GEOMETRI ANALIT DI R3

Transkripsi

1 GEOMETRI ANALIT DI R3 1. Persamaan berderajat pertama dengan tiga variabel di Persamaan yang berbentuk Ax + By + Cz + D = 0, (3*) dengan A, B, C, D merupakan bilangan real dan A, B, C tak bersama-sama nol, dinamakan persamaan berderajat pertama dengan tiga variabel x, y, z di R 3 Grafik dari himpunan penyelesaian persamaan (3*), merupakan bidang datar. Jadi bidang datar berkaitan dengan persamaan (3*). Sebelum dilakukan penyajian materi tentang bidang datar, perlu disajikan dulu obyek geometri yang merupakan pengertian pangkal, yakni titik. 2. Titik dan jarak dua titik di Untuk pembahasan geometri analitik di ruang dimensi tiga, perlu diperkenalkan terlebih dulu rumus-rumus untuk menentukan jarak dua titik, dan cara-cara untuk melukislkan arah suatu ruas garis atau garis. Dalam dimensi tiga, sumbu-sumbu koordinat pada sistem koordinat Kartesius tegak lurus merupakan garis-garis yang saling tegak lurus. Sumbu-sumbu tersebut dinamakan sumbu x, sumbu y, dan sumbu y. Sedangkan bidang datar yang dutentukan oleh sumbu-sumbu koordinat tersebut dinamakan bidang koordinat, yang dinamakan bidang-bidang xy, yz, dan xz. Dalam sistem ini, koordinat suatu titik mempunyai tiga komponen yang dinyatakan oleh pasangan tiga berurutan (ordered triple) berbentuk (x, y, z). Titik (2, 3, 5) terletak dua satuan dari bidang yz, tiga satuan dari bidang xz, dan lima satuan dari bidang xy. Tiga bidang koordinat memisahkan ruang menjadi 8 daerah (region) yang dikenal sebagai oktan (octants) Daerah yang koordinat (x, y, z) semuanya positif dinamakan daerah pertama (first octant). Titik merupakan pengertian pangkal. Titik di dapat berupa titik potong (titik tembus), titik puncak, titik sudut, titik pusat. Setiap titik di R 3 dapat dikaitkan dengan satu pasangan bilangan real (x, y, z), dan sebaliknya setiap pasangan bilangan real (x, y, z) dapat dikaitkan

2 dengan satu titik di. Jika ada dua titik di maka antara kedua titik tersebut dapat ditentukan jaraknya. Jarak antara titik P(a,b,c) dan titik P(p,q,r) adalah: ( ) ( ) ( ) Buktikan! (Petunjuk : Gunakan teorema Pythagoras) Posisi setiap garis di, ditentukan oleh sudut arah. Sudut arah suatu garis ditunjukan oleh besar sudut antara garis tersebut dengan sumbu x, sumbu y, dan sumbu y. Jika sudut arah suatu garis diketahui, maka dapat ditentukan cosinus arahnya, dan bilangan arahnya. Jika d adalah jarak antara P(a,b,c) dan Q(p,q,r), maka cosinus arah garis yang memuat titik P dan titik Q, adalah:,,, dengan berturut-urut merupakan sudut arah garis terhadap sumbu x, y, z. Jika cos u, cos v, cos w merupakan cosinus arah suatu garis maka berlaku: Cos 2 u + cos 2 v + cos 2 w = 1 Bilangan arah suatu garis lurus, adalah sebarang pasangan bilangan (l, m, n) yang diperoleh dengan mengalikan suatu konstan dengan cosinus arah suatu garis. Jika suatu garis memuat P(a,b,c) dan Q(p,q,r), maka bilangan arah garis tersebut adalah [l,m,n], dengan l=(a-p), m=(b-q), dan n=(c-r). Jika merupakan sudut antara dua garis yang masing-masing memiliki sudut arah a 1, b 1, c 1 dan a 2, b 2, c 2, maka Cos = cos a 1 cos a 2 + cos b 1 cos b 2 + cos c 1 cos c 2. Jika dua garis berturut-turut mempunyai bilangan arah [l 1,m 1,n 1 ], dan [l 2,m 2,n 2 ] maka kedua garis tersebut: sejajar jika dan hanya l 2 = kl 1, m 2 = k m 1, n 2 = k n 1 dengan k 0. saling tegak lurus jhj l 1.l 2 + m 1.m 2 + n 1.n 2 = 0

3 3. Bidang datar dan Normal Bidang datar merupakan himpunan titik-titik yang memenuhi syarat-syarat tertentu. Bidang datar (selanjutnya cukup disebut dengan bidang) merupakan salah satu obyek geometri di. Selain bidang terdapat obyek geometri yang lain yaitu bidang lengkung, atau luasan (surface). Pada pembahasan selanjutnya dibedakan antara bidang (plane) dan bidang lengkung (surface). Aksioma Melalui tiga titik yang tidak segaris dapat ditentukan dengan tepat satu bidang datar. Melalui sebuah titik, dapat dibuat tepat sebuah bidang datar yang tegak lurus terhadap garis yang ditentukan. Garis yang tegak lurus terhadap bidang datar dinamakan normal terhadap bidang. Jika garis L tegak lurus bidang datar V, dan bilangan arah L adalah [l,m,n]. maka dapat ditunjukkan bahwa persamaan bidang datar V adalah Ax + By + C = 0, dengan A, B, C merupakan bilangan real. 4. Bidang datar dan Normal Bidang datar merupakan himpunan titik-titik yang memenuhi syarat-syarat tertentu. Bidang datar (selanjutnya cukup disebut dengan bidang) merupakan salah satu obyek geometri di. Selain bidang terdapat obyek geometri yang lain yaitu bidang lengkung, atau luasan (surface). Pada pembahasan selanjutnya dibedakan antara bidang (plane) dan bidang lengkung (surface). Aksioma Melalui tiga titik yang tidak segaris dapat ditentukan dengan tepat satu bidang datar. Melalui sebuah titik, dapat dibuat tepat sebuah bidang datar yang tegak lurus terhadap garis yang ditentukan. Garis yang tegak lurus terhadap bidang datar dinamakan normal terhadap bidang. Jika garis L tegak lurus bidang datar V, dan bilangan arah L adalah [l,m,n]. maka dapat ditunjukkan bahwa persamaan bidang datar V adalah Ax + By + C = 0, dengan A, B, C merupakan bilangan real.

4 5. Jarak titik terhadap bidang Jarak tak berarah d antara titik P 1 (x 1,y 1,z 1 ) dan bidang dengan persamaan Ax + By + Cz + D = 0 adalah 6. Persamaan berderajat kedua di Bentuk umum persamaan berderajat kedua dengan tiga variabel di adalah Ax 2 +By 2 +Cz 2 +Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Ly+J=0 (4*), dengan A,B,C,D,E,F, G,H,I,J merupakan bilangan real, dan A, B, C tak bersama-sama nol. Grafik dari himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut, merupakan bidang lengkung (surface). Pada pembahasan selanjutnya, pembahasan bidang lengkung dibatasi pada silinder, paraboloida, bola, elipsoida, dan hiperboloida. Pada sub materi kajian sebelumnya, dibahas tentang persamaan berderajat pertama dengan tiga peubah (variabel)., dan grafiknya di. Pada sub kajian materi ini dan selanjutnya akan dibahas persamaan berderajat kedua. Grafik di dari suatu persamaan berderajat kedua dinamakan bidang lengkung kuadrat (quadric surface). Untuk mempermudah melukis grafik persamaan berderajat kedua di, perlu disajikan dahulu pengertian jejak-jejak (traces), dan irisan-irisan (sections) Jejak (trace) adalah suatu kurva yang terbentuk oleh perpotongan antara bidang-bidang koordinat dengan sebuah bidang lengkung (surfase). Sedangkan irisan (section) adalah suatu kurva yang terbentuk oleh perpotongan antara beberapa bidang datar dan suatu bidang lengkung. Contoh: Jejak (trace) grafik 4x 2 y 2 + 4z 2 = -16 pada bidang xy, merupakan parabola. Persamaan dari jejak tersebut adalah: z = 0 dan 4x 2 y 2 + 4z 2 = -16 Irisan (section) grafik x 2 + y 2 + z 2 = 20 pada bidang y = 4 merupakan lingkaran. Persamaan irisannya adalah: y = 4 dan x 2 + y 2 + z 2 = 20 a) Silinder Definisi Silinder adalah suatu permukaan yang dibangun oleh sebuah garis lurus yang bergerak sejajar dengan satu garis tertentu, dan selalu memotong sebuah bidang berupa curva (Carico, 1980).

5 Berdasarkan definisi ini, dapat dikatakan bahwa silinder adalah suatu bidang lengkung. Bidang lengkung ini merupakan himpunan garis lurus/himpunan titik-titik yang memenuhi syarat syarat tertentu. Setiap garis pada bidang lengkung suatu silinder, yang sejajar dengan garis lurus yang telah dtentukan, dinamakan elemen (element) sillider. berikut ini, dapat digunakan untuk mengidentifikasi bidang lengkung silidrik tertentu dari persamaannya. Jika sebuah persamaan terdiri atas dua atau tiga variabel x, y, atau z, grafik di adalah sebuah silinder yang memiliki unsur-unsur sejaran dengan: Sumbu x jika persamaan hanya memuat variabel y dan z, Sumbu y jika persamaan hanya memuat variabel x dan z, Sumbu z jika persamaan hanya memuat variabel x dan y Persamaan Silinder Untuk pembahasan selanjutnya, koefisien yang memuat perkalian dua buah variable (D, E, F) pada persamaa (4*) adalah nol, sehingga persamaan menjadi Ax 2 +By 2 +Cz 2 +Gx +Hy +Iz +J =0 (5*), dengan maksud untuk mengurangi tingkat kesulitan yang dihadapi. Jika pada persamaan (5*) hanya memuat dua variabel saja maka persamaan yang berbentuk : Ax 2 + By 2 + Gx + Hy + J = 0 (6*), atau Ax 2 + Cz 2 + Hy + Iz + J = 0 (7*), atau By 2 + Cz 2 + Hy + Iz + J = 0 (8*) Maka persamaan (6*), (7*), dan (8*) merupakan persamaan silinder. Berikut ini akan diberikan contoh-contoh persamaan silinder. Contoh persamaan silinder y 2 - z = 0 x 2 + y 2 9 = 0 x 2 + z 2 = 16 z = x 2 b) Bola Definisi Bola adalah himpunan titik-titik (x,y,z) di yang berjarak sama dari satu titik tertentu (Carico, 1980)

6 Titik yang tetap tersebut dinamakan pusat bola, dan jarak yang sama dinamakan jari-jari bola. Persamaan Bola Bentuk umum persamaan bola adalah Ax 2 + By 2 + Cz 2 +Gx + Hy + Iz + J = 0, dengan A = B = C. Jika G, H, dan I semuanya nol, maka persamaan menjadi Ax 2 + By 2 + Cz 2 + J = 0. Karena A = B = C, diperoleh persamaan. Grafik dari persamaan ini, merupakan bola yang mempunyai pusat titik asal (origin) dan berjari-jari Contoh persamaan bola x 2 + y 2 + z 2 9 = 0 x 2 + y 2 + z 2 4x + 6y -16 = 0 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 4x + 6y 8z - 25 = 0 c) Ellipsoida ( ellipsoid) Definisi Jejak-jejak (traces) dari suatu bola pada setiap bidang koor-dinat merupakan lingkaran. Suatu bidang lengkung tertentu (bidang lengkung tertutup), yang mempunyai sekurang-ku-rangnya satu trace berupa ellips, dinamakan ellipsoida. Grafik dengan persamaan, ( ) adalah elipsoida yang berpusat pada O(0,0). Persamaan ellipsoida Bentuk umum persamaan ellipsoida adalah Ax 2 +By 2 +Cz 2 +Gx+Hy+Iz+J=0, dengan sekurang-kurangnya satu dari A, B, C tidak sama dengan yang lain dan hasil perkalian dua koefisien ini adalah bilangan positif.. Jika G, H, dan I semuanya nol, maka persamaan menjadi Ax 2 +By 2 +Cz 2 +J=0. Grafik dari persamaan ini, merupakan ellipsoida yang mempunyai pusat titik asal (origin) dan sumbu simetri sb. X, sb, y, dan sb.z. Contoh persamaan elipsoida x 2 + 2y 2 + 4z 2 9 = 0 2x 2 + 5y 2 + 5z 2 4x + 6y -16 = 0 2x 2 + 4y 2 + 2z 2 4x + 6y 8 z - 25 = 0

7 d) Paraboloida (paraboloid) Definisi Grafik dengan persamaan ( ) adalah sebuah parboloida yang berpuncak di O (0,0). Contoh persamaan paraboloida x 2 + 2y 2 z = 0 2x 2 + 5z 2 6y = 0 4y 2 + 2z 2 4x - 25 = 0 e) Hiperboloida (hyperboloid) Definisi Grafik dengan persamaan ( ) adalah hiperboloid satu daun dengan sumbu mayor sumbu z. Grafik dengan persamaan ( ) adalah hiperboloid dua daun dengan sumbu mayor sumbu z. Grafik dengan persamaan ( ) adalah sebuah hiperbolic paraboloid. Grafik dengan persamaan ( ) adalah kerucut dengan sumbu mayor adalah sumbu z. Persamaan hiperboloida Bentuk umum persamaan ellipsoida adalah Ax 2 + By 2 + Cz 2 +Gx + Hy + Iz + J = 0, dengan sekurang-kurangnya satu dari hasil perkalian dua koefisien x 2, y 2, z 2 adalah bilangan negatif.. Contoh persamaan hiperboloida x 2 + 2y 2-4z 2 9 = 0-2x 2 + 5y 2 + 5z 2 4x + 6y -16 = 0 2x 2-4y z = 0

8 ASSESSMEN 1) Berbentuk apakah ( ) 2) Garis menyinggung parabola di titik ( 1,1). Persamaan garis singgungnya adalah a. d. b. e. c. TUGAS 1. Diberikan persamaan x 2 + 4x 4y = 0 a. Tulislah persamaannya dalam bentuk baku. b. Gambarlah grafiknya. 2. Diberikan persamaan 4x xy + 9y 2 2x = 0 a. Tulislah persamaannya dalam bentuk baku memuat x, y b. Gambarlah grafiknya.