y

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "y"

Budi Irawan
8 tahun lalu
Tontonan:

1 Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Grafik Menyesaikan persamaan ax 2 +bx+c=0. Berarti menentukan nilai-nilai x bila f(x) = 0, dimana f(x) = ax 2 +bx+c. apabila grafik fungsi f(x) telah dilukis, maka koordinat x titik-titik potong kurva dengan sumbu X adalah penyelesaian (akar-akar) dari persamaan ax 2 +bx+c = 0. Manfaat lain dari metode penyelesaian persamaan kuadrat dengan grafik yaitu dengan menggunakan grafik fungsi f(x) = ax 2 + bx + c untuk menyelesaikan persamaan ax 2 + bx + p = 0. Contoh 1. Selesaikan persamaan x 2 + 3x 10 = 0 dengan menggunakan grafik y = x 2 + 3x 10. Jawab: Lukislah grafik y = x 2 + 3x 10 dengan langkah-langkah sebagai berikut: Karena domain tidak diketahui, mula-mula tentukan koordinat titik balik kurva untuk menentukan domain yang sesuai: y = x2 + 3x 10. y + 10 = x2 + 3x y + 10 = (x )2 9 4 y = (x )2 Koordinat titik balik ( 3 2, 49 4 ) Tentukan domain dimana x = 3 2 sebagai patokan y = x2 + 3x 10 Domain (x) y Dari pasangan titik pada label di atas lukislah grafik y = x 2 + 3x 10 Dari keterangan gambar, grafik y = x 2 + 3x 10 memotong sumbu X di titik A(-5, 0) dan B (2,0)

2 jadi, (i) akar-akar x 2 + 3x 10 = 0 ialah x 1 = 5 dan x 2 = 2. (ii) Himpunan penyelesaian x 2 + 3x 10 = 0 adalah (-5, 2) 2. Selesaikan persamaan x 2 + 3x 15 = 0 dengan menggunakan grafik y = x 2 + 3x 10. Jawab: x 2 + 3x 15 = 0 x 2 + 3x 10 5 = 0 atau 5 = x 2 + 3x 10..(1) Sedangkan, y = x 2 + 3x 10..(2) Dari (1) dan (2) diperoleh y = 5, artinya penyelesaian persamaan x 2 + 3x 15 = 0 ialah titik titik pada kurva dengan koordinat y = 5, yaitu P(2,66;5) dan Q(-5,66;5) Jadi, penyelesaian persamaan x 2 + 3x 15 = 0 ialah x = -5,66 dan x = 2,66.

3 Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat Akar-akar persamaan kuadrat ax 2 +bx + c = 0, berhubungan erat dengan koefisien-koefisien a,b, dan c. Rumus akar-akar persamaan kuadrat: x = b± b2 4ac Misalkan akar-akar persamaan tersebut adalah x 1 dan x 2, maka: dan Sehingga jumlah akar-akar: x 1 = b+ b2 4ac x 2 = b b2 4ac x 1 + x 2 = b a Dan hasil kali akar-akar: x 1 x 2 = c a Contoh Jika x 1 dan x 2 akar-akar persamaan kuadrat 2x 2 5x + 6 = 0. Tentukan nilai a. x x 2 b. (x 1 x 2 ) 2 c. 1 x x 2 Jawab: d. x 1 x 2 + x 2 x 1 e. (x 1 1) 2 + (x 2 1) 2 2x 2 5x + 6 = 0; a =2; b = -5; c = 6. Catatan:

4 Persamaan 2x 2 5x + 6 = 0 tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan metode penyelesaian persamaan kuadrat, karena diskriminasinya D<0. Namun kita dapat menghitung hasil jumlah dan hasil kali akar-akarnya. Sehingga, x 1 + x 2 = b a = ( 5) 2 = 5 2 dan x 1 x 2 = c a = 6 2 = 3 a. x x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 2x 1 x 2 = ( 5 2 ) 2 2(3) = = 1 4 b. (x 1 x 2 ) 2 = x x 2 2 2x 1 x 2 = 1 4 2(3) = 23 4 c. 1 x x 2 = x 2 x 1 x 1 x 2 d. x 1 x 2 + x 2 = = 5 6 = x 1 2 +x2 2 x 1 x 1 x 2 = = 1 12

5 e. (x 1 1) 2 + (x 2 1) 2 = (x 1 2 2x 1 + 1) 2 + (x 2 2 2x 2 + 1) 2 = x x 2 2 2(x 1 + x 2 ) + 2 = (5 2 ) + 2 = = 11 4 Diskrimasi dan Penggunaannya Kita tahu bahwa akar-akar persamaan kuadrat ax 2 +bx + c = 0, (a 0) dapat diperoleh dengan rumus berikut. Kedua akar itu adalah: Atau x 1,2 = b + b2 4ac x 1 = b + b2 4ac x 2 = b b2 4ac Sifat dari kedua akar tersebut sangat dipengaruhi oleh b 2 4ac yang disebut diskriminan (D). Jika a, b, dan c adalah bilangan real, maka diskriminan D = b 2 4ac menunjukkan jenis akar persamaan kuadrat sebagai berikut. 1. Jika b 2 4ac = 0, kedua akarnya samadan real. 2. Jika b 2 4ac < 0, kedua akarnya imajiner. 3. Jika b 2 4ac > 0, kedua akarnya real yang berbeda. Apabila, a, b dan c rasional, maka: (a) Jika b 2 4ac adalah bilangan kuadrat, maka akar-akarnya rasional, (b) Jika b 2 4ac bukan bilangan kuadrat, maka kedua akarnya irasional. Contoh 1:

6 Tentukan sifat-sifat akar persamaan kuadrat berikut ini dengan memperhatikan diskriminan. jawab: a. x 2 + 2x + 1 = 0 b. x 2 + 5x + 7 = 0 c. 2x 2 + x 3 = 0 d. x 2 + 5x + 4 = 0 e. 4x x + 9 = 0 f. x 2 x 1 = 0 a. x 2 + 2x + 1 = 0 D = b 2 4ac = ( 2) = 4 4 = 0 Jadi, x 1 = x 2 akar-akar real dan sama. Di uji dengan menggunakan rumus akar persamaan kuadrat: x = b ± b2 4ac Jadi, x 1 = 1 atau x 2 = 1 b. x 2 + 5x + 7 = 0 = ( 2) ± = 2 2 = 1 D = b 2 4ac = = = 3 Karena D = -3 < 0, maka kedua akarnya imajiner. c. 2x 2 + x 3 = 0 D = b 2 4ac = ( 3) = = 25 = 5 2 Karena D = 5 2, maka keduanya beda dan rasional. Kita uji dengan rumus: atau x = b ± b2 4ac = x 1 = = = 2 x 2 = = 6 2 = 3 1 ± Jadi, HP = {-3,2} dua akar yang berbeda. = 1 ± 5 2

7 d. x 2 + 5x + 4 = 0 D = b 2 4ac = = 9 = 3 2 Jadi, kedua akar beda dan rasional. e. 4x x + 9 = 0 D = b 2 4ac = = 0 Jadi, kedua akarnya sama dan real. f. x 2 x 1 = 0 D = = 5. Jadi, kedua akarnya irasional. Contoh 2: Jika persamaan (m + 2)x 2 + 2(m 2)x + m = 0 mempunyai akar sama, tentukan nilai m yang memenuhi. Jawab: (m + 2)x 2 + 2(m 2)x + m = 0; a = (m + 2); b = 2(m 2), dan c = m. Syarat dua akar sama: D = 0 b 2 4ac = 0 {2(m 2)} 2 4(m + 2)(m) = 0 4m 2 16m m 2 8m = 0 Jadi, m = = m+= 0 24m = 16 Menyusun Persamaan Kuadrat Kita dapat membangun atau menyusun suatu persamaan kuadrat jikadiketahui akar-akar persamaannya. Kita juga telah mengetahui x 1 + x 2 = b a dan x 1x 2 = c. Jumlah dan a hasil kali akar-akar persamaan kuadrat sangat bermanfaat di dalam menyusun suatu persamaan kuadrat.

8 ax 2 +bx + c = 0, a 0 a (x 2 + b a x + c a ) = 0 a(x2 (x 1 + x 2 )x + x 1 x 2 ) = 0 Berarti, x 2 + b a x + c a = 0 x2 (x 1 + x 2 )x + x 1 x 2 = 0 Sedangkan, x 2 (x 1 + x 2 )x + x 1 x 2 = 0 (x x 1 )(x x 2 ) = 0 Dari uraian diatas kita dapat memperoleh hubungan berikut. (x x 1 )(x x 2 ) = 0 x 2 (x 1 + x 2 )x + x 1 x 2 = 0 Jadi, persamaan kuadrat dapat disusun dari perkalian faktor-faktornya dan dapat juga disusun dari jumlah dan hasil kali akar-akarnya. Contoh Susunlah suatu persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor jika akar-akarnya diketahui: a. 3 dan 8 b. -8 dan 5 c. 3 dan Jawab: Misalkan akar-akar persamaan tersebut adalah x 1 dan x 2, maka: a. x 1 = 3 dan x 2 = 8 (x x 1 )(x x 2 ) = 0 (x 3)(x 8) = 0 Jadi persamaan kuadrat tersebut adalah x 2-11x + 24 = 0 b. x 1 = 8 dan x 2 = 5 (x x 1 )(x x 2 ) = 0 (x ( 8))(x 5) = 0 (x + 8)(x 5) = 0 Jadi, persamaan kuadrat tersebut adalah x 2 + 3x 40 = 0 c. Cara I: x 1 = 3 2 dan x 2 = 1 2

9 (x x 1 )(x x 2 ) = 0 (x ) (x 1 2 ) = 0 x 2 + x 3 = Persamaannya 4x 2 + 4x 3 = 0

10 Cara II: Akar-akarnya x = 3 atau x = x = 3 atau 2x = 1 2x + 3 = 0 atau 2x 1 = 0 (2x + 3)(2x 1) = 0 Persamaannya, 4x 2 + 4x 3 = 0

dokumen-dokumen yang mirip

MATERI PRASYARAT. ke y= f(x) =ax2 + bx +c

MATERI PRASYARAT. ke y= f(x) =ax2 + bx +c 1 MATERI PRASYARAT A. Fungsi Kuadrat Bentuk umum : y= f(x) = ax 2 + bx +c dengan a 0. Langkah-langkah dalam menggambar grafik fungsi kuadrat y= f(x) = ax 2 + bx +c 1. Tentukan titik potong dengan sumbu