Matematika II 8/3/2013 ISI. Pengertian-Pengertian. Turunan Fungsi-Fungsi

Transkripsi

1 8// Sudarato Sudirham Matematika II ISI Turua Fugsi-Fugsi: Fugsi Poliom Perkalia Fugsi, Pagkat dari Fugsi, Fugsi Rasioal, Fugsi Imlisit Fugsi Trigoometri, TrigoometriIversi, Logaritmik, Eksoesial Itegral: Itegral Tak-Tetu Itegral Tetu Persamaa Diferesial Persamaa Diferesial Orde- Persamaa Diferesial Orde- Pegertia-Pegertia Turua Fugsi-Fugsi - Kita telah melihat bahwa kemiriga garis lurus adalah ( ) m ( ) Bagaimaakah dega garis legkug? f() P Garis Legkug Garis lurus dega kemiriga / memotog garis legkug di dua titik (, ) P Jarak kedua titik otog semaki kecil jika di erkecil mejadi * (, ) P * f() P * Pada kodisi medekati ol, kita eroleh f ( + ) f ( ) lim lim f ( ) Ii meruaka fugsi turua dari f() di titik P Pada suatu garis legkug f (), kita daat memeroleh turuaa di berbagai titik ada garis legkug tersebut f () di titik (, ) adalah turua di titik (, ), f () di titik (, ) adalah turua di titik (, ) Ekivale dega kemiriga garis siggug di titik P 6

2 8// Jika ada suatu titik di maa lim maka dikataka bahwa fugsi f() daat didiferesiasi di titik tersebut d d ( ) lim bear ada Jika dalam suatu domai suatu fugsi f() daat di-diferesiasi di semua dalam dalam domai tersebut kita kataka bahwa fugsi f() daat di-diferesiasi dalam domai. kita baca turua fugsi terhada Peurua ii daat dilakuka jika memag meruaka fugsi. Jika tidak, tetulah eurua itu tidak daat dilakuka. f ( ) k f ( + ) f ( ) lim f ( ) ( + ) f ( ) lim 8 6 Mooom f ( ) Fugsi ram Fugsi tetaa 7 8 f( ) ( + ) ( + + ) f ( ) lim lim lim ( + ) Turua fugsi mooom agkat berbetuk mooom agkat (kurva garis lurus) f( ) ( + ) f ( ) lim ( ) lim lim Turua fugsi mooom agkat berbetuk mooom agkat (kurva arabola) 9 Secara umum, turua fugsi mooom Jika maka kurva fugsi f ( ) m adalah ( ) ( m ) m berbetuk garis lurus *) da turuaa berua ilai kosta, f ( ) k Jika >, maka turua fugsi fugsi, f () m aka meruaka Fugsi turua ii daat dituruka lagi da kita medaatka fugsi turua berikuta, ag mugki masih daat dituruka lagi f () turua dari f () f () turua dari f () *) Utuk berua bilaga tak bulat aka dibahas kemudia d f ( ) disebut turua ertama, d f ( ) turua kedua, d f ( ) turua ke-tiga, dst. Kurva fugsi mooom f ( ) m ag memiliki beberaa turua aka berotoga dega kurva fugsi-fugsi turuaa. Fugsi da turua-turuaa f( ) () 6() ( ) ( ) 6 ; ;

3 8// f( ) + { ( + ) + } { + } f ( ) lim Poliom f () + ' f ( ) - -,,, - Turua fugsi ii sama dega turua f() karea turua dari tetaa adalah. f ( ) ( ) f( ) 8 f ( ) f ( ) ( ) f ( ) Secara Umum: Jika F() f() + K maka Fʹ() f () f( ) + Secara Umum: { ( + ) + ( + ) } { + } lim f( ) + + { ( + ) + ( + ) + ( + ) } { + + } lim Turua fugsi oliom, ag meruaka jumlah beberaa mooom, adalah jumlah turua masig-masig mooom dega sarat setia mooom ag membetuk oliom itu memag memiliki turua. Jika Fugsi Yag Meruaka Perkalia Dua Fugsi vw maka ( + ) ( v + ( w + w) ( vw + v w + w v + w ( + ) ( wv + v w + w v + w v vw ) w v v w v + w + d d( vw) dw v + w 6 Jika Turua 6 adalah Jika diadag sebagai erkalia dua fugsi d( ) uvw d( uvw) d( u( w) dw d( u dw du ( u + w ( u + w u + v dw du ( u + ( uw) + ( vw) 6 Jika diadag sebagai erkalia tiga fugsi d d( uvw) ( )() + ( )(6) + ( )() Fugsi Yag Meruaka Pagkat dari suatu Fugsi 6 v v v v d ( v v ) + ( v + ( v v + v v + v + v v + v v + v + v + v v + v 6v 6 6 Cotoh ii meujukka bahwa 6v Secara Umum: v 7 8

4 8// ( + ) ( ) Kita gabugka relasi turua utuk erkalia dua fugsi da agkat suatu fugsi d d( ) d( + ) ( + ) + ( ) ( + ) ( )( ) + ( ) ( + ) 6 ( + ) ( ) + 6( ) ( + ) 6( )( + ) ( + ) Fugsi rasioal meruaka rasio dari dua fugsi v atau vw w d d v d( vw ) dw v + w w v vw + w + w w dw w v w Jadi: Fugsi Rasioal dw w v d v w w 9 d () ( )( ) 6 ( 9 ) d + + ; dega (agar eebut tidak ol) d ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) Bilaga tidak bulat dega da adalah bilaga bulat da / v v d v / d d( v ) v Jika, kita daatka / ( / ) ( v ) v Fugsi Beragkat Tidak Bulat v sehigga (v adalah fugsi ag bisa dituruka) / d d( v ) v ( ) + ( / ) v ( / ) v ( / ) v Formulasi ii miri dega keadaa jika bulat, haa erlu ersarata bahwa v utuk / <. Aabila kita memuai ersamaa maka relasi atara da daat diataka dalam t. Persamaa demikia disebut ersamaa arametrik, da t disebut arameter. Jika kita elimiasi tdari kedua ersamaa di atas, kita daatka ersamaa ag berbetuk F() Kaidah ratai Fugsi Parametrik da Kaidah Ratai f ( t) da f ( t) Jika F() daat dituruka terhada da f (t) daat dituruka terhada t, maka F( f ( t) ) g( t) daat dituruka terhada t mejadi d d Fugsi Imlisit Sebagia fugsi imlisit daat diubah ke dalam betuk elisit amusebagiaag lai tidak. Utuk fugsi ag daat diubah dalam betuk ekslisit, turua fugsidaat dicaridegacaraseertiag sudahkitaelajaridi atas. Utuk mecari turua fugsi ag tak daat diubah ke dalam betuk ekslisit erlu cara khusus, ag disebut diferesiasi imlisit. Dalam cara ii kita megagga bahwa fugsi daat didiferesiasiterhada.

5 8// Fugsi imlisit ii meruaka sebuah ersamaa. Jika kita melakuka oerasi matematis di ruas kiri, maka oerasi ag sama harus dilakuka ula di ruas kaa agar kesamaa teta terjaga. Kita lakuka diferesiasi (cari turua) di kedua ruas, da kita aka eroleh d d d ( + ) Jika ( + ) kita eroleh turua d + + Fugsi imlisit ii juga meruaka sebuah ersamaa. Kita lakuka diferesiasi ada kedua ruas, da kita aka memeroleh d d() d( ) + + d d + ( ) + Utuk ( ) kita daat memeroleh turua d ( + ) ( ) 6 Turua Fugsi Trigoometri Jika si maka d d si si( + ) si si cos + cos si si Utuk ilai ag kecil, Δmeuju ol, cos dasi. Oleh karea itu d si cos Jika cos maka d d cos cos( + ) cos cos cos si si cos Utuk ilai ag kecil, Δ meuju ol, cos da si. Oleh karea itu d cos si 7 8 Turua fugsi trigoometri ag lai tidak terlalu sulit utuk dicari. d ta d si cos si ( si ) sec cos cos cos d cot d cos si cos (cos ) csc si si si d sec d ( si ) si sec ta cos cos cos d csc d (cos ) cos csc cot si si si Hubuga atara tegaga kaasitor v C da arus kaasitor i C adalah C ic C Tegaga ada suatu kaasitor degakaasitasi C -6 farad meruaka fugsi sius v C sit volt. Arus ag megalir ada kaasitor ii adalah 6 d i C C C v C ic - v C ( si t),6cos t amere i C..... t [detik] - 9

6 8// Arus ada suatu iductor L, her meruaka fugsi sius i L,cost amere. Hubuga atara tegaga iduktor v L da arus iduktor i L adalah dil vl L di d v L L L, (, cos t),, si t si t Turua Fugsi Trigoometri Iversi si si cos d d cos d v L i L v L il..... t[detik] - - cos cos si d d si d ta ta d cos + d cos d + sec ( si ) sec d cos cos d cos si cot cot d si + d si d + csc (cos ) csc d si si d si cos Fugsi Trigoometri dari Suatu Fugsi Jika v f(), maka d(si d(si cos v d(cos d(cos si v d(ta d si v cos + si sec v cos v cos d(cot d cos v csc v si v d(sec d + si v secv ta v cos v cos v d(csc d csc vcot v si v Jika w f(), maka d(si w) d(cos w) w dw w d(ta w) dw + w dw d(cot w) dw + w d(sec w) dw w w d(csc w) dw w w 6 6

7 8// Turua Fugsi Logaritmik Fugsi logaritmik f ( ) l didefiisika melalui suatu itegral 6 /t f ( ) l ( > ) t l t t / + /(+ ) l(+ ) l d l Tetag itegral aka dielajari lebih lajut luas bidag ag dibatasi oleh kurva (/t) da sumbu-t, dalam selag atara t da t d l l( + ) l( ) + t Luas bidag ii lebih kecil dari luas ersegi ajag (Δ /). Namu jika Δ maki kecil, luas bidag tersebut aka maki medekati (Δ /); da jika Δ medekati ol luas tersebut sama dega (Δ /). 7. Turua Fugsi Eksoesial e l l e eurua secara imlisit di kedua sisi d l d d atau e Jadi turua dari e adalah e itu sediri Jika v v() ta e e e e dst. v v de de v e ta d ta d ta e e + 8 Diferesial da d Turua fugsi () terhada diatakadegaformulasi d lim f ( ) Sekarag kita aka melihat da d ag didefiisika sedemikia rua sehigga rasio d/, jika, sama dega turua fugsi terhada. Hal ii mudah dilakuka jika adalah eubah bebas da meruaka fugsi dari : F() da d didefiisika sebagai berikut: )., ag disebut sebagai diferesial, adalah bilaga ata da meruaka eubah bebas lai selai ; ). d, ag disebut sebagai diferesial, adalah fugsi dari da ag diataka dega d F'( ) 9 d ta θ Pejelasa secara grafis Ii adalah fugsi Jika berubah, maka d (eubah tak bebas) d d berubah sedemikia rua P d F' ( ) P sehigga d/ sama dega kemiriga garis θ Ii adalah θ siggug ada kurva eubah bebas adalah laju erubaha terhada erubaha. P d θ P d d (ta θ) θ adalah besar erubaha ilai seajag garis siggug di titik P ada kurva, jika ilai berubah sebesar Diferesial diagga berilai ositif jika ia megarah ke kaa da egatif jika megarah ke kiri. Diferesial d diagga berilai ositif jika ia megarah ke atas da egatif jika megarah ke bawah. d P θ Dega egertia diferesial seerti di atas, kita kumulka formula turua fugsi da formula diferesial fugsi dalam tabel berikut. Dalam tabel ii vadalah fugsi. Turua Fugsi Diferesial Ada dua cara utuk mecari diferesial suatu fugsi. ).Mecari turuaa lebih dulu (kolom kiri tabel), kemudia dikalika dega. dc ; c kosta dcv c d ( v + w) dw + dc ; c kosta dcv c d ( v + w) + dw w dw v + w d ( vw) vdw + w ). Megguaka lagsug formula diferesial (kolom kaa tabel) sehigga d ( 6 + ) v d dw w v w w v w vdw d w w v v dc c d( c ) c Kita daat ula mecari lagsug dega megguaka formula dalam tabel di atas d d( ) + d( ) + d() + d( 6) 6 + ( 6 + ) 7

8 8// Pegertia-Pegertia. Itegral Tak Tetu Itegral Misalka dari suatu fugsi f() ag diketahui,kita dimita utuk mecari suatu fugsi sedemikia rua sehigga dalam retag ilai tertetu, misala a< < b, dieuhi ersamaa d f () Persamaa ag meataka turua fugsi sebagai fugsi seerti ii disebut ersamaa diferesial. Cotoh ersamaa diferesial d d d Tijauersamaa diferesial d f () Suatu fugsi F() dikataka meruakasolusi dari ersamaa diferesial jika dalam retag tertetuia daat dituruka da daat memeuhi df( ) f ( ) daat dituliska df ( ) f ( ) Karea d [ F ( ) + K ] df( ) f ( ) df ( ) dk df ( ) + + fugsi F ( ) + K juga meruaka solusi maka Itegrasi ruas kiri da ruas kaa memberika secara umum f ( ) F( ) + K Jadi itegral dari diferesial suatu fugsiadalah fugsi itu sediri ditambah suatu ilai tetaa. Itegral semacam ii disebut itegral tak tetudi maamasih ada ilai tetaa Kag harus dicari 6 Cari solusi ersamaa diferesial d ubah ke dalam betuk diferesial d Kita tahu bahwa d( ) oleh karea itu d( ) + K d / ( ) / d Carilah solusi ersamaa d d / d d ( / ) d d Jika kedua ruas diitegrasi / + K + K / + K K + K kelomokka eubah sehigga ruas kiri da kaa megadug eubah berbeda 7 8 8

9 8// Dalam roses itegrasi seerti di atas terasa adaa keharusa utuk memiliki kemamua medugajawaba. Beberaa hal tersebut di bawah ii daat memeriga uaa edugaa tersebut.. Itegral dari suatu diferesial d adalah ditambah kostata K. d + K. Suatu kostata ag berada di dalam tada itegral daat dikeluarka ad a d. Jika bilaga, maka itegral dari d dieroleh dega meambah agkat dega mejadi ( + ) da membagia dega ( + ). + d + K, + jika 9 Pegguaa Itegral Tak Tetu Dalam itegral tak tetu, terdaat suatu ilai Kag meruaka bilaga ata sembarag. Ii berarti bahwa itegral tak tetu memberika hasil ag tidak tuggal melaika baak hasil ag tergatug dari beraa ilai ag dimiliki oleh K kurva adalah kurva berilai tuggal i +K i K K K kurva + K adalah kurva berilai baak Dalam emafaata itegral tak tetu, ilai Kdieroleh dega meeraka aa ag disebut sebagai sarat awal atau kodisi awal. Keceata sebuah beda bergerak diataka sebagai v at t keceata erceata waktu Posisi bedaada waktu t adalah beda ada t. Keceata adalah laju erubaha jarak, Perceata adalah laju erubaha keceata, ds v. t at + K,t K s + sehigga ada t osisi beda adalah s; tetukalah osisi ds v a Kodisi awal: ada t, s + K K s, t + s 7 Luas Sebagai Suatu Itegral Kita aka mecari luas bidag ag dibatasi oleh suatu kurva f () sumbu-, garis vertikal, da. A A da lim f ( ) A f() + A A atau f ( ) A da + K Kodisi awal (kodisi batas) adalah A utuk + K atau K A A ( ) Kasus fugsi sembarag dega sarat kotiu dalam retag f() f(+ ) f() + A A A bisa memiliki dua ilai tergatug dari iliha A f() atau A f(+ ) A f ( ) f ( ) f ( + ) adalah suatu ilai ag terletak atara da + A da Jika : lim f ( ) A da f ( ) F( ) + K A F( ) F( ) F( ) ] Itegral tetu meruaka itegral ag batas-batas itegrasia jelas. Kose dasar itegral tetu adalah luas bidag ag diadag sebagai suatu limit. f() k k+ f() Bidag dibagi dalam segme-segme Luas bidag dihitug sebagai jumlah luas segme k k+ k k+ Luas tia segme dihitug sebagai f( k ) k. Itegral Tetu Ada dua edekata dalam meghitug luas segme f() Luastiasegme dihitug sebagai f( k + ) k 9

10 8// f() f() f() k k+ k k+ Luas tia segme dihitug sebagai f( k ) k Luas tia segme dihitug sebagai f( k + ) k Jika k adalah ilai di atara k da k+ maka f ( k ) k f ( k ) k f ( k + ) k f ( k ) k f ( k ) k f ( k + ) k k k k k k+ Luas bidag mejadi A f ( ) A f ( ) F( ) ] F( ) F( ) Jika k ketigajumlahii medekati suatu ilai limit ag sama Nilai limit itu meruaka itegral tetu 6 Defiisi Luas Bidag A adalah luas bidag ag dibatasi oleh f()da sumbu- dari samai, ag meruaka jumlah luas bagia ag berada di atas sumbu- dikuragi dega luas bagia ag di bawah sumbu-. Luasatara da sumbu- dari samai +. A a ( ) 6 (, ), A b ( ) 6 -, (),7 A Aa Ab,7 (,7) 67, Cotoh di atas meujukka bahwa dega defiisi megeai A, formulasi A f ( ) F( ) F ( )) teta berlaku utuk kurva ag memiliki bagia baik di atas mauu di bawah sumbu- f() A A A A A f ( ) F( ) F A A + A A + A ( )) 7 8 Luas Bidag Di Atara Dua Kurva Jika da + f ( ) berada di atas f( ) Retag dibagi dalam segme Asegme A { f( ) f( ) } A jumlah semua segme: A segme { f ( ) f( ) } Dega membuat meuju tak higga sehigga meuju ol kita A lim Asegme { f( ) f ( ) } samai ada suatu limit 9 beraakah luas bidag atara da dari samai +. + A Jika + ({ ( ) } 6] 8 ( ) da beraakah luas bidag ag dibatasi oleh da. Terlebih dulu kita cari batas-batas itegrasi aitu ilai ada erotoga atara da. di atas - -, ( ) A

11 8// di atas Jika + da berakah luas bidag ag dibatasi oleh da. Batas itegrasi adalah ilai ada erotoga kedua kurva + atau ; ( ) A , Peeraa Itegral Sebuah irati meera daa W ada tegaga kosta V. Beraakah eergi ag disera oleh irati ii selama 8 jam? Daa adalah laju erubaha eergi. Jika daa diberi simbol da eergi diberi simbol w, maka dw ag memberika w Perhatika bahwa eubah bebas di sii adalah waktu, t.kalau batas bawah dari waktu kita buat, maka batas atasa adalah 8, dega satua jam. Dega demikia maka eergi ag disera selama 8 jam adalah w 8 Watt.hour [Wh] t,8 kilo Watt hour [kwh] 6 6 Volume Sebagai Suatu Itegral Arus ag melalui suatu irati berubah terhada waktu sebagai i(t), tamere. Beraakah jumlah muata ag diidahka melalui irati ii atara t samai t detik? Arus i adalah laju erubaha trasfer muata,. d i sehigga i Jumlah muata ag diidahka dalam detik adalah,, i,,6 coulomb t t Balok Berikut ii kita aka melihat egguaa itegral utuk meghitug volume. Jika A()adalah luas irisa di sebelah kiri da A(+ ) adalah luas irisa di sebelah kaa maka volume irisa V adalah A( ) V A( + ) Volume balok V adalah V A ( ) Aabila cuku tiis da kita megambil A() sebagai eggati maka kita memeroleh edekata dari ilai V,aitu: Jika meuju ol da A() kotiu atara da maka : luas rata-rata irisa atara A() da A(+ ). V A ( ) V lim A ( ) o A( ) 6 6 Rotasi Bidag Segitiga Pada Sumbu- Rotasi Bidag Sembarag O P Q A() adalah luas ligkara dega jari-jari r(); sedagka r() memiliki ersamaa garis OP. f() a b ( r( ) ) π( f ( )) A( ) π V b a π( f ( ) ) m: kemiriga garis OP h :jarak O-Q. h h V A( ) π [ r( ) ] h πm πm h π(pq/oq) h h Vkerucut πr Jika garis OP memotog sumbu- maka dieroleh kerucut terotog Rotasi Gabuga Fugsi Liier f () f () f () a b Fugsi f() kotiu bagia demi bagia. Pada gambar di samig ii terdaat tiga retag dimaa fugsi liier kotiu. Kita daat meghitug volume total sebagai jumlah volume dari tiga bagia. 6 66

12 8//. Persamaa Diferesial Orde- Persamaa Diferesial Pegertia Persamaa diferesial adalah suatu ersamaa di maa terdaat satu atau lebih turua fugsi. Persamaa diferesial diklasifikasika sebagai berikut:. Meurut jeis atau tie: ada ersamaa diferesial biasa da ersamaa diferesial arsial. Jeis ag kedua tidak termasuk embahasa di sii, karea kita haa meijau fugsi dega satu eubah bebas.. Meurut orde: orde ersamaa diferesial adalah orde tertiggi turua fugsi ag ada dalam ersamaa.. Meurut derajat: derajat suatu ersamaa diferesial adalah agkat tertiggi dari turua fugsi orde tertiggi. 67 d d + + e + adalah ersamaa diferesial biasa, orde tiga, derajat dua. 68 Solusi Suatu fugsi f() dikataka meruaka solusi darisuatu ersamaa diferesial jika ersamaa tersebut teta tereuhi dega digatikaa da turuaa dalam ersamaa tersebut oleh f() da turuaa. Persamaa Diferesial Orde- Dega Peubah Yag Daat Diisahka Pemisaha Peubah d ke adalah solusi dari ersamaa + d karea turua ke adalah ke da jika ii kita masukka dalam ersamaa aka kita eroleh ke + ke Persamaa tereuhi. Jika emisaha eubah ii bisa dilakuka maka ersamaa diferesial daat kita tuliska dalam betuk f ( ) d + g( ) Suku-suku terbetuk dari eubah ag berbeda Aabila kita lakuka itegrasi,kita aka medaatka solusi umum dega satu tetaa sembarag K, aitu Pada umuma suatu ersamaa orde aka memiliki solusi ag megadug tetaa sembarag. f ( ) d g( ) ) + K 69 7 d e Itegrasi kedua ruas memberika: d d e Persamaa ii daat kita tuliska e ag kemudia daat kita tuliska sebagai ersamaadega eubah terisah e d e e d e K sehigga e e K atau e e + K Pemisaha eubah aka memberika betuk d atau d Itegrasi kedua ruas: d K l K atau l + K Persamaa Diferesial Homoge Orde Satu Suatu ersamaa disebut homoge jika ia daat dituliska dalam betuk d F Iidaatdijadikasebagaieubah bebas baru ag aka memberika v v da v + F( d v + Pemisaha eubah: F ( v F ( v atau: + v F( 7 7

13 8// ( + ) + d Usahaka mejadi homoge ( + ) + d ( + ) d d + ( / ) F( / ) ( / ) d + v Peubah baru v / F( v v + v d v + v + v + v + v v v v v v Peubahterisah atau + + v + v 7 Kita harus mecari solusi ersamaa ii utuk medaatka vsebagai fugsi. Kita coba hitug v + + v Sukuke-dua iiberbetuk/ da kita tahu bahwa d(l ) d l( + v ) d l( + v ) d( + v ) (6 d( + v ) + v Hasil hituga ii daat diguaka utuk megubah betuk ersamaa mejadi d l( + v ) + Itegrasi ke-dua ruas: l + l( + v ) K l K l + l( + v ) K l K ( + v ) K ( + ( / ) ) K ( + ) K 7 Persamaa Diferesial Liier Orde Satu Dalam ersamaa diferesial liier, semua suku berderajat satu atau ol Olehkareaituersamaa diferesial orde satu ag juga liier daat kita tuliska dalam betuk: d + P Q Pda Qmeruaka fugsi atau tetaa Pembahasaaka dibatasi ada situasi dimaa Padalah suatu tetaa. Hal ii kita lakuka karea embahasa aka lagsug dikaitka dega emafaata raktis dalam aalisis ragkaia listrik. Persamaa diferesial ag aka ditijau dituliska secara umum sebagai d a + b f (t) Dalam alikasi ada aalisis ragkaia listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi. Mugki ia berilai, atau memuai betuk sial utama ag haa ada tiga, aitu aak tagga, eksoesial, da sius. Kemugkia lai adalah bahwa ia meruaka betuk komosit ag meruaka gabuga dari betuk utama. Persamaa diferesial liier orde satu seerti ii biasa kita temui ada eristiwa trasie (atau eristiwa eraliha) dalam ragkaia listrik. Cara ag aka kita guaka utuk mecari solusi adalah cara edugaa Peubah adalah keluara ragkaia (atau biasa disebut taggaa ragkaia) ag daat berua tegaga atauu arus sedagka ilai a da b ditetuka oleh ilai-ilai eleme ag membetuk ragkaia. Fugsi f(t) adalah masuka ada ragkaia ag daat berua tegaga atauu arus da disebut fugsi emaksa atau fugsi eggerak. Persamaa diferesial liier memuai solusi totalag meruaka jumlah dari solusi khususda solusi homoge. Solusi khusus adalah fugsi ag daat memeuhi ersamaa ag diberika,sedagka solusi homoge adalah fugsi ag daat memeuhi ersamaa homoge d a + b 7 76 Hal ii daat difahami karea jika f (t) memeuhi ersamaa ag diberikada fugsi f (t) memeuhiersamaahomoge, maka (f +f ) aka jugamemeuhiersamaaag diberika, sebab ( f + f ) d d a + b a + b( f + f) df df df a + bf + a + bf a + bf + Jadi (f +f ) adalah solusi dari ersamaaag diberika, da kita sebut solusi total. Dega kata lai solusi total adalah jumlah dari solusi khusus da solusi homoge. Solusi Homoge d Persamaa homoge a + b Jika a adalah solusiamaka da a b + a Itegrasi kedua ruas memberika sehigga b l a + t K a b t+ K a ( b / a) t a e Kae b l a t + K a Iilah solusi homoge 77 78

14 This image caot curretl be dislaed. 8// Jikasolusikhususadalah, maka d a + b f (t) Betukf(t) iimeetukabagaimaabetuk. Dari suatu aalisis ragkaia dieroleh ersamaa + v Carilah solusi total jika kodisi awal adalah v V. Jika f ( t) Jika f ( t) A kosta, kosta K αt αt Jika f ( t) Ae eksoesial, eksoesial Ke Jika f ( t) Asi ωt, atau f ( t) Acos ωt Kc cos ωt + Ks si ωt Dugaabetuk-betuksolusi ag tergatugdari f(t) ii daat dieroleh karea haa dega betuk-betuk seerti itulah ersamaa diferesial daat dieuhi Jika dugaa solusi total adalah Persamaa ii meruaka ersamaa homoge, f(t). Solusi khusus berilai ol. Peeraa kodisi awal: Solusi total: + v l v t + K t+ K t v e Kae Ka v e t V Masih harus ditetuka melalui kodisi awal Suatu aalisis ragkaia memberika ersamaa + v Dega kodisi awal v( + ) V, carilah taggaa legka. Solusi homoge: a + va t va Kae Solusi khusus: v kareaf(t) Solusi total (dugaa): Peeraa kodisi awal: Solusi total: t vtotal + Kae t v total e V a + va + Ka K a 8 Pada kodisi awal v V,suatu aalisis trasie meghasilka ersamaa + v cos t Carilah solusi total. Solusi homoge: a + va Solusi khusus: v Ac cos t + As si t a + va l v a + t K t va Kae Ac si t + As cost + Ac cost + As si t cost As cost + Ac cost cost A s + Ac Ac sit + As sit A c + As As 8 A c t Solusi total (dugaa): v t t K a e cos + 8si + Peeraa kodisi awal: + K K a a Solusi total : t v cost + 8sit e 8 Persamaa Diferesial Orde- Utuk semetara ii megeai ersamaa diferesial orde- silahka dilihat Buku Aalisis Ragkaia Listrik Jilid- Matematika II Sudarato Sudirham 8 8