Ruang Norm-n Berdimensi Hingga
|
|
- Ridwan Salim
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Jurnal Matematika Integratif. Vol. 3, No. 2 (207), pp p-issn:42-684, e-issn: doi:0.2498/jmi.v3.n Ruang Norm-n Berdimensi Hingga Moh. Januar Ismail Burhan Jurusan Matematika dan Teknologi Informasi, Program studi Matematika, Institut Teknologi Kalimantan januarismail@itk.ac.id Abstrak Norm-n adalah bentuk perumuman dari norm yang dapat didefinisikan di suatu ruang vektor real. Konsep ini sangat menarik karena mewariskan beberapa sifat norm, yang mana pada n = 2 dapat mewakili sebagai luas dari jajar genjang yang direntang oleh dua vektor yang berbeda. Pada makalah ini, akan dibahas mengenai ruang norm-n berdimensi hingga. Diawali dengan mempelajari norm yang diturunkan dari norm-n, sehingga diperoleh hubungan kekonvergenan barisan di ruang norm dan di ruang norm-n. Hasil ini merupakan metode yang akan digunakan untuk membuktikan Teorema Titik tetap yang telah diperbaiki pada bagian premisnya di ruang norm-n berdimensi hingga. Kata kunci: Ruang Norm-n Berdimensi Hingga, Norm, Teorema Titik Tetap. Abstract The n-normed is a form of generalization of the normed that can be defined in a real vector space. This concept is very interesting because it inherit some the normed properties, which at n = 2 can represent as the area of a parallelogram spanned by two distinct vectors. In this paper, we will discuss about the finite dimensional n-normed spaces. Beginning by studying the normed which is derived from the n-normed, thus it will be obtained the relation between the convergence of sequence in the normed space and in the n-normed spaces. This result is a method that will be used to prove The Fixed Point Theorem has been fixed in the premise on finite dimensional n-normed spaces. Key words: Finite Dimesional n-normed Spaces, Normed, Fixed Point Theorem.. Pendahuluan Konsep tentang ruang norm-2 pertama kali dikembangkan oleh Gähler pada pertengahan dekade 960an dan ruang hasil kali dalam-2 pertama kali diperkenalkan oleh Diminnie, Gähler dan White pada tahun 970. Sementara itu konsep ruang norm-n dimana n 2 dikembangkan oleh Gähler pada akhir dekade 960-an dan ruang hasil kali dalam-n dikembangkan oleh Misiak pada tahun 989. Pada tahun 200, Gunawan dan Mashadi di [4 mempelajari bahwa setiap norm-n ekuivalen dengan dengan norm-n yang mereka defenisikan sendiri. Dari sinilah mereka membuktikan mengenai Teorema Titik Tetap untuk suatu ruang Banach-n dengan sembarang vektor 2000 Mathematics Subject Classification: 46B99 Received: , accepted:
2 96 Burhan, JMI Vol 3 No 2 Okt 207, pp ,doi:0.2498/jmi.v3.n x, x 2,..., x n dalam ruang norm-n berdimensi hingga. Ekariani dan Gunawan di [ membahas ruang norm-n standar dengan menunjukkan ekuivalensi antara norm yang diperoleh dari normn standar dengan norm biasa. Berbeda dengan yang telah dibahas oleh Ekariani dan Gunawan di [, pada makalah ini akan menggunakan suatu norm yang didefinisikan dari norm-n untuk mencari hubungan antara ruang norm dan ruang norm-n dengan batasan ruang berdimensi hingga. Lebih lanjut, fakta ini akan digunakan pula untuk membuktikan Teorema Titik Tetap dalam ruang norm-n berdimensi hingga dengan menggunakan sembarang vektor a, a 2,..., a n yang bebas linear, untuk memperbaiki Teorema Titik Tetap di [4 yang disajikan dalam teorema yang diformulasikan oleh Gunawan sebagai berikut: Teorema.. Misalkan pemetaan T : X X, sedemikan sehingga T x T x, x 2,..., x n C x x, x 2,..., x n, untuk setiap x, x, x 2,..., x n X dan C (0, ). Maka T mempunyai titik tetap yang tunggal, yaitu terdapat x X sedemikian sehingga T x = x. 2. Metode Penelitian Penelitian ini merupakan penelitian studi literatur. Metodologi yang digunakan adalah mengumpulkan bahan penelitian dari buku buku dan jurnal jurnal yang membahas konsep ruang norm dan konsep ruang norm-n, dan selanjutnya melakukan kajian terhadap konsep konsep tersebut untuk mengkonstruksi norm yang diperoleh dari norm-n. Selanjutnya norm yang diperoleh menjadi alat untuk membuktikan teorema titik tetap di ruang norm-n berdimensi hingga sebagai perbaikan teorema titik tetap yang dibahas H. Gunawan di [4. 3. Hasil dan Pembahasan Pada bagian ini akan dibahas suatu konsep norm-n. Secara geometris, norm-n dapat dipandang sebagai suatu metode untuk menghitung volume parallelepiped yang direntang oleh n buah vektor. Lebih lanjut, akan dibahas hasil yang diperoleh mengenai Teorema Titik Tetap di ruang norm-n berdimensi hingga. Adapun pembahasan norm-n pada tulisan ini hanya pada ruang vektor real berdimensi hingga (d n). 3.. Ruang Norm-n. Pada subbab ini akan dibahas konsep norm-n dan contoh dari norm-n pada ruang vektor berdimensi hingga. Definisi 3.. Misalkan n N dan X adalah ruang vektor real berdimensi d n. Norm-n adalah fungsi,..., : X n R, sehingga untuk setiap x,..., x n, x, y X memenuhi empat kondisi di bawah ini () x,..., x n = 0 jika dan hanya jika x,..., x n bergantung linear; (2) x,..., x n invarian atas permutasi; (3) x,..., x n, αx n = α x,..., x n, x n, untuk setiap α R; (4) x,..., x n, x + y x,..., x n, x + x,..., x n, y. Pasangan (X,,..., ) disebut suatu ruang norm-n. Contoh trivial norm-n dalam ruang berdimensi hingga adalah sebagai berikut: Contoh 3.2. X = R d dengan d = n yang dilengkapi dengan norm-n : x... x n x,..., x n E = abs..... x n... x nn dimana x i = (x i,..., x in ) R d untuk setiap i =,..., n (huruf E adalah untuk Euclid). Selanjutnya diberikan beberapa fakta atau sifat yang dimiliki suatu norm-n seperti halnya beberapa sifat yg dimiliki norm.
3 Ruang Norm-n Berdimensi Hingga 97 Proposisi 3.3. Misalkan (X,,..., ) adalah ruang norm-n berdimensi d n, maka () x,..., x n 0 untuk setiap x,..., x n X; (2) x,..., x n, x n + α x α n x n = x,..., x n, x n untuk setiap x,..., x n X dan α,..., α n R. Proof. Ambil sembarang x,..., x n X dan α,..., α n R. () Akan ditunjukkan x,..., x n 0. Perhatikan bahwa, 0 = x x,..., x n x,..., x n + x,..., x n = x,..., x n + x,..., x n = 2 x,..., x n. Maka diperoleh x,..., x n 0. (2) Akan ditunjukkan bahwa x,..., x n, x n + α x α n x n = x,..., x n, x n. Perhatikan n x n,..., x n, x n + α i x i x,..., x n, x n + x,..., x n, α i x i i= i= n = x,..., x n, x n + α i x,..., x n, x i. Menurut definisi norm-n Sifat, maka α i x,..., x n, x i = 0 untuk setiap i =,..., n. Maka diperoleh x,..., x n, x n + α x α n x n x,..., x n, x n. () Selanjutnya perhatikan, ( ) n x,..., x n, x n = x n,..., x n, x n + α i x i α i x i i= i= ( ) n x n,..., x n, x n + α i x i + x,..., x n, α i x i i= i= ( ) n = x n,..., x n, x n + α i x i + α i x,..., x n, x i. i= Karena α i x,..., x n, x i = 0 untuk setiap i =,..., n, maka diperoleh x,..., x n, x n x,..., x n, x n + α x α n x n. (2) Dari () dan (2) dapat disimpulkan bahwa x,..., x n, x n + α x α n x n = x,..., x n, x n. Dengan demikian proposisi terbukti Kekonvergenan dan Kelengkapan. Pada ruang norm-n definisi mengenai kekonvergenan barisan dan barisan Cauchy tidak jauh berbeda dengan definisi pada ruang norm-2 yang telah dibahas Gunawan di [2 dan di [3. Definisi 3.4. Barisan (x (k)) di ruang norm-n (X,,..., ) berdimensi hingga (d n) dikatakan konvergen ke x di dalam (X,,..., ) apabila, untuk setiap x 2,..., x n X berlaku : i= lim x (k) x, x 2,..., x n = 0, i=
4 98 Burhan, JMI Vol 3 No 2 Okt 207, pp ,doi:0.2498/jmi.v3.n yaitu untuk setiap ε > 0 terdapat n 0 N sedemikian hingga untuk setiap k n 0 berlaku x (k) x, x 2,..., x n < ε, dimana x disebut limit barisan (x (k)). Teorema 3.5. Limit dari suatu barisan yang konvergen di ruang norm-n (X,,..., ) berdimensi hingga (d n) senantiasa tunggal. Proof. Misalkan x dan x adalah limit dari barisan (x (k)), menurut definisi untuk setiap x 2,..., x n X dan ε > 0 terdapat n 0 N sedemikian sehingga x (k) x, x 2,..., x n < ε 2 untuk setiap k n 0, dan terdapat n N sehingga x (k) x, x 2,..., x n < ε 2 k n. Pilih n = maks(n 0, n ) sehingga untuk k n, maka x x, z = x x (k) + x (k) x, x 2,..., x n x x (k), x 2,..., x n + x (k) x, x 2,..., x n < ε 2 + ε 2 = ε. Karena untuk sembarang ε > 0, maka diperoleh x x = 0. untuk setiap Selanjutnya dibahas mengenai kriteria Cauchy untuk kelengkapan suatu ruang norm-n. Definisi 3.6. Barisan (x (k)) di ruang norm-n (X,,..., ) disebut barisan Cauchy apabila, untuk setiap x 2,..., x n X. Untuk setiap ε > 0 terdapat n 0 N sedemikian hingga untuk setiap k, l n 0 berlaku x (k) x (l), x 2,..., x n < ε. Teorema 3.7. Jika barisan (x (k)) konvergen, maka (x (k)) merupakan barisan Cauchy. Proof. Ambil sembarang ε > 0, barisan (x (k)) konvergen ke x X artinya untuk setiap z X terdapat n 0 N sedemikian hingga untuk setiap k n 0 berlaku x (k) x, x 2,..., x n < ε 2. Maka, x (k) x (l), x 2,..., x n = x (k) x + x x (l), x 2,..., x n x (k) x, x 2,..., x n + x x (l), x 2,..., x n < ε 2 + ε 2 = ε, untuk setiap k, l n 0. Jadi (x (k)) merupakan barisan Cauchy di ruang norm-n. Lebih lanjut, dapat didefinisikan kelengkapan suatu ruang norm-n. Definisi 3.8. Ruang norm-n (X,,..., ) dikatakan lengkap, jika setiap barisan Cauchy (x (k)) konvergen ke x di (X,,..., ). Ruang norm-n yang lengkap disebut ruang Banach-n Norm yang diturunkan dari norm-n dan basis bagi X. Pada bagian ini akan dibahas mengenai pendefinisian norm yang diturunkan dari norm-n dan himpunan basis bagi X. Misalkan (X,,..., ) adalah ruang norm-n dan misalkan {b, b 2,..., b d } adalah basis bagi X, maka diberikan beberapa fakta antara lain: Lemma 3.9. Barisan (x (k)) konvergen ke x di X jika dan hanya jika lim x (k) x, b i 2,..., b in = 0 untuk setiap {i 2,..., i n } {,..., d}. Proof. Ambil sembarang y 2, y 3,..., y n X. (= ) Misalkan Barisan (x (k)) konvergen ke x di X, maka perdefinisi dapat ditunjukkan bahwa lim x (k) x, b i 2,..., b in = 0 untuk setiap {i 2,..., i n } {,..., d}.
5 Ruang Norm-n Berdimensi Hingga 99 ( =) Misalkan diketahui lim x (k) x, b i 2,..., b in = 0 untuk setiap {i 2,..., i n } {,..., d}. Perhatikan bahwa, d d x (k) x, y 2,..., y n = x (k) x, (α 2 ) i2 b i2,..., (α n ) in b in d i 2= d i 2= d i 2= i 2= (α2 ) i2 x (k) x, b i2,..., [ (α 2 ) i2 d i 3= [ d (α 2 ) i2 [... i n= d (α n ) in b in i n= (α 3 ) i3 x (k) x, b i2,..., i n= d (α n ) in b in i n= (α n ) in x (k) x, b i2, b i3,..., b in Akibatnya untuk k ruas kanan bernilai akan bernilai nol, sehingga ruas kiri bernilai nol. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa lim x (k) x, y 2, y 3,..., y n = 0. Dengan demikian barisan (x (k)) konvergen ke x di X. Hal yang sama untuk barisan Cauchy, Lemma 3.0. Barisan (x (k)) Cauchy di X jika dan hanya jika untuk setiap {i 2,..., i n } {,..., d}. lim k,l x (k) x (l), b i 2,..., b in = Proof. Dapat dibuktikan dengan cara membuktikan lemma 3.0 Akibatnya diperoleh bahwa, Akibat 3.. Barisan (x (k)) konvergen ke x di X jika dan hanya jika lim x (k) x, b i2,..., b in = 0, {i 2,...,i n} {,...,d} dan barisan (x (k)) Cauchy di X jika dan hanya jika lim x (k) x (l), b i2,..., b in = 0. k,l {i 2,...,i n} {,...,d} Proof. Tanpa mengurangi keumuman, hanya akan ditunjukkan arah ( =). Menurut Lemma 3.9 dan Lemma 3.0, serta fakta bahwa untuk setiap y 2, y 3,..., y n X. Diperoleh x (k) x, y 2, y 3,..., y n d (α 2 ) i2 i 2= [ [ d... i n= (α n ) in x (k) x, b i2, b i3,..., b in Jika k, maka diperoleh ruas kiri bernilai nol. Dengan demikian (x (k)) konvergen ke x di X. Selanjutnya perhatikan pula bahwa, x (k) x (l), y 2, y 3,..., y n d (α2 ) i2 i 2= [ [ d... i n=.... (αn ) in x (k) x (l), bi2, b i3,..., b in Jika k, l, diperoleh ruas kanan bernilai nol mengakibatkan ruas kiri bernilai nol. Dengan demikian (x (k)) Cauchy di X.....
6 00 Burhan, JMI Vol 3 No 2 Okt 207, pp ,doi:0.2498/jmi.v3.n Selanjutnya diperoleh fakta bahwa dapat didefinsikan norm yang diturunkan dari norm-n yang berhubungan dengan basis {b, b 2,..., b d }. Proposisi 3.2. Misalkan {b, b 2,..., b d } adalah basis bagi X, maka x n = x, b i2,..., b in adalah norm di X. {i 2,...,i n} {,...,d} Proof. Tanpa mengurangi keumuman, cukup ditunjukkan Sifat dari definisi norm. Ambil sembarang x, y X dan α R, akan ditunjukkan bahwa x n = 0 jika dan hanya jika x = 0. ( =) Diketahui x = 0, perhatikan 0 n = 0, b i2,..., b in. {i 2,...,i n} {,...,d} Karena 0 bergantung linear terhadap setiap b, b 2,..., b d, maka 0, b i2,..., b in = 0 untuk setiap {i 2,..., i n } {,..., d}. Maka 0 n = 0. (= ) Diketahui bahwa x n hanya dipenuhi oleh = 0, maka {i 2,...,i n} {,...,d} x, b i2,..., b in = 0 untuk setiap {i 2,..., i n } {,..., d}. x, b i2,..., b in = 0. Akibatnya Yakni x dan b i2,..., b in bergantung linear untuk setiap {i 2,..., i n } {,..., d}. Maka dapat ditulis sebagai kombinasi linear x = α i2 b i α in b in untuk setiap {i 2,..., i n } {,..., d}. Tanpa mengurangi keumuman misalkan x = α b +α 3 b α n b n, apabila kita substitusikan kepada 0 = x, b i2,..., b in = α b + α 3 b α n b n, b 2, b 3,..., b n. Maka menurut sifat norm-n diperoleh α b, b 2, b 3,..., b n = α b, b 2, b 3,..., b n = 0. Karena b, b 2, b 3,..., b n = 0, maka α = 0 = α = 0. Dengan cara yang sama dapat diperoleh bahwa α = α 2 =... = α d = 0, sehingga x = α i2 b i α in b in = 0 untuk setiap {i 2,..., i n } {,..., d}. Selanjutnya dengan membuktikan sifat - sifat norm yang lain dapat ditunjukkan bahwa x n adalah norm di X. Apabila kita memilih basis yang lain, hal tersebut tidak terlalu berpengaruh terhadap norm yang dibentuk, karena di X yang berdimensi hingga (d n) sembarang norm ekuivalen dengan norm yang lain. Perhatikan bahwa secara umum untuk p <, Dapat didefinisikan fungsi p di X dengan bentuk p x n p = x, b i2,..., b in p. {i 2,...,i n} {,...,d} Dapat diperiksa pula bahwa n p merupakan norm di X. Akhirnya diperoleh penulisan yang berbeda dari Akibat 3. dengan menggunakan norm n. Akibat 3.3. Barisan (x (k)) konvergen ke x di X jika dan hanya jika lim x (k) x n = 0, dan barisan (x (k)) Cauchy di X jika dan hanya jika lim x (k) x k,l (l) n = 0.
7 Ruang Norm-n Berdimensi Hingga 0 Proof. Gunakan definisi n dan Akibat Norm yang diturunkan dari norm-n dan n buah vektor bebas linear. Bagian ini membahas mengenai pendefinisian norm yang diturunkan dari norm-n dan n buah vektor bebas linear di X. Sebelumnya akan dibahas mengenai beberapa fakta yang diperoleh berkenaan dengan himpunan bebas linear. Lemma 3.4. Jika barisan (x (k)) konvergen ke x di X maka lim x (k) x, a i 2,..., a in = 0 untuk setiap {i 2,..., i n } {,..., n}, dimana {a,..., a n } bebas linear. Proof. Barisan (x (k)) konvergen ke x di X, untuk setiap y 2, y 3,..., y n X, berlaku lim x (k) x, y 2, y 3,..., y n = 0. Akibatnya karena a,..., a n X, maka diperoleh lim x (k) x, a i 2,..., a in = 0 untuk setiap {i 2,..., i n } {,..., n}. Lemma 3.5. Jika barisan (x (k)) Cauchy di X maka lim x (k) x (l), a i 2,..., a in = 0 k,l untuk setiap {i 2,..., i n } {,..., n}, dimana {a,..., a n } bebas linear. Proof. Misalkan (x (k)) Cauchy di X, maka untuk setiap y 2, y 3,..., y n X, berlaku lim x (k) x (l), y 2, y 3,..., y n = 0. k,l Akibatnya karena a,..., a n X, maka diperoleh lim x (k) x (l), a i 2,..., a in = 0 k,l untuk setiap {i 2,..., i n } {,..., n}. Lebih lanjut, akibat kedua lemma sebelumnya maka dapat didefinisikan norm baru yang diturunkan dari norm-n dan himpunan bebas linear {a,..., a n } di X. Proposisi 3.6. Misalkan {a,..., a n } X bebas linear, maka x n = x, a i2,..., a in adalah norm di X. {i 2,...,i n} {,...,n} Proof. Tanpa mengurangi keumuman, hanya akan ditunjukkan pembuktian sifat 3 (Ketaksamaan Segitiga). Pembuktian sifat ke- dari norm dan ke-2 dapat digunakan cara seperti pembuktian norm n. Ambil sembarang x, y X dan α R. Akan ditunjukan bahwa n memenuhi sifat-sifat dari definisi norm. Akan ditunjukkan bahwa x + y n x n + y n.
8 02 Burhan, JMI Vol 3 No 2 Okt 207, pp ,doi:0.2498/jmi.v3.n () Karena norm-n mempunyai sifat ketaksamaan segitiga, maka diperoleh x + y n = x + y, a i2,..., a in = {i 2,...,i n} {,...,n} {i 2,...,i n} {,...,n} {i 2,...,i n} {,...,n} = x n + y n. { x, a i2,..., a in + y, a i2,..., a in } x, a i2,..., a in + {i 2,...,i n} {,...,d} y, a i2,..., a in Jadi x n adalah norm di X. Dengan menggunakan norm n, maka Lemma 3.4 dan Lemma 3.5 dapat ditulis sebagai berikut, Akibat 3.7. Jika barisan (x (k)) konvergen ke x di X maka lim x (k) x n = 0 dan jika barisan (x (k)) Cauchy di X maka lim x (k) x (l) n = 0. k,l Proof. Gunakan definisi n dan akibat dari Lemma 3.4 dan Lemma 3.5. Teorema 3.8. Setiap ruang norm (X, ) berdimensi hingga merupakan ruang Banach. Proof. Lihat [ Hubungan ruang norm-n dan ruang norm berdimensi hingga. Seperti halnya dengan pembahasan pada Bab 3 bahwa semua norm pada X yang berdimensi hingga (d n) adalah ekuivalen. Kita peroleh bahwa norm x n ekuivalen dengan norm x n di X. Proposisi 3.9. Norm n ekuivalen dengan norm n di X. Proof. Lihat Teorema mengenai ekivalensi norm pada ruang berdimensi hingga di [5. Berdasarkan hasil di atas dan hubungan yang diperoleh pada pembahasan sebelumnya dapat diperoleh beberapa fakta, antara lain. Lemma Misalkan (x (k)) barisan di X dan x X, maka () Barisan (x (k)) konvergen ke x di (X,,..., ) jika dan hanya jika barisan (x (k)) konvergen ke x di (X, n ). (2) Barisan (x (k)) Cauchy di (X,,..., ) jika dan hanya jika barisan (x (k)) Cauchy di (X, n ). Proof. Gunakan Akibat 3.3. Lemma 3.2. Misalkan (x (k)) barisan di X dan x X, maka () Barisan (x (k)) konvergen ke x di (X, n ) jika dan hanya jika barisan (x (k)) konvergen ke x di ( ). (2) ( Barisan (x (k)) Cauchy di (X, n ) jika dan hanya jika barisan (x (k)) Cauchy di X, n ). Proof. Misalkan (x (k)) barisan di X dan x X, () (= ) Misalkan Barisan (x (k)) konvergen ke x di (X, n ). Karena norm n ekuivalen dengan norm n di X, maka untuk setiap y X terdapat a, b > 0 sehingga a y n y n b y n. Perhatikan bahwa x (k) x n b x (k) x n. Jika k, maka ruas kanan bernilai nol mengakibatkan x (k) x n = 0. Dengan demikian (x (k)) konvergen ke x di ( ).
9 Ruang Norm-n Berdimensi Hingga 03 ( =) Dibuktikan dengan cara yang serupa dan fakta bahwa x (k) x n a x (k) x n untuk setiap k N. (2) Pembuktian dapat dilakukan dengan langkah seperti pembuktian barisan konvergen di atas. Berdasarkan kedua hal di atas disimpulkan lemma pun terbukti. Akibat Misalkan (x (k)) barisan di X dan x X, maka () Barisan (x (k)) konvergen ke x di (X,,..., ) jika dan hanya jika barisan (x (k)) konvergen ke x di ( ). (2) ( Barisan (x (k)) Cauchy di (X,,..., ) jika dan hanya jika barisan (x (k)) Cauchy di X, n ). Proof. Gunakan Lemma 3.20 dan Lemma 3.2. Lebih lanjut, berdasarkan Lemma 3.20, Lemma 3.2, dan Akibat 3.22 maka hubungan kekonvergenan barisan di ruang norm dan di ruang norm-n berdimensi hingga digambarkan dalam diagram berikut, Gambar. Diagram hubungan kekonvergenan barisan di ruang norm dan di ruang norm-n Teorema Titik Tetap. Pada bagian ini akan dibahas hasil utama yang diperoleh, yaitu Teorema Titik Tetap di ruang norm-n berdimensi hingga, dimulai dengan Lemma di bawah ini. Lemma Ruang (X,,..., ) berdimensi hingga (d n) adalah ruang Banach-n. Proof. Untuk membuktikan lema tersebut, dapat digunakan Akibat Misalkan (x (k)) barisan di X dan x X. Ambil (x (k)) barisan Cauchy di (X,,..., ) menurut Akibat 3.22, maka (x (k)) barisan Cauchy di ( ) (. Karena X, n ) adalah ruang Banach (akibat Teorema 3.8), maka (x (k)) konvergen di ( ) (. Sebut x (k) x X, n ), sehingga menurut Akibat 3.22 pula (x (k)) konvergen ke x di (X,,..., ). Karena (x (k)) Cauchy dan konvergen ke x di (X,,..., ), dengan demikian kita simpulkan (X,,..., ) ruang Banachn. Teorema (Teorema Titik Tetap) Misalkan {a,..., a n } X himpunan bebas linear dan T adalah pemetaan kontraktif pada X sehingga T x T y, a i2,..., a in C x y, a i2,..., a in untuk setiap x, y X dan {i 2,..., i n } {,..., n}, dimana C (0, ). Maka T memiliki titik tetap yang tunggal di X. Proof. Menurut Teorema 3.8 ( ) adalah ruang Banach. Selanjutnya dengan menggunakan norm n yang diturunkan dari norm-n dan himpunan bebas linear {a,..., a n },
10 04 Burhan, JMI Vol 3 No 2 Okt 207, pp ,doi:0.2498/jmi.v3.n pemetaan T memenuhi T x T y n = = C {i 2,...,i n} {,...,n} {i 2,...,i n} {,...,n} {i 2,...,i n} {,...,n} T x T y, a i2,..., a in C x y, a i2,..., a in x y, a i2,..., a in = C x y n untuk setiap x, y X. Jadi T kontraktif terhadap norm n. Karena ( ) adalah ruang Banach, sehingga menurut Teorema Titik Tetap untuk ruang Banach T mempunyai titik tetap yang tunggal di X. 4. Simpulan Ruang norm-n secara umum memiliki sifat-sifat yang tak berbeda jauh dengan ruang norm. Kekonvergenan barisan, barisan Cauchy, dan kelengkapan dapat didefinisikan di dalamnya. Pada makalah ini telah dibuktikan bahwa ruang norm-n (X,,..., ) berdimensi hingga adalah ruang Banach-n dengan memanfaatkan hubungan kekonvergenan barisan di ruang normn (X,,..., ) dan di ruang norm ( ). Lebih lanjut, dengan metode yang sama telah dibuktikan pula Teorema Titik Tetap di ruang norm-n (X,,..., ) berdimensi hingga yang merupakan perbaikan dari Teorema Titik Tetap versi Gunawan dan Mashadi [4. Dengan merubah hipotesis teorema yang pada awalnya menggunakan untuk setiap x, x 2,..., x n X menjadi himpunan sembarang himpunan bebas linear {a,..., a n }. Ucapan Terimakasih. Isi makalah ini dapat diselesaikan atas bimbingan Prof. Hendra Gunawan pada saat Moh. Januar Ismail menyelesaikan master di ITB dan dapat dipublikasikan setelah berada di Institut Teknologi Kalimantan. Daftar Pustaka [ Ekariani., S. dan Gunawan., H., 202, Teorema titik tetap pada ruang norm-n standar, Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP). Vol. 4 No., Juni 202, hal [2 Gunawan., H., 200, The space of p-summable sequences and its natural n-norm, Bull. Austral. Math. Soc. 64, [3 Gunawan., H. and Mashadi., M., 200, On finite-dimensional 2-normed space, Soochow J. Math. 27, [4 Gunawan., H. and Mashadi., M., 200, On n-normed spaces, Int. J. Math. Sci. 27, [5 Kreyszig., E., 978, Introductory Functional Analysis with Application, John Wiley & Sons Inc, New York.
Teorema Titik Tetap di Ruang Norm-2 Standar
Teorema Titik Tetap di Ruang Norm- Standar Muh. Nur Universitas Hasanuddin Abstract Pada tulisan ini, akan dipelajari ruang norm- standar, yakni ruang hasil kali dalam yang dilengkapi dengan norm- standar.
Lebih terperinciTEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG NORM-n STANDAR. Shelvi Ekariani KK Analisis dan Geometri FMIPA ITB
JMP : Volume 4 Nomor, Juni 0, hal. 69-77 TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG NORM-n STANDAR Shelvi Ekariani KK Analisis dan Geometri FMIPA ITB shelvi_ekariani@students.itb.ac.id Hendra Gunawan KK Analisis dan
Lebih terperinciKelengkapan Ruang l pada Ruang Norm-n
Jurnal Matematika, Statistika,& Komputasi Vol.... No... 20... Kelengkapan Ruang l pada Ruang Norm-n Meriam, Naimah Aris 2, Muh Nur 3 Abstrak Rumusan norm-n pada l merupakan perumuman dari rumusan norm-n
Lebih terperinciRuang Norm-2 dan Ruang Hasil Kali Dalam-2
Jurnal Matematika Integratif ISSN 4-684 Volume 0 No, Oktober 04, pp 39-45 Ruang Norm- dan Ruang Hasil Kali Dalam- J.Manuhutu, Y.A.Lesnussa, H. Batkunde JurusanMatematika Fakultas MIPA UniversitasPattimura
Lebih terperinciKAJIAN KONSEP RUANG NORMA-2 DENGAN DOMAIN PEMETAAN BERUPA RUANG BERDIMENSI HINGGA
Jurnal Matematika Murni dan Teraan εsilon Vol. 07, No.01, 013), Hal. 13 0 KAJIAN KONSEP RUANG NORMA- DENGAN DOMAIN PEMETAAN BERUPA RUANG BERDIMENSI HINGGA Wahidah 1 dan Moch. Idris 1, Program Studi Matematika
Lebih terperinciTEOREMA TITIK TETAP DI RUANG BARISAN p-summable DALAM NORM-n
TEOREMA TITIK TETAP DI RUANG BARISAN p-summable DALAM NORM-n Anwar Mutaqin dan Indiana Marethi Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sultan Ageng Tirtayasa
Lebih terperinciKekontraktifan Pemetaan pada Ruang Metrik Kerucut
Jurnal Matematika Integratif ISSN 1412-6184 Vol 9 No 2, Oktober 2013 pp 53-57 Kekontraktifan Pemetaan pada Ruang Metrik Kerucut Badrulfalah dan Iin Irianingsih Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas
Lebih terperinciKetaksamaan Cauchy-Schwarz, Ketaksamaan Bessel, dan Kesamaan Parseval di Ruang n-hasilkali Dalam Baku. Hendra Gunawan
Ketaksamaan Cauchy-Schwarz, Ketaksamaan Bessel, dan Kesamaan Parseval di Ruang n-hasilkali Dalam Baku Hendra Gunawan Departemen Matematika, ITB, Bandung 40132 hgunawan@dns.math.itb.ac.id 1 Abstrak Beberapa
Lebih terperinciEkuivalensi Norm-n dalam Ruang R d
Jurnal Matematika Statistika & Komputasi 1 Vol No 201 Ekuivalensi Norm-n dalam Ruang R d Taufik Akbar Muh Zakir uh Nur Abstrak Sebuah ruang vektor dapat dilengkapi lebih dari satu buah norm Hal yang sama
Lebih terperinciFUNGSIONAL LINEAR-2 DALAM RUANG NORM-2 2-LINEAR FUNCTIONALS IN 2-NORMED SPACE
Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan Maret 016 Volume 10 Nomor 1 Hal. 1 7 FUNGSIONAL LINEAR- DALAM RUANG NORM- Harmanus Batkunde 1, Meilin I. Tilukay dan F. Y. Rumlawang 3 1,,3 Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lebih terperinciTEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG BERNORMA CONE BERNILAI-
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 1 TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG BERNORMA CONE BERNILAI- Hajar Grestika Murti, Erna Apriliani, Sunarsini Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT HIMPUNAN PROXIMINAL
Prima: Jurnal Pendidikan Matematika Vol. 2, No. 1, Januari 2018, hal. 49-56 P-ISSN: 2579-9827, E-ISSN: 2580-2216 SIFAT-SIFAT HIMPUNAN PROXIMINAL Arta Ekayanti Universitas Muhammadiyah Ponorogo, Jl. Budi
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruang Metrik Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh aksioma-aksioma tertentu. Ruang metrik merupakan hal yang fundamental dalam analisis fungsional,
Lebih terperinciKetunggalan titik Tetap Pemetaan Kondisi Tipe Kontraktif pada Ruang Banach
Ketunggalan titik Tetap Pemetaan Kondisi Tipe Kontraktif pada Ruang Banach Badrulfalah 1,Khafsah Joebaedi 2 1 Departemen Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran badrulfalah@gmail.com 2 Departemen Matematika
Lebih terperinciUNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Ruang Norm Sumanang Muhtar Gozali UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Definisi. Misalkan suatu ruang vektor atas. Norm pada didefinisikan sebagai fungsi. : yang memenuhi N1. 0 N2. 0 0 N3.,, N4.,, Kita dapat
Lebih terperinciKEKONVERGENAN LEMAH PADA RUANG HILBERT
KEKONVERGENAN LEMAH PADA RUANG HILBERT Moch. Ramadhan Mubarak 1), Encum Sumiaty 2), Cece Kustiawan 3) 1), 2), 3) Departemen Pendidikan Matematika FPMIPA UPI *Surel: ramadhan.101110176@gmail.com ABSTRAK.
Lebih terperinciITERASI TIGA LANGKAH PADA PEMETAAN ASIMTOTIK NON- EKSPANSIF
ITERASI TIGA LANGKAH PADA PEMETAAN ASIMTOTIK NON- EKSPANSIF Agung Anggoro, Siti Fatimah 1, Encum Sumiaty 2 Departemen Pendidikan Matematika FPMIPA UPI *Surel: agung.anggoro@student.upi.edu ABSTRAK. Misalkan
Lebih terperinciEdisi Juni 2011 Volume V No. 1-2 ISSN SIFAT-SIFAT RUANG HASIL KALI DALAM-n KOMPLEKS
SIFAT-SIFAT RUANG HASIL KALI DALAM-n KOMPLEKS Sri Maryani Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknik Universitas Jenderal Soedirman, Purwokerto Email : sri.maryani@unsoed.ac.id Abstract Inner
Lebih terperinciPENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL
PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat
Lebih terperinciKonvergensi Barisan dan Teorema Titik Tetap
JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 5 No. (016) 337-350 (301-98X Print) A-59 Konvergensi Barisan dan Teorema Titik Tetap pada Ruang b-metrik Cahyaningrum Rahmasari, Sunarsini, dan Sadjidon Jurusan Matematika,
Lebih terperinciBeberapa Sifat Operator Self Adjoint dalam Ruang Hilbert
Vol 12, No 2, 153-159, Januari 2016 Beberapa Sifat Operator Self Adjoint dalam Ruang Hilbert Firman Abstrak Misalkan adalah operator linier dengan adalah ruang Hilbert Pada operator linier dikenal istilah
Lebih terperinciJMP : Volume 1 Nomor 1, April 2009 KETAKSAMAAN CAUCHY SCHWARZ PADA RUANG HASIL KALI DALAM-2
JMP : Volume Nomor April 009 KETAKSAMAAN CAUCHY SCHWARZ PADA RUANG HASIL KALI DALAM- Sri Marani Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Tekink Universitas Jenderal Soedirman Purwokerto Email : srimar_math_97@ahoo.com
Lebih terperinciORTOGONALITAS-P DI RUANG NORM-n
ORTOGONALITAS-P DI RUANG NORM-n Mohammad Mahfuzh Shiddiq Program Studi Matematika FMIPA Universitas Lambung Mangkurat mmahfuzhs@gmail.com ABSTRAK Konsep ortogonalitas di ruang norm mempunyai banyak definisi
Lebih terperinciBEBERAPA KONSEP ORTOGONALITAS DI RUANG NORM
Final Draft 1 Desember 2005 BEBERAPA KONSEP ORTOGONALITAS DI RUANG NORM Hendra Gunawan, Nursupiamin, dan Eder Kikianty Ortogonalitas merupakan salah satu konsep penting di ruang hasilkali dalam. Dalam
Lebih terperinciBAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT. Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi
BAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT 3.1 Operator linear Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi real yaitu suatu fungsi dari ruang vektor ke ruang vektor. Ruang
Lebih terperinciORTOGONALITAS DI RUANG BERNORM
ORTOGONALITAS DI RUANG BERNORM Oleh: Nursupiamin Dosen Prodi Matematika STAIN Palopo Abstrak : Ortogonalitas merupakan salah satu konsep yang penting di ruang hasil kali dalam. Sementara itu, ortogonalitas
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan
II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan penelitian ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian dan akan mempermudah
Lebih terperinciINTERVAL KEKONTRAKTIFAN PEMETAAN PADA RUANG BANACH. Badrulfalah 1, Khafsah Joebaedi. 2.
Eksakta Vol.18 No.2 Oktober 2017 http://eksakta.ppj.unp.ac.id E-ISSN : 2549-7464 P-ISSN : 1411-3724 INTERVAL KEKONTRAKTIFAN PEMETAAN PADA RUANG BANACH Badrulfalah 1, Khafsah Joebaedi. 2 1) Departemen Matematika,
Lebih terperinciPEMETAAN KONTRAKTIF LEMAH MULTIVALUED DI RUANG METRIK PARSIAL
Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 9 No. 2, Desember 2017, hal. 1-10 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN (Online) : 2550-0422; https://jmpunsoed.com/ PEMETAAN KONTRAKTIF LEMAH MULTIVALUED
Lebih terperinciSifat Barisan Subhimpunan Tutup di Ruang Metrik yang Completion-nya adalah Ruang Atsuji
Sifat Barisan Subhimpunan Tutup di Ruang Metrik yang Completion-nya adalah Ruang Atsuji Hendy Fergus A. Hura 1, Nora Hariadi 2, Suarsih Utama 3 1 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424,
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. September 12, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. September 12, 2011 Teorema 11 pada Bab 3 memberi kita cara untuk menyelidiki kekonvergenan sebuah barisan tanpa harus mengetahui
Lebih terperinciDaftar Isi 5. DERET ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB September 26, 2011
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. September 26, 2011 Diberikan sejumlah terhingga bilangan a 1,..., a N, kita dapat menghitung jumlah a 1 + + a N. Namun,
Lebih terperinciEksistensi Dan Ketunggalan Titik Tetap Untuk Pemetaan Kontraktif Pada Ruang Metrik-G Komplit
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 Eksistensi Dan Ketunggalan Titik Tetap Untuk Pemetaan Kontraktif Pada Ruang Metrik-G Komplit Nurul Huda Matematika FMIPA Universitas Lambung
Lebih terperinciREPRESENTASI FUNGSIONAL-2 DI l p. Yosafat Eka Prasetya Pangalela Institut Teknologi Bandung
JMP : Volume 4 Nomor, Juni 202, hal. 23-29 REPRESENTASI FUNGSIONAL-2 DI l Yosafat Eka Prasetya Pangalela Institut Teknologi Bandung matrix_ye@yahoo.co.id Hendra Gunawan Institut Teknologi Bandung ABSTRACT.
Lebih terperinciREFLEKSIVITAS PADA RUANG ORLICZ DENGAN KEKONVERGENAN RATA-RATA
REFLEKSIVITAS PADA RUANG ORLICZ DENGAN KEKONVERGENAN RATA-RATA Mila Apriliani Utari, Encum Sumiaty, Sumanang Muchtar Departemen Pendidikan Matematika FPMIPA Universitas Pendidikan Indonesia *Coresponding
Lebih terperinciISSN: X 35 SEMI HASIL KALI DALAM ATAS DAN BAWAH
ISSN: 2088-687X 35 SEMI HASIL KALI DALAM ATAS DAN BAWAH Febi Sanjaya Program Studi Pendidikan Matematika FKIP USD Paingan, Maguwoharjo, Depok, Sleman, Yogyakarta, febi@usdacid ABSTRAK Konsep hasil kali
Lebih terperinciFOURIER Oktober 2014, Vol. 3 No. 2, KONSEP DASAR RUANG METRIK CONE. Yogyakarta
FOURIER Oktober 014, Vol. 3 No., 146 166 KONSEP DASAR RUANG METRIK CONE A. Rifqi Bahtiar 1, Muchammad Abrori, Malahayati 3 1,, 3 Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sunan Kalijaga
Lebih terperinciBAB 2 RUANG HILBERT. 2.1 Definisi Ruang Hilbert
BAB 2 RUANG HILBERT Pokok pembicaraan kita dalam tugas akhir ini berpangkal pada teori ruang Hilbert. Untuk itu di bab ini akan diberikan definisi ruang Hilbert dan ciri-cirinya, separabilitas ruang Hilbert,
Lebih terperinciTRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH
TRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH Nur Aeni, S.Si., M.Pd Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM nuraeniayatullah@gmail.com ABSTRAK Info: Jurnal MSA Vol. 2 No. 1 Edisi: Januari Juni
Lebih terperinciAnalisis Fungsional. Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Analisis Fungsional Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Lingkup Materi Ruang Metrik dan Ruang Topologi Kelengkapan Ruang Banach Ruang Hilbert
Lebih terperinciKESTABILAN PERSAMAAN FUNGSIONAL JENSEN.
KESTABILAN PERSAMAAN FUNGSIONAL JENSEN Hilwin Nisa, Hairur Rahman, 3 Imam Sujarwo Jurusan Matematika, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang jurusan Matematika, Universitas Islam Negeri
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3. Topologi Garis Bilangan Real 3.1 Teori Limit Limit, supremum, dan infimum Titik limit 3.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup 3.3
Lebih terperinciSUATU KAJIAN TITIK TETAP PEMETAAN k-pseudononspreading SEJATI DI RUANG HILBERT
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 1 Hal. 52 60 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND SUATU KAJIAN TITIK TETAP PEMETAAN k-pseudononspreading SEJATI DI RUANG HILBERT DESI RAHMADANI Program Studi
Lebih terperinciSYARAT SYARAT FUNGSI DI RUANG METRIK AGAR RUANG METRIKNYA MEMILIKI ATSUJI COMPLETION
SYARAT SYARAT FUNGSI DI RUANG METRIK AGAR RUANG METRIKNYA MEMILIKI ATSUJI COMPLETION Azki Nuril Ilmiyah Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok 16424 azki.nuril@ui.ac.id ABSTRAK Nama Program Studi
Lebih terperinciPROSIDING SEMINAR NASIONAL STATISTIKA UNIVERSITAS DIPONEGORO 2013 ISBN: DUA TIPE PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK CONE
DUA TIPE PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK CONE Mohammad Mahfuzh Shiddiq 1 1) Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Abstract Meir and Keeler introduced type of contraction
Lebih terperinciBAB III KEKONVERGENAN LEMAH
BAB III KEKONVERGENAN LEMAH Bab ini membahas inti kajian tugas akhir. Di dalamnya akan dibahas mengenai kekonvergenan lemah beserta sifat-sifat yang terkait dengannya. Sifatsifat yang dikaji pada bab ini
Lebih terperinciBIMODUL-C* HILBERT. Oleh: Raden Muhammad Hadi. Departemen Pendidikan Matematika, Universitas Pendidikan Indonesia
BIMODUL-C* HILBERT Oleh: Raden Muhammad Hadi hadimaster65555@gmail.com Departemen Pendidikan Matematika, Universitas Pendidikan Indonesia Agustus 2015 Dosen Pembimbing : Rizky Rosjanuardi dan Isnie Yusnitha
Lebih terperinci1. PENDAHULUAN 2. METODE PENELITIAN 3. HASIL DAN PEMBAHASAN. Abstrak
Kajian mengenai Konstruksi Aljabar Simetris Kiri Menggunakan Fungsi Linier Sofwah Ahmad Departemen Matematika FMIPA UI Kampus UI Depok 16424 sofwahahmad@sciuiacid Abstrak Aljabar merupakan suatu ruang
Lebih terperinciKAJIAN TEOREMA TITIK TETAP PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK CONE LENGKAP DENGAN JARAK-W
J. Math. and Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 8, No. 2, November 2011, 43 49 KAJIAN TEOREMA TITIK TETAP PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK CONE LENGKAP DENGAN JARAK-W Sunarsini. 1, Sadjidon 2 Jurusan
Lebih terperinciFOURIER Oktober 2014, Vol. 3, No. 2, KONSEP FUNGSI SEMIKONTINU. Malahayati 1
FOURIER Oktober 2014, Vol. 3, No. 2, 117 132 KONSEP FUNGSI SEMIKONTINU Malahayati 1 1 Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Jl. Marsda Adisucipto No. 1 Yogyakarta 55281
Lebih terperinciKEKONVERGENAN BARISAN DI RUANG HILBERT PADA PEMETAAN TIPE-NONSPREADING DAN NONEXPANSIVE
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 1 Hal. 42 51 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND KEKONVERGENAN BARISAN DI RUANG HILBERT PADA PEMETAAN TIPE-NONSPREADING DAN NONEXPANSIVE DEBI OKTIA HARYENI
Lebih terperinciTITIK TETAP NADLR FUNGSI MULTI NILAI KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK ( ) Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60111
TITIK TETAP NADLR FUNGSI MULTI NILAI KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK ( ) Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60111 Abstract. In this paper was discussed about Nadlr fixed
Lebih terperinciRUANG LIPSCHITZ. Departemen Pendidikan Matematika FPMIPA UPI. *Surel: : (, ) Ϝ
RUANG LIPSCHITZ Muhammad Rifqi Agustian 1), Rizky Rosjanuardi 2), Endang Cahya 3) 1), 2), 3) Departemen Pendidikan Matematika FPMIPA UPI *Surel: Muhammadrifqyagustian@yahoo.co.id ABSTRAK. Diberikan ruang
Lebih terperinciTEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG ULTRAMETRIK DISKRIT
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol 2, No1, (2014) 2337-3520 (2301-928X Print) 1 TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG ULTRAMETRIK DISKRIT Wihdatul Ummah, Sunarsini dan Sadjidon Jurusan Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Integral merupakan salah satu konsep penting dalam matematika dan banyak aplikasinya. Dalam kehidupan sehari-hari integral dapat diaplikasikan dalam berbagai
Lebih terperinciEKSISTENSI TITIK TETAP DARI SUATU TRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH
EKSISTENSI TITIK TETAP DARI SUATU TRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH Nur Aeni Prodi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM nuraeniayatullah@gmailcom Info: Jurnal MSA Vol 3 No 1 Edisi: Januari
Lebih terperinciHasil Kali Dalam Berbobot pada Ruang L p (X)
Hasil Kali Dalam Berbobot ada Ruang L () Muhammad Jakfar, Hendra Gunawan, Mochammad Idris 3 Universitas Negeri Surabaya, muhammadjakfar@unesa.ac.id Institut Teknologi Bandung, hgunawan@math.itb.ac.id 3
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 3, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. October 3, 2011 6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak Hingga Bila sebelumnya kita mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciTeorema Titik Tetap Pada Ruang Ultrametrik Diskrit
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol 3, No2, (2014) 2337-3520 (2301-928X Print) A-58 Teorema Titik Tetap Pada Ruang Ultrametrik Diskrit Wihdatul Ummah, Sunarsini dan Sadjidon Jurusan Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciIntegral Baire-1 Stieltjes, Henstock-Stieltjes dan Riemann-Stieltjes. The Stieltjes Integrals of Baire-1, Henstock and Riemann
Integral Baire-1 Stieltjes, Henstock-Stieltjes dan Riemann-Stieltjes Kalfin D Muchtar 1, Jullia Titaley 2, Mans L Mananohas 3 1 Program Studi Matematika, FMIPA, UNSRAT Manado, kalfin_muchtar@yahoocom 2
Lebih terperinciADLN Perpustakaan Universitas Airlangga SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK SKRIPSI SITI MAISYAROH
SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK SKRIPSI SITI MAISYAROH PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2012 SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK SKRIPSI Sebagai
Lebih terperinciFUNGSI COMPUTABLE. Abstrak
FUNGSI COMPUTABLE Ahmad Maimun 1, Suarsih Utama. 1, Sri Mardiyati 1 1 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok 16424 ahmad.maimun90@gmail.com, suarsih.utama@sci.ui.ac.id, sri_math@sci.ui.ac.id
Lebih terperinciDASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT
DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor kompleks V disebut ruang hasilkali dalam jika ada fungsi (.,.) : V V C sehingga untuk setiap x, y, z
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Seiring dengan perkembangan zaman, banyak sekali topik matematika khususnya dalam bidang analisis fungsional yang mengalami perluasan, seperti: ruang vektor,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Integral Lebesgue merupakan suatu perluasan dari integral Riemann.
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Integral Lebesgue merupakan suatu perluasan dari integral Riemann. Sebagaimana telah diketahui, pengkonstruksian integral Riemann dilakukan dengan cara pemartisian
Lebih terperinciSIFAT P-KONVEKS PADA RUANG FUNGSI MUSIELAK-ORLICZ TYPE BOCHNER. Yulia Romadiastri
Jurnal Matematika Murni dan Terapan εpsilon Vol. 07, No.01, 013, Hal. 1 1 SIFAT P-KONVEKS PADA RUANG FUNGSI MUSIELAK-ORLICZ TYPE BOCHNER Yulia Romadiastri Program Studi Tadris Matematika Fakultas Tarbiyah
Lebih terperinciINTEGRAL RIEMANN-LEBESGUE
INTEGRAL RIEMANN-LEBESGUE Ikram Hamid Program Studi Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam FKIP Universitas Khairun ABSTRACT In this paper, we discuss a Riemann-type
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Dalam bab ini akan dibahas beberapa konsep mendasar meliputi ruang vektor,
II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas beberapa konsep mendasar meliputi ruang vektor, ruang Bernorm dan ruang Banach, ruang barisan, operator linear (transformasi linear) serta teorema-teorema
Lebih terperinciKONVERGENSI DAN KELENGKAPAN PADA RUANG QUASI METRIK
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol 2, No 1, (2013) 1-6 1 KONVERGENSI DAN KELENGKAPAN PADA RUANG QUASI METRIK Fikri Firdaus, Sunarsini, Sadjidon Jurusan Matematika, Fakultas Matematika Ilmu Pengetahuan Alam,
Lebih terperinciFUNGSI DELTA DIRAC. Marwan Wirianto 1) dan Wono Setya Budhi 2)
INTEGRAL, Vol. 1 No. 1, Maret 5 FUNGSI DELTA DIRAC Marwan Wirianto 1) dan Wono Setya Budhi ) 1) Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Katolik Parahyangan, Bandung
Lebih terperinciSIFAT TITIK TETAP PADA RUANG METRIK SKRIPSI
SIFAT TITIK TETAP PADA RUANG METRIK SKRIPSI Untuk memenuhi sebagian persyaratan guna mencapai derajat sarjana S-1 Program Studi Matematika diajukan oleh Dika Ardian Susanto Putra 11610017 Kepada Program
Lebih terperinciPEMETAAN KONTRAKSI CIRIC-MATKOWSKI PADA RUANG METRIK TERURUT. Mariatul Kiftiah
PEMETAAN KONTRAKSI CIRIC-MATKOWSKI PADA RUANG METRIK TERURUT Mariatul Kiftiah Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Tanjungpura Jl. Prof. Dr. H. Hadari Nawawi, Pontianak, Kalimantan Barat
Lebih terperinciKEKONVERGENAN MSE PENDUGA KERNEL SERAGAM FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
KEKONVERGENAN MSE PENDUGA KERNEL SERAGAM FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT Ro fah Nur Rachmawati Mathematics & Statistics Department, School of Computer Science, Binus
Lebih terperinciBEBERAPA TEOREMA TITIK TETAP UNTUK PEMETAAN NONSELF. Kata kunci : pemetaan nonexpansive, pemetaan condensing, pemetaan kompak.
BEBERAPA TEOREMA TITIK TETAP UNTUK PEMETAAN NONSELF Oleh: Rindang Kasih Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UNIVET Sukoharjo Jl. Letjend Sujono Humardani No.1 Kampus Jombor Sukoharjo, e-mail: Rindang_k@yahoo.com
Lebih terperinciANALISIS TITIK TETAP SET- VALUED FUNCTION MENGGUNAKAN METRIK HAUSDORFF TESIS
UNIVERSITAS INDONESIA ANALISIS TITIK TETAP SET- VALUED FUNCTION MENGGUNAKAN METRIK HAUSDORFF TESIS SAGITA CHAROLINA SIHOMBING 1006786266 FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Permasalahan
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Permasalahan Ilmu pengetahuan merupakan hal yang mengalami perkembangan secara terus-menerus. Diantaranya teori integral yaitu ilmu bidang matematika analisis yang
Lebih terperinciKarakteristik Koproduk Grup Hingga
Jurnal Matematika Integratif ISSN 1412-6184 Vol. 9 No. 2, Oktober 2013 pp. 31-37 Karakteristik Koproduk Grup Hingga Edi Kurniadi, Stanley P.Dewanto, Alit Kartiwa Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran
Lebih terperinciANALISA KETUNGGALAN TITIK TETAP PADA PEMETAAN KONTRAKTIF DI RUANG METRIK LENGKAP DENGAN MEMANFAATKAN JARAK-W
ANALISA KETUNGGALAN TITIK TETAP PADA PEMETAAN KONTRAKTIF DI RUANG METRIK LENGKAP DENGAN MEMANFAATKAN JARAK-W Malahayati Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciRENCANA KEGIATAN PERKULIAHAN Kode Mata Kuliah : MAA 526 Nama Mata Kuliah : Analisis Fungsional
Ming gu ke RENCANA KEGIATAN PERKULIAHAN Kode Mata Kuliah : MAA 56 Nama Mata Kuliah : Analisis Fungsional T o p i k S u b T o p i k 1. Ruang Banach - Ruang metrik - Ruang vektor bernorm - Barisan di ruang
Lebih terperinciANALISIS KEKONVERGENAN PADA BARISAN FUNGSI
34 Jurnal Matematika Vol 6 No 1 Tahun 2017 ANALISIS KEKONVERGENAN PADA BARISAN FUNGSI THE CONVERGENCE ANALYZE ON THE SEQUENCE OF FUNCTION Oleh: Restu Puji Setiyawan 1), Dr. Hartono 2) Program Studi Matematika,
Lebih terperinciDaftar Isi 3. BARISAN ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 29, 2011 Dalam kisah Zeno tentang perlombaan lari antara Achilles dan seekor kura-kura, ketika Achilles mencapai
Lebih terperinciBEBERAPA KONSEP YANG BERKAITAN PADA RUANG FUZZY BERNORMA DAN RUANG FUZZY BERNORMA-n
JMP : Volume 4 Nomor 1, Juni 2012, hal. 1-21 BEBERAPA KONSEP YANG BERKAITAN PADA RUANG FUZZY BERNORMA DAN RUANG FUZZY BERNORMA-n Mashadi Jurusan Matematika FMIPA Univeristas Riau mash-mat@unri.ac.id ABSTRACT.
Lebih terperinciBARISAN SIMBOL DAN UKURAN INVARIAN FUNGSI MONOTON SEPOTONG-SEPOTONG KONTINU
BARISAN SIMBOL DAN UKURAN INVARIAN FUNGSI MONOTON SEPOTONG-SEPOTONG KONTINU Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60 Abstract. Let g [0 ] [0] is piecewise continuous monotone
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSATAKA
4 II. TINJAUAN PUSATAKA 2.1 Operator Definisi 2.1.1 (Kreyszig, 1989) Suatu pemetaan pada ruang vektor khususnya ruang bernorma disebut operator. Definisi 2.1.2 (Kreyszig, 1989) Diberikan ruang Bernorm
Lebih terperinciHUBUNGAN DERIVASI PRIME NEAR-RING DENGAN SIFAT KOMUTATIF RING
E-Jurnal Matematika Vol 6 (2), Mei 2017, pp 116-123 ISSN: 2303-1751 HUBUNGAN DERIVASI PRIME NEAR-RING DENGAN SIFAT KOMUTATIF RING Pradita Z Triwulandari 1, Kartika Sari 2, Luh Putu Ida Harini 3 1 Jurusan
Lebih terperinci16. BARISAN FUNGSI. 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik
16. BARISAN FUNGSI 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik Bila pada bab-bab sebelumnya kita membahas fungsi sebagai sebuah objek individual, maka pada bab ini dan selanjutnya kita akan
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 2. Konstruksi Bilangan Real 2.1 Barisan Cauchy Motivasi & Definisi 2.2 Sistem Bilangan Real sbg Lapangan Terurut Aritmetika pada bilangan
Lebih terperinciMODUL DAN KEUJUDAN BASIS PADA MODUL BEBAS
MODUL DAN KEUJUDAN BASIS PADA MODUL BEBAS MODULES AND BASES OF FREE MODULES Dian Mardiani Pendidikan Matematika, STKIP Garut Garut, Indonesia Alfid51@yahoo.com Abstrak Penelitian ini membahas beberapa
Lebih terperinciTOPOLOGI RUANG LINEAR
TOPOLOGI RUANG LINEAR Nila Kurniasih Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo Jalan KHA. Dahlan 3 Purworejo e-mail: kurniasih.nila@yahoo.co.id Abstrak Tulisan ini bertujuan
Lebih terperinciKarakteristik Operator Positif Pada Ruang Hilbert
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 05 A - 4 Karakteristik Operator Positif Pada Ruang Hilbert Gunawan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Muhammadiyah Purwokerto gunoge@gmailcom
Lebih terperinciANALISIS NUMERIK LANJUT. Hendra Gunawan, Ph.D. 2006/2007
ANALISIS NUMERIK LANJUT Hendra Gunawan, Ph.D. 2006/2007 BAB I. RUANG LINEAR Pelajari definisi dan contoh: ruang linear (hal. 1-3); subruang (hal. 3); kombinasi linear (hal. 4); bebas/bergantung linear
Lebih terperinciOPERATOR PADA RUANG BARISAN TERBATAS
OPERATOR PADA RUANG BARISAN TERBATAS Muslim Ansori *,Tiryono 2, Suharsono S 2,Dorrah Azis 2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung,2 Jln. Soemantri Brodjonegoro No Bandar Lampung email: ansomath@yahoo.com
Lebih terperinciRumus eksplisit untuk sudut antara dua subruang dari suatu ruang hasilkali dalam 1. Hendra Gunawan 2
Rumus eksplisit untuk sudut antara dua subruang dari suatu ruang hasilkali dalam 1 Hendra Gunawan 2 Departemen Matematika Institut Teknologi Bandung Bandung 40132, Indonesia 1 Dipresentasikan pada Konferensi
Lebih terperinciPROGRAM FRAKSIONAL LINIER DENGAN KOEFISIEN INTERVAL. Annisa Ratna Sari 1, Sunarsih 2, Suryoto 3. Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang
PROGRAM FRAKSIONAL LINIER DENGAN KOEFISIEN INTERVAL Annisa Ratna Sari 1, Sunarsih 2, Suryoto 3 1,2,3 Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang Abstract.
Lebih terperinciMA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun
MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Eudoxus & Lingkaran Fakta bahwa luas lingkaran sebanding dengan kuadrat diameternya dibuktikan* secara rigorous oleh Eudoxus
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Ilmu Matematika merupakan salah satu cabang ilmu yang berperan penting dalam berbagai bidang. Salah satu cabang ilmu matematika yang banyak diperbincangkan
Lebih terperinci11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)
11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 4. Fungsi Kontinu 4.1 Konsep Kekontinuan Fungsi kontinu Limit fungsi dan limit barisan Prapeta himpunan buka 4.2 Sifat-Sifat Fungsi
Lebih terperinciSIFAT KELENGKAPAN RUANG METRIK BERNILAI KOMPLEKS
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pembelajarannya. Jurusan Matematika, FMIPA UM. 13 Agustus 016 SIFAT KELENGKAPAN RUANG METRIK BERNILAI KOMPLEKS Dahliatul Hasanah FMIPA Universitas Negeri Malang
Lebih terperinci