GEOMETRI ANALITIK BIDANG DAN RUANG

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "GEOMETRI ANALITIK BIDANG DAN RUANG"

Ridwan Budiman
5 tahun lalu
Tontonan:

1 GEOMETRI ANALITIK BIDANG DAN RUANG Pertemuan ke - 4

2 LINGKARAN

3 Sasaran Kuliah Hari ini 1. Mampu menentukan persamaan lingkaran 2. Mampu menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran 3. Mampu menentukan persamaan garis singgung lingkaran (baik garis singgung lingkaran dengan gradien tertentu, garis singgung titik pada lingkaran, atau garis singgung yang melalui titik di luar lingkaran) 4. Mampu menentukan persamaan polar (kutub) lingkaran 5. Mampu menentukan garis kuasa dua lingkaran

4 KAPAN MANUSIA MENGENAL LINGKARAN?

5 KAPAN MANUSIA MENGENAL LINGKARAN?

6 KAPAN MANUSIA MENGENAL LINGKARAN?

7 Definisi Lingkaran Lingkaran adalah himpunan titik-titik pada bidang sedemikian sehingga jarak titik-titik tersebut terhadap suatu titik tertentu sama panjangnya Selanjutnya jarak tersebut disebut jari-jari/radius dan titik tertentu disebut pusat lingkaran

8 Persamaan Lingkaran Y Misal titik tertentu adalah (a,b) dan jaraknya adalah r, maka dengan konsep jarak dua titik diperoleh: O X (x a) 2 + (y b) 2 = r (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 Maka persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r adalah L : (x a) 2 + (y b) 2 = r 2

9 Persamaan Lingkaran Jika lingkaran berpusat di O (0,0) dan jari-jari r maka nilai a = 0 dan b = 0, sehingga diperoleh: L : (x 0) 2 + (y 0) 2 = r 2 L : x 2 + y 2 = r 2

10 Contoh 1 Carilah persamaan lingkaran berikut 1. Pusat O (0,0) dan jari-jari 3 2. Pusat P (-2,3) dan jari-jari 2 3. Pusat P (-5,-1) dan melalui (-2,2)

11 Persamaan Lingkaran dalam bentuk lain Apabila lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r yang berbentuk: (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 diuraikan, maka diperoleh x 2 + y 2 2ax 2by + a 2 + b 2 = r 2 x 2 + y 2 2ax 2by + a 2 + b 2 r 2 = 0 Sehingga apabila persamaan lingkaran dituliskan dalam bentuk x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0, maka diperoleh A = 2a a = 1 2 A ; C = a2 + b 2 r 2 r 2 = a 2 + b 2 C B = 2b b = 1 2 B ; r = a2 + b 2 C = 1 4 A B2 C

12 Persamaan Lingkaran dalam bentuk lain Lingkaran L: x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 memiliki: Pusat ( 1 2 A, 1 2 B) r = 1 4 A B 2 C

13 Contoh 2 Tentukan pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran berikut dan sketsalah: a. L 1 : x 2 + y 2 6x + 10y 2 = 0 b. L 2 : x 2 + y x + 36 = 0 c. L 2 : x 2 + y 2 8y 9 = 0

14 Contoh 3 Tentukanlah persamaan lingkaran yang melalui titik A (2,2), B (4,0), dan C (7,3)

15 Kedudukan garis terhadap lingkaran Kedudukan sebarang garis terhadap lingkaran ada 3 kemungkinan: 1. Memotong (D > 0) 2. Tidak memotong dan tidak menyinggung (D < 0) 3. Menyinggung (D = 0) D adalah diskriminan persamaan kuadrat (D = b 2 4ac)

persekutuan garis dan lingkaran ada satu dan hanya satu titik.

16 Persamaan garis singgung Garis singgung suatu lingkaran adalah garis yang menyinggung lingkaran tersebut sedemikian sehingga titik persekutuan garis dan lingkaran ada satu dan hanya satu titik. Dari gambar disamping hanya g 1 yang menyinggung lingkaran. Titik D disebut dengan titik singgung

17 Persamaan garis singgung dengan m tertentu Pada gambar disamping garis g 1 dan g 2 memiliki gradien (m) yang sama dan keduanya merupakan garis singgung dari lingkaran L

18 Persamaan garis singgung dengan m tertentu Bagaimana mencari persamaan garis g 1 dan g 2 jika gradien dan persamaan lingkaran yang disinggungnya diketahui??

19 Persamaan garis singgung dengan m tertentu Jika garis g 1 dan g 2 memiliki persamaan y = mx + p dan menyinggung lingkaran L : x 2 + y 2 = r 2, maka dengan mensubtitusikan y = mx + p ke x 2 + y 2 = r 2 diperoleh: x 2 + (mx + p) 2 = r 2 x 2 + m 2 x 2 + 2mpx + p 2 = r 2 (m 2 +1)x 2 + 2mpx + (p 2 r 2 ) = 0 Karena garis menyinggung lingkaran, maka hanya memiliki satu titik persekutuan sehingga nilai deskriminan persamaan kuadrat tersebut bernilai nol (D = 0)

20 Persamaan garis singgung dengan m tertentu D = 0 b 2 4ac = 0 (2mc) 2 4(m 2 +1) (p 2 r 2 ) = 0 4m 2 p 2 4(m 2 p 2 m 2 r 2 +p 2 r 2 ) = 0 4m 2 p 2 4m 2 p 2 + 4m 2 r 2 4p 2 + 4r 2 = 0 m 2 r 2 p 2 + r 2 = 0 p 2 = r 2 (1+m 2 ) p = ±r 1+m 2 Sehingga diperoleh persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat O (0,0) dengan gradient m adalah: y = mx + p y = mx ± r 1+m 2

21 Persamaan garis singgung dengan m tertentu Dengan cara yang sama, maka garis singgung lingkaran L: (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 dengan gradien m adalah: (y b) = m(x a) ± r 1+m 2

22 Contoh 4 1. Carilah persamaan singgung lingkaran x 2 + y 2 = r 2 dengan gradien (m) = Carilah persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 6x + 10y 2 = 0 dengan gradien (m) = 2

23 Garis singgung melalui titik pada lingkaran Titik P (x 1,y 1 ) pada lingkaran L : x 2 + y 2 = r 2 dan garis g adalah garis singgung lingkaran L di titik P Bagaimana mencari persamaan garis singgung g?

24 Garis singgung melalui titik pada lingkaran Titik P (x 1,y 1 ) pada lingkaran L : x 2 + y 2 = r 2, sehingga berlaku x y1 2 = r 2

25 Garis singgung melalui titik pada lingkaran Lihat OP g Jika OP kita anggap sebagai sebuah garis yang memiliki gradien m OP, maka m OP = y 1 x 1 Maka m OP. m g = 1 m g = 1 sehingga m m g = x 1 OP y 1

26 Garis singgung melalui titik pada lingkaran Jika persamaan garis g adalah g: y y 1 = m(x x 1 ) y y 1 = x 1 y 1 (x x 1 ) yy 1 y 1 2 = xx1 + x 1 2 xx 1 + yy 1 = x y1 2 xx 1 + yy 1 = r 2 Jadi diperoleh persamaan garis g: xx 1 + yy 1 = r 2

27 Garis singgung melalui titik pada lingkaran Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan, jika titik P (x 1,y 1 ) pada lingkaran L : (x a) 2 + (y b) 2 = r 2, maka garis singgung lingkaran L melalui P (x 1,y 1 ) adalah (x a)(x 1 a)+ (y b)(y 1 b) = r 2 (*) (*) silahkan dibuktikan sendiri

persamaan garis yang melalui titik P (x 1,y 1 ) pada L adalah: xx

28 Garis singgung melalui titik pada lingkaran Jika lingkaran dinyatakan dalam persamaan L: x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0, maka persamaan garis yang melalui titik P (x 1,y 1 ) pada L adalah: xx 1 + yy A(x+x 1)+ 1 2 B(y+y 1)+C = 0 (*) (*) silahkan dibuktikan sendiri

29 Contoh 5 Tentukan persamaan garis singgung titik pada lingkaran sebagai berikut: 1. Titik A (2, 5) pada lingkaran x 2 + y 2 = 9 2. Titik P ( 3,7) pada lingkaran (x + 2) 2 + (y 3) 2 = Titik Q (5, 6) pada lingkaran x 2 + y 2 6x + 4y 7 = 0

30 Garis kutub (polar) suatu lingkaran A (x 1,y 1 ) B (x 2,y 2 ) P (x 0,y 0 ) Jika titik P (x 0,y 0 ) terletak di luar lingkaran L : x 2 + y 2 = r 2, maka dari titik P dapat dibuat 2 buah garis singgung lingkaran L. Garis singgung tersebut menyinggung lingkaran L di titik A (x 1,y 1 ) dan B (x 2,y 2 ). Karena titik A dan B pada L, maka persamaan garis singgung yang melalui A dan B berturut-turut adalah g 1 : xx 1 + yy 1 = r 2 dan g 2 : xx 2 + yy 2 = r 2

31 Garis kutub (polar) suatu lingkaran A (x 1,y 1 ) B (x 2,y 2 ) P (x 0,y 0 ) Karena g 1 dan g 2 melalui titik P (x 0,y 0 ), maka berlaku: x 0 x 1 + y 0 y 1 = r 2 dan x 0 x 2 + y 0 y 2 = r 2 Dari dua persamaan di atas, dapat disimpulkan bahwa koordinat-koordinat titik A (x 1,y 1 ) dan B (x 2,y 2 ) memenuhi persamaan: x 0 x + y 0 y = r 2 (*) Selanjutnya, persamaan garis (*) disebut persamaan garis kutub (polar) lingkaran L. Garis polar tersebut melalui titik A dan B seperti terlihat pada gambar di samping

32 Garis kutub (polar) suatu lingkaran A (x 1,y 1 ) B (x 2,y 2 ) P (x 0,y 0 ) Selanjutnya dengan cara yang sama (buktikan sendiri) persamaan garis kutub (polar) titik P (x 0,y 0 ) terhadap lingkaran L : (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 adalah: (x 0 a)(x a)+ (y 0 b)(y b) = r 2

33 Garis kutub (polar) suatu lingkaran A (x 1,y 1 ) B (x 2,y 2 ) P (x 0,y 0 ) Sedangkan persamaan garis kutub (polar) titik P (x 0,y 0 ) terhadap lingkaran L : x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 adalah: xx 0 + yy A(x+x 0) B(y+y 0) + C = 0

34 Garis kutub (polar) suatu lingkaran Dari penyelesaian di atas, maka dapat disimpulkan bahwa: 1. Jika titik P di luar, maka garis kutub (polar) nya adalah berupa tali busur (memotong lingkaran di dua titik berbeda) 2. Jika titik P pada, maka garis kutub (polar) nya adalah berupa garis singgung lingkaran di titik tersebut 3. Jika titik P di dalam, maka garis kutub (polar) nya tidak memotong lingkaran

35 Contoh 6 Tentukan persamaan garis polar (kutub) dari titik berikut terhadap lingkaran yang diketahui: 1. Titik A (5, 4) terhadap lingkaran x 2 + y 2 = Titik P (1, 2) terhadap lingkaran (x 4) 2 + (y 2) 2 = Titik P ( 1,4) terhadap lingkaran (x 4) 2 + (y 2) 2 = Titik Q (8,4) terhadap lingkaran x 2 + y 2 6x + 4y 3 = 0 5. Titik R (1,1) terhadap lingkaran (x 4) 2 + (y 2) 2 = 16

36 Garis singgung melalui titik di luar lingkaran Dengan memanfaatkan garis polar suatu lingkaran, maka kita dapat menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran tersebut.

Potongkan garis polar terhadap lingkaran, sehingga terdapat dua titik potong

37 Garis singgung melalui titik di luar lingkaran Langkahnya adalah: 1. Cari persamaan garis polar titik tersebut terhadap lingkaran 2. Potongkan garis polar terhadap lingkaran, sehingga terdapat dua titik potong 3. Selanjutnya cari persamaan garis singgungnya dengan menggunakan titik-titik singgung yang diketahui

38 Contoh 7 Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik sebagaimana yang diketahui berikut ini: 1. Titik (5, 4) dan lingkaran x 2 + y 2 = Titik P ( 1,4) dan lingkaran (x 4) 2 + (y 2) 2 = Titik Q (8,4) dan lingkaran x 2 + y 2 6x + 4y 3 = 0

dokumen-dokumen yang mirip

GEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG

HANDOUT (BAHAN AJAR) GEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG Sofyan Mahfudy IAIN Mataram KATA PENGANTAR Alhamdulillah puji syukur kepada Alloh Ta ala yang dengan rahmat dan karunia-nya penulis dapat menyelesaikan