BAB 3 KONDISI SPECTRUM. Pada bab ini akan diperlihatkan hasil utama dari penelitian ini. Hasil utama yang

Transkripsi

1 BAB 3 KONDISI SPECTRUM Pada bab ini akan diperlihatkan hasil utama dari penelitian ini. Hasil utama yang diperoleh berdasarkan penjelasan - penjelasan yang telah dipaparkan pada bab - bab sebelumnya. Hasil utama dari tulisan ini yaitu kondisi spectrum dari operator linier terbatas pada ruang linier bernorm, kemudian bagaimana kondisi spectrum dari operator linier terbatas pada ruang Banach. 3.1 Spectrum dari operator linier terbatas pada ruang linier Bernorm Andaikan E adalah ruang linier bernorm kompleks. Berikut ini akan diberikan bagaimana kondisi spectrum spt ) dari sebuah operator linier terbatas T di E. Teorema 3.1 Andaikan T sebuah operator linier terbatas di sebuah ruang linier bernorm kompleks tak-nol E. Maka ada sebuah titik λ spt ) sehingga λ lim n T n 1/n. Bukti. I: Diperlihatkan terlebih dahulu 0 spt ) sehingga lim n T n 1/n =0. Dengan kontradiksi, bahwa 0 adalah di himpunan resolvent T. 1= I = T n T 1 ) n T n T 1 ) n T n T 1 n untuk n =1, 2,. Mengakibatkan 1 T n 1/n T 1 untuk n =1, 2,, yang mana ini tidak mungkin karena lim n T n 1/n = 0 sehingga 0 spt ) karena spt ) adalah komplemen himpunan resolvent T pada daerah kompleks C. Ini membuktikan kasus ini ketika lim n T n 1/n =0. II: Diperlihatkan λ spt ) untuk λ = υ dengan mengandaikan lim n T n 1/n = υ>0. Dengan kontradiksi, bahwa {λ C : λ υ} {resolvent T} atau λ / spt ).

2 52 Pemetaan λ I λ 1 T adalah jelas kontinu di C {0} dan, berdasarkan 2.66 pemetaan S S 1 adalah kontinu di himpunan elemen - elemen regular dari LE). Mengakibatkan, oleh teorema 2.25 pemetaan λ I λ 1 T ) 1, merupakan komposisi dua pemetaan kontinu, yang juga kontinu di himpunan {λ C : λ υ}. Berdasarkan teorema Borel-Lebesgue teorema 2.50) A = {λ C : υ λ 2υ} adalah compact. Berdasarkan teorema 2.52 pemetaan λ I λ 1 T ) 1 adalah kontinu seragam di A. Andaikan ε>0. Ada δ>0 sehingga λ T ) 1 µ T ) 1 <ε *) untuk semua λ, µ A dengan λ µ <δ. Pilih sebuah bilangan kompleks λ dengan υ λ <δdan υ< λ 2υ. untuk setiap bilangan bulat positif n lemma 2.69 dan ketidaksamaan *) diatas memberikan T n) 1 T n) 1 υ n λ n = 1 n 1 n ε k υ T k=0 1 n 1 n ε k υ T k=0 < ε ) ) 1 ) 1 ε k λ T ) ) 1 ε k λ T ) 1 karena ε k υ A, ε k λ A dan ε k υ ε k λ <δuntuk k =0, 1, 2,,n 1. Ketika λ >υterdapat lim n λ n T n 1/n < 1 menyebabkan lim n λ n T n 1/n =0 Berdasarkan teorema 2.66 bahwa lim n I λ n T n ) 1 = I dan ada bilangan bulat N sehingga

3 53 I λ n T n) 1 <ε ***) untuk n N. dari ketidaksamaan **) dan ***) didapat, untuk n N, I T n) 1 I υ I 1 T n) 1 n ε + I 1 T n) 1 T n) 1 n ε n υ n < 2ε Ketidaksamaan terakhir menunjukkan bahwa lim n I υ n T n ) 1 = I. Penerapan lain dari teorema 2.66 memberikan lim n I υ n T n )=I dan mengakibatkan lim n υ n T n =0. Di lain hal berdasarkan lemma 2.62 bahwa υ n T n 1 untuk n =1, 2, sehingga T n 1/n υ. Karena lim n T n 1/n = υ>0, maka ditemukan sebuah kontradiksi. Dimana {λ C : λ υ} / {resolvent T}, ini membuktikan bahwa ada sebuah bilangan kompleks λ dimana λ spt ) dan λ lim n T n 1/n. 3.2 Spectrum dari operator linier terbatas pada ruang Banach Berikut akan diberikan kondisi dari spectrum dari operator linier terbatas pada ruang Banach. Teorema 3.2 Andaikan T adalah sebuah operator linier terbatas pada sebuah ruang Banach kompleks tak-nol E. Maka spt ) adalah sebuah himpunan bagian compact tak kosong dari disc tertutup {λ C : λ lim n T n 1/n } dan ada sebuah titik λ 0 di spt ) sehingga λ 0 = lim n T n 1/n. Bukti. I: Terlebih dahulu diperlihatkan spt ) {λ C : λ lim n T n 1/n } dan ada titik λ 0 di spt ) dengan λ 0 = lim n T n 1/n. Andaikan λ C dengan λ > lim n T n 1/n }. Teorema 2.61 menunjukkan bahwa I λ 1 T adalah regular dan karenanya, berdasarkan lemma 2.59c), λi T adalah regular. Karena spt )= C {ResolventT )} sehingga membuktikan bahwa spt ) {λ C : λ lim n T n 1/n }. Menunjukkan sebuah titik λ 0 di spt ) dengan λ 0 = lim n T n 1/n sesuai

4 54 dengan teorema 3.1 diatas. Dimana untuk spt ) {λ C : λ lim n T n 1/n } terdapat titik λ 0 di spt ) yaitu titik λ<lim n T n 1/n dan titik λ 0 = lim n T n 1/n. II: Diperlihatkan spt ) adalah himpunan compact. Oleh Teorema 2.63 himpunan B dari elelmen - elemen regular LE) adalah terbuka. Mengakibatkan himpunan {λ C : λi T adalah regular} adalah terbuka, karena himpunan tersebuat adalah invers B atas pemetaan kontinu λ λi T. Ketika spt )=C {λ C : λi T adalah regular}, spt ) adalah tertutup. Teorema Borel-lebesgue 2.50) menunjukkan spt ) adalah compact.

5 BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 4.1 Kesimpulan Penelitian ini telah memperlihatkan bagaimana nilai λ spt ) dan kondisi spectrum spt ) dari sebuah operator linier terbatas pada ruang linier bernorm kompleks dan ruang Banach kompleks. Dimana di dalam penelitian ini diperoleh: 1) λ spt ), ketika T adalah sebuah operator linier terbatas di ruang linier bernorm komleks maka λ lim n T 1/n. Dimana terdapat 0 spt ) sehingga lim n T 1/n = 0 dan terdapat λ υ>0sehingga lim n T 1/n = υ. 2) λ spt ), ketika T adalah sebuah operator linier terbatas di ruang Banach komleks maka diperoleh λ lim n T 1/n untuk λ C. Dan bila ada sebuah titik λ 0 spt ) diperoleh λ 0 = lim n T n 1/n, dan spt ) adalah compact. 4.2 Saran Penelitian ini telah menunjukkan kondisi dari spectrum dari operator linier terbatas spt ) pada ruang linier Banach. Penelitian lebih lanjut diperlukan untuk mencari spectrum dari sebuah operator linier compact pada ruang linier bernorm ataupun pada ruang Banach.