Sifat Barisan Subhimpunan Tutup di Ruang Metrik yang Completion-nya adalah Ruang Atsuji
|
|
- Yenny Sugiarto
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Sifat Barisan Subhimpunan Tutup di Ruang Metrik yang Completion-nya adalah Ruang Atsuji Hendy Fergus A. Hura 1, Nora Hariadi 2, Suarsih Utama 3 1 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424, Indonesia 2 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424, Indonesia 3 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424, Indonesia 1 hendy.fergus@ui.ac.id, 2 nora.hariadi@sci.ui.ac.id, 3 suarsih.utama@sci.ui.ac.id Abstrak Suatu ruang metrik disebut sebagai ruang Atsuji jika untuk setiap fungsi kontinu dan bernilai real di ruang metrik tersebut adalah fungsi kontinu seragam. Ruang metrik dikatakan memiliki Atsuji completion jika completion dari ruang metrik tersebut adalah ruang Atsuji. Dalam skripsi ini, dipelajari sifat barisan subhimpunan tutup di ruang metrik yang completion-nya adalah ruang Atsuji, menggunakan salah satu karakteristik fungsional khususnya. Fungsi dan barisan yang ditinjau merupakan fungsi yang Cauchy-sequentially regular (CS-regular) dan barisan yang tidak memiliki subbarisan Cauchy. Properties of Closed Subset Sequences in a Metric Space that Has an Atsuji Completion Abstract A metric space is called an Atsuji space if every real-valued continuous function defined on it, is a uniformly continuous function. A metric space is called to have an Atsuji completion if its completion is an Atsuji space. In this skripsi, the properties of closed subset sequences in a metric space that has an Atsuji completion will be studied based on one of its special functional characteristic. The function and sequence that will be considered are Cauchy-sequentially regular function, and sequence that has no Cauchy subsequence. Keywords : Atsuji space, Cauchy sequence, Cauchy-sequentially regular function Pendahuluan Kekontinuan adalah salah satu konsep klasik dalam ilmu matematika, tetapi konsep ini salah satu hal yang penting dalam mempelajari segala hal yang berhubungan dengan analisis dan salah satunya adalah analisis fungsional. Salah satu cabang dari matematika abstrak ini berawal dari analisis mengenai fungsional. Bukan hanya fungsional saja, namun juga mencakup pembahasan memgenai operator linier, ruang Banach, dan ruang Hilbert dan berbagai topik-topik lainnya. Di dalam analisis fungsional, dibangun beberapa konsep yang diperumum dari konsep-konsep yang telah ada sebelumnya, salah satunya adalah ruang metrik. Ruang metrik sendiri
2 merupakan abstraksi konsep jarak pada suatu himpunan tak kosong dengan menggunakan fungsi metrik, yaitu fungsi bernilai real yang memenuhi beberapa sifat tertentu. Fungsi metrik membangun konsep topologi himpunan-himpunan, konvergensi barisan, barisan Cauchy, fungsi kontinu, fungsi kontinu seragam, dan fungsi Cauchy-sequentially regular (CS-regular) yaitu fungsi yang memetakan barisan Cauchy menjadi barisan Cauchy juga) di ruang metrik. Untuk kasus di ruang metrik, sifat lengkap di himpunan bilangan real, yaitu setiap barisan Cauchy-nya adalah barisan konvergen, merupakan salah satu contoh yang tidak selalu berlaku di ruang metrik lainnya. Meskipun demikian, setiap ruang metrik dapat dibuat lengkap. Ruang metrik yang telah lengkap disebut dengan completion. Pengetahuan mengenai ruang metrik ini kemudian digali lebih lanjut sehingga diperkenalkanlah ruang Atsuji. Ruang Atsuji adalah ruang metrik yang bersifat, untuk setiap fungsi bernilai real dan kontinu pada ruang metrik tersebut, adalah fungsi kontinu seragam. Dimulai dari Nagata di tahun 1950 yang mempelajari ruang Atsuji. Kemudian di tahun 1951, Monteiro dan Peixoto mengembangkan empat karakteristik ekuivalensi dari ruang tersebut. Lalu Beer adalah orang pertama yang menyebut ruang tersebut dengan ruang Atsuji dan pada tulisannya yang lain disebut sebagai ruang UC (Uniformly Continuous). (Jain & Kundu, 2005) Ruang metrik yang completion-nya adalah ruang Atsuji sendiri memiliki karakteristik fungsional khusus, yaitu setiap fungsi yang CS-regular dan bernilai real terdapat bilangan bulat positif sedemikian sehingga untuk setiap titik dari himpunan = \ (, ), terisolasi di ruang metrik tersebut dan infimum jarak titik-titik tersebut ke ruang metriknya bernilai positif. (Jain & Kundu, 2005) Dalam skripsi ini dibahas sifat barisan subhimpunan tutup dan barisan subhimpunan lengkap di ruang metrik yang completion-nya adalah ruang Atsuji. Sifat ini digali dari fungsi CSregular dan hal tersebut menjadi fokus utama di pembahasan skripsi ini. Tinjauan Teoritis Pada bagian ini, diberikan beberapa teori dasar mengenai ruang metrik beserta sifat-sifatnya, barisan di ruang metrik, fungsi di ruang metrik dan completion dari ruang metrik.
3 Definisi 2.1 Ruang metrik adalah pasangan,, dengan adalah himpunan tak kosong dan adalah metrik di, yaitu fungsi yang didefinisikan di sedemikian sehingga untuk setiap,, berlaku: 1. adalah fungsi bernilai real, hingga, dan tak negatif, 2., = 0 jika dan hanya jika =, 3., =,, (simetri) 4.,, +,. (ketaksamaan segitiga) (Kreyszig, 1989, hal. 3) Selanjutnya, subhimpunan dari suatu ruang metrik yang mewarisi metrik yang sama disebut sebagai subruang metrik. (Kreyszig, 1989) Contoh 2.2 Himpunan bilangan real R dengan metrik standar, = adalah salah satu contoh ruang metrik. Fungsi sendiri merupakan fungsi bernilai real, hingga, dan tak negatif. Untuk = 0 berlaku jika dan hanya jika =. Kemudian sifat simetri dan ketaksamaan segitiga juga berlaku untuk harga mutlak. Sehingga dapat disimpulkan bahwa R, adalah ruang metrik. Setelah definisi ruang metrik, dijelaskan beberapa teori dasar di ruang metrik. Diawali dengan penjelasan mengenai definisi lingkungan dari suatu titik. Definisi 2.3 Misalkan, adalah ruang metrik dan dan > 0. Lingkungan- (disebut juga bola buka) dari adalah himpunan, yang didefinisikan sebagai:, = ;, <. Lingkungan dari adalah subhimpunan dari yang memuat suatu lingkungan- dari (Kreyszig, 1989, hal. 18) Contoh 2.4 Interval buka =, + adalah lingkungan- atau bola buka dari R dengan metrik standar. Menggunakan pengertian lingkungan dari suatu titik di ruang metrik, maka definisi dari titik akumulasi dapat dijelaskan. Berikut ini adalah definisi dari titik akumulasi.
4 Definisi 2.5 Misalkan, adalah ruang metrik dan. Titik adalah titik akumulasi dari jika setiap lingkungan dari mengandung paling tidak satu titik di yang berbeda dari. (Kreyszig, 1989, hal. 22) Selanjutnya diberikan definisi himpunan buka dan himpunan tutup di ruang metrik. Definisi 2.6 Misalkan, adalah ruang metrik dengan dan > 0. Himpunan disebut himpunan buka di jika untuk semua terdapat bola buka, sedemikian sehingga,. Himpunan dikatakan himpunan tutup di jika himpunan komplemen dari, =, adalah himpunan buka di. (Kreyszig, 1989, hal. 18) Ada satu konsep yang berhubungan langsung dengan himpunan tutup di ruang metrik yang dijelaskan pada definisi berikut ini. Definisi 2.7 Misalkan, adalah ruang metrik dan. atau cl(c) disebut closure dari jika =, dengan adalah himpunan titik-titik akumulasi dari. Himpunan dikatakan himpunan tutup jika dan hanya jika =. Lebih lanjut, closure dari suatu himpunan adalah himpunan tutup terkecil yang memuat himpunan tersebut. (Kreyszig, 1989, hal. 21) Definisi 2.8 Misalkan, adalah ruang metrik dengan dan. Didefinisikan, (, ), jarak titik ke suatu subhimpunan di,, = inf{, : }. (Armstrong, 1983, hal. 39) Definisi 2.9 Misalkan, adalah ruang metrik dengan,. Didefinisikan, (, ) jarak antara dua subhimpunan dan,, = inf{(, ):, }. (Armstrong, 1983, hal. 41) Definisi 2.10 Misalkan, adalah ruang metrik dan. Derajat isolasi adalah, =, = inf, :. = 0 jika dan hanya jika adalah titik tidak terisolasi (non-isolated) yang artinya adalah titik akumulasi. (Jain & Kundu, 2005, hal. 32)
5 Untuk lebih jelasnya, diberikan beberapa contoh berikut untuk menjelaskan definisi diatas. Contoh 2.11 Misalkan, = ( 1,2,. ). Derajat isolasi dari {1} di, adalah, 1 = 1, 1,2 = inf 1, : 1,2 = 0, yang diperoleh dari sifat kepadatan pada himpunan bilangan real. Contoh 2.12 Himpunan bilangan bulat dengan fungsi metriknya adalah nilai mutlak, Z,, membentuk ruang metrik. Misalkan Z. =, Z = inf, : Z = 1, karena jarak ke anggota terdekat di sekitarnya adalah satu. Selanjutnya diberikan definisi dari lingkungan dari suatu subhimpunan yang dijelaskan pada Definisi Definisi 2.13 Misalkan, adalah ruang metrik dan. Didefinisikan, (, ), lingkungan dari suatu subhimpunan di,, = :, < = (, ). (Jain & Kundu, 2005, hal. 32) Definisi 2.14 Misalkan adalah subhimpunan dari ruang metrik,. dikatakan subhimpunan yang padat di jika =. (Kreyszig, 1989, hal. 21) Barisan di Ruang Metrik Dengan menggunakan konsep jarak yang telah dibahas sebelumnya, maka konsep konvergensi barisan di ruang metrik dapat didefinisikan. Definisi 2.15 Barisan di ruang metrik, dikatakan konvergen jika terdapat sedemikian sehingga lim, = 0. Titik disebut limit dari dan dituliskan sebagailim = atau secara sederhana. (Kreyszig, 1989, hal. 25)
6 Definisi barisan konvergen menjelaskan bahwa titik limit dari sebuah barisan konvergen harus berada di himpunan dimana barisan tersebut berada. Untuk beberapa hal yang berhubungan dengan sifat konvergensi barisan akan diulas lebih lanjut. Berikut penjelasannya. Lemma 2.16 Misalkan, adalah ruang metrik dan. Jika titik adalah titik akumulasi dari, maka terdapat barisan di yang berbeda dari x dan konvergen ke. Teorema selanjutnya menyatakan hubungan antara konvergensi barisan dengan titik di himpunan closure. Teorema 2.17 Misalkan adalah subhimpunan tak kosong dari ruang metrik, dan adalah closure dari. Maka jika dan hanya jika terdapat sebuah barisan di A sedemikian sehingga konvergen ke x. (Kreyszig, 1989, hal. 30) Definisi 2.18 Misalkan, adalah ruang metrik. Didefinisikan diameter dari suatu subhimpunan tak kosong di ruang metrik, = sup, (, ). Sebuah subhimpunan tak kosong dikatakan himpunan terbatas jika diameternya terbatas yaitu, = sup, (, ) < (Kreyszig, 1989, hal. 26) Selanjutnya dapat didefinisikan barisan terbatas. Definisi 2.19 Misalkan, adalah ruang metrik. Barisan ( ) di adalah barisan terbatas jika himpunan = { = 1,2,3.. } adalah himpunan terbatas. (Kreyszig, hal. 26) Lemma 2.20 Misalkan, adalah ruang metrik. Maka barisan ( ) yang konvergen di adalah terbatas dan limitnya tunggal. (Kreyszig, hal. 26) Berikutnya diberikan definisi dari barisan Cauchy.
7 Definisi 2.21 Misalkan, adalah ruang metrik. Barisan di dikatakan barisan Cauchy di, jika untuk setiap > 0 terdapat bilangan asli sedemikian sehingga, <,,. (Kreyszig, 1989, hal. 28) Setelah mengetahui definisi barisan Cauchy, akan ditunjukkan bahwa setiap barisan yang konvergen adalah barisan Cauchy. Teorema 2.22 Setiap barisan yang konvergen di ruang metrik adalah barisan Cauchy. (Kreyszig, 1989, hal. 29) Dengan adanya hubungan antara barisan Cauchy dengan barisan konvergen, dapat didefinisikan suatu ruang metrik yang lengkap, berikut adalah definisinya. Definisi 2.23 Misalkan, adalah ruang metrik. Ruang (, ) disebut ruang metrik lengkap jika untuk semua barisan Cauchy di konvergen ke suatu. (Kreyszig, 1989, hal.28) Satu lagi jenis barisan yang terdapat di dalam ruang metrik, yaitu barisan asimtotik yang menunjukkan kedekatan antara dua barisan. Berikut ini adalah definisinya. Definisi 2.24 Misalkan, adalah ruang metrik, barisan dan adalah barisan di. Barisan dan disebut asimtotik, ditulis, jika > 0, terdapat N sedemikian sehingga untuk setiap > berlaku, <. (Jain & Kundu, 2005, hal. 30) Fungsi di Ruang Metrik Selanjutnya, akan ditinjau beberapa teori yang berlaku di ruang metrik yang diawali dengan definisi fungsi kontinu di ruang metrik. Definisi 2.25 Misalkan =, dan =, adalah ruang metrik. Pemetaan : dikatakan kontinu di titik 0 jika untuk setiap > 0 terdapat > 0 sedemikian sehingga (), ( 0 ) < untuk semua yang memenuhi, 0 <. Jika kontinu di setiap titik di, pemetaan : dikatakan kontinu di.
8 (Kreyszig, 1989, hal. 20) Contoh 2.26 Misalkan untuk ruang metrik (R,. ), =, = R, > 0. Jika diberikan > 0, dapat diplih, = inf, untuk setiap sedemikian sehingga jika <,, maka 136). Dengan kata lain, fungsi g kontinu di. <. (Bartle & Sherbert, 2000, hal. Contoh 2.27 Misalkan untuk ruang metrik (R,. ), = 3, R. Ambil > 0, pilih =, sehingga untuk setiap R, jika < maka = 3 < 3 =. Dengan kata lain, fungsi kontinu di Pada Contoh 2.26, pemilihan bergantung pada dan. Berbeda halnya pada Contoh 2.27, pemilihan hanya bergantung terhadap saja dan tidak bergantung terhadap. Dengan memandang cara pemilihan yang berbeda, hal ini memberikan ide tentang konsep kontinu yang lebih kuat, yaitu kontinu seragam. Definisi 2.28 Misalkan, dan, adalah ruang metrik. Pemetaan : dikatakan kontinu seragam di, jika untuk setiap > 0 terdapat > 0 sedemikian sehingga berlaku 1, ( 0 ) < untuk semua, yang memenuhi, <. (Munkres, 1975, hal. 176) Berhubungan dengan fungsi kontinu, berikut diberikan sifat fungsi kontinu di subhimpunan yang padat. Teorema 2.29 Misalkan, dan, adalah ruang metrik. Misalkan pula adalah subhimpunan yang padat. Jika : fungsi kontinu dan : kontinu dengan =, maka =. Dengan kata lain, nilai dari fungsi kontinu : ditentukan oleh nilai dari pada sebuah subhimpunan yang padat, yaitu. (Engelking, 1989, hal. 76) Kekontinuan fungsi di suatu titik berhubungan dengan kekonvergenan dari suatu barisan di daerah asal yang konvergen ke titik tersebut. Berikut adalah teorema yang menjelaskan hal tersebut.
9 Teorema 2.30 Misalkan (, ) dan (, ) adalah ruang metrik. Fungsi : kontinu di titik jika dan hanya jika untuk setiap barisan mengakibatkan ( ) ( ). (Kreyszig,1989, hal. 30) Dari Teorema 2.30, jika sebuah fungsi kontinu di domainnya, maka untuk sembarang barisan konvergen di domain, mengakibatkan peta dari barisan yang konvergen tersebut juga merupakan barisan yang konvergen di kodomainnya, dan berlaku sebaliknya. Hal ini dirangkum dalam teorema berikut. Teorema 2.31 Misalkan (, ) dan (, ) adalah ruang metrik. Fungsi : dikatakan kontinu di jika dan hanya jika untuk setiap barisan di dengan "# = mengakibatkan "# = (). (Aliprantis & Burkinshaw, 1998, hal. 38) Teorema 2.31 menjelasakan bahwa setiap fungsi yang kontinu akan mengawetkan barisan konvergen. Setelah fungsi kontinu, terdapat pula fungsi isometrik, yaitu fungsi yang mempertahankan jarak antara dua buah titik. Berikut definisinya. Definisi 2.32 Misalkan, dan, adalah ruang metrik. Maka: (a) : disebut isometrik atau sebuah isometri jika mengawetkan jarak, yaitu untuk setiap, berlaku ", " =,, dimana Tx dan Ty masing-masing adalah peta dari x dan y. (b) Ruang X disebut isometrik dengan ruang Y jika terdapat isometri yang bijektif dari X ke Y. Ruang X dan Y kemudian disebut sebagai ruang-ruang isometrik.
10 Ruang yang isometrik dapat merupakan himpunan yang berbeda elemennya, namun dilihat dari sudut pandang jarak sebenarnya kedua himpunan tersebut tidak berbeda. (Kreyszig, 1989, hal. 41) Completion Dalam himpunan bilangan real, telah diketahui bahwa suatu barisan akan konvergen jika dan hanya jika barisan tersebut adalah barisan Cauchy. Namun, dalam ruang metrik secara umum tidak berlaku demikian. Satu hal yang berlaku di ruang metrik adalah jika suatu barisan konvergen, maka barisan tersebut merupakan barisan Cauchy. Suatu ruang metrik disebut ruang metrik yang lengkap apabila setiap barisan Cauchy-nya adalah barisan konvergen. Berikut ini adalah contoh ruang metrik yang tidak lengkap. Contoh 2.33 Interval 0,1 R dengan metrik standar adalah ruang metrik yang tidak lengkap karena terdapat barisan Cauchy, di (0,1) yang tidak konvergen di 0,1. Walaupun tidak semua ruang metrik adalah lengkap, setiap ruang metrik dapat dibuat lengkap. Ruang metrik yang sudah dilengkapi disebut completion. Lebih jauh, completion ruang metrik adalah tunggal jika dipandang dari segi isometrinya. Berikut diberikan Definisi 2.34 mengenai completion dan Teorema 2.35 yang menjamin bahwa setiap ruang metrik memiliki completion yang tunggal secara isometri. Definisi 2.34 Misalkan, adalah ruang metrik. Ruang, disebut completion dari, jika, adalah ruang metrik yang lengkap dan terdapat subruang yang padat dari yang isometrik dengan. (Kreyszig, 1989, hal. 41) Teorema 2.35 Untuk setiap ruang metrik,, terdapat ruang metrik lengkap, yang memiliki sebagai subhimpunan yang padat di dan isometrik dengan. Himpunan tunggal secara isometri, yaitu jika (, ) adalah sebarang ruang metrik lengkap yang memiliki sebagai subhimpunan yang padat di dan isometrik dengan, maka dan isometrik. (Kreyszig, 1989, hal. 41)
11 Pembuktian Teorema 2.35 dapat dilihat di buku Kreyzig yang berjudul: Introductory Functional Analysis with Application di halaman Contoh 2.36 Interval 0,1 R dengan metrik standar adalah completion dari interval 0,1. Interval 0,1 adalah ruang metrik lengkap dan terdapat 0,1 0,1 dengan 0,1 = 0,1 dan 0,1 isometrik dengan 0,1. Setelah semua teori yang berkaitan mengenai ruang metrik dalam penulisan skripsi ini telah dibahas, selanjutnya didefinisikan ruang Atsuji. Definisi 2.37 Misalkan, ruang metrik. Jika untuk setiap : R kontinu mengakibatkan kontinu seragam, maka, disebut ruang Atsuji. (Jain & Kundu, 2005, hal. 33) Selanjutnya, ruang metrik yang completion-nya adalah ruang Atsuji disebut memiliki Atsuji completion. Contoh 2.38 Misalkan, = 2,2, dan : 2,2 R kontinu. Telah diketahui bahwa fungsi kontinu yang didefinisikan di interval tutup terbatas akan kontinu seragam (Bartle & Shebert, 2000, Introduction to Real Analysis, Teorema 5.43, hal. 138). Oleh karena itu, ruang metrik 2,2, adalah ruang Atsuji. Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Pembahasan Sebelum masuk ke pembahasan utama, perhatikan definisi berikut ini, yaitu definisi yang menjelaskan fungsi Cauchy-sequentially regular (CS-regular).. Definisi 3.1 Misalkan f: X, d Y, ρ adalah fungsi antara dua ruang metrik X dan Y. Jika untuk setiap barisan Cauchy (x ) di X, d, (f x ) juga barisan Cauchy di Y, ρ, maka f disebut fungsi Cauchy-sequentially regular (CS-regular). (Jain & Kundu, 2005, hal. 31)
12 Perluasan suatu fungsi dapat dilakukan jika memenuhi beberapa syarat tertentu yang berhubungan dengan domain dan kodomainnya, ataupun sifat dari fungsi itu sendiri. Fungsi CS-regular dengan sifatnya yang mengawetkan barisan Cauchy juga dapat diperluas jika memenuhi syarat tertentu. Berikut ini teoremanya. Teorema 3.2 Misalkan subhimpunan dari ruang metrik (, ) dan (, ) adalah ruang metrik yang lengkap. Jika (, ) (, ) adalah fungsi CS-regular, maka mempunyai perluasan fungsi yang kontinu dan unik pada, yaitu (, ) (, ). (Jain & Kundu, 2005, hal. 32) Bukti dari Teorema 3.2 dapat dilihat di dalam skripsi berikut: Soleman, (2012). Karakteristik Fungsional Pada Ruang Metrik Yang Completionnya Adalah Ruang Atsuji. Depok: Universitas Indonesia. Selanjutnya akan dibuktikan beberapa lemma pendukung yang digunakan untuk proses pembuktian Lemma 3.8. Lemma-lemma ini adalah akibat dari sifat barisan asimtotik, barisan Cauchy, dan barisan konvergen. Lemma 3.3 Misalkan, adalah ruang metrik, dan adalah barisan di yang memenuhi, < 1/, N, maka dan adalah barisan asimtotik. Lemma 3.4 Misalkan, adalah ruang metrik, dan adalah barisan di. Misalkan pula memiliki subbarisan Cauchy ( ). Jika dan memenuhi, < 1/, N, maka terdapat subbarisan Cauchy ( ) dari ( ). Lemma 3.5 Misalkan, adalah ruang metrik, dan adalah barisan di yang asimtotik dimana merupakan subbarisan Cauchy dari. Jika ( ) adalah subbarisan yang konvergen ke, maka ( ) juga konvergen ke. Lemma 3.6 Misalkan, adalah ruang metrik,, dan dengan. Maka berlaku:,,,.
13 Selanjutnya, pada lemma berikut dijelaskan hubungan antara titik yang dikandung sebuah subhimpunan dengan closure-nya di ruang metrik. Lemma 3.7 Misalkan, adalah ruang metrik, dengan dan adalah closure dari. Misalkan pula. Maka, = 0 jika dan hanya jika. Selanjutnya akan dibuktikan sebuah lemma utama, yaitu Lemma 3.8, yang berhubungan langsung dalam proses pembuktian teorema utama pertama dalam skripsi ini yaitu Teorema Berikut ini pernyataanya. Lemma 3.8 Misalkan ( ) adalah sebuah barisan subhimpunan tutup di ruang metrik (, ) sedemikian sehingga untuk beberapa N, adalah subhimpunan tutup yang lengkap di dan =. Jika untuk setiap, 1 ; = 1, 2 3,., dengan tetap, terdapat sedemikian sehingga, < 1/, maka barisan di X tidak memiliki subbarisan Cauchy. Bukti. Lemma 3.8 akan dibuktikan dengan cara kontradiksi. Sesuai premis, untuk setiap N,, < 1/. Sehingga menurut Lemma 3.3, barisan ( ) dan ( ) adalah barisan asimtotik. Andaikan memiliki subbarisan Cauchy ( ), maka menurut Lemma 3.4, terdapat subbarisan Cauchy dari ( ). Perhatikan bahwa ( ) berada di, maka juga berada di. Karena lengkap dan merupakan barisan Cauchy, maka konvergen ke suatu. Lebih lanjut, dan adalah barisan di yang asimtotik dengan dan ( ) masing-masing merupakan subbarisan Cauchy dari dan, serta ( ) adalah barisan yang konvergen ke, sehingga menurut Lemma 3.5, konvergen ke. Perhatikan,, jarak ke subhimpunan sebarang. Menurut Lemma 3.6,,,,, sehingga bisa didapatkan,,, +,. Karena ( ) konvergen ke, maka menurut Definisi 2.15, lim, = 0. Lebih lanjut, karena, 1/, maka, < 1/ 1/ ( adalah indeks subbarisan dan dengan induksi dapat dibuktikan bahwa ) sehingga lim, = 0. Akibatnya,
14 , = lim, lim, + lim, = 0. Karena jarak tidak mungkin negatif maka haruslah, = 0. Pandang,, = inf, = 0. Karena adalah himpunan tutup, maka menurut menurut Lemma 3.7, dan karena ini berlaku untuk semua N pada, maka. Tetapi hal ini kontradiksi dengan fakta bahwa = Oleh karena itu haruslah barisan tidak memiliki subbarisan Cauchy.. Telah diketahui bahwa setiap barisan Cauchy di ruang metrik yang lengkap adalah barisan konvergen. Dengan sifat tersebut, lemma berikut ini menyatakan salah satu sifat dari suatu fungsi kontinu yang menghubungkan antara dua ruang metrik yang lengkap Lemma 3.9 Misalkan (, ) dan (, ) masing-masing merupakan ruang metrik yang lengkap. Jika : (, ) (, ) adalah fungsi yang kontinu, maka adalah fungsi CS- Regular. Bukti. Misalkan ( ) sembarang barisan Cauchy di (, ). Karena (, ) merupakan ruang metrik lengkap maka menurut Definisi 2.23, ( ) merupakan barisan konvergen. Karena suatu fungsi yang kontinu dan ( ) adalah barisan konvergen, maka menurut Teorema 2.34, ( ) adalah barisan konvergen di (, ). Akibatnya, menurut Teorema 2.22, ( ) merupakan barisan Cauchy di (, ). Karena untuk sembarang barisan Cauchy ( ) di (, ), ( ) merupakan barisan Cauchy di (, ), maka menurut Definisi 3.1, merupakan fungsi CS-regular. Berikut ini adalah sebuah teorema yang menjelaskan perluasan fungsi kontinu bernilai real, dari subhimpunan tutup ke ruang metrik semestanya yang lebih dikenal dengan Teorema Perluasan Fungsi Tietze. Teorema 3.10 Misalkan, adalah ruang metrik, dan adalah subhimpunan tutup di. Fungsi :, (R,. ) adalah fungsi kontinu bernilai real. Maka terdapat fungsi kontinu bernilai real h, h:, (R,. ), sedemikian sehingga h =. (Armstrong, 1989, hal. 40)
15 Sebelum sampai pada pembuktian utama pada skripsi ini, ada beberapa teorema dan lemma yang perlu dibuktikan untuk mendukung pembahasan Teorema Berikut ini dibuktikan Teorema 3.11, yang berkaitan dengan perluasan fungsi CS-regular, dengan menggunakan Teorema 3.2, Teorema 3.10, dan Lemma 3.9. Teorema 3.11 Misalkan subhimpunan dari ruang metrik (, ) dan (, ) (R,. ) adalah fungsi CS-regular. Maka terdapat perluasan fungsi, (, ) (R,. ) yang CSregular sedemikian sehingga =. (Jain & Kundu, 2005, hal. 32) Bukti. Untuk setiap ruang metrik,, terdapat ruang metrik lengkap, sebagai completion-nya yang memiliki sebagai subhimpunan yang padat di ( = ) dan isometrik dengan. Karena isometrik dengan, maka terdapat fungsi bijektif isometri :. Sehingga, terdapat fungsi : yang juga bijektif isometri, dengan ( ) =. Oleh karena itu, untuk setiap, maka (), = (). Konstruksi fungsi h () R, dengan h =, maka untuk (), h = ( = (). Akan ditunjukkan bahwa h adalah fungsi CS-regular. Misalkan ( ) sembarang barisan Cauchy di (). Karena bijektif isometri, maka barisan ( ( )) juga barisan Cauchy di. Lalu, karena fungsi CS-regular, maka barisan ( adalah barisan Cauchy di R. Akibatnya barisan h = ( ) adalah barisan Cauchy di R. Karena untuk sembarang barisan Cauchy ( ) di (), h adalah barisan Cauchy di R, maka menurut Definisi 3.1, h adalah fungsi CS-Regular. Karena h R, adalah fungsi CS-Regular dengan (), dan (R,. ) adalah ruang metrik lengkap maka, menurut Teorema 3.2, terdapat perluasan fungsi h yaitu, h : () R yang tunggal dan kontinu dengan h () = h. Lebih lanjut, () juga himpunan tutup di =. Karena h : () R adalah fungsi yang kontinu bernilai real dengan () adalah himpunan tutup di = maka menurut Teorema 3.10, terdapat perluasan fungsi h di = yaitu h:, (R,. ), yang kontinu dan bernilai real sedemikian sehingga h () = h. Lebih lanjut, karena (), maka h (() = h ( = h =. Karena h:, (R,. ) adalah fungsi kontinu dan (, ) serta (R,. ) masing-masing merupakan ruang metrik lengkap, maka menurut Lemma 3.9, h
16 adalah fungsi CS-regular. Oleh karena itu, restriksi fungsi h di, h :, (R,. ), juga merupakan fungsi CS-Regular. Kemudian konstruksi fungsi : (, ) (R,. ), = h. Akan ditunjukkan bahwa adalah fungsi CS-regular dengan =. Misalkan ( ) sembarang barisan Cauchy di. Karena fungsi bijektif isometri, maka barisan ( ) juga barisan Cauchy di. Lebih lanjut, karena h adalah fungsi CS-Regular, maka barisan (h = ( ) adalah barisan Cauchy di R. Karena untuk sembarang barisan Cauchy ( ) di, ( ) juga barisan Cauchy di R, maka, sesuai Definisi 3.1, fungsi adalah fungsi CS-Regular. Terakhir akan ditunjukkan =. Untuk, = h = h = h = h = (), sehingga =. Sehingga dapat disimpulkan bahwa adalah fungsi CS-regular sedemikian sehingga =. Jadi teorema terbukti. Lemma berikut ini menjelaskan tentang sifat barisan yang tidak memiliki subbarisan Cauchy di ruang metrik, yang berhubungan langsung dalam proses pembuktian Teorema Berikut ini adalah pernyataanya. Lemma 3.12 Misalkan, adalah ruang metrik dan adalah barisan di yang tidak memiliki subbarisan Cauchy, maka terdiri dari titik-titik yang berbeda. Bukti. Misalkan adalah barisan di (, ) yang tidak memiliki subbarisan Cauchy. Karena setiap barisan konvergen adalah barisan Cauchy, maka barisan tidak memiliki subbarisan yang konvergen. Akibatnya, menurut Lemma 2.16, untuk setiap, titik bukanlah suatu titik akumulasi dari X. Lebih lanjut, karena untuk setiap bukan suatu titik akumulasi dari X, maka terdapat > 0 sedemikian sehingga lingkungan dari (, ) = { }. Akibatnya, untuk sembarang,, (, ) +. Oleh karena, (, ) = 0 jika dan hanya jika =, sedangkan (, ) + maka, adalah titik yang berbeda. Karena ini berlaku untuk sembarang anggota barisan ( ), maka terdiri dari titik-titik yang berbeda. Selanjutnya akan dibuktikan Teorema 3.13, yang merupakan pembahasan utama dalam skripsi ini, yaitu tentang sifat irisan subhimpunan tutup pada ruang metrik yang completionnya adalah ruang Atsuji.
17 Teorema 3.13 Misalkan, adalah ruang metrik dan, adalah completion-nya. Jika fungsi CS-regular bernilai real di X, dimana terdapat sebuah bilangan bulat positif sedemikian sehingga untuk setiap titik di = \ (, ) adalah titik terisolasi di dan inf{(): } > 0, maka untuk setiap barisan subhimpunan tutup ( ) di dengan sehingga = dan untuk beberapa ℕ, adalah lengkap di X, terdapat > 0 sedemikian, =. (Jain & Kundu, 2005, hal. 33) Bukti. Teorema ini akan dibuktikan dengan kontradiksi. Misalkan ( ) adalah barisan subhimpunan tutup di sedemikian sehingga untuk beberapa ℕ, adalah subhimpunan yang lengkap di dan =. Asumsikan kontradiksinya, yaitu untuk semua > 0 berlaku berlaku untuk semua > 0, dengan memilih = 1/ berlaku,. Karena, 1/ ℕ. Untuk = 1, 2,3, pandang, 1/. Maka, 1/ untuk setiap ℕ. Khususnya, 1/ dengan yang tetap. Oleh karena itu, menurut Definisi 2.13, untuk setiap ℕ, dapat ditemukan sedemikian sehingga, < 1/. Sehingga menurut Lemma 3.8, barisan tidak memiliki subbarisan Cauchy. Lebih lanjut, karena tidak memiliki subbarisan Cauchy, menurut Lemma 3.12, terdiri dari titik-titik yang berbeda. Bentuk himpunan = : ℕ. Definisikan : ℝ sedemikian sehingga =. Diketahui bahwa setiap barisan Cauchy yang dibentuk dari himpunan akan berakhir konstan, sehingga adalah fungsi CS-regular. Karena adalah fungsi CS-regular di dan maka menurut Teorema 3.11, terdapat fungsi yang merupakan perluasan fungsi di, : ℝ, yang juga merupakan fungsi CS-regular. Karena fungsi yang CS-regular di, maka menurut premis, terdapat ℕ sedemikian sehingga untuk setiap titik di = \ (, ) terisolasi di dan inf{(): } > 0. Oleh karena itu, untuk semua dengan, dan inf : inf : > 0 Lebih lanjut, karena =, maka untuk setiap ℕ, terdapat ℕ sedemikian sehingga. Tetapi (3.4), 1/, akibatnya, 1/. Karena
18 , 1/ maka terdapat, sedemikian sehingga 0 <, < 1/. Karena 0 <, < 1/ berlaku untuk setiap, diperoleh inf : = 0. Hal ini kontradiksi dengan pertidaksamaan (3.4). Oleh karena itu haruslah terdapat N sedemikian sehingga, 1/ =. Jadi, terdapat > 0 sedemikian sehingga, =. Selanjutnya akan dijelaskan hubungan antara himpunan lengkap dengan himpunan tutup di ruang metrik, yang berhubungan langsung dalam proses pembuktian teorema utama kedua dalam skripsi ini. Berikut pernyataannya yang dirangkum dalam lemma. Teorema 3.14 Misalkan, adalah ruang metrik dengan himpunan. Jika lengkap di, maka adalah himpunan tutup di. (Kreyszig, 1989, hal. 30) Bukti. Akan dibuktikan bahwa = dengan menunjukkan bahwa dan. Untuk, sudah jelas sesuai definisi. Kemudian akan ditunjukkan. Misalkan sembarang, maka menurut Teorema 2.17, terdapat barisan ( ) di yang konvergen ke. Akibatnya, ( ) adalah barisan Cauchy di. Karena himpunan lengkap, maka barisan Cauchy ( ) konvergen di. Karena hal ini berlaku untuk sebarang, maka. Oleh karena dan, maka =, sehingga menurut Definisi 2.7, adalah himpunan tutup di. Berikut ini adalah akibat dari Teorema 3.13 yang dinyatakan dalam Teorema Akibat 3.15 Jika untuk setiap barisan subhimpunan tutup ( ) di ruang metrik (, ) sedemikian sehingga untuk beberapa N, adalah lengkap di X dan =, terdapat > 0 sedemikian sehingga, =, maka untuk setiap barisan subhimpunan lengkap ( ) di dengan, =. (Jain & Kundu, 2005, hal. 32) =, terdapat > 0 sedemikian sehingga
19 Bukti. Misalkan ( ) adalah sembarang barisan subhimpunan lengkap di (, ) dengan =. Menurut Lemma 3.14, setiap subhimpunan yang lengkap di adalah himpunan tutup di, maka akibatnya barisan himpunan lengkap ( ) adalah juga barisan himpunan tutup di. Berdasarkan premis terdapat > 0 sedemikian sehingga, =. Kesimpulan Pada skripsi ini telah dipelajari dan dijelaskan sifat-sifat barisan dari subhimpunan tutup di ruang metrik yang completion-nya adalah ruang Atsuji. Sifat-sifat tersebut digali dari salah satu sifat khusus fungsional yaitu: untuk setiap fungsi CS-regular bernilai real di, terdapat sebuah bilangan bulat positif sedemikian sehingga untuk setiap titik dari himpunan = \ (, ) terisolasi di dan inf{(): } > 0. Dari sifat fungsional tersebut diperoleh sifat barisan subhimpunan tutup di ruang metrik (, ) yang completion-nya adalah ruang Atsuji sebagai berikut: 1. Untuk setiap barisan subhimpunan tutup ( ) di (, ) sedemikian sehingga untuk beberapa N, adalah lengkap di dan =, terdapat > 0 sedemikian sehingga, =. Sifat ini dibuktikan pada Teorema Untuk setiap barisan subhimpunan lengkap ( ) di (, ) dengan =, terdapat > 0 sedemikian sehingga, =. Sifat kedua ini merupakan akibat dari sifat yang pertama dan dibuktikan pada Akibat Daftar Referensi [1] Aliprantis, C. D., & Burkinshaw, O. (1998). Principles of Real Analysis. California: Academic Press.Gallian, Joseph A. (2010). Contemporary Abstract Algebra. California: Cengage Learning. [2] Armstrong, M. A. (1983). Basic Topology. USA: Springer Science Business Media, Inc.Williard, S. (1970). General Topology. Canada: Addison-Wesley Publishing Company. [3] Bartle, R. G., & Sherbert, D. R. (2000). Introduction to Real Analysis. New York: John Wiley & Sons, Inc. [4] Engelking, R. (1989). General Topology. Berlin: Heldermann.
20 [5] Jain, T., & Kundu, S. (2005). Atsuji Completion: Equivalent characterizations. Topology and its Application, [6] Kreyszig, E. (1989). Introductory Functional Analysis with Application. New York: John Wiley & Sons. [7] Munkres, J. R. (1975). Topology (2 ed.). USA: Prentice Hall. [8] Soleman, (2012). Karakteristik Fungsional Pada Ruang Metrik Yang Completionnya Adalah Ruang Atsuji. Depok: Universitas Indonesia.
SYARAT SYARAT FUNGSI DI RUANG METRIK AGAR RUANG METRIKNYA MEMILIKI ATSUJI COMPLETION
SYARAT SYARAT FUNGSI DI RUANG METRIK AGAR RUANG METRIKNYA MEMILIKI ATSUJI COMPLETION Azki Nuril Ilmiyah Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok 16424 azki.nuril@ui.ac.id ABSTRAK Nama Program Studi
Lebih terperinciSYARAT-SYARAT FUNGSI DAN BARISAN DI RUANG METRIK AGAR RUANG METRIKNYA MEMILIKI ATSUJI COMPLETION SKRIPSI AZKI NURIL ILMIYAH
UNIVERSITAS INDONESIA SYARAT-SYARAT FUNGSI DAN BARISAN DI RUANG METRIK AGAR RUANG METRIKNYA MEMILIKI ATSUJI COMPLETION SKRIPSI AZKI NURIL ILMIYAH 0906488161 FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruang Metrik Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh aksioma-aksioma tertentu. Ruang metrik merupakan hal yang fundamental dalam analisis fungsional,
Lebih terperinciKriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian
Kriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian Rio Yohanes 1, Nora Hariadi 2, Kiki Ariyanti Sugeng 3 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424, Indonesia rio.yohanes@sci.ui.ac.id,
Lebih terperinciPENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL
PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat
Lebih terperinciBAB III KEKONVERGENAN LEMAH
BAB III KEKONVERGENAN LEMAH Bab ini membahas inti kajian tugas akhir. Di dalamnya akan dibahas mengenai kekonvergenan lemah beserta sifat-sifat yang terkait dengannya. Sifatsifat yang dikaji pada bab ini
Lebih terperinciITERASI TIGA LANGKAH PADA PEMETAAN ASIMTOTIK NON- EKSPANSIF
ITERASI TIGA LANGKAH PADA PEMETAAN ASIMTOTIK NON- EKSPANSIF Agung Anggoro, Siti Fatimah 1, Encum Sumiaty 2 Departemen Pendidikan Matematika FPMIPA UPI *Surel: agung.anggoro@student.upi.edu ABSTRAK. Misalkan
Lebih terperinciFOURIER Oktober 2014, Vol. 3, No. 2, KONSEP FUNGSI SEMIKONTINU. Malahayati 1
FOURIER Oktober 2014, Vol. 3, No. 2, 117 132 KONSEP FUNGSI SEMIKONTINU Malahayati 1 1 Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Jl. Marsda Adisucipto No. 1 Yogyakarta 55281
Lebih terperinciKonvergensi Barisan dan Teorema Titik Tetap
JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 5 No. (016) 337-350 (301-98X Print) A-59 Konvergensi Barisan dan Teorema Titik Tetap pada Ruang b-metrik Cahyaningrum Rahmasari, Sunarsini, dan Sadjidon Jurusan Matematika,
Lebih terperinciBAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT. Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi
BAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT 3.1 Operator linear Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi real yaitu suatu fungsi dari ruang vektor ke ruang vektor. Ruang
Lebih terperinciKEKONVERGENAN LEMAH PADA RUANG HILBERT
KEKONVERGENAN LEMAH PADA RUANG HILBERT Moch. Ramadhan Mubarak 1), Encum Sumiaty 2), Cece Kustiawan 3) 1), 2), 3) Departemen Pendidikan Matematika FPMIPA UPI *Surel: ramadhan.101110176@gmail.com ABSTRAK.
Lebih terperinciTITIK TETAP NADLR FUNGSI MULTI NILAI KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK ( ) Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60111
TITIK TETAP NADLR FUNGSI MULTI NILAI KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK ( ) Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60111 Abstract. In this paper was discussed about Nadlr fixed
Lebih terperinciRUANG LIPSCHITZ. Departemen Pendidikan Matematika FPMIPA UPI. *Surel: : (, ) Ϝ
RUANG LIPSCHITZ Muhammad Rifqi Agustian 1), Rizky Rosjanuardi 2), Endang Cahya 3) 1), 2), 3) Departemen Pendidikan Matematika FPMIPA UPI *Surel: Muhammadrifqyagustian@yahoo.co.id ABSTRAK. Diberikan ruang
Lebih terperinciKetunggalan titik Tetap Pemetaan Kondisi Tipe Kontraktif pada Ruang Banach
Ketunggalan titik Tetap Pemetaan Kondisi Tipe Kontraktif pada Ruang Banach Badrulfalah 1,Khafsah Joebaedi 2 1 Departemen Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran badrulfalah@gmail.com 2 Departemen Matematika
Lebih terperinciFUNGSI COMPUTABLE. Abstrak
FUNGSI COMPUTABLE Ahmad Maimun 1, Suarsih Utama. 1, Sri Mardiyati 1 1 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok 16424 ahmad.maimun90@gmail.com, suarsih.utama@sci.ui.ac.id, sri_math@sci.ui.ac.id
Lebih terperinciTeorema Titik Tetap di Ruang Norm-2 Standar
Teorema Titik Tetap di Ruang Norm- Standar Muh. Nur Universitas Hasanuddin Abstract Pada tulisan ini, akan dipelajari ruang norm- standar, yakni ruang hasil kali dalam yang dilengkapi dengan norm- standar.
Lebih terperinciADLN Perpustakaan Universitas Airlangga SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK SKRIPSI SITI MAISYAROH
SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK SKRIPSI SITI MAISYAROH PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2012 SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK SKRIPSI Sebagai
Lebih terperinciANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS
ANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta salam
Lebih terperinciKelengkapan Ruang l pada Ruang Norm-n
Jurnal Matematika, Statistika,& Komputasi Vol.... No... 20... Kelengkapan Ruang l pada Ruang Norm-n Meriam, Naimah Aris 2, Muh Nur 3 Abstrak Rumusan norm-n pada l merupakan perumuman dari rumusan norm-n
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. memahami sifat-sifat dari barisan fungsi. Pada bab ini akan diuraikan materimateri
BAB II KAJIAN TEORI Analisis kekonvergenan pada barisan fungsi, apakah barisan fungsi itu? Apakah berbeda dengan barisan pada umumnya? Tentunya sebelum membahas mengenai barisan fungsi, apa saja jenis
Lebih terperinciUNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Ruang Norm Sumanang Muhtar Gozali UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Definisi. Misalkan suatu ruang vektor atas. Norm pada didefinisikan sebagai fungsi. : yang memenuhi N1. 0 N2. 0 0 N3.,, N4.,, Kita dapat
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3. Topologi Garis Bilangan Real 3.1 Teori Limit Limit, supremum, dan infimum Titik limit 3.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup 3.3
Lebih terperinciFOURIER Oktober 2014, Vol. 3 No. 2, KONSEP DASAR RUANG METRIK CONE. Yogyakarta
FOURIER Oktober 014, Vol. 3 No., 146 166 KONSEP DASAR RUANG METRIK CONE A. Rifqi Bahtiar 1, Muchammad Abrori, Malahayati 3 1,, 3 Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sunan Kalijaga
Lebih terperinciBAB III INTEGRAL LEBESGUE. Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh
BAB III INTEGRAL LEBESGUE Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh fungsi-fungsi terukur dan memenuhi sifat yang berkaitan dengan integral Lebesgue. Kajian mengenai keterukuran suatu
Lebih terperinciBeberapa Sifat Operator Self Adjoint dalam Ruang Hilbert
Vol 12, No 2, 153-159, Januari 2016 Beberapa Sifat Operator Self Adjoint dalam Ruang Hilbert Firman Abstrak Misalkan adalah operator linier dengan adalah ruang Hilbert Pada operator linier dikenal istilah
Lebih terperinciKEKONVERGENAN BARISAN DI RUANG HILBERT PADA PEMETAAN TIPE-NONSPREADING DAN NONEXPANSIVE
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 1 Hal. 42 51 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND KEKONVERGENAN BARISAN DI RUANG HILBERT PADA PEMETAAN TIPE-NONSPREADING DAN NONEXPANSIVE DEBI OKTIA HARYENI
Lebih terperinciPROYEKSI ORTHOGONAL PADA RUANG HILBERT. ROSMAN SIREGAR Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Jurusan Matematika Universitas Sumatera Utara
PROYEKSI ORTHOGONAL PADA RUANG HILBERT ROSMAN SIREGAR Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Jurusan Matematika Universitas Sumatera Utara Pendahuluan Pada umumnya suatu teorema mempunyai ruang lingkup
Lebih terperinciRuang Norm-n Berdimensi Hingga
Jurnal Matematika Integratif. Vol. 3, No. 2 (207), pp. 95 04. p-issn:42-684, e-issn:2549-903 doi:0.2498/jmi.v3.n2.986.95-04 Ruang Norm-n Berdimensi Hingga Moh. Januar Ismail Burhan Jurusan Matematika dan
Lebih terperinciKeterbatasan Lokal Suatu Operator Superposisi Pada Ruang Barisan Real. Lina Nurhayati, Universitas Sanggabuana
Keterbatasan Lokal Suatu Operator Superposisi Pada Ruang Barisan Real Lina urhayati, Universitas Sanggabuana nurhayati_lina@yahoo.co.id Abstrak Misalkan P suatu operator superposisi terbatas dan T adalah
Lebih terperinciBAB II DASAR TEORI. Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada
BAB II DASAR TEORI Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada pembahasan BAB III, mulai dari definisi sampai sifat-sifat yang merupakan konsep dasar untuk mempelajari Fungsi
Lebih terperinciKajian Fungsi Metrik Preserving
Kajian Fungsi Metrik Preserving A 2 Binti Mualifatul Rosydah Politeknik Perkapalan Negeri Surabaya Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya Jalan Teknik Kimia Kampus ITS Sukolilo Surabaya 6 Abstrak
Lebih terperinciANALISIS KEKONVERGENAN PADA BARISAN FUNGSI
34 Jurnal Matematika Vol 6 No 1 Tahun 2017 ANALISIS KEKONVERGENAN PADA BARISAN FUNGSI THE CONVERGENCE ANALYZE ON THE SEQUENCE OF FUNCTION Oleh: Restu Puji Setiyawan 1), Dr. Hartono 2) Program Studi Matematika,
Lebih terperinciTeorema Titik Tetap Pada Ruang Ultrametrik Diskrit
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol 3, No2, (2014) 2337-3520 (2301-928X Print) A-58 Teorema Titik Tetap Pada Ruang Ultrametrik Diskrit Wihdatul Ummah, Sunarsini dan Sadjidon Jurusan Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciDASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT
DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor kompleks V disebut ruang hasilkali dalam jika ada fungsi (.,.) : V V C sehingga untuk setiap x, y, z
Lebih terperinci5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real
5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real Sifat aljabar dan sifat urutan bilangan real telah dibahas sebelumnya. Selanjutnya, akan dijelaskan sifat kelengkapan bilangan real. Bilangan rasional ℚ juga memenuhi
Lebih terperinciBAB III FUNGSI UJI DAN DISTRIBUSI
BAB III FUNGSI UJI DAN DISTRIBUSI Bab ini membahas tentang fungsi uji dan distribusi di mana ruang yang memuat keduanya secara berturut-turut dinamakan ruang fungsi uji dan ruang distribusi. Ruang fungsi
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSATAKA
4 II. TINJAUAN PUSATAKA 2.1 Operator Definisi 2.1.1 (Kreyszig, 1989) Suatu pemetaan pada ruang vektor khususnya ruang bernorma disebut operator. Definisi 2.1.2 (Kreyszig, 1989) Diberikan ruang Bernorm
Lebih terperinciF. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR
F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR No. (TIU) : 1. Pendahuluan Mahasiswa dapat memahami pengertian dan konsep himpunan, fungsi dan induksi matematik, mampu menerapkannya dalam penyelesaian soal dan
Lebih terperinciANALISIS TITIK TETAP SET- VALUED FUNCTION MENGGUNAKAN METRIK HAUSDORFF TESIS
UNIVERSITAS INDONESIA ANALISIS TITIK TETAP SET- VALUED FUNCTION MENGGUNAKAN METRIK HAUSDORFF TESIS SAGITA CHAROLINA SIHOMBING 1006786266 FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. September 12, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. September 12, 2011 Teorema 11 pada Bab 3 memberi kita cara untuk menyelidiki kekonvergenan sebuah barisan tanpa harus mengetahui
Lebih terperinciKEKUATAN KONVERGENSI DALAM PROBABILITAS DAN KONVERGENSI ALMOST SURELY
KEKUATAN KONVERGENSI DALAM PROBABILITAS DAN KONVERGENSI ALMOST SURELY Joko Sungkono* Abstrak : Tujuan yang ingin dicapai pada tulisan ini adalah mengetahui kekuatan konvergensi dalam probabilitas dan konvergensi
Lebih terperinciKONVERGENSI DAN KELENGKAPAN PADA RUANG QUASI METRIK
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol 2, No 1, (2013) 1-6 1 KONVERGENSI DAN KELENGKAPAN PADA RUANG QUASI METRIK Fikri Firdaus, Sunarsini, Sadjidon Jurusan Matematika, Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam,
Lebih terperinciPenerapan Aproksimasi Fejer dalam Membuktikan Teorema Weierstrass
Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi 1 Penerapan Aproksimasi Fejer dalam Membuktikan Teorema Weierstrass Islamiyah Abbas 1, Naimah Aris 2, Jusmawati M 3. Abstrak Dalam skripsi ini dibahas pembuktian
Lebih terperinciBAB 2 RUANG HILBERT. 2.1 Definisi Ruang Hilbert
BAB 2 RUANG HILBERT Pokok pembicaraan kita dalam tugas akhir ini berpangkal pada teori ruang Hilbert. Untuk itu di bab ini akan diberikan definisi ruang Hilbert dan ciri-cirinya, separabilitas ruang Hilbert,
Lebih terperinci1. PENDAHULUAN 2. METODE PENELITIAN 3. HASIL DAN PEMBAHASAN. Abstrak
Kajian mengenai Konstruksi Aljabar Simetris Kiri Menggunakan Fungsi Linier Sofwah Ahmad Departemen Matematika FMIPA UI Kampus UI Depok 16424 sofwahahmad@sciuiacid Abstrak Aljabar merupakan suatu ruang
Lebih terperinciTEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG ULTRAMETRIK DISKRIT
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol 2, No1, (2014) 2337-3520 (2301-928X Print) 1 TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG ULTRAMETRIK DISKRIT Wihdatul Ummah, Sunarsini dan Sadjidon Jurusan Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciANALISIS REAL 2 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS
ANALISIS REAL 2 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta salam
Lebih terperinciAnalisis Fungsional. Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Analisis Fungsional Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Lingkup Materi Ruang Metrik dan Ruang Topologi Kelengkapan Ruang Banach Ruang Hilbert
Lebih terperinciVARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
VARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2009 2 DAFTAR ISI DAFTAR ISI 2 1 Sistem Bilangan Kompleks (C) 1 1 Pendahuluan...............................
Lebih terperinciIntegral Baire-1 Stieltjes, Henstock-Stieltjes dan Riemann-Stieltjes. The Stieltjes Integrals of Baire-1, Henstock and Riemann
Integral Baire-1 Stieltjes, Henstock-Stieltjes dan Riemann-Stieltjes Kalfin D Muchtar 1, Jullia Titaley 2, Mans L Mananohas 3 1 Program Studi Matematika, FMIPA, UNSRAT Manado, kalfin_muchtar@yahoocom 2
Lebih terperinciTRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH
TRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH Nur Aeni, S.Si., M.Pd Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM nuraeniayatullah@gmail.com ABSTRAK Info: Jurnal MSA Vol. 2 No. 1 Edisi: Januari Juni
Lebih terperinciPROSIDING SEMINAR NASIONAL STATISTIKA UNIVERSITAS DIPONEGORO 2013 ISBN: DUA TIPE PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK CONE
DUA TIPE PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK CONE Mohammad Mahfuzh Shiddiq 1 1) Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Abstract Meir and Keeler introduced type of contraction
Lebih terperinciCARA LAIN PEMBUKTIAN TEOEMA ARZELA-ASCOLI DAN HUBUNGANNYA DENGAN EKSISTENSI PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL (SUATU KAJIAN TEORITIS)
CARA LAIN PEMBUKTIAN TEOEMA ARZELA-ASCOLI DAN HUBUNGANNYA DENGAN EKSISTENSI PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL SUATU KAJIAN TEORITIS) Sufri Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jambi Kampus
Lebih terperinciTEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG BERNORMA CONE BERNILAI-
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 1 TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG BERNORMA CONE BERNILAI- Hajar Grestika Murti, Erna Apriliani, Sunarsini Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Integral Lebesgue merupakan suatu perluasan dari integral Riemann.
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Integral Lebesgue merupakan suatu perluasan dari integral Riemann. Sebagaimana telah diketahui, pengkonstruksian integral Riemann dilakukan dengan cara pemartisian
Lebih terperinciSifat-sifat Ruang Banach
Vol. 11, No. 2, 115-121, Januari 2015 Sifat-sifat Ruang Banach Muhammad Zakir Abstrak Tulisan ini membahas tentang himpunan operator (pemetaan) linier dari ruang vektor ke ruang vektor yang dilambangkan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang dan Permasalahan
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang dan Permasalahan Dalam ilmu matematika, khususnya dalam bidang analisis dikenal berbagai macam ruang, salah satunya adalah ruang metrik. Ruang metrik merupakan suatu
Lebih terperinciKarakteristik Operator Positif Pada Ruang Hilbert
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 05 A - 4 Karakteristik Operator Positif Pada Ruang Hilbert Gunawan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Muhammadiyah Purwokerto gunoge@gmailcom
Lebih terperinciDAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN...
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH... 1 B. PEMBATASAN MASALAH... 2 C.
Lebih terperinciBEBERAPA TEOREMA TITIK TETAP UNTUK PEMETAAN NONSELF. Kata kunci : pemetaan nonexpansive, pemetaan condensing, pemetaan kompak.
BEBERAPA TEOREMA TITIK TETAP UNTUK PEMETAAN NONSELF Oleh: Rindang Kasih Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UNIVET Sukoharjo Jl. Letjend Sujono Humardani No.1 Kampus Jombor Sukoharjo, e-mail: Rindang_k@yahoo.com
Lebih terperinci16. BARISAN FUNGSI. 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik
16. BARISAN FUNGSI 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik Bila pada bab-bab sebelumnya kita membahas fungsi sebagai sebuah objek individual, maka pada bab ini dan selanjutnya kita akan
Lebih terperinciVolume 9 Nomor 2 Desember 2015
Volume 9 Nomor 2 Desember 2015 Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan Desember 2015 Volume 9 Nomor 2 Hal. 85 88 KARAKTERISTIK RUANG HAUSDORFF KOMPAK M. Tomasoa 1, H. Batkunde 2, M. W. Talakua 3, L. J. Sinay
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini akan dibahas mengenai latar belakang masalah, perumusan masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan penulisan, tinjauan pustaka serta sistematika penulisan skirpsi ini. 1.1.
Lebih terperinciKEKONVERGENAN NET DAN SUBNET PADA RUANG TOPOLOGIS. Oleh : FATKHAN YUDI RIANSA J2A Skripsi
KEKONVERGENAN NET DAN SUBNET PADA RUANG TOPOLOGIS Oleh : FATKHAN YUDI RIANSA J2A 006 019 Skripsi Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika Fakultas
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT HIMPUNAN PROXIMINAL
Prima: Jurnal Pendidikan Matematika Vol. 2, No. 1, Januari 2018, hal. 49-56 P-ISSN: 2579-9827, E-ISSN: 2580-2216 SIFAT-SIFAT HIMPUNAN PROXIMINAL Arta Ekayanti Universitas Muhammadiyah Ponorogo, Jl. Budi
Lebih terperinciBAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE. Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada
BAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada Bab II, selanjutnya pada bab ini akan dipelajari gagasan mengenai fungsi terukur Lebesgue. Gagasan mengenai
Lebih terperinciABSTRAK 1 PENDAHULUAN
EKSISTENSI SOLUSI LOKAL DAN KETUNGGALAN SOLUSI MASALAH NILAI AWAL PERSAMAAN DIFERENSIAL TUNDAAN Muhammad Abdulloh Mahin Manuharawati Matematika, Fakultas Ilmu Pengetahuan Alam Matematika, Universitas Negeri
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI ( ) =
II. LANDASAN TEORI 2.1 Fungsi Definisi 2.1.1 Fungsi Bernilai Real Fungsi bernilai real adalah fungsi yang domain dan rangenya adalah himpunan bagian dari real. Definisi 2.1.2 Limit Fungsi Jika adalah suatu
Lebih terperinciEKSISTENSI SUPREMUM DAN INFIMUM DENGAN TEOREMA CANTOR DEDEKIND. Nursiya Bito. Staf Dosen Jurusan Matematika dan IPA Universitas Negeri Gorontalo
EKSISTENSI SUPREMUM DAN INFIMUM DENGAN TEOREMA CANTOR DEDEKIND Nursiya Bito Staf Dosen Jurusan Matematika dan IPA Universitas Negeri Gorontalo ABSTRACT In this paper, we will try to proof existence of
Lebih terperinciHimpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada
Lebih terperinciRuang Linear Metrik: Sifat Sifat Dasar Dan Struktur Ruang Dalam Ruang Linear Metrik
Ruang Linear Metrik: Sifat Sifat Dasar Dan Struktur Ruang Dalam Ruang Linear Metrik Oleh : Iswanti 1, Soeparna Darmawijaya 2 Iswanti, Jurusan Teknik Elektro, Politeknik Negeri Semarang, Semarang, Jawa
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Misalkan diberikan suatu ruang vektor atas lapangan R atau C. Jika
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Misalkan diberikan suatu ruang vektor atas lapangan R atau C. Jika dilengkapi dengan suatu norma., maka dikenal bahwa suatu ruang vektor bernorma. Kemudian
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. : k N} dan A(m) menyatakan banyaknya m suku pertama (x n ) yang menjadi suku (x nk ), maka A(m)
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Konvergensi barisan bilangan real mempunyai banyak peranan dan aplikasi yang cukup penting pada beberapa bidang matematika, antara lain pada teori optimisasi,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Ilmu Matematika merupakan salah satu cabang ilmu yang berperan penting dalam berbagai bidang. Salah satu cabang ilmu matematika yang banyak diperbincangkan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Teori titik tetap merupakan teori matematika yang sering digunakan untuk menjamin eksistensi solusi masalah nilai awal dan syarat batas persamaan diferensial
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan
II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan penelitian ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian dan akan mempermudah
Lebih terperinciBAB 3 KONDISI SPECTRUM. Pada bab ini akan diperlihatkan hasil utama dari penelitian ini. Hasil utama yang
BAB 3 KONDISI SPECTRUM Pada bab ini akan diperlihatkan hasil utama dari penelitian ini. Hasil utama yang diperoleh berdasarkan penjelasan - penjelasan yang telah dipaparkan pada bab - bab sebelumnya. Hasil
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT TOPOLOGI RUANG LINEAR. Nila Kurniasih Program Studi Pendidikan Matematika Jalan KHA Dahlan 3 Purworejo. Abstrak
SIFAT-SIFAT TOPOLOGI RUANG LINEAR Nila Kurniasih Program Studi Pendidikan Matematika Jalan KHA Dahlan 3 Purworejo Abstrak Penulisan ini bertujuan menyelidiki sifat-sifat yang berlaku di dalam topologi
Lebih terperinciEkuivalensi Norm-n dalam Ruang R d
Jurnal Matematika Statistika & Komputasi 1 Vol No 201 Ekuivalensi Norm-n dalam Ruang R d Taufik Akbar Muh Zakir uh Nur Abstrak Sebuah ruang vektor dapat dilengkapi lebih dari satu buah norm Hal yang sama
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciEksistensi Dan Ketunggalan Titik Tetap Untuk Pemetaan Kontraktif Pada Ruang Metrik-G Komplit
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 Eksistensi Dan Ketunggalan Titik Tetap Untuk Pemetaan Kontraktif Pada Ruang Metrik-G Komplit Nurul Huda Matematika FMIPA Universitas Lambung
Lebih terperinciHUKUM ITERASI LOGARITMA. TUGAS AKHIR untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar sarjana sains SORTA PURNAWANTI NIM.
HUKUM ITERASI LOGARITMA TUGAS AKHIR untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar sarjana sains SORTA PURNAWANTI NIM. 00290 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU
Lebih terperinciANALISIS REAL 1. Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan
ANALISIS REAL 1 Perkuliahan ini dimaksudkan memberikan kemampuan pada mahasiswa agar dapat memahami pernyataan-pernyataan matematika secara baik dan benar, berpikir secara logis, kritis dan sistematis,
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 4.2 Sifat-Sifat Fungsi Kontinu Diberikan f dan g, keduanya terdefinisi pada himpunan A, kita definisikan f + g, f g, fg, f/g secara
Lebih terperinciGRUP MONOTETIK TOPOLOGI DISKRIT BERHINGGA PADA DUALITAS PONTRYAGIN
Saintia Matematika Vol. 1, No. 6 (2013), pp. 591 602. GRUP MONOTETIK TOPOLOGI DISKRIT BERHINGGA PADA DUALITAS PONTRYAGIN L.F.D. Bali, Tulus, Mardiningsih Abstrak. Dalam teori grup topologi kompak lokal,
Lebih terperinciPenerapan Aproksimasi Fejer dalam Membuktikan Teorema Weierstrass
Vol. 11, No. 2, 139-148, Januari 2015 Penerapan Aproksimasi Fejer dalam Membuktikan Teorema Weierstrass NaimahAris 1, Jusmawati M 2,Islamiyah Abbas 3, Abstrak Dalam tulisan ini dibahas pembuktian teorema
Lebih terperinciSUATU KAJIAN TITIK TETAP PEMETAAN k-pseudononspreading SEJATI DI RUANG HILBERT
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 1 Hal. 52 60 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND SUATU KAJIAN TITIK TETAP PEMETAAN k-pseudononspreading SEJATI DI RUANG HILBERT DESI RAHMADANI Program Studi
Lebih terperinciRENCANA KEGIATAN PERKULIAHAN Kode Mata Kuliah : MAA 526 Nama Mata Kuliah : Analisis Fungsional
Ming gu ke RENCANA KEGIATAN PERKULIAHAN Kode Mata Kuliah : MAA 56 Nama Mata Kuliah : Analisis Fungsional T o p i k S u b T o p i k 1. Ruang Banach - Ruang metrik - Ruang vektor bernorm - Barisan di ruang
Lebih terperinci0. Pendahuluan. 0.1 Notasi dan istilah, bilangan kompleks
0. Pendahuluan Analisis Fourier mempelajari berbagai teknik menganalisis sebuah fungsi dengan menguraikannya sebagai deret atau integral fungsi tertentu (yang sifat-sifatnya telah kita kenal dengan baik,
Lebih terperinciMuhafzan FUNGSI KONTINU. Muhafzan, Ph.D
1 FUNGSI KONTINU, Ph.D FUNGSI KONTINU 3 1 Kekontinuan Bab ini akan diawali dengan klas fungsi yang terpenting dalam analisis riil, yaitu klas fungsi-fungsi kontinu. Terlebih dahulu akan didenisikan gagasan
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Dalam bab ini akan dibahas beberapa konsep mendasar meliputi ruang vektor,
II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas beberapa konsep mendasar meliputi ruang vektor, ruang Bernorm dan ruang Banach, ruang barisan, operator linear (transformasi linear) serta teorema-teorema
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN ( )
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Persamaan diferensial merupakan persamaan yang melibatkan turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas dan dituliskan dengan
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Permasalahan
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Permasalahan Ilmu pengetahuan merupakan hal yang mengalami perkembangan secara terus-menerus. Diantaranya teori integral yaitu ilmu bidang matematika analisis yang
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. August 18, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 18, 2011 Kita telah mencatat sebelumnya bahwa supremum dan infimum suatu himpunan tidak harus merupakan anggota himpunan
Lebih terperinciHUBUNGAN LIMIT FUNGSI DAN LIMIT BARISAN PADA TOPOLOGI REAL
HUBUNGAN LIMIT FUNGSI DAN LIMIT BARISAN PADA TOPOLOGI REAL Ukhti Raudhatul Jannah Program Studi Pendidikan Matematika, FKIP, Universitas Madura Alamat Jalan Raya Panglegur 3,5 KM Pamekasan Abstrak: Tulisan
Lebih terperinciBAB III TRANSFORMASI MATRIKS DERET DIRICHLET HOLOMORFIK. A. Transformasi Matriks Mengawetkan Kekonvergenan
BAB III TRANSFORMASI MATRIKS DERET DIRICHLET HOLOMORFIK A. Transformasi Matriks Mengawetkan Kekonvergenan Pada bagian A ini pembahasan dibagi menjadi dua bagian, yang pertama membahas mengenai transformasi
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Ilmu matematika merupakan ilmu dasar yang digunakan di berbagai bidang. Teori titik tetap merupakan salah satu cabang dalam ilmu matematika, khususnya matematika
Lebih terperinciPENGANTAR ANALISIS REAL
Seri Analisis dan Geometri No. 1 (2009), -15 158 (173 hlm.) PENGANTAR ANALISIS REAL Oleh Hendra Gunawan Edisi Pertama Bandung, Januari 2009 2000 Dewey Classification: 515-xx. Kata Kunci: Analisis matematika,
Lebih terperinciURAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN
Pertemuan ke-: 10, 11, dan 12 Penyusun : Kosim Rukmana Materi: Barisan Bilangan Real 7. Barisan dan Limit Barisan 6. Teorema Limit Barisan 7. Barisan Monoton URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 7. Barisan dan
Lebih terperinciKAJIAN KONSEP RUANG NORMA-2 DENGAN DOMAIN PEMETAAN BERUPA RUANG BERDIMENSI HINGGA
Jurnal Matematika Murni dan Teraan εsilon Vol. 07, No.01, 013), Hal. 13 0 KAJIAN KONSEP RUANG NORMA- DENGAN DOMAIN PEMETAAN BERUPA RUANG BERDIMENSI HINGGA Wahidah 1 dan Moch. Idris 1, Program Studi Matematika
Lebih terperinci