaran polutan di sungai Difusi n penyebaran yang dipicu oleh perbedaan konsentrasi n bergantung pula pada sifat polutan (koefisien difusi) Konveksi n penyebaran yang dipicu oleh aliran fluida (air)

11 11

12 12

13 13

14 14

15 Difusi 15 Dalam bahasa matematika, difusi dituliskan sbb. q f = k c f q f = k c f x i k = konstanta = koefisien difusi = diffusivity n k merupakan parameter karakteristika fluida (polutan) n k bergantung pada temperatur dan tekanan q f = k grad c f

16 Difusi 16 Sifat proses difusi tidak dapat kembali (irreversible) mengakibatkan kehilangan/peredaman energi Contoh difusi difusi massa difusi panas/thermal difusi momentum

17 17 Difusi Difusi massa à Fick s law Difusi panas à Fourier s law q m,i = ε m c f x i q h,i = ρ a h C p T x i ( ρ C p = konstan) Difusi momentum à Newton s law q mt,ij = ρ ν V i x j ( ρ = konstan)

18 Konveksi-Difusi 18 Pada kuliah ini yang dibahas hanya transpor massa Apabila air sungai mengalir, maka terjadi proses konveksi Penyebaran polutan, dengan demikian, didorong oleh: beda konsentrasi (gradien) à difusi aliran à konveksi c t + V grad c = div ε grad ( m c ) konveksi difusi

19 19 difusi murni Konveksi-Difusi Dituliskan dalam sistem koordinat cartesius c t + uc x + vc y + wc z = ε m 2 c x + 2 c 2 y + 2 c 2 z 2 ε konstan m Dalam medium air diam, tidak ada aliran, maka kecepatan nol, sehingga tidak ada konveksi c t = ε m 2 c x + 2 c 2 y + 2 c 2 z 2 ε konstan m

20 Konveksi-Difusi (Turbulen) 20 kecepatan [m/s] kecepatan rata-rata waktu [detik] u u u Aliran di sungai hampir pasti berupa aliran turbulen Salah satu sifat aliran turbulen adalah bahwa kecepatan aliran berubah-ubah Konsentrasi polutan dengan demikian berubah-ubah pula u = u + u c = c + c v = v + v w = w + w

21 Konveksi-Difusi (Turbulen) 21 q Persamaan transpor konveksi-difusi pada aliran turbulen c t +V!"! " grad!!! c = div εm + ε!!!!" $ ( )grad c & % t ' Pada umumnya koefisien difusi turbulen jauh lebih besar daripada koefisien difusi molekuler, ε t >> ε m Pada bahasan mengenai konveksi-difusi turbulen, difusi molekuler diabaikan

22 Konveksi-Difusi (Turbulen) 22 q Persamaan transpor konveksi-difusi pada aliran turbulen dituliskan dalam koordinat cartesius c t + uc x + vc y + wc z = x ε tx c x + y ε ty c y + z ε tz c z ε m + ε t ε t karena ε t ε m

23 23 Difusi Penyelesaian analitis persamaan difusi

24 Persamaan Difusi 24 q Persamaan transpor difusi (air tidak bergerak, tidak ada aliran) c t + uc x + vc y + wc z = # % x ε m + ε tx $ ε m = konstan c t = # % x ε m $ c & (+ # % x' y ε m + ε ty $ c & (+ # % x' y ε m $ c y c y & (+ # % ' z ε m $ & (+ # % ' z ε m + ε tz $ u = v = w = 0 u = 0 ε tx = 0 v = 0 ε ty = 0 w = 0 ε tz = 0 c t = ε 2 c m x + ε 2 c 2 m y + ε 2 c 2 m z 2 c z & ( ' c z & ( '

25 Difusi 1-Dimensi 25 q Persamaan transpor difusi satu dimensi c t = ε 2 c m x 2 Difusi satu dimensi, arah x saja Jika syarat batas (boundary conditions) dan syarat awal (initial conditions) ( ) = 0 c( x,0) = M 1 δ( x) c ±,t M 1 adalah massa per satuan luas [kg/m 2 ] yang dimasukkan secara sekaligus dan tiba-tiba (instantaneous source) M 0 = M 1 S M 0 adalah seluruh massa yang dimasukkan di suatu titik secara tiba-tiba S adalah luas permukaan

26 Difusi 1-Dimensi 26 δ(x) adalah fungsi delta Dirac, bernilai sama dengan nol kecuali di x = 0) + δ( x)dx =1 Ingat bahwa massa total M 0 harus konstan sepanjang waktu yang ditinjau c( x,t)dx = c( x,0)dx = M 1 δ( x)dx = M 1

27 Difusi 1-Dimensi 27 Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D tersebut adalah: c( x,t) = M 1 4 π ε m t $ ' x2 exp & % 4 ε m t ) ( Penyelesaian tersebut menunjukkan difusi suatu massa M 0 yang dimasukkan secara tiba-tiba di suatu titik menyebar menurut distribusi Gauss Normal dan simetris ke arah sumbu x konsentrasi maksimum, yang berada di titik x = 0, berkurang seiring dengan waktu

28 28 Difusi 1-Dimensi

29 Difusi 1-Dimensi 29 Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D tersebut dapat pula dituliskan sbb: c( x,t) = M 1 σ x 2 π $ ' x2 exp & 2 % 2 σ ) x ( Untuk suatu distribusi normal, varian distribusi adalah: σ x 2 t ( ) = 2 ε m t 95% luas daerah di bawah kurva pdf distribusi normal adalah: ( ) σ x 4 σ x W = W

30 Difusi 1-Dimensi 30 Koefisien difusi dapat dihitung dengan: ε m = 1 2 dσ x 2 dt ( ) σ 2 x ( t 1 ) ( ) = 1 σ 2 x t 2 2 t 2 t 1 Persamaan di atas dapat dipakai untuk menetapkan koefisien difusi dengan pengukuran simpangan baku di suatu titik x pada dua waktu yang berbeda t 1 dan t 2

31 Difusi 2-Dimensi 31 q Persamaan transpor difusi dua dimensi c t = ε m # 2 c x + 2 c & % $ 2 y 2 ( Difusi dua dimensi, arah x dan y (bidang z) ' Jika syarat batas (boundary conditions) dan syarat awal (initial conditions) ( ) = 0 c( x, y,0) = M 2 δ( x, y) c ±,±,t

32 Difusi 2-Dimensi 32 Penyelesaian analitis persamaan difusi 2-D tersebut adalah: M $ ' c( x, y,t) = x x2 exp 2 σ x 2 π & % 2 σ ) + M $ ' y y2 exp& ) 2 x ( σ y 2 π & % 2 σ ) y ( Jika medium homogen, σ x = σ y = σ c( x, y,t) = $ M 2 exp & ( σ x 2 π) 2 & %& ( x 2 + y 2 )' ) 2 σ 2 ) () σ 2 ( t) = 2 ε m t M 2 = M 0 L

33 Difusi 3-Dimensi 33 q Persamaan transpor difusi tiga dimensi c t = ε m # 2 c x + 2 c 2 y + 2 c & % $ 2 z 2 ( Difusi dua dimensi, arah x, y, dan y ' Jika syarat batas (boundary conditions) dan syarat awal (initial conditions) ( ) = 0 c( x, y, z,0) = M 3 δ( x, y, z) c ±,±,±, t

34 Difusi 3-Dimensi 34 Penyelesaian analitis persamaan difusi 3-D tersebut adalah: c( x, y, z,t) = M $ 3 exp r 2 ' ( σ 2 π) 3 & % 2 σ 2 ) ( r 2 = x 2 + y 2 + z 2 M 3 = M 0

35 Difusi 1-Dimensi di Medium Berbatas 35 Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D c( x,t) = M 1 σ x 2 π $ ' x2 exp & 2 % 2 σ ) x ( Jika medium memiliki batas dinding, tembok à pencerminan source c( x,t) = M 1 σ x 2 π 0 $ ' * 2 x2 exp & 2 % 2 σ ) + exp, x 2L p 1, 2 2 x ( 2 σ 3 +, x ( ) 2-4 / 2 / 5./ 2 6

36 Difusi 1-Dimensi di Medium Berbatas 36 di dinding c( x,t) = σ x $ 2M 1 2 π exp L 2 ' & p ) & 2 % 2 σ ) x (

37 Difusi 1-Dimensi dari Source Menerus 37 q Persamaan transpor difusi satu dimensi, massa M 0 dimasukkan secara menerus (kontinu) di x = 0 c( x,t) = M 1 σ x 2 π $ ' x2 exp & 2 % 2 σ ) x ( Syarat batas (boundary conditions) dan syarat awal (initial conditions) ( ) = c 0 ( ) = 0 c x = 0,t 0 c x = ±,t 0 ( ) = 0 c x > 0,t = 0

38 Difusi 1-Dimensi dari Source Menerus 38 Penyelesaian analitis persamaan difusi 1-D dari source kontinu " x % c( x,t) = c 0 erfc $ # 4 ε m t ' & complementary error function erfc ( Y) = 2 π Y e ξ dξ dapat dihitung dengan MSExcel: =ERFC( )

39 39 Difusi 1-Dimensi dari Source Menerus

40 40 Konveksi-Difusi Penyelesaian analitis persamaan konveksi-difusi dalam regime turbulen

41 Konveksi-Difusi (Turbulen) 41 q Persamaan transpor konveksi-difusi dalam aliran turbulen c t + uc x + vc y + wc z = x ε tx c x + y ε ty c y + z ε tz c z Koefisien difusi merupakan besaran tensorial koefisien difusi vertikal, ε tz koefisien difusi transversal, ε ty koefisien difusi longitudinal, ε tx!" ε t ( ε tx,ε ty,ε ) tz

42 Konveksi-Difusi (Turbulen) 42 Koefisien difusi vertikal z ε tz = κ u ( h h z ) U h z ε tz Koefisien difusi vertikal rerata kedalaman aliran ε tz = 1 h h 0 z κ u ( h h z )dz ε tz = ( h u ) kecepatan geser kedalaman aliran ε tz

43 Konveksi-Difusi (Turbulen) 43 L z L z U h/2 h/2 U h ξ z = 0.1 ξ z = 0.4 Jarak L z = ξ z U h2 ε tz ditempuh dalam waktu t z = ξ z h 2 ε tz U kecepatan rerata kedalaman aliran

44 Konveksi-Difusi (Turbulen) 44 Koefisien difusi transversal di flume ε ty = 0.15 ( h u ) di sungai ε ty = 0.6 ( h u ) U tepi, tebing B tepi, tebing

45 Konveksi-Difusi (Turbulen) 45 L y L y U B/2 B/2 U B ξ y = 0.1 ξ y = 0.5 Jarak L y = ξ y U B2 ε ty ditempuh dalam waktu t y = ξ y B 2 ε ty U kecepatan rerata kedalaman aliran

46 Konveksi-Difusi (Turbulen) 46 Koefisien difusi longitudinal, searah aliran ε tx = 0.23 ( h u ) tepi, tebing Difusi longitudinal (searah aliran) yang ditimbulkan oleh turbulensi aliran umumnya diabaikan karena pengaruh dispersi lebih dominan. Parameter dispersi adalah koefisien dispersi K x. U B tepi, tebing U U! Dispersi terjadi karena adanya variasi besaran kecepatan aliran (distribusi kecepatan) à beda antara kecepatan rerata dan kecepatan di suatu titik. U = U + U!

47 far-field zone of mixing mid-field zone of mixing near-field zone of mixing 47

48 Konveksi dan Difusi Transversal 48 q Persamaan transpor konveksi-difusi dalam aliran turbulen c t + uc x + vc y + wc z = x ε tx c x + y ε ty c y + z ε tz Jika kondisi berikut ini diterapkan aliran hanya satu arah, u 0, v = w = 0 sumber polutan kontinu dan transpor polutan dianggap permanen difusi longitudinal diabaikan difusi vertikal telah dicapai, polutan telah menyebar di seluruh kedalaman aliran c z

49 Konveksi dan Difusi Transversal 49 c t + uc x + vc y + wc z = x ε tx transpor permanen v = w = 0 c x + y difusi longitudinal diabaikan ε ty c y + z ε tz c z difusi vertikal telah dicapai uc x = # % y ε ty $ c y & ( U C ' x = ε ty 2 C y 2 karena polutan telah menyebar di seluruh kedalaman aliran, maka tinjauan dilakukan untuk rerata kedalaman U kecepatan aliran rerata kedalaman (depth-averaged velocity) C konsentrasi polutan rerata kedalaman (depth-averaged concentration)

50 Konveksi dan Difusi Transversal 50 Penyelesaian analitis persamaan konveksi dan difusi transversal pada sungai lebar G $ C u ( x, y) = 0 h 4 π ε ty x U exp y2 U ' & % 4 ε ty x) G 0 = M 0 t [kg/s] ( debit polutan, merata di seluruh kedalaman aliran h Penyelesaian analitis persamaan konveksi dan difusi transversal pada sungai berbatas ( ) = C u ( x, y + y 0 ) + C u ( x,2nb ± y ± y 0 ) C x, y N n=1 lokasi sumber polutan

51 51

52 Konveksi dan Difusi Longitudinal 52 q Persamaan transpor konveksi-difusi dalam aliran turbulen c t + uc x + vc y + wc z = x ε tx c x + y ε ty c y + z ε tz c z Jika kondisi berikut ini diterapkan aliran hanya satu arah, u 0, v = w = 0 difusi vertikal dan transversal telah dicapai, polutan telah menyebar di seluruh kedalaman dan lebar aliran à polutan telah menyebar di tampang lintang aliran

53 Konveksi dan Difusi Longitudinal 53 c t + uc x + vc y + wc z = x ε tx c t + uc x = # % x ε tx $ v = w = 0 c x + y ε ty c y + z ε tz difusi transversal telah dicapai c & ( C x' t + U C x = + - x ε tx, + *. 0 x/ ( K ) C x c z difusi vertikal telah dicapai karena polutan telah menyebar di seluruh tampang lintang aliran, maka tinjauan dilakukan untuk rerata tampang ε tx + K" x = K x

54 Konveksi dan Difusi Longitudinal 54 C t + U C x = $ & x ε tx % + # ( K ) C x ' ) C x ( t + U C x = + - x K x, C x. 0 / Pada aliran permanen dan seragam, K x konstan C t + U C x = K x 2 C x 2 berlaku setelah: difusi vertikal di seluruh kedalaman aliran dicapai difusi transversal di seluruh lebar aliran dicapai koefisien dispersi persamaan dispersi longitudinal

55 55 Dispersi Longitudinal C t + U C x = K x 2 C x 2 Berlaku setelah L y = ξ y U B2 ε ty atau setelah t y = ξ y B 2 ε ty à di far-field mixing zone Koefisien dispersi, K x ( ) K x = 6 h u K x = B2 U 2 h u 140 < K x < 500 à saluran tampang segi-empat à sungai à saluran atau sungai yang memiliki distribusi kecepatan aliran ke arah vertikal maupuan ke arah transversal

56 Dispersi Longitudinal 56 Jika polutan M 0 dimasukkan secara merata di tampang dan secara tiba-tiba, maka penyelesaian analitis persamaan dispersi longitudinal tersebut adalah: C( x,t) = C max ( t) = ( ) 2 M 1 4 π K x t exp % x U t % # $ 4 K x t & ( ( ' M 1 4 π K x t 1= M 1 4 π K x x U M 1 = M 0 S [kg/m 2 ] luas tampang aliran konsentrasi maksimum, bergerak dengan kecepatan U dan berkurang seiring dengan waktu t

57 Dispersi Longitudinal 57 Jika polutan M 0 dimasukkan secara merata di tampang dan selama waktu T dapat dibaca sebagai satu seri polutan yang dimasukkan secara berurutan, masing-masing dalam waktu Δτ yang sangat kecil ΔC i ( x,t) = m i S 4 π K x ( ) exp + % & x U ( t τ i ) * + 4 K x ( t τ i ) t τ i ), ' ( m i = ( M 0 T )Δτ / ( ) = ΔC i ( x,t) C x,t n = i=1 m i S 4 π K x n i=1 m i ( ) exp, & ' x U ( t τ i ) +, 4 K x ( t τ i ) t τ i * - ( ) 2., /, 0

58 Dispersi Longitudinal 58 Jika polutan M 0 dimasukkan secara merata di tampang dan menerus (kontinu) secara konstan C( x,t) = C 0 ( 2 exp! U x $! * # & erfc * " K x % # ) " $! x + U t 4 K x t & + erfc # % " $ + x U t - 4 K x t & % -, C 0 konstanta Pada kondisi transpor permanen (steady state condition), t! erfc(+ ) = 0 erfc( ) = 2 C C 0 = ( * ) * + * 1 U ( x) > 0 " e xp U x % $ ' # & K x U ( x) < 0

59 59

60 60