IDEAL FUZZY NEAR-RING. Jl. A. Yani Km. 36 Banjarbaru, Kalimantan Selatan

Transkripsi

1 Jurnal Matematia Murni dan Terapan εpsilon Vol. 07, No.01, (2013), Hal IDEAL FUZZY NEAR-RING Saman Abdurrahman 1, Naimah Hijriati 2 dan Thresye 3 1,2,3 Program Studi Matematia Faultas MIPA Universitas Lambung Mangurat Jl. A. Yani Km. 36 Banjarbaru, Kalimantan Selatan samunlam@gmail.com Abstra. Dalam tulisan ini aan dibahas ideal prima near-ring, ideal prima fuzzy nearring yang meliputi hubungan antara ideal prima near-ring dan ideal prima fuzzy near-ring. Kata Kunci : Near-ring, ideal prima, ideal prima fuzzy. Abstract. We discuss the prime ideal of near-ring, fuzzy prime ideal of near-ring which includes the relationship between prime ideal of near-ring and fuzzy prime ideal of nearring. Keywords : Near-ring, prime ideal, fuzzy prime ideal. 1. Pendahuluan Near-ring yang diontrusi oleh Pilz [13], Clay [5] dan Kandasamy [8], merupaan salah satu perluasan dari ring, dimana beberapa asioma yang ada pada ring tida harus diberlauan pada near-ring. Operasi pertama (aditif) pada near-ring sebarang tida harus omutatif, dan terhadap operasi pertama (aditif) dan edua (multipliatif), cuup dipenuhi salah satu sifat distributif iri atau anan. Seiring dengan perembangan zaman, penelitian pada near-ring tida hanya berisar pada struturnya tetapi mulai memaduan dengan teori lain, diantaranya dengan himpunan fuzzy yang diperenalan oleh Zadeh pada tahun Abou-Zaid [4] melauan fuzzyfiasi pada strutur near-ring, sehingga melahiran definisi near-ring fuzzy, subnear-ring fuzzy, ideal prima fuzzy near-ring yang meliputi ideal prima fuzzy dan mendefinisian ideal yang dibangun oleh satu elemen di near-ring secara detail, di mana definisi ini sangat berperan penting pada ajian ideal prima fuzzy near-ring. Penelitian yang dilauan oleh Abou-Zaid, melahiran banya ide bagi peneliti 21

2 22 Jurnal Matematia Murni dan Terapan, Vol. VII, No.01 (2013) Hal lainnya, sehingga banya peneliti yang mengembangan ide dari Abou-Zaid, diantaranya: Kim S dan Kim H [10], Jun dan Oztur [7] melauan penelitian lanjutan pada ideal prima fuzzy near-ring, yang meliputi homomorfisma pada near-ring fuzzy; Young dan Hee [?], dan Satyanarayana dan Kuncham (a) melauan penelitian pada ideal prima fuzzy near-ring dan memodifiasi definisi ideal yang dibangun oleh satu elemen di near-ring yang didefinisian oleh Abou-Zaid; Moderson d [11, 12] melauan fuzzyfiasi pada strutur semigrup dan grup, dan Kandasamy [9] melauan fuzzyfiasi pada strutur semigrup, grup, ring dan near-ring. Berdasaran fenomena di atas, maa pada penelitian ini aan melanjutan penelitian tentang ideal prima fuzzy near-ring hususnya hubungan antara ideal prima near-ring dan ideal prima fuzzy near-ring, sehingga ajian near-ring, semigrup fuzzy dan near-ring fuzzy di atas, aan di jadian acuan utama dalam mengaji hubungan antara eduanya. 2. TINJAUAN PUSTAKA Beriut ini, disajian definisi dan sifat dari near-ring dan himpunan fuzzy yang digunaan pada pembahasan ideal fuzzy near-ring. Definisi 2.1. Himpunan R tida osong dengan dua operasi biner + dan disebut near ring, jia memenuhi: 1. (R, +) adalah grup (tida harus grup omutatif), 2. (R, ) adalah semigrup, 3. Untu setiap x, y, z R berlau salah satu sifat distributif anan atau iri (a) distributif anan : (x + y) z = x z + y z (b) distributif iri : x (y + z) = x y + x z Selanjutnya yang dimasud near-ring adalah near-ring iri, ecuali ada eterangan lebih lanjut, x y adalah xy. Pada near-ring, grupnya tida harus omutatif terhadap operasi +, maa dalam mendefinisian ideal di near-ring subgrupnya harus normal. Definisi 2.2. Diberian (R, +, ) adalah near-ring. Subgrup normal I dari R disebut ideal dari R, jia 1. RI I 2. (r + i)s rs I untu setiap r, s R dan i I Subgrup normal I dari R memenuhi ondisi (1) disebut ideal iri di R, sedangan subgrup normal I dari R memenuhi ondisi (2) disebut ideal anan dari R.

3 Saman, Naimah dan Thresye IDEAL FUZZY NEAR-RING 23 Definisi 2.3. Diberian near-ring R. Ideal P dari R disebut prima, jia untu setiap ideal I dan J dari R, IJ P maa I P dan J P. Selanjutnya, diberian definisi dan sifat ideal darii near-ring, yang dibangitan oleh suatu elemen di R Definisi 2.4. Diberian near-ring R dan a R. Ideal yang dibangitan oleh a (dinotasian dengan a ) didefinisian sebagai irisan dari semua ideal dari R yang memuat a. Lemma 2.5. Diberian near-ring R. Jia N a := J J ideal dari R dan a R} dan a = i=0 A i dengan A +1 = A A + A 0 A ++, A 0 = a}, dan A = r + x r r R, x A }, A + = (r 1 + x)r 2 r 1 r 2 r 1, r 2 R, x A }, A 0 = x y x, y A }, A ++ = rx r R, x A }. Beriut diberian sifat yang euivalen dari ideal prima dari near-ring R. Lemma 2.6. Diberian P adalah ideal dari near-ring R. Pernyataan-pernyataan beriut adalah euivalen, 1. P adalah ideal prima. 2. untu setiap ideal I dan J dari R, jia IJ maa I P atau J P. 3. untu setiap a, b R, jia a / P dan b / P maa a b P. 4. untu setiap ideal I dan J dari R, jia I P dan J P maa IJ P. 5. untu setiap ideal I dan J dari R, jia I P dan J P maa IJ P. Definisi 2.7. Diberian X adalah himpunan tida osong. Suatu pemetaan µ disebut subset fuzzy dari X jia µ : X [0, 1]. Selanjutnya himpunan semua subset fuzzy dari X dinotasian dengan F(X) dan Image dari µ dinotasian dengan Im(µ) := µ(x) x X}. Definisi 2.8. Diberian sebarang µ, ν F(X), maa 1. µ = ν jia dan hanya jia µ(x) = ν(x) untu setiap x X, 2. µ ν jia dan hanya jia µ(x) ν(x) untu setiap x X, 3. (µ ν)(x) := minµ(x), ν(x)} untu setiap x X. Definisi 2.9. Diberian sebarang µ F(X), dan t [0, 1]. Level subset (t-cut) dari µ dinotasian dengan µ t, yang didefinisian dengan µ t := x X µ(x) t}.

4 24 Jurnal Matematia Murni dan Terapan, Vol. VII, No.01 (2013) Hal Lemma Diberian sebarang µ, ν F(X), maa 1. µ ν maa µ a ν a untu setiap a [0, 1], 2. a b maa µ b µ a untu setiap a, b [0, 1], 3. µ = ν jia dan hanya jia µ a = ν a untu setiap a [0, 1]. Definisi Diberian near-ring R dan µ F(R). Subset fuzzy µ disebut subnearring fuzzy dari R jia jia untu setiap x, y R berlau: 1. µ(x y) minµ(x), µ(y)}, 2. µ(xy) minµ(x), µ(y)}. Selanjutnya, µ disebut ideal fuzzy dari R jia µ adalah subnear-ring fuzzy dari dan untu setiap x, y, z R berlau: 3. µ(x) = µ(y + x y), 4. µ(xy) µ(y), 5. µ((x + z)y xy) µ(z). Suatu µ disebut ideal iri fuzzy dari R jia memenuhi ondisi (1), (2), (3) dan (4), sedangan µ disebut ideal anan fuzzy dari R jia memenuhi ondisi (1), (2), (3) dan (5). Setelah definisi subnear-ring fuzzy dan ideal fuzzy near-ring, beriut diberian sifat dari subnear-ring fuzzy dan ideal fuzzy near-ring. Lemma Diberian near-ring R. Jia µ adalah subnear-ring fuzzy dari R, maa µ(0 R ) µ(x) dan µ( x) = µ(x) untu setiap x R. Teorema Diberian near-ring R. Jia I adalah ideal dari R, maa untu setiap t (0, 1], ada µ ideal fuzzy dari R sedemiian hingga µ t = I. 3. Hasil dan Pembahasan Teorema 3.1. Diberian near-ring R dan a R. Jia µ adalah ideal fuzzy dari R, maa µ(x) µ(a) untu setiap x a Buti. Misalan µ ideal fuzzy dari R, a R, dan a = i=0 A i dimana A +1 = A A + A 0 A ++, A 0 = a}, dan A = r + x r r R, x A }, A + = (r 1 + x)r 2 r 1 r 2 r 1, r 2 R, x A }, A 0 = x y x, y A }, A ++ = rx r R, x A }. Aan dibutian µ(x) µ(a) untu setiap x a. Untu membutian permasalahan di atas, cuup dibutian bahwa µ(z) µ(a) untu setiap z A m (m 1). Untu itu, digunaan indusi pada m. 1). Untu m = 0, maa A 0 = a} sehingga µ(x) µ(a) untu setiap x A 0 2). Asumsian bahwa µ(x) µ(a) untu setiap x A Aan ditunjuan bahwa µ(x) µ(a) untu setiap x A +1.

5 Saman, Naimah dan Thresye IDEAL FUZZY NEAR-RING 25 Diambil sebarang b A +1 = A b A 0 atau b A++. A + A 0 A ++, maa b A atau b A+ atau a). b A maa b = r + x r untu suatu r R dan x A, yang mengaibatan µ(b) = µ(r + x r). Mengingat µ ideal fuzzy dari R, maa µ(b) = µ(x) sehingga berdasaran asumsi µ(b) = µ(x) µ(a). b). b A +, maa b = (r 1 + x)r 2 r 1 r 2 untu suatu r 1, r 2 R dan x A, yang mengaibatan µ(b) = µ((r 1 + x)r 2 r 1 r 2 ). Mengingat µ ideal fuzzy dari R, maa µ(b) µ(x) sehingga berdasaran asumsi µ(b) µ(x) µ(a). c). b A 0, maa b = x 1 x 2 untu suatu x 1, x 2 A. Aibatnya µ(b) = µ(x 1 x 2 ). Mengingat µ ideal fuzzy dari R, maa µ(b) min µ(x 1 ), µ(x 2 )} sehingga berdasaran asumsi µ(b) min µ(x 1 ), µ(x 2 )} µ(a). d). b A ++, maa b = rx untu suatu r R dan x A. Aibatnya µ(b) = µ(rx). Mengingat µ ideal fuzzy dari R, maa µ(b) µ(x) sehingga berdasaran asumsi µ(b) µ(x) µ(a). Jadi µ(b) µ(a) untu setiap b A +1. Dari semua asus, terbuti bahwa µ(b) µ(a) untu setiap b A +1. Oleh arena itu dengan prinsip indusi matematia, disimpulan bahwa µ(z) µ(a) untu setiap z A m dan untu semua bilangan bulat positif m. Jadi, µ(x) µ(a) untu setiap x a. Beriut diberian sifat yang merupaan aibat dari Teorema 3.1. Aibat 3.2. Diberian µ adalah ideal fuzzy dari near-ring R. Jia I adalah ideal dari R dengan I = a = b, maa µ(a) = µ(b). Buti. Misalan a = b. Aan dibutian µ(a) = µ(b). Mengingat a = b, maa a b dan b a sehingga µ(a) µ(b) dan µ(b) µ(a) yang mengaibatan µ(a) = µ(b). Selanjutnya diberian sifat ideal fuzzy µ di R, yang berhubungan dengan R µ. Teorema 3.3. Diberian A subset tida osong dari near-ring R dan µ F(R) yang didefinisian dengan, µ(x) := a, x A b, x R A untu setiap x R dan a, b [0, 1] dengan a > b. Subset fuzzy µ disebut ideal fuzzy dari R jia dan hanya jia A ideal dari R sedemiian hingga R µ = A.

6 26 Jurnal Matematia Murni dan Terapan, Vol. VII, No.01 (2013) Hal Buti. Misalan A subset tida osong dari R dan µ ideal fuzzy dari near-ring R. Aan dibutian A ideal dari R sedemiian hingga R µ = A. Mengingat µ ideal fuzzy dari near-ring R, maa untu setiap r, s R dan x, y A berlau: 1. µ(x y) min µ(x), µ(y)} = a. Di lain piha, jia x y R maa x y A atau x y / A, sehingga µ(x y) a. Aibatnya µ(x y) = a, yaitu x y A, dengan ata lain (A, +) adalah subgrup dari (R, +). 2. µ(r + x r) = µ(x) = a. Maa r + x r A yang mengaibatan (A, +) adalah subgrup normal dari (R, +). 3. µ(rx) µ(x) = a. Di lain piha, jia rx R maa rx A atau rx / A, sehingga µ(rx) a. Aibatnya µ(rx) = a, yaitu rx A, dengan ata lain RA A. 4. µ[(r + x)s rs] µ(x) = a. Di lain piha, jia (r + x)s rs R maa (r + x)s rs A atau (r + x)s rs / A, sehingga µ[(r + x)s rs] a. Aibatnya µ[(r + x)s rs] = a, yaitu (r + x)s rs A. Jadi, A adalah ideal dari R. Selanjutnya, aan dibutian R µ = A. Mengingat A adalah ideal dari R, maa 0 R } A sehingga µ(0 R ) = a. Aibatnya, R µ = x R µ(x) = µ(0 R )} = x R µ(x) = a} = x R x A}. Buti sejalan dengan Teorema Beriut diberian definisi produ dua subset fuzzy dari near-ring R. Definisi 3.4. Diberian near-ring R dan µ, ν F(R). Produ µ dan ν dinotasian dengan µ ν, yang didefinisian dengan: sup(minµ(y), ν(z)}), x=yz (µ ν)(x) := 0, x yz. Setelah diberian sifat ideal fuzzy dan definisi produ dua subset fuzzy di near-ring R, beriut diberian definisi ideal prima fuzzy di R. Definisi 3.5. Diberian near-ring R. Ideal fuzzy µ disebut prima fuzzy dari R, jia 1. µ tida onstan, 2. untu sebarang dua ideal fuzzy σ dan δ dari R, σ δ µ maa σ µ dan δ µ. Beriutnya diberian sifat ideal prima fuzzy µ dari near-ring R, yang berhubungan dengan elemen netral 0 R dari (R, +).

7 Saman, Naimah dan Thresye IDEAL FUZZY NEAR-RING 27 Lemma 3.6. Jia µ adalah ideal prima fuzzy di near-ring R, maa µ(0 R ) = 1. Buti. Misalan µ adalah ideal prima fuzzy di near-ring R. Aan dibutian µ(0 R ) = 1. Andaian µ(0 R ) < 1. Mengingat µ tida onstan, maa µ(a) < µ(0 R ) untu suatu a R. Misalan θ, σ F(R) yang didefinisian, untu setiap x R. θ(x) := µ(0 R ) dan σ(x) := 1, µ(x) = µ(0 R ) 0, yang lain Berdasaran definisi θ dan σ, maa θ adalah fungsi onstan dan σ adalah fungsi arateristi dari R µ, sehingga menurut Teorema 3.3 θ dan σ adalah ideal fuzzy dari R. Sehingga berdasaran analisa di atas, disimpulan µ(0 R ) < 1σ(0 R ) dan µ(a) < µ(0 R ) = θ(a). Jadi θ µ dan θ µ. Misalan b R dengan (θ σ)(b) = sup b=xy min θ(x), σ(y)} untu suatu x, y R. Aan dibutian min θ(x), σ(y)} µ(b) dimana b = xy. Selanjutnya dipertimbangan dua asus, yaitu σ(y) = 0 dan σ(y) = 1 Kasus 1 Misalan σ(y) = 0, maa min θ(x), σ(y)} = min µ(0 R ), 0} min µ(x), µ(y)} µ(x), µ(y)} µ(xy) = µ(b). Kasus 2 Misalan σ(y) = 1, maa menurut definisi σ, µ(y) = µ(0 R ) sehingga min θ(x), σ(y)} = min µ(0 R ), 1} = µ(y) = µ(0 R ) µ(xy) = µ(b). Berdasaran asus 1 dan 2, maa (θ σ)(b) = sup b=xy min θ(x), σ(y)} µ(b) untu setiap b R sedemiian hingga θ σ µ. Mengingat µ adalah ideal prima fuzzy di R, maa θ µ atau σ µ. Kontradisi dengan θ µ dan σ µ, sehingga pengandaian salah, seharusnya µ(0 R ) 1. Mengingat µ(0 R ) [0,1], maa µ(0 R ) = 1. Selanjutnya, µ disebut normal jia dan hanya jia µ(0 R ) = 1. Beriutnya diberian sifat dari ideal prima fuzzy dari near-ring R, yang berhubungan dengan ideal normal fuzzy dari R yang merupaan aibat dari Teorema 3.6. Aibat 3.7. Setiap ideal prima fuzzy di near-ring adalah normal. Beriutnya diberian sifat ideal prima fuzzy µ dari near-ring R, yang berhubungan dengan R µ. Teorema 3.8. Diberian near-ring R. Jia µ adalah ideal prima fuzzy dari R, maa R µ ideal prima dari R.

8 28 Jurnal Matematia Murni dan Terapan, Vol. VII, No.01 (2013) Hal Buti. Misalan µ adalah ideal prima dari R, maa menurut [2], R µ adalah ideal dari R. Aan dibutian R µ adalah ideal prima dari R. Misalan A dan B adalah ideal dari R dengan AB R µ dan σ, δ F(R) yang didefinisian dengan, µ(0 R ), a A µ(0 R ), b B σ(a) := dan δ(b) := 0, a R A 0, a R B untu setiap x R, maa menurut Teorema 3.3, σ dan δ adalah ideal fuzzy dari R. Klaim σ δ µ. 1. Jia (σ δ)(x) = 0, maa (σ δ)(x) = 0 µ(x) untu setiap x R, sehingga σ δ µ 2. Jia (σ δ)(x) = sup x=yz minσ(y), δ(z)}. Berdasaran ondisi di atas, maa min σ(y), δ(z)} > 0 dan x = yz, sehingga σ(y) > 0 dan δ(z) > 0, aibatnya menurut definisi σ dan δ, σ(y), = µ(0 R ) dan δ(z) = µ(0 R ), sehingga σ(y) = µ(0 R ) = δ(z), dengan ata lain y A dan z B. Jia x = yz, maa x AB R µ sehingga µ(x) = µ(0 R ). Mengingat µ adalah ideal prima dari R, maa menurut Lemma 3.6, µ(0 R ) = 1, aibatnya (σ δ)(x) 1 = µ(0 R ) = µ(x). Berdasaran analisa di atas, maa (σ δ)(x) µ(x) untu setiap x R, dengan ata lain σ δ µ. Mengingat µ adalah ideal prima fuzzy dari R, maa σ µ atau δ µ. Andaian A R µ dan B R µ. 1. Jia A R µ maa ada a A sedemiian hingga a / R µ. Aibatnya µ(a) µ(0 R ). Mengingat µ ideal fuzzy dari R, menurut Lemma 2.12, µ(0 R ) µ(a), yang mengaibatan µ(0 R ) > µ(a). Jadi menurut definisi σ, maa σ(a) = µ(0 R ) > µ(a), yang berarti σ µ. 2. jia B R µ, maa ada b B sedemiian hingga b / R µ. Aibatnya µ(b) µ(0 R ). Mengingat µ ideal fuzzy dari R, menurut Lemma 2.12, µ(0 R ) µ(b), yang mengaibatan µ(0 R ) > µ(b). Jadi menurut definisi σ, maa σ(b) = µ(0 R ) > µ(b), yang berarti δ µ. Berdasaran analisa di atas, jia A R µ dan B R µ, maa σ µ, dan δ µ. Kondisi ini, ontradisi dengan σ µ, dan δ µ, sehingga pengandaian salah, seharusnya A R µ dan B R µ, dengan ata lain R µ adalah ideal prima dari R. Selanjutnya diberian sifat dari ideal prima fuzzy dari near-ring R, yang berhubungan dengan Imµ. Teorema 3.9. Diberian near-ring R. Jia µ adalah ideal prima fuzzy dari R, maa Imµ = 2, dalam arti Im(µ) = s, 1} dengan s [0, 1).

9 Saman, Naimah dan Thresye IDEAL FUZZY NEAR-RING 29 Buti. Misalan µ ideal prima fuzzy dari R, maa menurut Lemma 3.6, µ(0 R ) = 1. Aan dibutian Im(µ) = 2, dalam arti Im(µ) = 1, s} dengan s [0, 1). Misalan a, b R dengan µ(a) < 1 dan µ(b) < 1. Untu membutian Im(µ) = 2, cuup dibutian µ(a) = µ(b). Kasus I Misalan θ, σ F(R) yang didefinisian, 1, x a θ(x) := µ(a), dan σ(x) := 0, x R a untu setiap x R, maa menurut Teorema 3.6, θ dan σ adalah ideal fuzzy dari R. Mengingat a a, maa σ(a) = 1 yang mengaibatan σ(a) = 1 > µ(a), dengan ata lain σ µ. Misalan z R dengan (θ σ)(z) = sup z=xy min θ(x), σ(y)} untu suatu x, y R. 1. Jia y / a, maa σ(y) = 0 sehingga min θ(x), σ(y)} = min µ(a), 0} = 0 min µ(x), µ(y)} µ(xy) =µ(z). 2. Jia y a, maa σ(y) = 1 sehingga min θ(x), σ(y)} = min µ(a), 1} = µ(a) µ(y) µ(xy) =µ(z). Berdasaran analisa di atas, maa (θ σ)(z) = sup z=xy min θ(x), σ(y)} untu setiap z R. yang mengaibatan θ σ µ. Mengingat µ adalah ideal prima fuzzy dari R, maa θ µ atau σ µ, tetapi dari ondisi di atas dietahui σ µ, aibatnya θ µ sehingga menurut definisi θ, θ(b) = µ(a) µ(b). Kasus 2 Misalan δ, ρ F(R) yang didefinisian, 1, x b δ(x) := µ(b), dan ρ(x) := 0, x R b untu setiap x R, maa menurut Teorema 3.6, δ dan ρ adalah ideal fuzzy dari R. Mengingat b b, maa ρ(b) = 1 yang mengaibatan ρ(b) = 1 > µ(b), dengan ata lain ρ µ. Misalan w R dengan (δ ρ)(w) = sup w=xy min δ(x), ρ(y)} untu suatu x, y R. 1. Jia y / b, maa ρ(y) = 0 sehingga min δ(x), ρ(y)} = min µ(b), 0} = 0

10 30 Jurnal Matematia Murni dan Terapan, Vol. VII, No.01 (2013) Hal min µ(x), µ(y)} µ(xy) =µ(w). 2. Jia y b, maa ρ(y) = 1 sehingga min δ(x), ρ(y)} = min µ(b), 1} = µ(b) µ(y) µ(xy) =µ(w). Berdasaran analisa di atas, maa (δ ρ)(z) = sup z=xy min δ(x), ρ(y)} untu setiap w R. yang mengaibatan delta ρ µ. Mengingat µ adalah ideal prima fuzzy dari R, maa δ µ atau ρ µ, tetapi dari ondisi di atas dietahui ρ µ, aibatnya δ µ sehingga menurut definisi δ, δ(a) = µ(b) µ(a). Berdasaran analisa pada asus 1 dan 2, maa µ(a) = µ(b). Beriut diberian sifat ideal prima dari near-ring R, yang berhubungan dengan ideal prima fuzzy dari R. Teorema Diberian I ideal dari near-ring R dan µ F(R) yang didefinisian, 1, x I µ(x) := s, x R I untu setiap x R dan s [0, 1). Jia I adalah ideal prima dari R, maa µ ideal prima fuzzy dari R. Buti. Misalan I adalah ideal prima dari R dan µ F(R). Aan dibutian µ ideal prima fuzzy dari R. Menurut Teorema 3.3 dan definisi µ, maa µ adalah ideal tida onstan di R. Misalan σ dan δ adalah ideal fuzzy dari R sedemiian hingga σ δ µ. Andaian σ µ dan δ µ, maa σ(x) > µ(x) dan δ(y) > µ(y) untu suatu x, y R. Mengingat σ(x), δ(y), µ(x), µ(y) [0, 1], maa µ(x) 1 dan µ(y) 1, sehingga nilai dari µ(x) = µ(y) = s. Aibatnya x, y R I yang berarti x, y / I, sehingga x y I. Misalan a = cd R I dengan c x dan d y. Mengingat σ δ µ dan a R I, maa (σ δ)(a) µ(a) = s. Dilain piha, (σ δ)(a) = sup a=cd minσ(c), δ(d)} minσ(c), δ(d)} minσ(x), δ(y)} > minµ(x), µ(y)} = s.

11 Saman, Naimah dan Thresye IDEAL FUZZY NEAR-RING 31 Kontradisi dengan (σ δ)(a) s. Jadi, σ µ atau δ µ, dengan ata lain µ adalah ideal prima fuzzy dari R. Beriut diberian sifat ideal prima di near-ring, yang merupaan aibat dari Teorema Aibat Diberian µ F(R) sedemiian hingga µ mempunyai dua nilai eanggotaan dan µ(0 R ) = 1. Jia R µ adalah ideal prima dari R, maa µ ideal prima fuzzy dari R. Aibat Diberian I ideal dari near-ring R. Subset fuzzy χ I adalah ideal prima fuzzy dari R jia dan hanya jia I ideal prima dari R. 4. Kesimpulan Berdasaran hasil dan pembahasan pada penelitian maa dapat diambil esimpulan bahwa setiap ideal prima near-ring adalah ideal prima fuzzy near-ring dan juga sebalinya. Daftar Pustaa [1] Abdurrahman S Ideal masimal dan ideal prima near-ring. Jurnal Epsilon 4, no. 2, hal [2] Abdurrahman S Ideals fuzzy near-ring. Penelitian yang didanai oleh DIPA-PNBP Universitas Lambung Mangurat Tahun Anggaran Semester Genap 2010/2011. [3] Abdurrahman S, Thresye, & Hijriati N Ideal masimal fuzzy near-ring. Seminar dan Rapat Tahunan Bidang Ilmu Mipa (SEMIRATA BKS-PTN B), Banjarmasin 9-10 Mei [4] Abou Zaid On fuzzy subnear-rings and ideals. Fuzzy Sets and Systems 44, hal [5] Clay J.R Nearrings, geneses and applications, Oxford, New Yor. [6] Clay. J.R, 1992, Nearrings, geneses and applications, Oxford, New Yor. [7] Jun. Y.B, Sapanci. M. and zt r. M.A, 1998, Fuzzy ideal in gamma near-ring, Tr. J. of Math, vol. 22, pp [8] Kandasamy. W.B.V, 2002, Smarandache near-rings, American Research Press Rehoboth.

12 32 Jurnal Matematia Murni dan Terapan, Vol. VII, No.01 (2013) Hal [9] Kandasamy. W.B.V, 2003, Smarandache fuzzy algebra, American Research Press Rehoboth. [10] Kim. S.D. and Kim. H.S, 1996, On fuzzy ideals of near-rings, Bull. Korean Math. Soc, vol. 33, no. 4, pp [11] Mordeson, J.N, Mali D.S and Kuroi. N, 2003, Fuzzy semigroup, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg. [12] Mordeson, J.N, Bhutani. K.R. and Rosenfeld. A, 2005, Fuzzy group theory, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg. [13] Pilz. G, 1983, Near-ring, the theory and applications 2nd ed., North-Holland Mathematict Studies, vol. 23, North-Holland, Amsterdam.