Dalam koordinat Euclid

Transkripsi

1 Curve

2 Diberikan adalah sebuah kurva. Pada Bab 1, bagian 4, telah didefinisikan vektor kelajuan dari saat t. Sekarang kita definisikan kecepatan dari saat t yaitu panjang dari vektor kelajuan. Dengan demikian, kecepatan merupakan sebuah fungsi bernilai real pada interval I. Dalam koordinat Euclid

3 Oleh karena itu, fungsi kecepatan dari dinyatakan dengan perumusan : Dalam fisika, jarak yang dilalui oleh perpindahan titik dapat ditentukan dengan mengintegralkan kecepatannya terhadap waktu. Dengan demikian, kita definisikan panjang busur untuk dari ke yaitu

4 Panjang busur ini hanya melibatkan batasan dari (didefinisikan pada beberapa interval terbuka) untuk interval tertutup. Batasan seperti disebut segmen kurva, dan panjangnya dilambangkan dengan. Perhatikan bahwa kecepatan dari terdefinisi dengan baik di titik-titik terakhir dan dari. Terkadang salah satu yang menarik hanya rute yang dilalui oleh sebuah kurva dan bukan pada kecepatan tertentu dimana sebuah kurva melintasi rutenya. Salah satu cara untuk mengabaikan kecepatan dari kurva yaitu dengan reparameterisasi kurva yang memiliki kecepatan unit. Maka menggambarkan perjalanan standar sepanjang rute.

5 2.1 Teorema

6 Teorema 2.1 Jika adalah kurva regular di, maka terdapat suatu reparameterisasi ß dari sedemikian hingga ß memiliki kecepatan satuan.

7 Bukti: Akan dibuktikan terdapat ß suatu reparameterisasi dari sehingga. Misal diberikan nilai (fixed) pada domain I dari fungsi dan fungsi panjang busur Kemudian derivatif dari fungsi adalah fungsi kecepatan dari dari -. Karena - regular maka menurut definisi, sehingga. Menurut Teorema Dasar Kalkulus, fungsi memiliki fungsi invers dimana derivatif pada adalah kebalikan dari pada. Secara sama berarti. Sekarang misalkan ß reparameterisasi aturan rantai diperoleh dari -. Dengan menggunakan Dari sini maka diperoleh kecepatan ß Sehingga terbukti bahwa reparameterisasi ß dari - kecepatan satuan. sedemikian hingga ß memiliki

8 Contoh: Helix. Maka kelajuan Sehingga Maka mempunyai kecepatan konstan. Dengan panjang busur dari t=0:..

9 Dengan mensubstitusikan t(s)=s/c ke, maka didapat: Dan mudah diketahui bahwa untuk semua s, sehingga punya kecepatan satuan.

10 2.2 Definisi

11 Definisi 2.2 Medan vector Y pada kurva adalah sebuah fungsi yang mengawankan setiap sebagai tangent vector Y(t) terhadap pada (t) Y(t) = (y 1 (t), y 2 (t), y 3 (t)) (t) = y i (t)u i ( (t)) Dengan y i pada I disebut fungsi koordinat Euclidean pada Y. Operasi-operasi: Jika diberikan Y, Z medan vector pada kurva (Y + Z) (t) = Y(t) + Z(t) (f Y) (t) = f(t) Y(t) dan f fungsi, maka

12

13 Jika diberikan Maka

14 Jika maka. Contoh: Turunan dari yaitu merupakan percepatan dari. Misal maka. Dan berbeda dengan kecepatan, percepatan tidak menyinggung kurva

15 Diferensiasi selalu memenuhi sifat linear dan sifat Leibnizian. Sifat linear: Sifat Leibnizian: Jika adalah fungsi konstan maka Jika mempunyaipanjang konstan maka dan orthogonal di setiap titik. Sedemikian hingga konstan maka

16 2.3 Lemma

17 2.3 Lemma 1. Suatu kurva konstan jika dan hanya jika kecepatannya nol, =0; 2. Kurva tidak konstan adalah garis lurus jika dan hanya jika percepatannya nol, =0; 3. Suatu medan vector Y pada kurva adalah sejajar jika dan hanya jika turunannya nol, Y =0.

18 Bukti Lemma: Karena kurva konstan,, maka. Jika, berarti dengan sebarang konstanta, maka kurva konstan,. 1

19 Bukti Lemma: Karena kurva tidak konstan dan garis lurus,.. jika dan hanya jika masing-masing dengan, sehingga, tidak lain merupakangaris lurus, maka yang merupakan kurva tidak konstan. 2

20 Bukti Lemma: Suatu medan vector, pada kurva sejajar jika semua tangent vector-nya sejajar, Tangen vector dan sejajar jika dan sehingga konstanta, dan. Karena, maka, sedangkan diketahui pula kesejajaran medan vector ekuivalen dengan kekonstanan dari fungsi kordinat Euclidan. Berarti Y sejajar. 3

21 Benawi Adha(11/316884/PA/14004) Era Dwi Irianti(11/313469/PA/14274) Erna Dwi Astuti(11/313469/PA/13692) Farida Iin Nuraini(11/316917/PA/14036) Riska Amalia Pertiwi(11/316871/PA/13993) Risky Novita Listyorini(11/317028/PA/14145) Credits