DIFERENSIASI VEKTOR. Fungsi Vektor

Transkripsi

1 DIFERENSIASI VEKTOR Fungsi Vektor Jika sembarang nilai skalar dikaitkan dengan suatu vektor, maka bisa dinyatakan sebagai fungsi vektor dari atau, yaitu suatu vektor yang komponen-komponennya merupakan fungsi dari nilai skalar. Dalam fungsi vektor biasa ditulis dengan, Dalam fungsi vektor ditulis dengan, Konsep fungsi vektor ini dapat diperluas, jika sembarang titik di dikaitkan dengan suatu vektor, maka dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor sebagai berikut. Turunan Biasa Definisi Turunan Vektor adalah sebuah fungsi vektor yang bergantung pada sebuah variabel, didefinisikan turunan dari sebagai berikut. Jika limitnya ada. 1

2 Jika fungsi vektor dengan fungsi fungsi skalar,, dan dapat dideferensialkan terhadap variabel, maka mempunyai turunan variabel yang dirumuskan sebagai berikut : Sifat-sifat Turunan Biasa Fungsi Vektor Jika,, dan adalah fungsi-fungsi vektor dari sebuah skalar yang diferensiabel dan sebuah fungsi skalar dari yang diferensiabel, maka : (1) (2) (3) (4) (5) ( ) ( ) ( ) (6) ( ) ( ) ( ) Bukti : (1) (2) 2

3 (3) (4) (5) ( ) ( ) ( ) ( ) (6) ( ) ( ) ( ) ( ) Contoh 1 3

4 Jika, tentukan ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) Contoh 2 Jika dan. Tentukan di. Cara 1 Pada saat, maka : Cara 2 [ ] [ ] 4

5 Pada saat, maka : Contoh 3 Jika pada titik., tentukan vektor singgung satuan Vektor singgung satuan [ ] Saat, maka Contoh 4 Diketahui, carilah : (a) (b) (c) (d) 5

6 (a) (b) ( ) (c) (d) Contoh 5 Sebuah partikel bergerak sepanjang sebuah kurva yang persamaan parameternya adalah,, dan, dimana adalah waktu. (a) Tentukan kecepatan dan percepatannya pada sembarang saat. (b) Carilah besar dari kecepatan dan percepatan pada. (a) Vektor kedudukan Maka kecepatannya Dan percepatannya (b) Pada Maka : Besar kecepatan pada saat adalah Besar percepatan pada saat adalah Contoh 6 6

7 Jika dan, carilah : (a) (b) (c) (a) Atau dengan cara lain, kita cari dulu, kemudian kita turunkan. (b) [ ] [ ] Atau dengan metode lain, yaitu cari dulu kemudian turunkan. (c) 7

8 Atau dengan cara lain, kita cari dulu, kemudian turunkan. Contoh 7 (a) Carilah vektor singgung satuan pada sembarang titik terhadap kurva,, dan. (b) Tentukan vektor singgung satuan ini pada titik dimana. (a) Vektor singgung terhadap kurva pada sembarang titik adalah [ ]. Vektor ini besarnya Maka vektor singgung satuan yang dikehendaki adalah Perhatikan bahwa karena, maka (b) Pada, vektor singgung satuan adalah. Vektor Singgung Satuan 8

9 Misalkan adalah vektor posisi yang menghubungkan titik pangkal dengan sebarang titik dalam ruang. Jika u berubah, maka : Adalah sebuah vektor yang searah dengan. Sedangkan, Adalah sebuah vektor yang searah dengan arah garis singgung pada karva ruang di Jika adalah vektor singgung satuanya, maka : Rumus Frenet-Serret 9

10 Jika kurva dalam ruang adalah sebuah kurva ruang yang didefinisikan oleh kurva, maka kita telah mengetahui bahwa adalah sebuah vektor yang searah dengan garis singgung pada. Jika skalar diambil sebagai panjang busur yang diukur dari suatu titik pada, maka : Adalah sebuah vektor singgung satuan pada. Laju perubahan terhadap adalah ukuran dari kelengkapan dan dinyatakan dengan, Arah dari pada sebarang titik pada adalah normal terhadap kurva pada titik tersebut. Jika adalah sebuah vektor satuan dalam arah normal ini, maka disebut normal utama pada kurva. Jadi, 10

11 Dimana disebut kelengkungan dari pada titik yang dispesifikasikan. Besaran Vektor satuan yang tegak lurus pada bidang dan sedemikian rupa sehingga Disebut binormal terhadap kurva. Dari sini diperoleh bahwa,, dan membentuk sebuah sistem koordinat tegak lurus tangan kanan pada sebarang titik dari. Himpunan relasi-relasi yang mengandung turunan-turunan dari vektorvektor,, dan dikenal dengan rumus Frenet-Serret yang diberikan oleh : dimana adalah sebuah skalar yang disebut torsi. Besaran Disebut jari-jari torsi. 11

12 Contoh 1 Untuk,, dan. Carilah : (a) Vektor singgung satuan (b) Normal utama, kelengkungan dan jari-jari kelengkungan (c) Binormal, torsi dan jari-jari torsi (a) Vektor kedudukan dari sebarang titik pada kurva adalah, maka : Jadi, (b) ( ) Karena, maka : ( ) ( ) dan Dari diperoleh : ( ) 12

13 (c) Dari, diperoleh : dan 13

14 Soal-soal Latihan 1. Carilah kecepatan dan percepatan sebuah partikel yang bergerak sepanjang kurva,, dan pada saat serta carilah besarnya kecepatan dan percepatan. 2. Jika dan. Tentukan pada saat. 3. Carilah vektor singgung satuan pada saat pada kurva,, dan. 14

15 DAFTAR PUSTAKA Alamsyah Analisis Vektor. Pringsewu : STKIP Muhammadiyah Pringsewu Lampung. Noeniek Soemartoyo Analisa Vektor. Jakarta : Penerbit Erlangga. Calculus Vector. Diunduh : 13 April Diferensial Vektor. Diunduh : 13 April Diferensial Vektor. Diunduh : 13 April Diferensiasi Vektor. Diunduh : 13 April