DIKTAT KULIAH KALKULUS PEUBAH BANYAK (IE-308)

Transkripsi

1 DIKTAT KULIAH (IE-308) BAB 2 RUANG 3 DIMENSI Diktat ini digunakan bagi mahasiswa Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Kristen Maranatha Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc JURUSAN TEKNIK INDUSTRI - FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS KRISTEN MARANATHA BANDUNG 2012 Diktat ini disusun berdasarkan Calculus III oleh Paul Dawkins, Lamar University dengan penyesuaian berupa penerjemahan, pengurangan dan penambahan dari sumber-sumber lainnya.

2 BAB 2. RUANG 3 DIMENSI. 2.1 Sistem koordinat 3-Dimensi Kita akan membahas sistem koordinat dalam 3 dimensi, yang kita nyatakan dengan, dan notasi untuk sistem koordinat 2 dimensi kita nyatakan sebagai, sistem koordinat dalam 1 dimensi dinyatakan sebagai dan secara umum sistem koordinat dalam n dimensi dinyatakan dalam. Secara intuitisi kita dapat menggambarkan sistem koordinat sampai 3 dimensi, lebih dari itu agak sulit untuk menggambarkannya. Kita akan memulai dengan sistem koordinat dasar yang disebut sistem koordinat Cartesian. Gambar 2.1. Koordinat Cartesian Pertama digambarkan garis sumbu x, garis sumbu y dan garis sumbu z. Perpotongan antara garis sumbu x,y dan z kita sebut sebagai titik (0,0,0), titik Original atau titik 0 yang merupakan titik referensi. Banyak rumus / formula di dapat diperluas ke. Contohnya jarak antara 2 titik di yang dinyatakan sebagai: Dalam jarak antara 2 titik dinyatakan sebagai: Contoh lain, persamaan suatu lingkaran dengan titik pusat dinyatakan sebagai, dan radius/jari-jari r Dan persamaan sebuah bola dengan titik pusat / center dinyatakan sebagai, and jari2/radius r Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 8

3 Contoh perbandingan bekerja dalam, dan. Contoh Gambarkan dalam, dan. Solution Dalam kita memiliki sistem koordinat tunggal, sehingga adalah sebuah titik di sistem koordinat 1-D. Gambar 2.2. Titik x=3 dalam R Dalam persamaan berarti menggambarkan seluruh titik dalam bentuk.. Ini akan menghasilkan garis vertical dalam sistem koordinat 2-D. Gambar 2.3. Garis x =3 dalam R 2 Dalam persamaan berarti mengambarkan seluruh titik dalam bentuk.. Ini akan menghasilkan suatu bidang yang sejajar dengan bidang yz, hanya kita mempunyai nilai. Gambar 2.4. Bidang x=3 dalam R 3 Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 9

4 Contoh Gambarkan dalam dan. Solusi Dalam hal ini dilewat, karena kita bekerja dgn 2 variable artinya lebih 1-D tidak mungkin. Dalam ini adalah sebuah garis dengan kemiringan/ slope 2 dan memotong y di -3. Gambar 2.5. Persamaan di. Namun dalam, karena kita tidak menspesifikasikan nilai z, maka berarti untuk setiap nilai z kita meng-copy/menggandakan garis tersebut. Sehingga gambarnya akan berbentuk suatu bidang yang memotong bidang xy menghasilkan garis. Gambar 2.6. Persamaan dalam. Contoh Gambarkan dalam dan. Solution Dalam kita mendapatkan sebuah lingkaran dengan titik pusat di (0,0) dengan radius 2. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 10

5 Dalam untuk setiap nilai z kita mendapatkan lingkaran seperti diatas pada bidang sejajar xy. Berikut gambar yang kita dapat. Gambar 2.7. dalam dan Persamaan garis Dalam bagian ini kita akan meninjau bagaimana merepresentasikan suatu garis lurus atau lengkungan dalam. Dalam kalukulus Dasar kita ketahui bahwa dalam untuk garis lurus di representasi oleh persamaan, namun persamaan yang sama dalam, akan berarti sebuah bidang. Ada dua cara untuk menyatakan suatu garis, yaitu dengan persamaan / equation seperti yang telah kita kenal dalam Kalkulus Dasar, dan cara lain dalam bentuk persamaan vektor atau dengan parametirasi (parameterization) yang akan kita pelajari dalam bagian ini. Untuk itu kita akan menggunakan konsep vektor dan fungsi vektor. Apakah fungsi vektor? Bagaimana fungsi vektor dapat digunakan untuk menyatakan suatu kurva (lengkungan)? Perhatikan contoh berikut ini. Misalkan kita mempunyai suatu fungsi vektor sbb. : Suatu fungsi vector adalah sebuah fungsi yang mempunyai satu atau lebih variabel, dalam contoh kita diatas 1 variabel, dan menghasilkan vektor. Vektor yang dihasilkan fungsi dapat berupa sebuah vektor dalam berbagai dimensi yang didefinisikan, dalam contoh kita kita mendapatkan vektor dalam. Kita akan mulai dari fungsi vektor dalam dan setelah kita mulai terbiasa kita akan membahas dalam. Kita akan menggambarkan fungsi vektor diatas ( )., kita akan menamakan fungsi vektor diatas sebagai fungsi yang menghasilkan vektor posisi. Suatu vektor posisi, sebutlah, adalah suatu vektor yang berawal dititik awal / origin (0,0) dan berakhir di titik. Jadi, untuk mendapatkan gambar dari vektor posisi, kita masukkan nilai dari variabel t dan menggambarkan vektor posisi yang didapat. Dalam hal contoh diatas kita mendapatkan : Jadi, untuk tiap vektor posisi kita mendapatkan titik-titik pada garis. Titik-titik tersebut, Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 11

6 Kita menggambarkannya sbb.: Contoh lain,. Gambar 2.8. Gambar 2.9. Dalam contoh diatas kita mendapatkan gambar sebuah elips. Dengan kata lain titik ujung dari vektor2 posisi kita menghasilkan lengkungan ellips. Untuk menuliskan persamaan suatu garis dalam dan seperti yang kita bahas diatas kita membutuhkan suatu fungsi vektor untuk mengerjakannya. Misal untuk suatu garis, dan terdapat suatu titik digaris tersebut, yaitu, dan adalah suatu vektor yang sejajar/ parallel dengan garis tersebut. Kita nyatakan adalah setiap titik yang ada digaris tersebut. Kita terjemahkan kedalam vektor posisi, yaitu and yang adalah vektor posisi untuk masing2 P 0 dan P. Dan kita definisikan bahwa suatu vektor sama dengan. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 12

7 Kita mendapatkan gambar sbb.: Gambar Garis dalam bentuk vektor r = r 0 + a Kita dapat menuliskan sebagai: r = r 0 + a Kita lihat bahwa vektor and adalah sejajar / parallel. Dan ada suatu besaran atau parameter, t, sedemikian sehingga Sehingga kita mendapatkan, Formulasi diatas disebut sebagai bentuk vektor dari persamaan garis. Besaran yang tidak diketahui disini adalah t. Bila t positive maka garis akan melintas kearah kanan gambar kita dan bila t negative lintasan kearah sebaliknya (kearah kiri dalam gambar kita). Untuk setiap nilai t yang bervariasi kita akan mendapatkan suatu garis. The following sketch shows this dependence on t of our sketch. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 13

8 Gambar Garis dalam bentuk vektor Kita dapat merepresentasikan persamaan garis kedalam beberapa bentuk alternatif persamaan. Kita menulis ulang persamaan untuk masing2 komponen vektor, sbb.: Persamaan2 diatas disebut sebagai bentuk parametric dari persamaan garis. Bila a, b, dan c bukan nol, maka t = x x 0, t = y y 0 dan t = z z 0 a b c Sehingga kita mendapatkan : Bentuk ini disebut persamaan simetrik suatu garis. Bila salah satu dari a, b, or c bernilai nol (0) kita masih dapat menuliskan persamaan simetrik. Contoh, misal. Dalam hal ini t berpengaruh pada persamaan parametrik untuk y, sehingga kita memcahkan persamaan parametrik untuk t hanya pada x dan z. Sehingga persamaan kita berbentuk, Contoh Tuliskan persamaan garis lurus yang melewati titik-titik. Tuliskan dalam tiga bentuk persamaan. Penyelesaian: Kita menentukan vektor arah / vektor yang paralel terhadap garis yaitu vector. dan Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 14

9 adalah vektor yang mempunyai titik awal dititik akhir dan titik awal di titik kedua, (boleh dibalik) sehingga kita mendapatkan, Kita mendapatkan bentuk persamaan vektor garis sbb: Dan bentuk parametrik persamaan garis sbb.: Bentuk persamaan simetrik sbb.: Contoh Tentukan apakah garis yang melewati titik dan sejajar garisyang dinyatakan oleh, dan menembus bidang- xz. Bila ya tentukan koordinat titik tembus tsb. Penyelesaian: Vektor arah garis tersebut adalah: Sehingga persamaan garis yang dimaksud adalah: Bila garis ini menembus bidang-xz berarti koordinat- y pada titik tersebut harus = nol/zero. Jadi, kita pecahkan persamaan untuk komponen y dari persamaan = 0 dan kita lihat apakah kita bisa mendapatkan nilai t untuk solusi persamaan diatas. Bila kita mendapat nilai t berarti garis tersebut menembus bidang- xz bila tidak maka garis tersebut tidak menembus bidang - xz. Jadi, garis tersebut menembus bidang-xz. Dan untuk mendapat koordinat titik tembus, kita memasukkan nilai parameter kedalam persamaan. Kita gunakan bentuk vector, Bentuk diatas adalah sebuah vector posisi, sehingga koordinat dari titik tembus bidang-xz yang dicari adalah titik akhir vektor posisi, yaitu : Persamaan Bidang Datar Pada bagian ini kita akan mempelajari bagaimana merepresentasikan bidang datar dalam persamaan. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 15

10 Misalkan kita mempunyai suatu titik, yang berada dalam suatu bidang datar. Kita misalkan juga kita mempunyai suatu vektor yang tegak lurus /orthogonal (perpendicular) terhadap bidang datar tadi, yaitu,. Vektor ini disebut vektor normal. Misal adalah titik sembarang yang ada dibidang datar. Kita tetapkan vektor-vektor dan adalah vektor posisi dari titik P 0 dan P. Gambar dari vektor-vektor diatas adalah sbb.: Gambar Pernyataan bidang datar dalam bentuk vektor Dalam gambar diatas kita mendapatkan vektor berada dalam bidang. Dalam gambar tersebut kita mempunyai vektor normal pada bidang, dan karena tegak lurus / orthogonal pada bidang, berarti vektor normal tegak lurus pada setiap vector yang terletak dibidang tersebut, kita dapat menyatakan orthogonal dengan. Kita tahu perkalian titik (Dot Product) untuk 2 vektor yang orthogonal adalah = 0. Persamaan diatas adalah persamaan vektor suatu bidang. Bentuk lain persamaan yang dihasilkan dari persamaan diatas adalah: Dari hasil dot product didapatkan bentuk, Persamaan diatas disebut persamaan scalar suatu bidang. Sering ditulis sebagai, Dimana. Dari persamaan scalar bidang, dengan cepat kita dapat menentukan vektor normal dari bidang tersebut, yaitu : Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 16

11 Contoh Tentukan persamaan bidang datar yang memiliki titik, dan. Solusi Kita dapat menetapkan 2 vektor dari titik yang ada pada bidang, yaitu: Kedua vektor ini terletak dalam bidang dimaksud dan cross product dari kedua vektor tersebut akan menghasilkan normal vektor yang tegak lurus dengan kedua vector diatas. Persamaan bidang datar adalah, Kita dapat menggunakan titik selain titik P seperti Q & R dalam menentukan (x 0, y 0, z 0) dan akan menghasilkan persamaan bidang datar yang sama (silahkan dicoba). Contoh Tetapkan apakah bidang datar dan garis tegak lurus/orthogonal, parallel atau bukan keduanya satu sama lain. Solusi Kita dapatkan vektor normal bidang datar adalah:. Kita dapatkan vektor arah dari garis yang dimaksud adalah:. Apabila kedua vektor, dan adalah parallel/sejajar satu sama lain, maka garis dan bidang datar tersebut akan tegak lurus/orthogonal. Mari kita uji, Jadi, kedua vektor tersebut tidak parallel, jadi bidang dan garis tsb tidak orthogonal. Sekarang kita menguji jika bidang dan garis adalah sejajar satu sama lain. Jika garis dan bidang sejajar, maka setiap vektor yang sejajar dengan garis tsb akan orthogonal dengan normal vektor dari bidang yang dimaksud. Jadi jika dan orthogonal maka garis dan bidang akan sejajar. Mari kita uji dengan: Jadi kedua vektor tersebut tidak saling tegaklurus atau orthogonal, jadi garis dan bidang tidak sejajar/parallel. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 17

12 Jadi, garis dan bidang tidak orthogonal ataupun tidak sejajar. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 18

13 2.4. Permukaan Quadric Pada bagian ini kita akan membahas permukaan quadric. Permukaan quadric adalah grafik dari persamaan-persamaan yang mempunyai bentuk umum sbb.: dimana A,, J adalah konstanta/constants. Berikut ini beberapa persamaan standard yang membentuk permukaan quadric yang perlu kita kenal dengan baik, yaitu: Ellipsoid Persamaan umum dari ellipsoid. Gambar Permukaan ellipsoid Bila maka kita akan mendapatkan permukaan bola/sphere. Disini persamaan ellipsoid berpusat dititik O (0,0,0), bisa di (x 0, y 0, z 0 ) dengan melakukan proses translasi sederhana. Persamaan menjadi : (x x 0) 2 + (y y 2 0) + (z z 0) 2 = 1 a 2 b 2 c 2 Untuk memudahkan pembahasan selanjutnya maka kita memakai titik pusat di (0,0,0). Kerucut/Cone Berikut ini persamaan suatu kerucut/cone. Gambar 2.14 Permukaan kerucut/cone. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 19

14 Perhatikan persamaan cone diatas mempunyai mulut terbuka sepanjang sumbu-z. Untuk suatu kerucut yang memiliki mulut terbuka sepanjang sumbu-x mempunyai persamaan sbb, Silender/Cylinder Berikut ini persamaan umum sebuah silinder. Dalam hal ini penampang irisan/cross section berbentuk sebuah ellipse. Jika kita akan mendapatkan sebuah silender dengan irisan berbentuk lingkaran. Persamaan silinder dengan irisan lingkaran dengan mulut membuka sepanjang sumbu z adalah: Gambar Permukaan bentuk silender dengan irisan sebuah ellipse. Silinder diatas akan mempunyai pusat sepanjang sumbu yang tidak muncul dalam persamaan, dalam hal ini sumbu-z. Perlu diperhatikan untuk tidak bingung dengan bentuk lingkaran atau ellips. Dalam 2 dimensi kita dengan persamaan yang sama kita memperoleh suatu ellips atau lingkaran, tetapi dalam 3 dimensi kita mendapatkan sebuah silender. Hyperboloid of One Sheet Berikut ini persamaan hyperboloid of one sheet. Gambar sketsa adalah sbb. Gambar Hyperboloid of one sheet Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 20

15 Variabel dengan tanda negative didepannya akan memberikan sumbu mana grafik tsb berpusat, untuk bentuk diatas variable z dan sumbu-z. Hyperboloid of Two Sheets Berikut ini persamaan hyperboloid of two sheets. Gambar Hyperboloid of two sheets. Variabel dengan tanda positif didepannya akan menentukan sumbu mana grafik diatas berpusat, dalam bentuk diatas sumbu-z. Elliptic Paraboloid Berikut ini persamaan sebuah elliptic paraboloid. Penampang irisan dari berbentuk ellipse dan bila berbentuk lingkaran. maka penampang irisan akan Gambar Elliptic paraboloid Dalam hal ini, variabel yang tidak berpangkat menentukan pada sumbu mana bentuk ini mempunyai mulut terbuka, dalam kasus diatas sumbu z. Tanda c menentukan arah mana Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 21

16 paraboloid tersebut membuka. Bila c positive maka membuka keatas dan jika c negative maka membuka kebawah. Hyperbolic Paraboloid Berikut persamaan hyperbolic paraboloid. Gambar hyperbolic paraboloid. Bentuk diatas menyerupai bentuk pelana (saddle shaped) dan seperti juga elliptic paraboloid tanda c menentukan arah mana permukaan tersebut membuka. Gambar diatas c positive. With the both of the types of paraboloids discussed above the surface can be easily moved up or down by adding/subtracting a constant from the left side. Contoh: Adalah elliptic paraboloid yg memiliki mulut membuka kebawah, persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk (z 6) 1 = x2 + y 2 sehingga titik pusat adalah di bukan di. Gambar permukaan paraboloid dengan persamaan. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 22

17 2.5. Fungsi multivariabel Pada bab ini kita akan membahas tentang fungsi multivariabel. Dari definisi fungsi kita tahu tidak semua persamaan quadric berbentuk fungsi. Kita meninjau grafik fungsi 2 variables, yang adalah permukaan dalam ruang 3 dimensi.contoh sketsa graphik dari. Gambar Permukaan Bentuk fungsi umum lain yang telah kita bahas adalah bidang datar. Persamaan umum bidang datar yang telah kita bahas adalah: Atau dengan menempatkan z dikiri dan menggantinya dengan notasi fungsi,didapat: Menggambarkan bidang datar adalah dengan mencari titik potong/interseksi dengan ketiga sumbu, kemudian menghubungkan ketiga titik tersebut. Contoh: Gambarkan, Untuk lebih mudah menggambarkan fungsi diatas kita tulis sbb.: Titik potong dengan salah satu garis sumbu didapat dengan menetapkan koordinat variabel sumbu lainnya = 0. Contoh untuk mendapatkan titik potong dengan sumbu-z kita tetapkan. Jadi, titik potong pada garis sumbu-z: (0,0,12), untuk sumbu-x:(4,0,0), sumbu-y (0,3,0) Sehingga bidang datar tersebut dapat kita gambarkan sbb.: Gambar Permukaan Kita dapat mengembangkan fungsi menjadi permukaan 4 dimensi, misal. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 23

18 Namun untuk menggambarkannya tidak bisa, karena intuisi visual kita adalah ruang 3 dimensi. Domain. Kita me review kembali konsep domain pada fungsi single variable,, domain x adalah setiap nilai x yang bila dimasukkan kedalam fungsi akan memberikan kembali satu dan hanya satu nilai (definisi fungsi). Jadi domain dari fungsi 1 variabel adalah satu garis bilangan (1 dimensi). Maka domain fungsi dua variable,, adalah suatu area/daerah/ regions dalam ruang dua dimensi dan terdiri dari pasangan koordinat,, dan bila kita memasukkan nilai x & y kedalam fungsi kita akan mendapatkan satu dan hanya satu bilangan real/real number. Contoh Tentukan domain dari fungsi-fungsi berikut ini. (a) (b) (c) Solusi (a) Dalam kasus ini kita tahu akar tidak dapat bernilai negatif, sehingga x + y 0 Jadi domain digambarkan sebagai daerah yang diarsir termasuk garis batasnya. Gambar Sketsa (b) Utk kasus ini juga akar tidak boleh negatif, sehingga Jadi domain digambarkan sebagai daerah yang diarsir termasuk garis batasnya. Gambar Sketsa x 0 dan y o (c) Dalam kasus ini nilai dalam logarithm tidak boleh negatif atau nol (0), sehingga Jadi domain digambarkan sebagai daerah yang diarsir tidak termasuk garis batasnya Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 24

19 Gambar Sketsa x y2 < 1 Catatan domain fungsi 3 variabel,, adalah regions dalam ruang 3 dimensi. Contoh Tentukan domain dari fungsi berikut ini, Solusi Dalam kasus ini kita tahu bahwa akar tidak bisa negatif dan penyebut dalam pembagian tidak boleh 0. Sehingga perlu disyaratkan, Jadi, domain dari fungsi ini adalah setiap titik dalam himpunan yang terletak diluar permukaan bola yang berpusat dititik (0,0,0) dengan jari-jari/radius 4. Level curve. Level curve suatu fungsi adalah kurva dalam 2 dimensi yang didapat dengan menetapkan, dimana k adalah suatu bilangan. Jadi persamaan level curves adalah. Penulisan lain yang ekivalen bisa dalam bentuk dan dalam kasus ini persamaan level curve adalah. Level curve disebut juga sebagai contour curve. Contoh Tetapkan level curves dari fungsi Jawab dapat kita tuliskan sebagai,. Gambarkan beberapa. Bila kita pangkat 2 persamaan diatas kita mendapatkan, Persamaan diatas adalah persamaan cone atau kerucut dan karena kita tahu dari persamaan dalam bentuk awal, bahwa akar akan selalu memberi hasil positif, maka dapat kita simpulkan bahwa bentuk kerucut yang kita ambil adalah kerucut sebelah atas. Level curves ( contour curves) untuk permukaan ini didapat dari persamaan diatas dengan mengganti nilai. Dalam contoh kasus ini, dimana k adalah sembarang blangan. So, in this case, the level curves are circles of radius k with center at the origin. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 25

20 Kita dapat menggambar sketsa permukaan tersebut, dan untuk setiap nilai z yang kita tetapkan dengan bilangan k kita dapatkan sketsa dalam 2 dimensi sbb. Gambar sketsa dan sketsa level curve atau contour curve. Kita dapat katakan bahwa garis kontur / level curve adalah irisan dari fungsi bidang datar. dan Traces. Bila level curve adalah irisan permukaan dengan bidang datar, maka traces suatu permukaan adalah kurva/garis lengkung yang merupakan penampang irisan dengan bidang datar atau. Contoh Gambarkan trace dari fungsi untuk bidang dan. Untuk. Didapat Yang merupakan persamaan garis trace. Gambar dibawah ini menggambarkan potongan irisan bidang x=1 dengan permukaan Gambar 2.27 Untuk kita Dan gambar sketsanya berupa Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 26

21 Gambar Fungsi bernilai Vektor Fungsi bernilai vektor (dalam buku teks berbahasa Inggris disebut vector-valued function ) adalah fungsi yang mempunyai satu atau lebih variabel dan memetakannya menghasilkan vektor. Bila fungsi multivariabel yang lalu, memetakan domain dalam himpunan bilangan real, menjadi bilangan real. Dalam fungsi vektor, memetakan menghasilkan vektor. Fungsi vektor variabel tunggal dapat dalam atau dan dinyatakan sebagai, dimana, dan disebut sebagai komponen fungsi. Perhatikan notasi, x, y, z menyatakan koordinat, sedangkan x, y, z menyatakan vektor. Domain dari fungsi vektor adalah himpunan dari semua nilai t dimana komponen fungsi terdefinisi. Contoh Tetapkan domain dari fungsi Komponen ke-1 terdefinisi untuk setiap t. Komponen ke-2 terdefinisi hanya untuk. Komponen ke-3 hanya terdefinisi untuk. Sehingga domain fungsi adalah Contoh Gambarkan sketsa fungsi vector. Domain fungsi t terdefinisi untuk semua himpunan bilangan real t. Dengan memasukkan nilai t beberapa nilai kita dapatkan vektor diatas, makin banyak nilai dimasukkan dan ini sangat memungkinkan dengan bantuan komputer, kita mendapatkan gambar sketsa sbb. : Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 27

22 Gambar Contoh Buat sketsa fungsi vektor berikut ini (a) (b) (a) Gambar Dalam contoh ini kita mendapatkan sebuah ellipse. (b) Gambar Contoh Gambarkan sketsa fungsi vektor Fungsi vektor diatas dapat dituliskan sebagai Dalam bentuk ini kita dapatkan persamaa garis yang melalui titik dan sejajar dengan vector. Gambar sketsa adalah sbb.: Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 28

23 Gambar Contoh Gambarkan sketsa fungsi vektor Kita dapat menulis ulang dalam persamaan parametric untuk kurva Persamaan x dan y menunjuk pada lingkaran dengan radius 2 dan pusat (0,0) pada 2 dimensi dan pada 3 dimensi dimana z = 3. Kita dapat menggambarkan sketsa sbb.: Gambar Contoh Gambarkan sketsa fungsi vector Solution Bila komponen z = k seperti contoh 5 kita akan mendapatkan hasil yang sama dengan contoh 5, tetapi dalam contoh ini z = t sehingga gambar sketsa akan berbentuk helix atau spiral. Gambar Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 29

24 Contoh Tentukan persamaan vektor untuk segment garis yang berawal pada titik dan berakhir pada titik. Solusi Untuk mendapatkan persamaan garis bentuk vektor, kita perlu menentukan vektor arah, yaitu Dengan satu titik P dan vektor arah v didapat persamaan garis bentuk vektor, sbb. : Dengan menata tulis persamaan diatas kita mendapatkan: Persamaan garis ini dinyatakan dengan titik dan dan karena perumusan dari soal diatas adalah persamaan segmen garis yang berawal dari P dan berakhir di Q, tidak lebih dan kurang, maka perlu ditetapkan batasan dari nilai t. Dari persamaan diatas didapat Jadi dengan membatasi nilai t antara nol dan satu kita mendapatkan segment garis yang mulai dari P dan berakhir di Q. Jadi kesimpulan, persamaan segment garis yang mulai dari dan berakhir di adalah Berikut adalah contoh fungsi vektor dengan 2 variabel dalam contoh ini fungsi vektor yang menggambarkan permukaan. Contoh Identifikasi bentuk permukaan apa yang dinyatakan oleh fungsi vektor. Solution Fungsi vektor diatas dapat dituliskan kedalam bentuk persamaan parametrik sbb,: Persamaan pertama dan kedua menyatakan kita dapat mengambil bebas nilai x & y, persamaan ketiga menyatakan persamaan elliptic paraboloid. Sehingga persamaan diatas identik menggambarkan persamaan yang menggambarkan bentuk elliptic paraboloid. Secara umum setiap fungsi single variabel, fungsi dua variabel maupun fungsi multivariabel dapat dinyatakan/dituliskan dalam kedalam persamaan bentuk vektor. Semua Fungsi Multivariabel dapat dinyatakan dalam Fungsi Vektor!!!!!!!. Untuk fungsi single variable ( atau ) atau sembarang fungsi variabel ganda (,, atau ) dapat dituliskan kebentuk persamaan fungsi vektor sbb.: Untuk fungsi variabel tunggal dinyatakan, Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 30

25 Dan untuk fungsi variabel ganda dinyatakan sebagai, Sesuai dengan bentuk awal dari fungsi multivariable. Contoh : Fungsi hyperbolic paraboloid dapat dituliskan sebagai fungsi vektor: Konsep ini sangat penting dalam pembahasan Kalkulus Peubah Banyak Kalkulus pada Fungsi bernilai Vektor Pada bagian ini dibahas konsep dasar kalkulus, yaitu limit, turunan / derivatives dan integral untuk fungsi bernilai vektor. Prinsip kerja, rumusan berlaku dalam untuk perluasan ruang dimensi (ruang dimensi n). Limit untuk fungsi bernilai vektor. dan juga berlaku Contoh Hitung dimana fungsi vektor. Untuk komponen y digunakan dalil L Hospital. Turunan Fungsi bernilai Vektor. Contoh Hitung (turunan dari). Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 31

26 Teorema Beberapa definisi yang penting: smooth curve adalah setiap kurva dimana adalah kontinu dan untuk setiap t kecuali pada titik akhir. Contoh helix adalah smooth curve. Integral Fungsi bernilai Vektor. Dan untuk definite integrals. Untuk indefinite integral konstan hasil proses integral berbentuk vektor. Untuk definite integral dapat dituliskan dalam bentuk, Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 32

27 Contoh Hitung untuk fungsi vektor. Contoh Hitung untuk fungsi vektor Vektor Tangent, Normal dan Binormal Untuk suatu fungsi vektor,, maka disebut vektor tangent bila terdapat dan. Garis singgung pada titik P adalah garis yang melalui titik P dan sejajar vektor tangent,. Unit vektor tangent didefinisikan Contoh Tentukan rumusan vektor tangent dan unit vektor tangent untuk fungsi vektor. Vektor tangent adalah: Panjang unit vektor tangent : Maka unit vektor tangent adalah Contoh Tentukan persamaan bentuk vektor garis singgung pada lengkungan fungsi vektor pada titik. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 33

28 Vektor tangent didapat dengan memasukkan nilai pada turunan fungsi vektor, Nilai lengkungan fungsi vektor pada adalah, Persamaan vektor dari garis singgung adalah, Unit vektor normal didefinisikan sebagai, Unit vektor normal orthogonal (atau normal, atau tegaklurus) terhadap unit vektor tangent dan juga terhadap kurva fungsi vektor. Teorema Bila suatu vektor sehingga untuk setiap t. Maka orthogonal terhadap. Vektor Binormal di definisikan sebagai, Karena vektor binormal adalah hasil perkalian silang/cross product dari unit vektor tangent dan unit vektor normal maka vektor binormal orthogonal terhadap vektor tangent dan vektor normal. Contoh Tentukan vektor normal dan binormal untuk fungsi vektor. Maka unit vektor tangent adalah, Unit vektor normal didapat dari turunan unit vektor tangent dibagi magnitude unit vektor tanget. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 34

29 Sehingga vektor normal adalah, Vektor binormal adalah, 2.9. Panjang garis/lintasan Fungsi vektor Pada bab ini membahas bagaimana menentukan panjang lintasan dari fungsi vektor, Pada interval. Fungsi vektor dapat dituliskan dalam bentuk parametric sbb.: Panjang lintasan kurva pada interval adalah, Sehingga, panjang lintasan dapat dituliskan sebagai: Contoh Tentukan panjang lintasan dari kurva fungsi vektor untuk interval. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 35

30 tangent vector dan magnitude nya adalah: Maka panjang lintasan adalah: Fungsi panjang lintasan (arc length function). Fungsi panjang lintasan (arc length function) didefinisikan sebagai, Contoh Tentukan fungsi panjang lintasan fungsi vektor Dari contoh 1 kita dapatkan, Sehingga kita dapatkan fungsi panjang lintasan sebagai,. Dari persamaan diatas kita dapatkan : Dengan memasukkan nilai diatas ke fungsi vektor awal, kita melakukan reparameterize (parameterisasi ulang) fungsi vektor kedalam bentuk, dalam contoh kita dapatkan,. Jadi untuk fungsi vektor Dari persamaan vektor diatas, dapat ditentukan dimana titik capai pada kurva fungsi vektor setelah menempuh jarak tertentu sepanjang s. Pengukuran jarak s adalah jarak yang diawali dari titik awal dimana. Kegunaan dari fungsi lintasan diatas ditunjukkan dalam contoh dibawah ini. Contoh Tentukan titik mana yang akan dicapai pada setelah menempuh jarak lintasan sepanjang? Dari proses reparametrisasi diatas, kita dapatkan: Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 36

31 Dengan memasukkan nilai dicapai adalah pada titik: kedalam fungsi diatas kita dapatkan lokasi akhir yang Jadi setelah melintasi jarak sepanjang kurva, dicapai titik akhir Kelengkungan/Curvature Kelengkungan/curvature adalah ukuran seberapa cepat suatu lengkungan berubah arah pada suatu titik yang ditetapkan. Ada beberapa rumusan untuk menentukan kelengkungan suatu kurva. Rumusan formal diberikan sebagai, Dimana adalah unit vektor tangent dan s adalah panjang lintasan/kurva (arc length). Rumusan formal diatas agak rumit untuk digunakan, terdapat dua alternatif rumusan kelengkungan yang cukup praktis untuk digunakan, yaitu: Contoh Tentukan curvature dari fungsi vektor. Solusi Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 37

32 Dari contoh pada subbab 2.8. Vektor Tangent, Normal and Binormal, kita mendapatkan hasil perhitungan untuk fungsi vektor diatas, sebagai: Turunan unit tangent adalah, Besaran (magnitude) kedua vektor adalah, Maka kelengkungan didapat, Dalam kasus contoh ini didapatkan nilai kelengkungan (curvature) adalah constant. Ini berarti bahwa kurva berubah arah dengan laju yang sama pada tiap titik sepanjang kurva, Mengingat fungsi kurva ini adalah lintasan helix, maka hasil yang didapat sesuai/masuk akal. Contoh Tentukan curvature dari. Dalam contoh ini kita menggunakan rumusan kedua curvature. Hasil perkalian silang (cross product). Besaran (magnitudes), Sehingga nilai untuk setiap nilai t adalah, Misal kita mempunyai kurva yang dinyatakan dalam fungsi real mendapatkan nilai kelengkungannya / curvature. dan kita ingin Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 38

33 Setiap fungsi multi variable dapat dinyatakan dalam fungsi vektor, untuk fungsi real diatas kita dapat menuliskannya sebagai, Dengan menggunakan rumusan kedua curvature, kita akan mendapatkan Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 39

34 2.11. Kecepatan dan Percepatan Bila fungsi vektor posisi suatu benda tersebut adalah, maka kecepatan dan percepatan dari benda Baik kecepatan maupun percepatan berbentuk vektor. Dalam mekanika percepatan terdiri dari dua komponen, yaitu komponen tangential, a T, dan komponen normal, a N. Komponen tangential adalah bagian percepatan yang searah dengan lintasan dan komponen normal percepatan adalah bagian percepatan yang normal / tegaklurus (atau orthogonal) terhadap lintasan. Sehingga dapat dituliskan : Dimana dan adalah unit tangent dan unit normal dari fungsi vektor posisi. Bila didefinisikan maka komponen tangential dan normal percepatan adalah, Dimana adalah kelengkungan (curvature) dari fungsi vektor posisi. Contoh Bila percepatan suatu benda bergerak adalah, dapatkan fungsi kecepatan dan fungsi posisi benda, bila diketahui kecepatan awal adalah dan posisi awal adalah. Solusi Fungsi posisi adalah, Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 40

35 Contoh Untuk contoh diatas, tentukan komponen tangential dan normal percepatan. Solusi Dengan menggunakan rumus, Komponen tangential percepatan adalah, Komponen normal percepatan adalah, Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 41

36 2.12. Koordinat silendris Koordinat silendris dalam ditunjukan dalam gambar dibawah ini: Gambar Koordinat silendris. Konversi dari koordinat silendris ke Cartesian adalah sbb.: Sedangkan konversi dari koordinat Cartesian ke koordinat silendris dinyatakan sbb.: Contoh Identifikasi jenis permukaan/surface untuk persamaan berikut ini: (a) (b) (c) Solution (a) Silender dengan radius 5 berpusat disumbu-z. (b) Dengan konversi koordinat Cartesian kita dapatkan Jadi, bentuk permukaan adalah bola dengan radius = 10. (c) Dalam kasus ini, dengan konversi ke koordinat kita mendapatkan Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 42

37 Jadi bentuk permukaan yang dimaksud adalah kerucut atau cone Koordinat Bola Koordinat bola digambarkan sbb.: Gambar Koordinat Bola. Koordinat bola / Spherical coordinates terdiri dari tiga variabel/perubah. Pertama variabel, yang merupakan jarak dari titik 0 (origin) dengan titik yang dimaksud, sehingga perlu di syaratkan. Variabel kedua adalah. Ini adalah sudut yang sama dengan yang dinyatakan dalam koordinat polar/cylindrical coordinates. Yaitu sudut antara sumbu-x positif dan garis yang dinyatakan dengan r (yang juga sama dengan r yang dinyatakan dalam koordinat p olar/cylindrical coordinates). Tidak ada persyaratan untuk. Variabel ketiga adalah. Ini adalah sudut antara sumbu-z positif dengan garis yang menghubungkan 0 (origin) dengan titik yang dimaksud. Perlu disyaratkan. Berikut rumus konversi antara koordinat: Konversi dari koordinat bola ke koordinat silender, diketahui dan ingin didapat. Dan karena dalam koordinat bola dan silender adalah sama, maka yang perlu dicari adalah r dan z. Dengan sedikit proses geometry dan trigoneometry didapat: Sehingga : Juga berlaku, Atau, Hubungan dengan koordinat Cartesian, untuk itu kita lihat rumus konversi koordinat Cartesian dengan koordinat silender yang telah dibahas di bab sebelum ini. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 43

38 Dengan menggunaka formula r dan z kita dapatkan, Diketahui juga sehingga, Konversi dari Cartesian atau cylindrical coordinates ke spherical coordinates dilakukan dengan penurunan rumus yang sama. Contoh Lakukan konversi berikut ini. (a) Konversikan titik dari koordinat silender ke koordinat bola. (b) Konversikan titik dari koordinat Cartessian ke koordinat bola.. (a) Nilai adalah sama dalam kedua koordinat. Berikut didapatkan. Untuk mendapatkan dilakukan dengan rumus konversi untuk r atau z. Ada banyak kemungkinan untuk nilai yang memberikan, namun karena kita mempunyai persyaratan dalam maka nilai yang diambila adalah π 3, sehingga koordinat bola yang didapat adalah. (b) Langkah pertama adalah menemukan. Untuk mendapatkan, digunakan rumus konversi untuk z. Karena persyaratan range maka hanya nilai diatas yang diperbolehkan untuk. Untuk mendapatkan digunakan konversi untuk x atau y. Dengan menggunakan rumus konversi untuk y didapat, Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 44

39 Dari kedua nilai diatas, perlu dipilih salah satu dan karena koordinat dan terletak dalam quadrant kedua, maka sudut haruslah sudut yang menghasilkan titik pada quadrant kedua. Sehingga sudut yang dipilih adalah,. Jadi koordinat bola adalah. Contoh Identifikasi permukaan yang dinyatakan persamaan berikut ini. (a) (b) (c) (d) (a) Bila dikonversi ke koordinat Cartesian coordinates yang telah dikenal, didapat. Sehingga kita mendapat permukaan bola dengan radius 5 berpusat di 0 (origin). (b) Kita mendapatkan cone dengan sudut dengan sumbu z positive. (c) Didapat bidang datar vertical yang membentuk sudut dengan sumbu-x positive. (d) Cara 1 Sisi kiri dan kanan ditambahkan dengan didapat. Bila dikonversi ke koordinat Cartesian didapat, Persamaan diatas menyatakan sebuah silender dengan radius 2 berpusat di sumbu-x. Cara 2 Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 45

40 Cara ini lebih langsung, yaitu konversi langsung ke koordinat silender dan karena maka didapat, Yang berarti suatu silinder dengan radius 2. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 46