BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Matematika merupakan suatu ilmu pengetahuan yang sering disebut sebagai induk dari ilmu-ilmu pengetahuan yang lain. Hal ini karena, matematika banyak diterapkan di berbagai disiplin ilmu, seperti : fisika, kimia, ekonomi dan lain-lain. Di antara berbagai disiplin ilmu tersebut, fisika dapat dikatakan mempunyai hubungan yang erat dengan matematika, karena hampir di semua permasalahan - permasalahannya dapat dimodelkan ke bentuk persamaan matematika. Dengan adanya pemodelan matematika, permasalahan-permasalahan fisika yang umumnya hanya tertulis secara teoritis akan menjadi lebih sederhana dan lebih mudah dicari penyelesaiannya. Saat ini, telah banyak permasalahan-permasalahan fisika yang telah dimodelkan ke bentuk persamaan matematika. Di antaranya, yaitu : perpindahan dan penyebaran polutan, panas, gelombang, bunyi, listrik dan masih banyak lagi lainnya. Salah satu bidang ilmu yang erat kaitannya dengan pemodelan matematika adalah ilmu fisika. Banyak sekali fenomena alam yang terjadi dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dimodelkan, terutama fenomena yang dimodelkan dengan persamaan diferensial parsial. Permasalahan perpindahan dan penyebaran polutan sebagai contohnya. Dalam keadaan ideal yang stasioner, pemodelan perpindahan dan penyebaran polutan dapat dimodelkan dengan persamaan Poisson. Bentuk umum dari persamaan Poisson dimensi dua adalah 2 φ x + 2 φ = g(x, y). 2 y2 Pada keadaan tertentu, terdapat syarat batas yang menyertai persamaan diferensial parsial. Hal ini menyebabkan solusi dari persamaan diferensial parsial dapat dicari, 1

2 2 baik secara analitik maupun numerik. Pada kenyataannya, tidak semua solusi dapat ditentukan secara analitik. Oleh karena itu, para peneliti banyak mengembangkan metode numerik untuk mendapatkan pendekatan dari solusi analitiknya. Metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan Poisson adalah Dual Reciprocity Boundary Element Method (DRBEM). Metode ini merupakan perluasan dari metode elemen batas (Boundary Elements Method/BEM). Kedua metode ini mendiskritisasikan batas region menjadi beberapa elemen. Namun pada DRBEM, titik kolokasi pada region diikutsertakan dalam perhitungan. Hal ini dikarenakan persamaan Poisson memuat fungsi g(x, y) yang menyatakan sumber aliran yang berada pada region. Penentuan solusi numerik menggunakan DRBEM sulit dilakukan secara manual. Proses yang dilakukan secara berulang dan banyaknya elemen pendekatan membuat para peneliti menggunakan bantuan program komputer dalam penyelesaiannya. Dalam buku karangan Ang (2007) dan Katsikadelis (2002) digunakan bahasa pemrograman FORTRAN. Program lain yang dapat digunakan adalah MAT- LAB. Uraian yang telah dipaparkan penulis inilah yang melatarbelakangi penulisan skripsi mengenai DRBEM untuk menyelesaikan permasalahan perpindahan dan penyebaran polutan dengan bantuan program MATLAB. Dalam skripsi ini, secara khusus hanya akan dibahas mengenai permasalahan perpindahan dan penyebaran polutan dalam media isotropik tanah serta membandingkan dengan solusi eksaknya Perumusan Masalah Rumusan masalah yang dibahas dalam skripsi ini adalah: 1. Menentukan metode elemen batas yang tepat untuk mencari solusi numerik dari persamaan Helmholtz yang memodelkan perpindahan dan penyebaran polutan dalam suatu medium isotropik tanah. 2. Mengimplementasikan langkah-langkah penyelesaian persamaan Helmholtz dengan DRBEM ke dalam syntax program MATLAB.

3 3 3. Mendeskripsikan masalah perpindahan dan penyebaran polutan ke dalam bentuk persamaan Helmholtz. 4. Menentukan solusi numerik model perpindahan dan penyebaran polutan dari permasalahan difusi-konveksi dalam suatu medium isotropik tanah dengan menggunakan program DRBEM disertai perbandingan dengan solusi eksaknya Batasan Masalah Pada penulisan skripsi ini, penulis membatasi masalah pada penerapan metode elemen batas untuk menentukan solusi persamaan Helmholtz dengan syarat batas diketahui. Penulis mengimplementasikan metode elemen batas untuk menentukan perpindahan dan penyebaran polutan dari permasalahan difusi-konveksi dalam suatu medium isotropik tanah berdimensi dua yang berada pada keadaan stasioner Maksud dan Tujuan Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penulis juga bermaksud untuk memberikan tambahan wawasan kepada pembaca mengenai salah satu alternatif penyelesaian permasalahan yang dimodelkan dengan persamaan Helmholtz. Lebih lanjut, penulis juga memberikan contoh kepada pembaca terkait impelementasi dari metode elemen batas dalam menyelesaikan permasalahan difusi-konveksi dalam suatu medium isotropik tanah, khususnya untuk menentukan perpindahan dan penyebaran polutan Tinjauan Pustaka Metode Elemen Batas atau Boundary Element Method (BEM) yang menjadi pembahasan utama dalam skripsi ini, mengacu pada buku karya Ang (2007). Pada buku tersebut, diberikan juga penjelasan mengenai persamaan Laplace dan persamaan Helmholtz secara umum. Persamaan Helmholtz dapat dicari solusinya menggunakan DRBEM. Teori yang berkaitan erat dengan DRBEM, seperti teore-

4 4 ma Gauss-Green, teorema divergensi Gauss, dan fungsi Dirac Delta, diambil dari buku karya Katsikadelis (2002). Aplikasi dan teori tentang DRBEM juga dibahas di dalamnya. Dalam skripsi ini, dibahas secara khusus tentang persamaan Helmholtz. Salah satu bentuk khusus dari persamaan Helmholtz adalah Persamaan Poisson. Persamaan Poisson juga dapat diselesaikan dengan DRBEM. Baik BEM maupun DRBEM, keduanya menggunakan diskritisasi pada batas region untuk menentukan solusi dari sebarang titik pada region. Semakin banyak ruas garis hasil diskritisasi, maka solusi yang dihasilkan semakin mendekati solusi eksaknya. Dalam menentukan penyelesaian persamaan Helmoltz dengan DRBEM diperlukan juga beberapa dasar teori. Dasar teori mengenai persamaan diferensial dan teorema Green diambil dari buku karya Ross (1984). Definisi vektor dan beberapa operasinya dikutip dari buku karya Anton dan Rorres (2005). Penjelasan mengenai fungsi basis radial diambil dari buku karya Chen dkk. (2014) serta tulisan karya Zhang dan Zhu (1994). Dalam skripsi ini digunakan fungsi basis radial linear untuk membangun DRBEM. Fungsi tersebut mempunyai bentuk yang masih sederhana, namun dapat memberikan hasil yang lebih akurat. Dalam skripsi ini, penulis mengambil aplikasi dari DRBEM mengenai mengenai perpindahan dan penyebaran polutan. Untuk teori aplikasi DRBEM mengenai perpindahan dan penyebaran polutan serta contoh kasusnya, penulis merujuk pada tulisan karya Azis (2003). Model penyebaran dan perpindahan polutan termasuk sistem difusi-konveksi steady dua dimensi dalam suatu media isotropik yang homogen dalam kondisi stasioner. Masalah perpindahan dan penyebaran polutan di suatu medium (misalnya sungai atau udara) merupakan masalah yang sering dibicarakan. Penelitian untuk masalah ini juga telah banyak dilakukan, baik melalui eksperimen maupun secara simulasi melalui pemodelan. Penjelasan tentang pembentukan model perpindahan dan penyebaran polutan dalam media isotropik diambil dari buku Fluvial Hydraulics, karya Graf dan Altinakar (1998).

5 Metodologi Penelitian Metode yang digunakan dalam pembuatan skripsi ini adalah dengan terlebih dahulu mempelajari materi persamaan diferensial, mengenai vektor, teorema Gauss Green, fungsi Dirac Delta, persamaan Laplace, vektor, fungsi basis radial. Pembahasan diawali dengan pembentukan model persamaan diferensial dimensi dua secara umum, mencari masalah nilai batas dari permasalahan tersebut, menentukan solusi fundamental, mencari persamaan integral batas, diskritisasi elemen batas, dan menentukan solusi numeriknya. Diberikan contoh aplikasi metode elemen batas yaitu pada masalah perpindahan dan penyebaran polutan. Untuk masalah difusi-konveksi dalam suatu medium isotropik, model yang telah diperoleh dimodifikasi pada integral batasnya. Selanjutnya diberikan beberapa contoh yang hasilnya dibandingkan dengan solusi analitiknya dengan berbagai jumlah segmen, sehingga bisa dilihat keakuratan solusi numeriknya Sistematika Penulisan Sistematika penulisan yang digunakan dalam penulisan tugas akhir ini adalah: BAB I PENDAHULUAN Bab ini berisi tentang latar belakang permasalahan, tujuan penulisan, pembatasan masalah, tinjauan pustaka, metode penelitian yang digunakan untuk penulisan tugas akhir ini, serta sistematika penulisan. BAB II DASAR TEORI Bab ini berisi tentang kajian beberapa definisi dan teori yang ada kaitannya untuk implementasi dari metode elemen batas dalam menyelesaikan permasalahan difusikonveksi dalam suatu medium isotropik, khususnya untuk menentukan perpindahan dan penyebaran polutan.

6 6 BAB III METODE ELEMEN BATAS RESIPROSITAS GANDA (DUAL RECI- PROCITY BOUNDARY ELEMENT METHOD) Bab ini menjelaskan langkah-langkah untuk mendapatkan formulasi elemen batas yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial orde dua. BAB IV MASALAH PERPINDAHAN DAN PENYEBARAN POLUTAN SER- TA CONTOH PENYELESAIANNYA DENGAN METODE ELEMEN BATAS Bab ini berisi penjelasan tentang aplikasi metode elemen batas yaitu dalam contoh masalah difusi-konveksi dalam media isotropik yang diselesaikan secara numerik menggunakan metode elemen batas yang hasilnya dapat dibandingkan dengan solusi analitik yang diketahui sebelumnya. BAB V PENUTUP Bab ini berisi penarikan kesimpulan dari keseluruhan pembahasan mengenai implementasi dari metode elemen batas dalam menyelesaikan permasalahan difusikonveksi dalam suatu medium isotropik, khususnya untuk menentukan perpindahan dan penyebaran polutan, serta pemberian saran dalam melakukan penulisan karya ilmiah.