Bilangan Bulat. Modul 1 PENDAHULUAN

Transkripsi

1 Modul Bilangan Bulat Prof. Drs. Gatot Muhsetyo, M.Sc. D PENDAHULUAN alam modul Bilangan Bulat ini diuraian tentang awal pembahasan bilangan sebagai ebutuhan hidup manusia, meliputi bilangan asli, bilangan cacah, dan bilangan bulat. Sebagai obje matematia, bilangan bulat dan operasinya dapat membentu suatu sistem atau strutur. Uraian beriutnya tentang prinsip indusi matematia sebagai alat pembutian teorema yang penggunaannya tersebar luas di dalam berbagai topi matematia. Sifat-sifat operasi bilangan bulat diuraian embali sebagai dasar pembicaraan beriutnya, meliputi sifat omutatif, sifat asosiatif, sifat distributif, sifat unsur identitas, sifat inversi, dan sifat anselasi. Pembahasan Indusi matematia dimulai dengan notasi jumlah dan notasi ali beserta sifat-sifat dan penggunaannya, dan dilanjutan penjelasan tentang onsep indusi matematia beserta penerapannya untu membutian hubungan-hubungan tertentu. Secara eseluruhan, materi poo dalam modul ini meliputi bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, operasi bilangan bulat dan sifat-sifatnya, prinsip urutan yang rapi, bilangan bulat terbesar, sediit uraian tentang bilangan rasional dan bilangan irasional, notasi jumlah dan notasi ali, dan diahiri dengan prinsip indusi matematia. Secara umum ompetensi yang diharapan setelah mempelajari modul ini adalah mahasiswa mampu memahami onsep bilangan bulat, operasi bilangan bulat, sistem bilangan bulat, indusi matematia sifat, dan eteraitan antara topi-topi bilangan bulat dengan indusi matematia. Secara husus ompetensi yang diharapan setelah mempelajari modul ini adalah mahasiswa mampu menjelasan onsep bilangan bulat, onsep operasi bilangan bulat dan sifat-sifatnya, sistem bilangan bulat, penggunaan notasi jumlah, penggunaan notasi ali, indusi matematia, serta eteraitan satu sama lain untu menyelesaian masalah-masalah matematia tertentu.

2 . Teori Bilangan Susunan Kegiatan Belajar Modul ini terdiri dari dua egiatan belajar. Kegiatan Belajar adalah Bilangan Bulat, dan Kegiatan Belajar adalah Indusi Matematia. Setiap egiatan belajar memuat uraian, contoh, tugas dan latihan, petunju jawaban tugas dan latihan, ranguman, dan tes formatif. Pada bagian ahir Modul ini ditempatan unci jawaban Tes Formatif dan Tes Formatif. Petunju Belajar. Bacalah uraian dan contoh dengan cermat dan berulang-ulang sehingga Anda benar-benar memahami dan menguasai materi pembahasan.. Kerjaan tugas dan latihan yang tersedia secara mandiri. Jia dalam asus atau tahapan tertentu Anda mengalami esulitan menjawab, maa pelajarilah petunju jawaban tugas dan latihan. Jia langah ini belum berhasil menjawab permasalahan, maa mintalah bantuan tutor Anda atau orang lain yang lebih tahu. 3. Kerjaan tes formatif secara mandiri dan perisalah tingat penguasaan Anda dengan cara mencocoan jawaban Anda dengan unci jawaban tes formatif. Ulangilah pengerjaan tes formatif sampai Anda benar-benar merasa mampu mengerjaan semua soal dengan benar.

3 MPMT50/MODUL.3 P Kegiatan Belajar Bilangan Bulat embahasan tentang bilangan bulat (integers) tida bisa dipisahan dari uraian tentang bilangan asli (natural numbers) dan bilangan cacah (whole numbers) arena reasi tentang bilangan-bilangan ini merupaan proses sosial dan budaya yang telah berlangsung berurutan dalam watu ribuan tahun. Konsep tentang bilangan dan cara mencacah atau menghitung, (counting) berembang selama seitar tahun, mulai dari zaman prasejarah (poleolithic, old stone age) sampai dengan zaman sejarah (seitar tahun 400 S.M.). Dalam periode atau zaman ini, manusia diduga telah mempelajari cara bertani atau bercoco tanam, cara beterna, cara menggunaan alender, cara menguur atau menimbang berat, cara memindahan barang dengan ereta atau geroba, cara membuat perahu, cara berburu, cara pengobatan tradisional, dan cara berhitung. A. BILANGAN ASLI Seja periode sejarah, diduga dimulai seitar tahun 400 S.M., orang mulai memiiran bilangan sebagai onsep abstra. Misalnya, merea menyebut tiga eriil dan tiga binatang mempunyai sifat perseutuan, yaitu suatu uantitas yang disebut tiga. Sifat perseutuan tiga ini bisa dimilii oleh elompo benda apa saja sehingga sifat ini menjadi terbatas dari obye atau sasaran pembicaraan. Dalam istilah yang lebih sederhana, sifat-sifat perseutuan satuan (oneness), duaan (twoness), atau tigaan (threeness) merupaan sifat perseutuan yang dimilii oleh sebarang umpulan benda untu menunjuan esamaan uantitas. Keperluan tentang uantitas merupaan ebutuhan dasar manusia dalam ehidupan bereluarga dan bermasyaraat, terutama untu menghitung atau mencacah dan membandingan jumlah barang atau benda. Keperluan menghitung mendorong orang untu mencari cara yang mudah, antara lain dengan membuat lambang bilangan (numeral) dan cara aturan penggunaannya atau sistem numerasi. Sistem numerasi adalah pembuatan seumpulan lambang dasar dan sejumlah aturan untu menghasilan lambang-lambang bilangan yang lain.

4 .4 Teori Bilangan Beberapa peradaban yang telah mengembangan sistem numerasi antara lain adalah Mesir (seitar tahun 3000 S.M.), Babylonia (seitar tahun 000 S.M.), Yunani atau Gree (seitar tahun 600 S.M.), Maya (seitar tahun 300 S.M.), Jepang China (seitar tahun 00 S.M.), Romawi (seitar tahun 00 M), dan Hindu-Arab (mulai seitar tahun 300 S.M. di India, sistem numerasi mengalami perubahan di wilayah timur tengah seitar tahun 750 Masehi). Sistem numerasi berembang di Eropa dan dipaai di seluruh dunia sampai searang. Dari uraian di atas dengan singat ita telah melihat perjalanan pengembangan onsep bilangan seja pertama ali pada zaman Poleolithic sampai pada zaman sejarah. Dengan demiian ita perlu membuat asumsi bahwa manusia telah menemuan onsep bilangan asli (counting/natural number) dan telah menemuan himpunan lambang untu menyataan onsep bilangan asli yaitu,, 3, 4,.... Untu selanjutnya himpunan bilangan asli dinyataan dengan N {,, 3, 4,... } B. BILANGAN CACAH Masyaraat pada zaman pertanian dan sebelum zaman revolusi, hanya memerluan mencacah, menjumlah, dan mengalian. Seiring dengan perembangan zaman, masyaraat memerluan sistem bilangan yang dapat memenuhi eperluan lain, yaitu mengurangan dan membagi. Dengan demiian merea mempunyai tuntutan peerjaan yang tida seedar berhitung (aritmetia) tetapi hal lain yang lebih luas. Jia sebelumnya merea menerima pernyataan tanpa buti (postulat): jia p dan q adalah bilangan asli, maa p q adalah suatu bilangan asli, maa esulitan aan muncul etia pengertian pengurangan mulai diperenalan melalui penjumlahan: p q r jia ada r bilangan asli sedemiian hingga p q r Kita bisa melihat esulitan itu. Pengurangan pada unsur-unsur himpunan bilangan asli dapat dilauan hanya jia p lebih dari q, artinya himpunan bilangan asli tida bersifat tertutup terhadap pengurangan. Pada awalnya tentu merea memahami bahwa: 3, 4 3, 5 4 dan mulai mempertanyaan bagaimana dengan 3 3?, 4 4?, 5 5?

5 MPMT50/MODUL.5 Jawabannya adalah merea perlu tambahan bilangan baru, yang emudian disebut dengan nol (zero), yang diberi mana: 3 = 3 + 0, 4 = 4 + 0, 5 = Searang ita telah menambahan unsur baru 0 e dalam sistem bilangan asli, sehingga diperoleh himpunan baru yang disebut himpunan bilangan cacah, dinyataan dengan: W = {0,,, 3, 4,...} C. BILANGAN BULAT Dengan berembangnya masyaraat industri, manusia memerluan bilangan untu eperluan pembuuan tingat lanjut, antara lain untu menghitung hutang dan piutang, serta tabungan dan pinjaman. Pertanyaan yang muncul adalah berapaah 67?, 80?, 30? Permasalahan ini serupa dengan usaha menambah bilangan-bilangan baru di dalam W sehingga merea dapat melauan semua pengurangan, atau himpunan baru yang diperoleh bersifat tertutup terhadap pengurangan. Jawaban terhadap esulitan merea adalah tambahan bilangan-bilangan baru yang diperoleh dari: 0, 0, 0 3, 0 4,... yang emudian dilambangan dengan:,, 3, 4,... sehingga diperoleh himpunan baru yang disebut himpunan bilangan bulat, dan dinyataan dengan: Z {...,,, 0,,, 3,...} Dengan digunaannya garis bilangan untu menyataan bilangan, dan memberi mana terhadap bilangan-bilangan di sebelah anan nol sebagai bilangan positif serta di sebelah iri nol sebagai bilangan negatif, maa himpunan bilangan bulat dapat dinyataan sebagai: Z {...,,, 0,,, 3,...} Dalam garis bilangan, maa bilangan 3 bulat diletaan sebagai

6 .6 Teori Bilangan D. SISTEM BILANGAN BULAT Untu eperluan menghitung, orang dapat melauan penjumlahan, pengurangan, peralian, atau pembagian bilangan. Apa yang dilauan oleh orang itu emudian disebut sebagai suatu operasi. Pada dasarnya suatu operasi adalah mengambil sepasang bilangan untu mendapatan bilangan lain yang tunggal. Bilangan yang diperoleh mungin unsur atau buan unsur dari himpunan tertentu. Definisi. Suatu sistem matematia adalah suatu himpunan bersama-sama dengan satu atau lebih operasi pada himpunan itu. Notasi Suatu sistem matematia yang terdiri dari himpunan S dan operasi * pada S ditunjuan dengan ( S, *). Jia # adalah operasi edua pada S, maa ( S, *, #) adalah sistem matematia yang terdiri dari himpunan S, operasi pertama *, dan operasi edua #. Berdasaran pengetahuan yang telah ita pelajari sebelumnya, ita catat beberapa definisi yang terait dengan sifat operasi adalah: Definisi. Misalan S adalah suatu himpunan. Ditentuan bahwa * adalah suatu operasi pada S. Operasi * disebut bersifat: a. tertutup jia p* q S untu setiap p, q, S. b. omutatif jia p* q q* p untu setiap p, q, S. c. asosiatif jia p*( q* r) ( p* q)* r untu setiap p, q, r S. d. mempunyai unsur identitas jia untu semua p S, ada i S, sehingga p* i i* p p i disebut unsur identitas dari operasi *. e. memenuhi sifat inversi (invertibel) jia untu setiap p S, ada x S, sehingga p* x x* p i x disebut inversi dari p, dan p disebut inversi dari x.

7 MPMT50/MODUL.7 Definisi.3 Misalan S adalah suatu himpunan. Ditentuan bahwa * adalah suatu operasi pertama dan adalah suatu operasi edua pada himpunan S. Operasi * bersifat distributif terhadap # jia p*( q # r) ( p* q) # ( p* r) untu semua p, q, r S. Selanjutnya, sifat-sifat operasi penjumlahan (+) dan peralian () pada himpunan bilangan bulat, merupaan asioma sistem bilangan bulat FZ (,, ), yaitu:. tertutup : p q Z dan p q Z untu semua p, q, Z.. omutatif : p q q p dan p q q p untu semua p, q Z. 3. asosiatif : p ( q r) ( p q) r dan p( q r) ( p q) r untu semua p, q, r Z. 4. mempunyai unsur identitas penjumlahan 0, dan unsur identitas peralian, yang bersifat p0 p dan p p untu semua p Z. 5. memenuhi sifat inversi (invertibel) penjumlahan: untu semua p Z, ada x Z, sehingga px 0 x disebut inversi dari p, ditunjuan dengan x p. 6. distributif peralian terhadap penjumlahan ( p q). r ( p. r) ( q. r). 7. memenuhi huum anselasi: jia p, q, r Z, r 0, dan pr qr, maa p q p, q, r Z dan p r q r, maa p q. Dalam aitannya dengan urutan bilangan bulat, ita aan menggunaan istilah himpunan bilangan bulat positif untu himpunan bilangan asli Z {,, 3,...}. Urutan yang dimasud adalah hubungan lebih ecil (atau lebih besar) antara dua bilangan bulat. Definisi.4 Ditentuan p, q Z. p disebut urang dari q (atau q disebut lebih dari p), ditulis p q p, jia ada suatu bilangan bulat positif r sehingga q p r. q atau

8 .8 Teori Bilangan Contoh. (a) 5 > 4 sebab ada bilangan bulat positif sehingga 5 4 = (b) < 7 sebab ada bilangan bulat positif 5 sehingga 7 = 5 (c) p > 0 untu setiap p {,, 3,...} sebab ada bilangan bulat positif p sehingga p - 0 p. Dua sifat dasar tentang urutan bilangan bulat yang perlu dipahami adalah: () etertutupan bilangan bulat positif: p q dan pq adalah bilangan-bilangan bulat positif untu semua bilangan-bilangan bulat positif p dan q. () huum triotomi Untu setiap p Z berlau salah satu dari p0, p 0, atau p 0. Himpunan bilangan bulat Z disebut suatu himpunan yang terurut arena Z memenuhi huum triotomi. Contoh. Butian: Jia p q dan r 0, maa pr qr. Buti: Dietahui bahwa p q, maa menurut definisi.4, q p 0. Selanjutnya, arena qp 0 dan r 0, maa menurut sifat dasar etertutupan peralian urutan bilangan bulat positif, r ( q p) 0. Menurut sifat distributif, r( q p) rq rp, dengan demiian r( q p) 0 beraibat rq rp 0. Dari definisi.4, diperoleh rp rq, dan menurut sifat omutatif peralian, pr qr. Contoh.3 Butian: ( ) p p Buti: ( ) p. p ( ). p 0 dan p p p. p 0, sehingga ( ) p. p p. p. Berdasaran huum anselasi, ( ) p p. Contoh.4 Sistem ( Z, ), yaitu sistem bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan, merupaan suatu grup, dan juga merupaan grup Abel, sebab operasi

9 MPMT50/MODUL.9 terhadap bilangan bulat memenuhi sifat-sifat terhadap asosiatif, mempunyai unsur identitas, dan memenuhi sifat inversi. Prinsip Urutan yang Rapi (Well Ordering Principle) Suatu himpunan H disebut terurut rapi (well ordered) jia setiap himpunan bagian dari H yang tida osong mempunyai unsur terecil. Perlu diingat embali bahwa disebut unsur terecil suatu himpunan S jia urang dari atau sama dengan x untu semua x S atau x, x S. Contoh.5 (a) S {,5,7} mempunyai unsur terecil sebab x untu semua x S, yaitu, 5, dan 7. (b) M {3} mempunyai unsur terecil 3 sebab 3 x untu semua x M, yaitu 3 3. Contoh.6 (a) S {,5,7} adalah himpunan yang terurut rapi sebab setiap himpunan bagian dari S yang tida osong, yaitu {}, {5}, {7}, {,5}, {,7}, {5,7} dan {,5,7} mempunyai unsur terecil berturut-turut adalah,5,7,,,5, dan. (b) Z + adalah himpunan yang terurut rapi sebab semua himpunan bagian dari Z + yang tida osong mempunyai unsur terecil. (c) Z adalah himpunan yang tida terurut rapi sebab ada himpunan bagian dari Z yang tida osong dan tida mempunyai unsur terecil, misalnya {0,,,...}. Definisi.5 Bilangan riil terbesar x adalah bilangan bulat terbesar urang dari atau sama dengan x, yaitu x adalah bilangan bulat yang memenuhi [ x] x [ x]. Sebagai catatan perlu diingat embali bahwa fungsi f x x disebut dengan fungsi bilangan bulat terbesar, atau juga disebut dengan fungsi lantai

10 .0 Teori Bilangan g x (floor function). Fungsi x disebut fungsi atap (ceiling function), di mana x adalah bilangan bulat terecil lebih dari atau sama dengan x, misalnya /3 dan 7 / 3. Suatu bilangan riil x disebut rasional jia dan hanya jia ada bilanganbilangan bulat a dan b, b 0, dan x a / b. Suatu bilangan yang tida rasional disebut bilangan irasional, misalnya log5, 3, bilangan e =,788..., dan bilangan 3,4.... Contoh.7 /3 0, 7 / 3, (a) dan 3. (b) /3, 7 / 3 3. (c),3, 3. LATIHAN Untu memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, erjaanlah latihan beriut! Tugas Untu memperluas wawasan Anda tentang sistem numerasi, carilah dan bacalah sumber-sumber pustaa yang memuat sejarah bilangan. Selanjutnya jawablah beberapa pertanyaan beriut ) Apa yang dimasud dengan sistem numerasi bersifat aditif? ) Apa yang disebut dengan sistem numerasi menggunaan nilai tempat? 3) Apa yang dimasud dengan sistem numerasi bersifat multipliasi? 4) Sebutan beberapa cara menulisan lambang bilangan dan terjadi pada sistem numerasi yang mana! 5) Sebutan basis-basis bilangan yang pernah digunaan! Latihan ) Tunjuan bahwa p ( q) p q untu semua p, q, Z! ) Tunjuan bahwa ( p. q) p.( q) untu semua p, q, Z! 3) Dietahui p, q, r Z, p q dan r 0. Butian: p r q r!

11 MPMT50/MODUL. 4) Dietahui p, q, r Z, p r dan q r. Tunjuan: p r! 5) Dietahui C {, } merupaan bagian dari bilangan bulat. Selidii apaah ( Cx, ) merupaan sistem grup? Petunju Jawaban Tugas dan Latihan ) Sistem numerasi disebut bersifat aditif jia nilai bilangan sama dengan jumlah nilai setiap lambang bilangan yang digunaan. Contoh: Mesir Kuno: Lambang ೨ ೨ ೨ ೨ ) Sistem numerasi disebut menggunaan nilai tempat jia nilai lambang bilangan didasaran pada tempat atau posisi lambang bilangan, artinya lambang yang sama bernilai berbeda arena posisinya berbeda. Contoh: Babylonia : Lambang : < Nilai 7 : ( 60) Desimal : Lambang : Nilai setiap lambang 5 berbeda arena letanya yang berbeda bernilai lima bernilai lima puluh bernilai lima ratus 3) Sistem numerasi disebut multipliatif jia mempunyai lambang untu 3 bilangan-bilangan,, 3,..., b, b, b, b,..., tida mempunyai lambang nol, dan menggunaan nilai tempat. Contoh: Jepang-China: Lambang: ~ Ђ д ŧ )( Һ ƒ Nilai :,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 00, 000 4) Cara menulisan lambang bilangan (a) Aca, untu sistem numerasi Mesir Kuno

12 . Teori Bilangan (b) Mendatar (horizontal), untu sistem-sistem numerasi Babylonia, Yunani (Gree), Romawi, Hindu-Arab (c) Tega (vertial), untu sistem-sistem numerasi Jepang-China dan Maya 5) Basis bilangan yang pernah digunaan (a) Basis 0 : sistem numerasi Jepang-China, Hindu Arab (b) Basis 0 : sistem numerasi Maya (c) Basis 60 : sistem numerasi Babylonia RANGKUMAN Berdasaran seluruh paparan pada Kegiatan Belajar ini, maa garis besar bahan yang dibahas meliputi definisi, teorema, contoh, dan latihan tentang bilangan bulat, terutama tentang onsep bilangan bulat, sistem bilangan bulat, operasi bilangan bulat dan sifat-sifatnya, dan asioma sifat-sifat operasi penjumlahan dan peralian bilangan bulat. Paparan emudian dilanjutan dengan prinsip urutan yang rapi serta hubungan dua bilangan bulat (sama dengan, lebih dari, urang dari), dilengapi dengan pengertian bilangan bulat terbesar, fungsi lantai, dan fungsi atap. Pada bagian ahir diingatan embali pengertian bilangan rasional dan bilangan irasional.. Himpunan bilangan bulat dinyataan dengan Z {...,-,-,0,,,...}. Definisi. Suatu sistem matematia adalah suatu himpunan bersama-sama dengan satu atau lebih operasi pada himpunan itu. 3. Definisi. Ditentuan bahwa * adalah suatu operasi pada himpunan S. Operasi * disebut bersifat: a. tertutup jia p* q S untu setiap p, q, S. b. omutatif jia p* q q* p untu setiap p, q, S. c. asosiatif jia p*( q* r) ( p* q)* r untu setiap p, q, r S. d. mempunyai unsur identitas jia untu semua p S, ada i S, sehingga p* i i* p p. i disebut unsur identitas operasi *. 4. Definisi.3 Ditentuan bahwa * adalah suatu operasi pertama dan adalah suatu operasi edua pada himpunan S. Operasi * bersifat distributif terhadap # jia

13 MPMT50/MODUL.3 p*( q # r) ( p* q) #( p* r) untu semua p, q, r S. 5. Definisi.4 Ditentuan p, q, Z. p disebut urang dari q (atau q disebut lebih dari p), ditulis p q atau q p, jia ada suatu bilangan bulat positif r sehingga q p r. 6. Definisi.5 x adalah bilangan bulat terbesar urang dari Bilangan riil terbesar atau sama dengan x, yaitu x adalah bilangan bulat yang memenuhi x x x. 7. Prinsip Urutan yang Rapi (Well Ordering Principle) Suatu himpunan H disebut terurut rapi (well ordered) jia setiap himpunan bagian dari H yang tida osong mempunyai unsur terecil. TES FORMATIF Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! ) Sor 0 Jia a, b Z, a b, c 0, maa butian bahwa ac bc. ) Sor 0 Butian bahwa tida ada bilangan bulat positif urang dari 3) Sor 0 Tentuan apaah himpunan-himpunan beriut terurut rapi A,3,4 (a) (b) B,, 5 3 (c) himpunan bilangan bulat negatif (d) himpunan bilangan cacah (e) himpunan bilangan rasional (f) himpunan bilangan riil 4) Sor 0 Carilah nilai-nilai dari: (a) 0,

14 .4 Teori Bilangan (b) 7 9 (c) 5 3 (d) 3 5 5) Sor 0 Jia adalah suatu bilangan bulat, maa butian bahwa: x x untu setiap bilangan riil x. 6) Sor 0 Carilah nilai x x 7) Sor 0 jia x adalah suatu bilangan riil. Butian bahwa x x x 8) Sor 0 Butian bahwa adalah suatu bilangan irasional. jia x adalah suatu bilangan riil. Cocoanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif yang terdapat di bagian ahir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunaan rumus beriut untu mengetahui tingat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar. Tingat penguasaan = Jumlah Sor Jawaban yang Benar 00% 00 Arti tingat penguasaan: 90-00% = bai seali 80-89% = bai 70-79% = cuup < 70% = urang Apabila mencapai tingat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat menerusan dengan Kegiatan Belajar. Bagus! Jia masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar, terutama bagian yang belum diuasai.

15 MPMT50/MODUL.5 P Kegiatan Belajar Prinsip Dasar Matematia rinsip indusi matematia merupaan suatu alat berharga untu membutian hasil-hasil yang terait dengan bilangan asli, atau hubungan tertentu yang dapat diperluas berlau untu semua bilangan asli. Hasil-hasil yang terait terutama tentang penjumlahan, dan hubungan tertentu antara lain dapat berupa etidasamaan, eterbagian, atau diferensial. Dalam aitannya dengan hasil penjumlahan, prinsip indusi matematia melibatan notasi jumlah (summation) dan notasi ali (product). Kedua notasi ini sangat bermanfaat untu menyederhanaan tulisan sehingga menjadi lebih singat dan lebih mudah dipahami. A. NOTASI JUMLAH DAN NOTASI KALI Notasi jumlah adalah notasi yang dilambangan dengan, dan notasi ali adalah notasi yang dilambangan dengan Π, dan didefinisian sebagai: r i r i x x x x i x x. x... x i r r Huruf i dari indes notasi jumlah atau notasi ali disebut variabel dummy arena dapat diganti oleh sebarang huruf, misalnya: r r r x x x i j i j r r r x x x i j i j i = disebut batas bawah (lower limit) dan i = r disebut batas atas (upper limit).

16 .6 Teori Bilangan Contoh. (a) (b) (c) (d) (e) (f) 4 i 4 i t 3 t i i = = = 43 t t = = 36 Selanjutnya, indes jumlah tida harus dimulai dari, artinya dapat dimulai dari bilangan bulat selain asalan batas bawah tida melebihi batas atas. Contoh. (a) (b) (c) (d) 5 i 3 6 t t i (t ) (.4 ) (.5 ) (.6 ) ( t ) ( )(3 ) (4 ) Beberapa sifat yang terait dengan notasi jumlah adalah: s () tx tx tx... tx ir i r r s t x x... x s t xi ir r r s

17 MPMT50/MODUL.7 s () xi yi xr yr xr yr... xs ys ir x x... x y y... y s ir r r s r r s x i s ir y i (3) x y x y b d b b i j i j ia jc ia jc b x y y... y ia i c c d xa yc yc yd xa yc yc yd xb yc yc... yd x x... x y y... y a a d c c d b d xi yj. ia j c (4) x y x y b d b d i j i j ia jc ia jc d b yj xi jc ia d b jc ia d b jc ia yx j i xy. i j Contoh.3 (a) (b) 5 5 x x x x ( x x x ) x i i3 i3 4 i (a 3 b ) (a 3 b ) (a 3 b ) (a 3 b ) i i i

18 .8 Teori Bilangan (a a a ) (3b 3b 3 b ) ( a a a ) 3( b b b ) a 3 b. i i i i 3 3 (c) ij i. i. i j i 3 5i i 3 (d) ij j j 3 j j i j j 6 j B. PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA (PRINCIPLE OF MATHEMATICAL INDUCTION) S adalah suatu himpunan bagian dari himpunan bilangan asli yang unsurunsurnya memenuhi hubungan Jia: (a) S (b) S beraibat ( ) S maa: S memuat semua bilangan asli, yaitu S N. Buti: Misalan S N dan unsur-unsur S memenuhi suatu hubungan (a) dan (b). Harus dibutian bahwa S N. Untu membutian S N digunaan buti tida langsung. Anggaplah S N, maa tentu ada F N dan F yang mana F { t N t S}. Karena F dan F N, maa menurut prinsip urutan rapi F mempunyai unsur terecil misalan F tetapi S. sebab S, berarti, dan aibatnya N. adalah unsur terecil F, maa F sebab, berarti S. S dan S memenuhi (b), maa ( ) S, atau S, yaitu S. Terjadi ontradisi arena S dan S, jadi S N.

19 MPMT50/MODUL.9 Dalam pernyataan lain, prinsip indusi matematia dapat ditulis dengan Sn ( ) adalah suatu pernyataan yang memenuhi hubungan untu satu atau lebih n N. Jia: (a) S () benar (b) S ( ) benar beraibat S( ) benar maa S ( ) benar untu semua n N. Contoh.4 Butian untu sebarang n Z, i 3... n nn n i Buti: n Misalan S n : i nn, maa i S () benar sebab untu n : n i i dan nn.. i i Misalan S ( ) benar, yaitu untu n : i... i Harus dibutian S ( ) benar, yaitu: i i i... i..... Jadi: Sn ( ) benar untu sebarang nz. Contoh.5 n Butian untu sebarang n Z, i... n nn n i 6

20 .0 Teori Bilangan Buti: n Misalan S n : i nn n, maa i 6 S () benar, sebab untu n : n i i dan nn n...3. i i 6 6 Misalan S ( ) benar, yaitu untu n : i.... i 6 Harus dibutian S ( ) benar, yaitu i i i 6 i Jadi, Sn ( ) benar untu sebarang nz. Contoh.6 Butian: untu semua n Z, dan n 6, 4n n 7 Buti: S( n) : 4n n 7, n 6 S (6) benar sebab untu n 6 4n 4.6 4, n , dan 4 3 Misalan S ( ) benar, yaitu untu n

21 MPMT50/MODUL. Harus dibutian bahwa S ( ) benar, yaitu untu n. 4( ) ( ) 7, perhatian 4( ) 4 4 ( 7) 4 sebab ( 7) 3, sebab 3 untu n ( 7) ( ), 4 4 ( ) ( ) 7 Jadi: 4nn 7 untu semua bilangan bulat n 6. Contoh.7 n n Butian: 6 7 habis dibagi oleh 43 untu semua n Z. Buti: Misalan n n Sn ( ) : 6 7 habis dibagi oleh 43 S () benar sebab untu n : maa n n (3) habis dibagi oleh 43 Misalan S ( ) benar, yaitu untu n : 6 7 habis dibagi oleh 43 Misalan 6 7 p.43 untu suatu p Z. Harus dibutian bahwa S ( ) benar, yaitu untu n 3 3, 6 7 habis dibagi oleh (6 7 ) (6 7 ) 3 3 (6 6 ) (7 7 ) p p 5.43p p p 7

22 . Teori Bilangan habis dibagi oleh 43 sebab mempunyai fator 43 n3 n3 Jadi: 6 7 habis dibagi oleh 43 untu semua n Z. Tugas Butian dengan indusi matematia ) n n untu semua n Z. 3 ) n n habis dibagi 3 untu semua n Z. 3) n n! untu setiap bilangan bulat positif n 4. Petunju Jawaban Tugas ) S( n) : n n ) S () : benar sebab untu n : Misalan S ( ) benar, yaitu n Harus dibutian bahwa S ( ) benar, yaitu n,, dan ( ) (sebab untu sebarang ). Jadi: n n untu setiap n Z. 3 S( n) : n n habis dibagi oleh 3 S () benar sebab untu n : 3 3 n n 0 dan 0 habis dibagi oleh 3. Misalan S ( ) benar, yaitu 3 p.3 untu suatu p Z 3 Harus dibutian bahwa S ( ) benar, yaitu 3 ( ) ( ) habis dibagi oleh ( ) ( ) ( 3 3 ) ( ) 3 3( ) 3 3 p 3 p habis dibagi oleh 3, sebut

23 MPMT50/MODUL.3 3 ( ) ( ) habis dibagi 3 sebab mempunyai fator 3 Jadi: n n habis dibagi 3 untu setiap n Z. n 3) S( n) : n! untu setiap bilangan bulat positif n 4 S (4) benar sebab untu n 4 : n 4 6, n! 4! 4, dan 6 4 Misalan S ( ) benar, yaitu! Harus dibutian bahwa S ( ) benar yaitu: ( )!..! sebab untu sebarang Z ( ).! ( )! Jadi: ( )! untu setiap bilangan asli n. LATIHAN Butian dengan indusi matematia ) Di dalam barisan harmonis: H t t berlau n H n, untu setiap bilangan bulat n 0. n dx n ) nx untu setiap bilangan bulat n 0. dx 3) 4) 5) n n... ( )..3 n n n r t 3... r r( r )(r ) / 6 untu setiap n Z. t s r Untu memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, erjaanlah latihan beriut! 3 s... r s 4 s s

24 .4 Teori Bilangan dengan menggunaan hubungan: s s s Petunju Jawaban Latihan n S n : H n untu setiap bilangan bulat n 0 ) H t... 3 t S (0) benar sebab untu n 0: n H Misalan H benar, yaitu untu n : 0 H, 0, dan 0 H Harus dibutian H benar, yaitu untu n : H Perhatian H H H n.... sebab terdapat suu masing-masing tida urang dari + H Jadi H n n untu sebarang bilangan bulat n 0.

25 MPMT50/MODUL.5 n dx S n : dx n ) S 0 benar sebab Misalan nx untu setiap bilangan bulat n 0. n 0 dx dx d dx dx dx S benar, yaitu Harus dibutian ( ) dx dx dx dx dx dx x n 0, dan nx 0. x 0 dx dx S benar, yaitu x x x lim. Maa x0 x lim x0 lim x0 lim x0 lim x x0 x x x. x x x x x. x x. x x x x x x x x x x. x x x x x x x x x x x x x 3) Cara : Gunaan hubungan: untu mengganti setiap suu deret. t( t ) t t Cara ini disebut cara telesopis Cara : Gunaan indusi matematia, tunjuan: ( )( ). x. Dari Kalulus,

26 .6 Teori Bilangan 4) Tunjuan bahwa ( )( )/ 6 ( ) ( )( )( 3)/ 6 5) s s s r r r r r r r - r r r s + r r r r r s s + r r r r r r s s 3 s 4 ss ( ) RANGKUMAN Berdasaran seluruh paparan pada Kegiatan Belajar ini, maa garis besar bahan yang dibahas meliputi Definisi, Teorema, Contoh, dan Latihan tentang indusi matematia, terutama tentang notasi jumlah dan sifat-sifatnya, notasi ali dan sifat-sifatnya, prinsip pertama indusi matematia, dan pernyataan lain indusi matematia. Hal lain yang ditampilan beraitan dengan hubungan jumlah deret, hubungan pertidasamaan, hubungan eterbagian, dan hubungan diferensial.. Notasi Jumlah dan Kali r i r i x x x... x i x x. x... x i. Sifat-sifat: (a) s ir i s ir r tx t x s s s (b) ( x y ) x y (c) i i i i ir ir ir b d b d i i j i j ia jc ia jc r x y x y

27 MPMT50/MODUL.7 (d) b d d b x y x y i j i j ia jc jc ia 3. Prinsip Indusi Matematia S adalah suatu himpunan bagian dari himpunan bilangan asli yang unsur-unsurnya memenuhi hubungan: Jia: (a) S (b) S beraibat ( ) S maa: S memuat semua bilangan asli, yaitu S N. 4. Pernyataan Lain Indusi Matematia Sn ( ) adalah suatu pernyataan yang memenuhi hubungan untu satu atau lebih n N. Jia: (a) S () benar (b) S ( ) benar beraibat S ( ) benar maa S ( ) benar untu semua n N. TES FORMATIF Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! ) Sor 0 Carilah ) Sor 0 Carilah 3) Sor 5 Carilah 4) Sor 5 Carilah 5) Sor 0 Carilah 5 t r s 3 4 s t t s rs st ss ( )

28 .8 Teori Bilangan 6) Sor 0 Carilah 7) Sor 0 50 n Carilah mm 8) Sor 5 m 0 Carilah r 0 r 9) Sor 5 Carilah Cocoanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif yang terdapat di bagian ahir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunaan rumus beriut untu mengetahui tingat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar. Tingat penguasaan = Jumlah Sor Jawaban yang Benar 00% 00 Arti tingat penguasaan: 90-00% = bai seali 80-89% = bai 70-79% = cuup < 70% = urang Apabila mencapai tingat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat menerusan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jia masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar, terutama bagian yang belum diuasai.

29 MPMT50/MODUL.9 Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif ) Misalan a, b, c Z, a b dan c 0, maa sesuai definisi ba 0. Karena himpunan bilangan bulat positif tertutup terhadap peralian, c 0, dan b a 0, maa c( b a) 0 atau cb ca 0, berarti ca cb atau ac bc. ) Misalan ada bilangan bulat positif urang dari, maa sesuai dengan prinsip urutan yang rapi, Z Z dan Z tida osong dan mempunyai unsur terecil a sehingga a, dengan a 0. Selanjutnya a a a a a... Karena a 0, berarti a adalah suatu bilangan bulat positif urang dari a, merupaan ontradisi. 3) (a) terurut rapi (b) terurut rapi (c) tida terurut rapi (d) terurut rapi (e) tida terurut rapi (f) tida terurut rapi 4) (a) 0 (b) 0 (c) 5 (d) 5) Dari [ x] x [ x] dapat ditentuan bahwa [ x] x [ x]. Karena [ x] adalah suatu bilangan bulat, maa [ x ] [ x]. 6) Jia x adalah suatu bilangan bulat, maa [ x] [ x] x x 0. Jia x buan bilangan bulat, maa x z r, di mana z adalah suatu bilangan bulat dan r adalah suatu bilangan riil dengan 0 r. Dengan demiian dapat ditentuan bahwa [ x] [ x] [ z r] [ z r] z ( z ). 7) Misalan x [] x r dengan 0 r. Jia r (/ ), maa x (/ ) [ x] { r (/ )} [ x] arena r (/ ). Aibatnya, [ x(/ )] [ x], berarti x [ x] r [ x] arena r. Jadi [ x] [ x].

30 .30 Teori Bilangan Jia (/ ) r, maa [ x] x { r (/ )} [ x], berarti x (/ ) [ x]. Aibatnya, [ x] [ x] r ([ x] r) x [ x] Sehingga [ x] [ x], dan [ x] [ x (/ )] [ x] [ x] [ x] [ x] 8) Misalan adalah suatu bilangan rasional, maa tentu ada bilanganbilangan bulat a dan b sehingga ab. Aibatnya, S Z adalah suatu himpunan bilangan bulat positif yang tida osong, sehingga S mempunyai unsur terecil s t. Dengan demiian s s s t s t. Karena s t dan s merupaan bilangan-bilangan bulat, maa: s s s t s t juga merupaan suatu bilangan bulat, 0 arena, s s s arena dan s s s s t, s t dan. Hal ini bertentangan dengan pemilihan s sebagai unsur bulat positif terecil dari S. Jadi adalah irasional. Tes Formatif Gunaan Prinsip Indusi Matematia beserta sifat-sifat notasi jumlah dan ali sehingga diperoleh: ) ) 3) 4) 5) 6) 5 t rs ( r r 3r 4r 5r 6 r) r r r s r r r st ( s. s.3 s.4 s) 4s 4 s s t s s s t t ( ) ( ) ( )... ( ) s( s ) s s 3 t t s s 50 (50)(50 )(00 ) 495 6

31 MPMT50/MODUL.3 7) 8) 9) n n n n m( m ) ( m m) m m n( n )(n ) n( n ) m m m m ( )( ) 3 n n n 0 r0 6 ( ) r

32 .3 Teori Bilangan Daftar Pustaa Agnew, J. (97). Exploration in Number Theory. Belmont: Broos/Cole. Anderson, J.A. and Bell, J.M. (977). Number Theory with Applications. New Jersey: Prentice-Hall. Niven, I., Zucerman, H.S., and Montgomery, H.L. (99). An Introduction to the Theory of Numbers. New Yor: John Wiley & Sons. Ore, O. (948). Number Theory and Its History. New Yor: McGraw-Hill. Redmond, D. (996). Number Theory. New Yor: Marcel Deer. Rosen, K.H. (993). Elementary Number Theory and Its Applications. Massachusetts: Addison-Wesley.