Bab 3. Sistem Koordinat Ortogonal. 3.1 Sistem Koordinat Kartesian. cakul fi5080 by khbasar; sem

Transkripsi

1 Bab 3 cakul fi5080 by khbasar; sem Sistem Koordinat Ortogonal Sistem koordinat merupakan cara pandang terhadap suatu masalah. Penggunaan sistem koordinat yang berbeda dalam menyelesaikan suatu masalah berarti melihat masalah tersebut dari sudut pandang yang berbeda. Dalam banyak persoalan, pemilihan sistem koordinat yang sesuai dapat memudahkan dalam menganalisa persoalan tersebut. Demikian juga dalam menganalisa gerak suatu benda, penggunaan sistem koordinat yang sesuai dapat memudahkan dan menyederhanakan analisa yang dilakukan. Dalam bagian ini akan dibahas 3 macam sistem koordinat yang banyak digunakan yaitu: sistem koordinat Kartesian (SKK), sistem koordinat silinder (SKS) dan sistem koordinat bola (SKB). Ketiga sistem koordinat ini merupakan sistem koordinat yang ortogonal karena vektor-vektor satuan pada masing-masing sistem koordinat tersebut saling tegak lurus. 3.1 Sistem Koordinat Kartesian Sistem koordinat kartesian (SKK) merupakan sistem koordinat yang paling sering digunakan. SKK 3 dimensi berguna untuk menyatakan posisi suatu objek dalam ruang sedangkan SKK 2 dimensi untuk menyatakan posisi objek pada bidang (permukaan) datar tertentu. Dalam SKK posisi suatu titik atau objek dideskripsikan dengan 3 koordinat yaitu x, y dan z. Vektor suatu posisi objek yang terletak pada koordinat (x, y, z) dalam SKK dinyatakan dengan r = xi+yj+zk (3.1) Vektor-vektor satuan dalam SKK adalah i, j dan k yang masing-masing merupakan vektor-vektor satuan dalam arah x, y dan z. Elemen luas dalam sistem koordinat kartesis dapat dituliskan sebagai 39

2 40 BAB 3. SISTEM KOORDINAT ORTOGONAL (r,θ,z) z θ r Gambar 3.1: Sistem koordinat silinder. berikut da = dxdy, atau da = dxdz, atau da = dydz (3.2) Sedangkan elemen volume dalam sistem koordinat kartesian adalah dv = dxdydz (3.3) 3.2 Sistem Koordinat Silinder Sistem koordinat ini berguna untuk menganalisa gerak benda bila benda bergerak melingkar(dua dimensi) maupun gerak spiral(tiga dimensi). Dalam sistem koordinat silinder (SKS), posisi suatu titik P dalam ruang dinyatakan dengan 3 koordinat, yaitu r, θ, dan z. Dengan r menyatakan jarak proyeksi titik tersebut pada bidang horizontal dari pusat koordinat O, θ adalah sudut yang dibentuk proyeksi titik P pada bidang horizontal diukur berlawanan arah jarum jam dan z adalah ketinggian titik tersebut dari bidang horizontal, sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 3.1. Hubungan antara variabel-variabel dalam SKS(yaitu r, θ,z) dan variabel-

3 3.3. VEKTOR-VEKTOR SATUAN DALAM SISTEM KOORDINAT SILINDER41 variabel dalam SKK adalah sebagai berikut r = x 2 +y 2 ( y θ = arctan x) z = z (3.4) atau cakul fi5080 by khbasar; sem x = rcosθ y = rsinθ z = z (3.5) Misalkan suatu titik P dalam ruang yang dalam sistem koordinat kartesian posisinya dinyatakan dengan (x, y, z) maka titik P tersebut bila dinyatakan dalam sistem koordinat silinder adalah ( x 2 +y 2,arctan ( y x),z). Sistem koordinat silinder dengan z = 0 berubah menjadi sistem koordinat polar (2 dimensi). Vektor posisi suatu titik dalam sistem koordinat silinder dinyatakan dengan r = rû r +zû z (3.6) 3.3 Vektor-vektor satuan dalam sistem koordinat silinder Vektor satuan dalam suatu sistem koordinat dapat ditentukan dengan melihat arah perubahan positif dari variabel yang terkait dalam sistem koordinat tersebut. Sebagai misal dalam sistem koordinat kartesian, vektor satuan i, j dan k masing-masing berarah sesuai dengan arah perubahan positif dari variabel x, y dan z. Ketiga vektor satuan ini saling tegak lurus satu sama lainnya. Demikian juga untuk vektor-vektor satuan dalam koordinat silinder yang melibatkan variabel r, θ dan z, maka vektor satuan û r mempunyai arah sesuai dengan arah perubahan positif variabel r (yaitu berarah radial, keluar) sedangkan vektor satuan û θ mempunyai arah sesuai dengan arah perubahan positif variabel θ (yaitu berarah tangensial, atau seperti garis singgung pada lingkaran) dan vektor satuan û z mempunyai arah sesuai dengan arah perubahan positif variabel z. Untuk mendapat gambaran lebih jelas tentang vektor-vektor satuan û r danû θ, perhatikangambar3.2. Berbedadenganvektor-vektorsatuandalam sistem koordinat kartesian, vektor-vektor satuan û r dan û θ arahnya tidak

4 42 BAB 3. SISTEM KOORDINAT ORTOGONAL y ṷ θ θ ṷ r θ x Gambar 3.2: Vektor-vektor satuan dalam koordinat silinder. konstan melainkan bergantung pada besar θ. Dari Gambar 3.2, vektor satuan û r dapat dinyatakan dalam notasi vektor-vektor satuan i dan j, yaitu û r (θ) = cosθi+sinθj Karena vektor satuan û θ selalu tegak lurus terhadap vektor satuan û r, maka dapat dinyatakan û θ (θ) = û r (θ+π/2) = cos(θ+π/2)i+sin(θ+π/2)j = sinθi+cosθj Sedangkan vektor satuan û z arahnya selalu tetap (tidak bergantung pada θ) yaitu searah sumbu z. Dengan demikian û z = k Dengan demikian hubungan antara vektor-vektor satuan dalam SKS dan vektor-vektor satuan dalam SKK adalah sebagai berikut û r = cosθi+sinθj û θ = sinθi+cosθj û z = k (3.7)

5 3.4. ELEMEN LUAS DAN ELEMEN VOLUME DALAM SISTEM KOORDINAT SILINDER43 z rdθ dv=rdrdθdz dz cakul fi5080 by khbasar; sem x dr dθ r dr Gambar 3.3: Elemen luas dan elemen volume dalam sistem koordinat silinder. 3.4 Elemen luas dan elemen volume dalam sistem koordinat silinder Perhatikan Gambar 3.3. Dari Gambar 3.3 elemen luas dalam sistem koordinat silinder dinyatakan dalam bentuk da = rdrdθ, atau da = drdz, atau da = rdθdz y (3.8) Sedangkan elemen volume dalam sistem koordinat silinder dinyatakan dalam bentuk dv = rdrdθdz (3.9) Pembahasan lebih lengkap cara memperoleh elemen luas dan elemen volume pada sistem koordinat silinder akan dibahas kembali pada BAB 4.

6 44 BAB 3. SISTEM KOORDINAT ORTOGONAL P(r,θ,φ) θ r φ Gambar 3.4: Sistem koordinat bola. 3.5 Sistem Koordinat Bola Dalam sistem koordinat bola, posisi suatu titik P dalam ruang dinyatakan dengan 3 koordinat, yaitu r, θ, dan φ. Dengan r menyatakan jarak titik tersebut ke titik pusat koordinat, θ adalah sudut yang dibentuk antara titik P-pusat koordinat-arah vertikal sedangkan φ adalah sudut yang dibentuk proyeksi titik P pada bidang horizontal diukur berlawanan arah jarum jam, sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 3.4. Hubungan antara variabelvariabel dalam SKB (yaitu r, θ,φ) dan variabel-variabel dalam SKK adalah sebagai berikut atau r = x 2 +y 2 +z 2 ( ) x2 +y θ = arctan 2 z ( y φ = arctan x) x = rsinθcosφ y = rsinθsinφ z = rcosφ (3.10) (3.11)

7 3.6. VEKTOR-VEKTOR SATUAN DALAM SISTEM KOORDINAT BOLA45 Misalkan suatu titik P dalam ruang yang dalam sistem koordinat kartesian posisinya dinyatakan dengan (x, y, z) maka titik P tersebut bila dinyatakan ( dalam sistem koordinat ( bola ) adalah x2 x2 +y +y 2 +z 2,arctan 2 ( y ) ),arctan. z x Vektor posisi suatu titik dalam sistem koordinat bola dinyatakan dengan cakul fi5080 by khbasar; sem r = rû r ( (3.12) = x2 +y 2 +z )û 2 r 3.6 Vektor-vektor satuan dalam sistem koordinat bola Vektor-vektor satuan dalam sistem koordinat bola dinyatakan dengan û r, û θ dan û φ. Vektor satuan û r berarah sesuai dengan arah perubahan positif variabelr,yaituarahradial(keluar). Vektorsatuanû θ berarahsesuaidengan arahperubahanpositifvariabelθ danvektorsatuanû φ berarahsesuaidengan arah perubahan positif variabel φ. Ketiga vektor satuan ini saling tegak lurus satu sama lain, namun arahnya tidak konstan melainkan tergantung dari variabel-variabel θ dan φ. Perhatikan Gambar 3.5. Vektor satuan û r dapat ditentukan dengan mudah sebagai berikut û r (θ,φ) = sinθcosφi+sinθsinφj+cosθk (3.13) Vektor satuan û θ dapat diperoleh dari vektor satuan û r dengan menambahkan sudut θ dengan π/2 sementara φ tetap, dengan demikian diperoleh û θ (θ,φ) = û r (θ+π/2,φ) = sinθcosφi+sinθsinφj+cosθk = sin(θ+π/2)cosφi+sin(θ+π/2)sinφj+cos(θ+π/2)k = cosθcosφi+cosθsinφj sinθk Sedangkan vektor satuan û φ adalah (3.14) û φ (θ,φ) = sinφi+cosφj (3.15) Dengan demikian vektor-vektor satuan dalam sistem koordinat bola bila dinyatakan dengan vektor-vektor satuan i, j dan k adalah û r = sinθcosφi+sinθsinφj+cosθk û θ = cosθcosφi+cosθsinφj sinθk û φ = sinφi+cosφj (3.16)

8 46 BAB 3. SISTEM KOORDINAT ORTOGONAL ṷ r ṷ φ θ r φ ṷ θ Gambar 3.5: Vektor-vektor satuan dalam sistem koordinat bola. 3.7 Elemen luas dan elemen volume dalam sistem koordinat bola Perhatikan Gambar 3.6. Dari Gambar 3.6 elemen luas dalam sistem koordinat silinder dinyatakan dalam bentuk da = rsinθdrdφ, atau da = rdθdr, atau da = r 2 sinφdθdφ (3.17) Sedangkan elemen volume dalam sistem koordinat bola dinyatakan dalam bentuk dv = r 2 sinθdrdθdφ (3.18) Pembahasan lebih lengkap cara memperoleh elemen luas dan elemen volume pada sistem koordinat bola akan dibahas kembali pada BAB 4.

9 3.8. KINEMATIKA BENDA TITIK DALAM SISTEM KOORDINAT SILINDER47 z dr r sinθ dφ cakul fi5080 by khbasar; sem x r sinθ φ θ r dθ dφ dv=r 2 sinθ drdθdφ rdθ r sinθ dφ Gambar 3.6: Elemen luas dan elemen volume dalam sistem koordinat bola. 3.8 Kinematika Benda Titik Dalam Sistem Koordinat Silinder Telah diuraikan bahwa vektor posisi suatu titik bila dinyatakan dalam sistem koordinat silinder adalah r(t) = rû r +zû z (3.19) y secara umum r, dan z adalah variabel yang berubah terhadap waktu dan vektor satuan û r arahnya juga berubah terhadap waktu. Dengan demikian laju perubahan posisi terhadap waktu dapat dinyatakan sebagai dr = d (rû r +zû z ) = dr ûr +r dû r + dz ûz (3.20)

10 48 BAB 3. SISTEM KOORDINAT ORTOGONAL Karena û r = cosθi+sinθj, maka Dengan demikian diperoleh dû r = d (cosθi+sinθj) = sinθ dθ i+cosθdθ j = ( sinθi+cosθj) dθ = û θ dθ (3.21) dr = v = dr +r dû r ûr + dz ûz = dr +r dθ + dz ûr ûθ ûz (3.22) Suku pertama dalam persamaan 3.22 menyatakan kecepatan dalam arah radial, sedangkan suku kedua menyatakan kecepatan benda dalam arah tangensial. Laju perubahan kecepatan menyatakan percepatan gerak benda, maka dapat dinyatakan dv = d ( dr ûr +r dθ ûθ + dz = d2 r + dr 2ûr dû r + dr Telah diperoleh sebelumnya bahwa sedangkan ) ûz dθ +r d2 θ +r dθ ûθ 2ûθ dû r = û dθ θ dû θ + d2 z 2ûz (3.23) dû θ = d ( sinθi+cosθj) = cosθ dθ i sinθdθ j = (cosθi+sinθj) dθ = û r dθ (3.24)

11 3.9. KINEMATIKA BENDA TITIK DALAM SISTEM KOORDINAT BOLA49 cakul fi5080 by khbasar; sem Maka persamaan 3.23 dituliskan kembali dalam bentuk dv = a = d2 r r dθ dθ +2 dr dθ +r d2 θ + d2 z ( 2ûr ûr ûθ 2ûθ ( ) ) 2ûz d 2 2 ( r dθ = r û 2 r + 2 dr ) dθ θ +rd2 û 2 θ + d2 z 2ûz (3.25) Suku pertama pada persamaan 3.25 menyatakan percepatan radial sedangkan suku kedua menyatakan percepatan tangensial. Terlihat bahwa jika r konstan dan z = 0 yang berarti benda bergerak melingkar dengan jejari konstan (gerak melingkar), maka percepatan radial benda adalah r sedangkan percepatan tangensial benda adalah r d2 θ 2ûθ. ( dθ ) 2 û r 3.9 Kinematika Benda Titik Dalam Sistem Koordinat Bola Karena vektor posisi suatu titik dalam SKB adalah ( ) r = x2 +y 2 +z 2 û r (3.26) maka laju perubahan posisi dapat dinyatakan menjadi dr = d (rû r) = dr +r dû r ûr Telah ditunjukkan sebelumnya bahwa vektor satuan û r bergantung pada variabel θ dan φ. Jadi jika θ dan φ berubah terhadap waktu, maka berarti û r juga bergantung pada waktu. Dapat dinyatakan dû r = d (sinθcosφi+sinθsinφj+cosθk) = cosθcosφ dθ i sinθsinφdφ i+cosθsinφdθ j +sinθcosφ dφ j sinθdθ k = (cosθcosφi+cosθsinφj sinθk) dθ +( sinθsinφi+sinθcosφj) dφ = dθ +sinθ dφ ûθ ûφ

12 50 BAB 3. SISTEM KOORDINAT ORTOGONAL Dengan demikian diperoleh v = dr = dr +r dû r ûr = dr +r dθ +rsinθ dφ ûr ûθ ûφ (3.27) Selanjutnya laju perubahan kecepatan berkaitan dengan percepatan gerak benda. Dalam hal ini percepatan gerak benda dalam sistem koordinat bola dapat diperoleh sebagai berikut: dv = d ( dr +r dθ +rsinθ dφ ) ûr ûθ ûφ = d2 r + dr dû r 2ûr + dr + dr sinθdφ +rsinθ dφ Telah diperoleh bahwa +rcosθ dθ ûφ dû φ dθ +r d2 θ +r dθ ûθ 2ûθ dû θ dφ +rsinθ d2 φ ûφ 2 ûφ kemudian dû r = dθ ûθ +sinθ dφ ûφ dû θ = d (cosθcosφi+cosθsinφj sinθk) = sinθcosφ dθ i cosθsinφdφ i sinθsinφdθ j +cosθcosφ dφ j cosθdθ k = (sinθcosφi+sinθsinφj+cosθk) dθ +( cosθsinφi+cosθcosφj) dφ = dθ +cosθ dφ ûr ûφ

13 3.9. KINEMATIKA BENDA TITIK DALAM SISTEM KOORDINAT BOLA51 sedangkan cakul fi5080 by khbasar; sem dû φ = d ( sinφi+cosφj) = cosφ dφ i sinφdφ j = (cosφi+sinφj) dφ = (sinθû r +cosθû θ ) dφ Dengan demikian dapat diperoleh ungkapan laju perubahan kecepatan (percepatan) benda dalam sistem koordinat bola yaitu: a = dv = d2 r + dr dû r 2ûr + dr dθ +r d2 θ +r dθ ûθ 2ûθ + dr sinθdφ +rcosθ dθ dφ ûφ +rsinθ dφ = d2 r + dr 2ûr dû θ 2 ûφ +rsinθ d2 φ ûφ dû φ ( dθ +sinθ dφ ) + dr dθ ûθ ûφ ( ûθ dθ +cosθ dφ ) ûr ûφ +r d2 θ +r dθ 2ûθ + dr sinθdφ +rcosθ dθ ûφ ( ) 2 dφ rsinθ (sinθû r +cosθû θ ) ( ( ) d 2 2 r dθ = r rsin 2 θ 2 ( + 2 dr dθ θ +rd2 rsinθcosθ 2 + dφ +rsinθ d2 φ ûφ 2 ûφ ( ) ) 2 dφ û r ( ) ) 2 dφ û θ ( 2sinθ dr dφ +2rcosθdr dφ φ +rsinθd2 2 ) û φ (3.28)

14 52 BAB 3. SISTEM KOORDINAT ORTOGONAL