GERAKAN KURVA PARAMETERISASI PADA RUANG EUCLIDEAN 1. PENDAHULUAN

Transkripsi

1 GERAKAN KURVA PARAMETERISASI PADA RUANG EUCLIDEAN Iis Herisman dan Komar Baihaqi Jurusan Matematika,Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya ABSTRAK. Dalam ruang Euclidean, diberikan kurva dan bagaimana hubungan kedua kurva dalam memliki nilai kelengkungan atau torsi secara geometris. Parameterisasi dapat mengorientasikan dari hubungan tersebut, memfokuskan gerakan kurva dengan arah kurva lama. Dengan pertimbangan jejak arah kurva sebagai objek yang bergerak dan memindahkan dalam ruang Kata kunci : Parameterisasi, gerakan kurva, kelengkungan, torsi 1. PENDAHULUAN Berdasarkan pertimbangan dari geometri diferensial, bahwa perlu dasar definisi dan sifat kurva dalam yaitu pada ruang Euclidean kurva dalam secara umum memiliki sifat-sifat yang berhubungan dengan kelengkungan. Diberikan kurva diferensiabel dalam parameterisasi, pemetaan untuk semua bahwa untuk semua tingkat. Kurva dikatakan regular, jika untuk semua Vektor tangen dari didefinisikan dengan norm dari adalah dikatakan kecepatan dari pada Permasalahan selanjutnya perlu didefinisikan kurva parameterisasi. Definisi 1.1 Diberikan kurva diferensiabel, regular, parameterisasi dan adalah fungsi yang bernilai real. Jika fungsi kontinu dan mempunyai fungsi invers dikatakan fungsi parameterisasi jika ada kurva merupakan vektor satuan. Hubungan kedua kurva kurva dan pada bidang datar yang menjadikan suatu persmasalahan pada gambar 1, yaitu kurva pendulum atau bandulan jam dinding yang bergerak mengikuti kurva. Selanjutnya dengan mempertimbangkan masalah tersebut, maka kurva yang dilintasi pendulum yang akan ditentukan ini. Diberikan kurva dan, maka pada bidang datar dibangun kedua kurva dan selanjutnya dibuat garis tangen di titik sepanjang kurva β Gambar 1 141

2 Maka terdapat hubungan kedua kurva dengan persamaan dengan tegak lurus pada untuk semua. John McCleary [1] Sebuah dataran tertentu yang dibatasi sepanjang kurva tetap dengan lintasan selalu mengikuti lintasan involute dari Hasil penelitian dari Huygens adalah dengan jam pendulum dibangun menggunakan sepasang pelat melengkung mengikuti lingkaran antara pendulum yang akan berayun. Seperti biasa, itu akan sangat membantu untuk dapat menghitung kelengkungan dan torsi saat kurva adalah biasa tapi tidak unit kecepatan. Permasalah ini biasanya diperlukan pada gerakan bandul jam diding, yaitu mengharuskan membangun evolute dari cycloid. Selanjutnya mengembangkan beberapa sifat dari involutes dan evolutes untuk memecahkan masalah ini Salah satu aplikasi kelengkungan sering dipakai pada pergerakan suatu benda yang sepanjang kurva reguler yang diasumsikan sebagai kecepatan benda tersebut, sebagai contoh pada teorema Frenet-Serret Dalam dimensi tiga, diberikan kurva, menggambarkan kelengkungan dari kurva pada bidang merupakan generalisasi ide untuk kurva dalam ruang. Dalam dua dimensi yang normal untuk garis singgung mudah untuk dijelaskan, sedangkan dalam tiga dimensi ada kontinum pilihan vektor normal. Selain itu, akan menghadapi dengan fenomena baru, yaitu kurva dapat naik keluar dari pergerakan titik yang direntang oleh garis singgung dan normal. Komplikasi ini diatasi dengan fitur khusus keberadaan produk silang dan titikdari dua vektor. Theodore Shifrin [3] 2. RUMUSAN MASALAH Suatu titik bergerak melintasi kurva dalam ruang Euclidean selalu mempertahankan bingkai Frenet-Serret, yaitu tiga buah sumbu koordinat yang saling tegak lurus, untuk setiap Kurva menyatakan suatu vector posisi untuk setiap Sebelum pada permasalahan perlu diingat definisi dan sifat dari aljabar vektor, terutama operasi perkalian silang dari dua buah vektor. Definisi 2.1 Diberikan dua vektor maka berlaku. Berdasarkan definisi, maka sifat utama dari produk silang adalah: 1. Untuk setiap ( ) dan ( ) 2. ( ) 3. ( ) ( ) ( ) 4. ( ) 5. Jika adalah kurva differensiabel, maka = Artinya, aturan Leibniz berlaku untuk turunan dari produk silang dari fungsi terdiferensialkan. Theodore Shifrin [3] Diberikan kurva untuk setiap selanjutnya akan mencari kelengkungan dengan jari-jari kelengkungan, sebagai dasar teori bentuk kurva didapat dari kurva dalam bentuk ekplisit Suatu kurva dalam bentuk fungsi ekplisit yang kontinu dan differensiabel, Seminar Nasional Matematika Prosiding

3 lihat gambar 2. Pandang fungsi maka kelengkungan dititik didefinisikan sebagai berikut: Definisi 2.2 Diberikan sebarang titik dan lihat gambar 2, adalah berdekatan dan terletak pada kurva yang kontinu dan differensibel, maka kelengkungan di titik Y didefinisikan: dengan jari-jari kelengkungan adalah Soehardjo [2]. y = f(x) A. s. P Q. s O Gambar 2 X Hasil dari definisi dikembangkan untuk mendapatkan rumus kelengkungan pada teorema berikut. Teorema 2.3 Diberikan kurva fungsi eksplisit yang differensiabel. Maka kelengkungan dan jari-jari kelengkungan dari kurva masing-masing adalah:, - dan 0 1 Kelengkungan dari kurva bentuk eksplisit, dapat dikembangkan untuk menurunkan lagi dari kurva parameter Selanjutnya perlu juga mendefinisi dari fungsi torsi yang berhubungan vektor binormal dan normal pada bingkai Frenet-Serret dan hubungan dengan kelengkungan kurva disajikan pada definisi berikut. Definisi 2.4 dan fungsinya disebut torsi di Untuk kurva, reguler kurva satuan, koleksi terkait * + disebut bingkai Frenet-Serret. Hal ini dasar dari ortonormal * + disebut kerangka yang bergerak sepanjang kurva pada bidang ruang. T N B Gambar 3 N T B Seminar Nasional Matematika Prosiding

4 Teorema 2.5 Jika kurva satuan regular dengan kelengkungan tidak nol, maka Untuk selanjutnya rumusan permasalahan akan dikembangkan pada pergerakan suatu titik yang melintasi kurva diferensiabel dan paramaterisasi dalam ruang Euclidean. 3. HASIL DAN PEMBAHASAN Bedasarkan hasil penelitian Huygens, yang merupakan cikal bakalnya dari Geometri Diferensial, bahwa bandul jarum jam didinding diapit oleh dua plat yang diasumsikan sebagai kurva dan Dengan demikian permasalahan makalah, bagaimana hubungan antara kedua kurva dan salah satunya berkaitan tentang involute dan evolute, yang dikaji pada definisi berikut. Definisi 3.1 Dua buah kurva dan dengan terletak di sepanjang garis singgung ke dan jika involute dari, dan dinamakan evolute dari dinamakan Berdasarksn definisi, hubungan kedua kurva dikembangkan pada teorema, tentang involute dari kedua kurva pada bidang datar. Teorema 3.2 Kurva adalah involute dari kurva satuan jika dan hanya jika untuk konstanta berlaku: Bukti. Syarat Cukup. Misalkan kurva terletak di sepanjang garis singgung di setiap titik. Garis tangen dari didapat Karena kurva satuan dan berakibat Syarat Perlu. Jika adalah involute dari, didapat Dengan metoda derivatif dari dot product dengan didapat Akibat dari kurva satuan dan maka didapatkan persamaan diferensial 1 Ini berarti bahwa Perhatikan bahwa dikatakan kurva reguler, jika untuk semua. Selanjutnya akan membuktikan teorema atau menurunkan formulasi kelengkungan dari kurva yang melintasi kurva lingkaran. Untuk menyelesaikan permasalahan ini,akan membuktikan teorema Huygens berikut. Teorema 3.3 Suatu lingkaran, selalu memiliki sebuah lingkaran yang kongruen sebagai evolutenya. Bukti. Andaikan cycloid parametrization bukan merupakan vektor satuan, masih dapat menentukan kelengkungannya, karena terdapat kurva pusat kelengkungan. Jelas, secara umum memiliki radius dari kurva lingkaran. Diberikan sebarang kelengkungan bidang Seminar Nasional Matematika Prosiding

5 kurva reguler ( ) dengan ( ) ( 1 ), didapat Untuk kurva cycloid, -. / Pusat kelengkungan kurva, adalah: normal satuan kurva di (1 ) jadi dengan adalah ( 1 ). 1 / (. /. /. / ( )) ( ( ) ( )) Catatan:, vektor menunjuk arah keatas, dari titik pada kurva, berakibat bernilai positif. Dengan mensubstitusikan ke persamaan diatas didapat pusat kelengkungan: ( 1 ( )( ( )) ( )). 1 ( )/ ( 1 ) Dengan transformasi maka dipetakan ke ( 1 ) berarti telah membuktikan teorema. Pada gambar 4 diasumsikan, bahwa pendulum atau bandul jam dinding diapit oleh dua buah kurva dan melintasi kurva cycloid. Gambar 4 Kelengkungan dan torsi dari kurva, yang diasumsikan sebagai pemetaan akan diturunkan dengan formulasi pada terorema berikut. Teorema 3.4 Diberikan kurva umum maka kelengkungan dan torsi dirumuskan: dan. / Seminar Nasional Matematika Prosiding

6 Bukti. Dalam suatu bidang, panjang busur parametrisasi ( ) dengan adalah fungsi panjang busur dan adalah inversnya. Berdasarkan atau. / sehingga didapat Misalkan dan akan menghitung kelengkungan dan torsi pada Dengan aturan berantai didapat:. /. / ( ) ( ). / Kemudian dengan menggunakan teorema Frenet-Serret untuk mencari yaitu ( ) Untuk mendapatkan panjang busur kurva parameter dari persamaan persamaan didapat didapat ( ) didapat. / Dari dan Sedemikian hingga didapat pula untuk konstanta dan dan. /. / hal ini membuktikan bahwa teorema terbukti. Contoh. Diberikan kurva dengan 1 Kurva diferensial sampai tingkat tiga didapat: Hal ini menyatakan bahwa ( ) jadi untuk semua dan adalah sebidang. Setelah perhitungan yang panjang mendapatkan kelengkungannya: Seminar Nasional Matematika Prosiding

7 Kurva ini memiliki kelengkungan yang sama seperti kelengkungan dari kurva ellips pada bidang datar. Dengan teorema dasar ini untuk kurva di lintasan ellips dengan menentukan konstanta dan Untuk selanjutnya ternyata banyak lagi yang bisa dikembangkan terutama sifat-sifat khusus, yaitu kurva dari kerangka atau bingkai aparat Frenet-Serret. 4. KESIMPULAN Berdasarkan hasil-hasil pada bagian sebelumnya dapat ditarik dua kesimpulan utama seperti berikut ini : 1. Pergerakan bandul jam dinding, pada penelitian Huygen merupakan awal perkembangan dari geometri diferensial. 2. Suatu pergerakan titik pada kurva bidang datar digeneralisasikan pada ruang Euclidean 3. Pergerakan kurva untuk setiap titik mempertahankan bingkai Frenet-Serret. 4. Semua persoalan pada makalah merupakan aplikasi dari diferensial dan vektor. DAFTAR PUSTAKA [1] John McCleary., Geometry From A Differentiable Viewpoint, Cambridge University Press, [2] Soehardjo., Diktat Matematika I, Jurusan Matematika F.MIPA ITS, [3] Theodore Shifrin., Differential Geometry: Afirst Course in Curves and Surfaces, University of Georgia, iis@matematika.its.ac.id, komar@matematika.its.ac.id Seminar Nasional Matematika Prosiding