matematika WAJIB Kelas X PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL K-13 A. PENDAHULUAN

Transkripsi

1 K-1 Kelas X matematika WAJIB PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi pertidaksamaan linear satu variabel. 2. Menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel.. Membuat dan menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan linear satu variabel. A. PENDAHULUAN Selain persamaan, pertidaksamaan adalah bentuk lain untuk menyatakan situasi nyata dalam notasi matematika. Pertidaksamaan digunakan untuk membandingkan dua atau lebih nilai besaran. Sebagai contoh, kalimat Badan ayah lebih tinggi dari paman, akan tetapi penghasilan ayah lebih kecil dari paman atau dalam kalimat Pengusaha tersebut mendapatkan keuntungan paling sedikit Rp ,00 per bulan. Kata-kata lebih tinggi, lebih kecil, dan paling sedikit dapat dinyatakan dengan notasi matematika berupa pertidaksamaan sebagai berikut. 1. Kalimat Badan ayah lebih tinggi dari Paman dapat dinyatakan dengan: tinggi ayah > tinggi paman 2. Kalimat Penghasilan ayah lebih kecil dari paman dapat dinyatakan dengan: penghasilan ayah < penghasilan paman. Kalimat Pengusaha tersebut mendapatkan keuntungan paling sedikit Rp ,00 per bulan dapat dinyatakan dengan: penghasilan pengusaha per bulan Rp ,00. 1

2 B. NOTASI PERTIDAKSAMAAN Pertidaksamaan yang melibatkan dua besaran atau lebih memiliki beberapa bentuk sebagai berikut. 1. a < b dibaca a lebih kecil dari b 2. a b dibaca a lebih kecil atau sama dengan b. a > b dibaca a lebih besar dari b 4. a b dibaca a lebih besar atau sama dengan b C. GARIS BILANGAN Dalam matematika dasar, garis bilangan adalah suatu garis lurus dengan titik-titik yang diasumsikan sebagai suatu bilangan real dan setiap bilangan real merujuk pada satu titik tertentu. Namun, seringkali bilangan bulat juga ditunjukkan dengan lambang titik-titik tertentu yang berjarak sama di sepanjang garis ini. Garis bilangan berikut menunjukkan bilangan bulat dari 12 sampai 1. Meskipun demikian, garis ini mencakup semua bilangan real, yaitu bilangan berkelanjutan tak terhingga ke kedua arahnya dan bilangan-bilangan yang tak dituliskan yang terdapat di antara bilangan-bilangan bulat tersebut Semakin ke kanan, nilai bilangan pada garis bilangan semakin besar, sedangkan semakin ke kiri nilainya semakin kecil. Untuk menyatakan himpunan bilangan dalam garis bilangan, dapat digunakan notasi pertidaksamaan atau bentuk kurung. Perhatikan cara menyatakan himpunan bilangan pada garis bilangan berikut. No. Garis bilangan Pertidaksamaan Bentuk kurung 1. a {x x > a, x R} (a, ) 2. a {x x a, x R} [a, ) 2

3 No. Garis bilangan Pertidaksamaan Bentuk kurung. a x {x x < a, x R} (, a) 4. a x {x x a, x R} (, a] 5. a b x {x a < x < b, x R} (a, b) 6. a b x {x a x b, x R} [a, b] 7. a b x {x x a atau x > b, x R} (, a] (b, ) Contoh Soal 1 Nyatakan himpunan bilangan yang dipilih pada garis bilangan berikut dengan notasi pertidaksamaan dan bentuk kurung Berdasarkan cara menyatakan himpunan bilangan pada garis bilangan, diperoleh: Notasi pertidaksamaan: {x x < 5 atau < x 7, x R} Bentuk kurung: (, 5) atau (, 7] D. SIFAT-SIFAT PERTIDAKSAMAAN Jika a, b, dan c bilangan real, maka berlaku: 1. a b b a 2. a b a + c b + c

4 . a b a c b c 4. Jika c > 0, maka a b ac bc 5. Jika c < 0, maka a b ac bc Jika a > 0 dan b > 0, maka a b a b 7. Jika a b dan c d, maka a + c b + d 8. Jika a b dan b c, maka a c E. DEFINISI PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL Pertidaksamaan linear satu variabel adalah pertidaksamaan yang hanya memuat satu variabel dan pangkat pada variabel tersebut adalah satu. Berikut ini merupakan contohcontoh dari pertidaksamaan linear satu variabel dan yang bukan pertidaksamaan linear satu variabel. Pertidaksamaan linear satu variabel: 1. 2x + 5 > y 4y. 6p 5 p+1 2 Bukan pertidaksamaan linear satu variabel: 1. x 2 2x < 9 memuat variabel berpangkat x x 1 <1 bentuk pertidaksamaan rasional, variabel terdapat pada penyebut.. 2x y > 1 memuat dua variabel. F. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL Langkah-langkah umum penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel adalah sebagai berikut. 1. Jika terdapat operasi perkalian terhadap penjumlahan atau pengurangan pada pertidaksamaan, gunakan sifat distributif. 2. Jika terdapat pecahan pada pertidaksamaan, kalikan setiap ruas dengan KPK dari semua penyebutnya.. Sederhanakan ruas kiri dan ruas kanan. 4. Hilangkan variabel pada ruas kanan dengan menggunakan langkah 2 atau. 5. Hilangkan konstanta pada ruas kiri dengan menggunakan langkah 2 atau. 4

5 6. Hilangkan koefisien variabel pada ruas kiri dengan menggunakan langkah 4 atau Uji dengan bilangan bulat yang memenuhi pertidaksamaan untuk memastikan jawaban. Contoh Soal 2 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x > 0! 2x > 0 (2x ) + > 0 + (kedua ruas ditambah ) 2x + ( + ) > (sifat asosiatif) 2x > 2x 2 > 2 (kedua ruas dibagi 2) x > 2 Misalkan kita uji dengan x = 2. 2(2) > 0 1> 0 (pernyataan benar) Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x > 0 adalah x x > x R 2,. Contoh Soal Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 7 2x > 0! 7 2x > (7 2x) > (kedua ruas ditambah -7) ( 7 + 7) 2x > 7 (sifat asosiatif) 2x > 7 5

6 2x 2 < 7 2 (kedua ruas dibagi 2, tanda ketidaksamaan berubah) x < 7 2 Misalkan kita uji dengan x =. 7 2x > 0 7 2() > 0 1 > 0 (pernyataan benar) Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 7 2x > 0 adalah x x< 7 x R 2,. Contoh Soal 4 Tentukan solusi dari pertidaksamaan (x 2) 4! (x 2) 4 x 6 4 (sifat distributif) (x 6) (kedua ruas ditambah 6) x + ( 6 + 6) 10 (sifat asosiatif) x 10 x 10 (kedua ruas dibagi ) x 10 Misalkan kita uji dengan x =. (x 2) 4 ( 2) 4 4 (pernyataan benar) Jadi, solusi dari pertidaksamaan (x 2) 4 adalah x 10 atau, 10. 6

7 Contoh Soal 5 ( )! Tentukan solusi dari pertidaksamaan 1 5 x 2 1 ( 5 x) x 2 (sifat distributif) 5 1 x.2 (kedua ruas dikali, tanda ketidaksamaan berubah) x 6 (sifat distributif) 5 + x ( 5 + x) 5 + ( 6) (kedua ruas ditambah 5) (5 5) + x 1 (sifat asosiatif) x 1 Misalkan kita uji dengan x = 4. 1 ( 5 ( 4) ) (pernyataan benar) Jadi, solusi dari pertidaksamaan 1 5 x 2 ( ) adalah {x x 1, x R} atau (, 1]. Contoh Soal 6 ( )! Tentukan solusi dari pertidaksamaan 1 2 x + 1 ( 4) <1 2 x 7

8 1 ( 2 x) + 1 ( 4) <1 2 x 2 x + x 2<1 2 (sifat distributif) 6 2 x + x 2 <6.1 (kedua ruas dikali KPK dari dan 2, yaitu 6) 2 4 2x + 9x 12 < 6 (sifar distributif) 7x 8 < 6 (7x 8) + 8 < (kedua ruas ditambah 8) 7x + ( 8 + 8) < 14 (sifat asosiatif) 7x < 14 7x 7 < 14 (kedua ruas dibagi 7) 7 x < 2 Misalkan kita uji dengan x = 1. 1 ( 2 1 ) + 1 (.1 4) < <1 1 6 <1 (pernyataan benar) Jadi, solusi dari pertidaksamaan 1 2 x + 1 ( 4) <1 2 x ( ) adalah {x x < 2, x R} atau (, 2). Contoh Soal 7 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2x 4 (x 5)! 2x 4 (x 5) 2x 4 x 15 (sifat distributif) x 15 2x 4 2x + (x 15) 2x + (2x 4) (kedua ruas ditambah -2x) ( 2x + x) 15 ( 2x + 2x) 4 (sifat asosiatif) 8

9 x 15 4 (x 15) (kedua ruas ditambah 15) x+ ( ) 11 (sifat asosiatif) x 11 Misalkan kita uji dengan x = 11. 2x 4 (x 5) (11 5) (pernyataan benar) Jadi, himpunan penyelesaian dari 2x 4 (x 5) adalah {x x 11, x R} atau [11, ). Contoh Soal 8 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 5 ( 2 x)+ 1 (4 + )>2 +6 x x! 5 ( 2 x)+ 1 (4 + )>2 +6 x x x x >2 x +6 (sifat distributif) x x >15 2 x +6 ( ) (kedua ruas dikali KPK dari 5 dan, yaitu 15) 27 18x x > 0x + 90 (sifat distributif) 47 1x > 0x x + 90 < 47 1x (0x + 90) + 1x < (47 1x) + 1x (kedua ruas ditambah 1x) (0x + 1x) + 90 < 47 + ( 1x + 1x) (sifat asosiatif) 4x + 90 < 47 (4x + 90) 90 < (kedua ruas dikurangi 90) 4x < 4 4x 4 < 4 4 x < 1 (kedua ruas dibagi 4) 9

10 Misalkan kita uji dengan x = 2. 5 ( 2( 2 ))+ 1 (4 + ( 2 )> ) ( ) >2 7 >2 (pernyataan benar) 15 Jadi, himpunan penyelesaian dari 5 ( 2 x )+ 1 (4 + x)>2 x +6 adalah {x x < 1, x R}. Contoh Soal 9 Tentukan solusi dari pertidaksamaan linear 2 < x 2 < 8! 2 < x 2 < < (x 2) + 2 < (setiap ruas ditambah 2) 4 < x + ( 2 + 2) < 10 (sifat asosiatif) 4 < x < 10 Misalkan kita uji dengan x = 5. 2 < 5 2 < 8 2 < < 8 (pernyataan benar) Jadi, solusi dari pertidaksamaan linear 2 < x 2 < 8 adalah (4, 10). Contoh Soal 10 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2 < 4 x < 8! 2 < 4 x < < x < (setiap ruas ditambah 4) 2 < ( 4 + 4) x < 4 2 < x < 4 2 > x > 4 (setiap ruas dibagi, tanda ketidaksamaan berubah) 10

11 2 > x > 4 4 < x < 2 Misalkan kita uji dengan x = 0. 2 < 4.0 < 8 2 < 4 < 8 (pernyataan benar) 4 Jadi, solusi dari pertidaksamaan 2 < 4 x < 8 adalah x x x R < < 2,. Contoh Soal 11 Tentukan solusi dari pertidaksamaan x 2 < 2x + 1 < x 4! x 2 < 2x + 1 < x 4! Pertidaksamaan tersebut dapat juga dituliskan sebagai berikut. x 2 < 2x + 1 dan 2x + 1 < x 4 2x + 1 > x 2 dan x 4 > 2x + 1 2x + 1 > x 2 dan x 4 > 2x + 1 x + (2x + 1) > x + (x 2) (dikurangi x) dan 2x + (x 4) > 2x + (2x + 1) (ditambah 2x) ( x + 2x) + 1 > ( x + x) 2 dan ( 2x + x) 4 > ( 2x + 2x) + 1 (sifat asosiatif) x + 1 > 2 dan x 4 > 1 (x +1) 1 > 2 1 (ditambah 1) dan (x 4) + 4 > (ditambah 4) x + (1 1) > dan x + ( 4 + 4) > 5 x > dan x > 5 Pengertian pertidaksamaan di atas adalah x harus lebih besar dari dan juga harus lebih besar dari 5. Jika digambarkan pada garis bilangan, akan diperoleh: x 11

12 Dari irisan kedua daerah tersebut diperoleh x > 5. Misalkan kita uji dengan x = 6. x 2 < 2x + 1 < x < < < 1 < 14 (pernyataan benar) Jadi, solusi dari pertidaksamaan x 2 < 2x + 1 < x 4 adalah {x x > 5, x R} atau (5, ). G. APLIKASI PERTIDAKSAMAAN LINEAR Langkah-langkah penyelesaian soal aplikasi pertidaksamaan linear sama dengan aplikasi persamaan linear, yaitu sebagai berikut. 1. Mengenali variabel Kenali besaran apa saja yang ditanyakan dalam soal cerita. Besaran ini biasanya dapat ditentukan dengan membaca soal cerita secara hati-hati sampai akhir. Kemudian, buatlah pemisalan tentang besaran yang ditanyakan dengan suatu variabel, misalnya x. 2. Menerjemahkan soal cerita ke dalam bentuk aljabar Baca kembali setiap kalimat dan nyatakan semua besaran yang disebutkan dalam bentuk variabel yang telah didefinisikan pada langkah sebelumnya. Untuk mengatur informasi ini, terkadang penggunaan tabel atau diagram sangat membantu.. Membentuk model atau pertidaksamaan aljabar sesuai dengan masalah dalam soal cerita. 4. Menyelesaikan model atau pertidaksamaan aljabar yang terbentuk. Contoh Soal 12 Sebuah truk berhenti sebelum melalui suatu jembatan timbang yang memiliki total pembebanan 100 ton. Jika bagian truk mempunyai berat 40 ton dan bak truk mempunyai berat ton, berapakah berat maksimal muatan yang dapat diangkut oleh truk tersebut? Misalkan x adalah berat muatan truk dalam ton. Berat total truk dapat dinyatakan dengan 40 ton + ton + x ton = (4 + x) ton. Oleh karena total pembebanan jembatan adalah 100 ton, maka permasalahan tersebut dapat dinyatakan dengan pertidaksamaan berikut. 12

13 4 + x x (kedua ruas ditambah 4) x 57 Jadi, truk tersebut dapat mengangkut muatan dengan berat maksimal 57 ton. Contoh Soal 1 Suatu perusahaan rental mobil menawarkan pilihan tarif mobil yang hendak disewakan sebagai berikut. Biaya Tarif Pertama Tarif Kedua Biaya administrasi Rp ,00 Rp75.000,00 Biaya sewa per hari Rp ,00 Rp ,00 Jika kamu hendak menyewa mobil di perusahaan tersebut, tarif manakah yang akan kamu pilih agar biaya yang kamu keluarkan lebih murah? Misalkan x adalah lamanya waktu menyewa mobil. Tarif pertama dapat dinyatakan dengan: x Tarif kedua dapat dinyatakan dengan: x Jika kita ingin mengetahui kapan tarif kedua lebih murah dari tarif pertama, maka: x < x (kedua ruas dikurangi x) x < ( x) < (kedua ruas ditambah ) x < x < (kedua ruas dibagi ) x < Jadi, jika menyewa mobil kurang dari hari, maka akan menggunakan tarif kedua karena lebih murah. Akan tetapi, jika menyewa mobil selama hari atau lebih, maka akan menggunakan tarif pertama yang lebih murah, sesuai dengan tabel berikut. 1

14 Banyak Hari Tarif 1 Tarif 2 1 Rp50.000,00 Rp00.000,00 2 Rp ,00 Rp ,00 Rp ,00 Rp ,00 4 Rp ,00 Rp ,00 5 Rp ,00 Rp ,00 6 Rp ,00 Rp ,00 7 Rp ,00 Rp ,00 8 Rp ,00 Rp ,00 9 Rp ,00 Rp ,00 14