Modul Statistika Kelas XII SMKN 1 Stabat. Lingkaran. Elips
|
|
- Dewi Sudirman
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 IR Lingkaran Elips 1
2 Smk n 1 stabat IRISAN KERUCUT Disusun Oleh : Dian Septiana Dalam PPL-T Unimed SMK N 1 Stabat SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN NEGERI 1 STABAT LANGKAT
3 010 KATA PENGANTAR Puji syukur kepada Allah SWT karena atas pertolongan-nya, modul ini dapat diselesaikan tepat pada waktunya. Terima kasih juga kepada guru pamong penulis yaitu ibu Nursiah, S.Pd yang telah memberi banyak masukan demi terselesaikannya modul ini. Modul ini berisi tentang bahan ajar Irisan Kerucut yang diajarkan di kelas XII SMK Teknologi, dan juga tentang tujuan pembelajaran serta hal-hal yang berkaitan dengan pembelajaran Irisan Kerucut. Materi yang disusun dalam modul diambil dari beberapa referensi khususnya buku paket Matematika dari dari berbagai pengarang dan penerbit, dari internet, serta silabus Matematika SMK Teknologi yang mendukung kelengkapan isi dari modul ini dan diharapkan dapat menambah pengetahuan sasaran modul ini yaitu siswa SMK kelas XII khususnya dan juga tenaga pendidik di SMK pada umumnya. Penyusun menyadari bahwa penyusunan modul ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, penyusun dengan terbuka menerima kritik dan saran soal dan penyelesaiannya. Akhir kata, semoga modul ini bermanfaat bagi kita semua. Aaamiin Stabat, Oktober 010 Dian Septiana 3
4 DAFTAR ISI Halaman Sampul... 1 Halaman Francis... Kata Pengantar... 3 Daftar Isi... 4 Peta Konsep... 5 Glosarium... 6 Bab I. Pendahuluan... 7 A. Deskripsi... 7 B. Tujuan Akhir... 7 C. Kompetensi... 8 Bab II. Pembelajaran... 9 Kegiatan Belajar A...Tujuan Pembelajaran... 9 B...Uraian Materi... 9 C...Latihan D...Kunci Jawaban Latihan Kegiatan Belajar A...Tujuan Pembelajaran B...Uraian Materi C...Latihan D...Kunci Jawaban Latihan Kegiatan Belajar A...Tujuan Pembelajaran... 0 B...Uraian Materi... 0 C...Latihan 3... D...Kunci Jawaban Latihan 3... Kegiatan Belajar
5 A...Tujuan Pembelajaran... 3 B...Uraian Materi... 3 C...Latihan D...Kunci Jawaban Latihan Bab III. Evaluasi... 7 Daftar Pustaka PETA KONSEP 5
6 GLOSARIUM 6
7 Lingkaran Istilah Jari jari lingkaran Ellips Parabola Keterangan Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu. Selanjutnya titik itu disebut pusat lingkaran. Ruas garis yang menghubungkan tiap-tiap titik pada lingkaran dan titik pusat lingkaran. Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya. Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu dan suatu garis tertentu pula. Titik itu disebut fokus parabola, sedangkan garis itu disebut garis arah atau A direktriks. Parabola dapat dilukis jika diketahui garis arah dan titik fokus yang terletak pada suatu garis. Hiperbola Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya. Selanjutnya dua titik itu disebut Titik Fokus Hiperbola. BAB I. PENDAHULUAN A. DESKRIPSI Dalam modul ini, akan dipelajari 4 Kegiatan Belajar. Kegiatan Belajar 1 adalah Lingkaran. Kegiatan Belajar adalah Parabola, Kegiatan Belajar 3 adalah Elips, dan Kegiatan Belajar 4 adalah Hiperbola. 7
8 Dalam Kegiatan Belajar 1, yaitu Lingkaran, akan diuraikan mengenai: Unsur-unsur lingkaran Persamaan lingkaran Garis singgung lingkaran Dalam Kegiatan Belajar, yaitu Parabola, akan diuraikan mengenai: Unsur-unsur parabola Persamaan parabola Sketsa parabola Dalam Kegiatan Belajar 3, yaitu Elips, akan diuraikan mengenai: Unsur unsur elips Persamaan elips Sketsa elips Dalam kegiatan belajar 4 yaitu Hiperbola, akan diuraikan menjadi : Unsur unsur hiperbola Persamaan hiperbola Sketsa hiperbola B. TUJUAN AKHIR Setelah mempelajari modul ini, siswa diharapkan dapat : 1. Mendeskripsikan unsur-unsur lingkaran. Menentukan persamaan lingkaran 3. Melukis garis singgung lingkaran 4. Menghitung panjang garis singgung lingkaran 5. Mendeskripsikan unsur-unsur parabola 6. Menentukan persamaan parabola 7. Menggambar sketsa parabola 8. Mendeskripsikan unsur-unsur ellips 9. Menentukan persamaan ellips 10. Menggambar sketsa ellips 11. Mendeskripsikan unsur-unsur hiperbola 1. Menentukan persamaan hiperbola 13. Menggambar sketsa hiperbola 8
9 C. KOMPETENSI Standar Kompetensi : Menerapkan konsep irisan kerucut dalam memecahkan masalah Kompetensi Dasar : 1. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan lingkaran. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan parabola 3. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan elips 4. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan hiperbola BAB II. PEMBELAJARAN Kegiatan Belajar 1 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan lingkaran 9
10 A. Tujuan Pembelajaran 1. Mendeskripsikan unsur-unsur lingkaran. Menentukan persamaan lingkaran 3. Melukis garis singgung lingkaran 4. Menghitung panjang garis singgung lingkaran B. Uraian Materi 1. Unsur Unsur Lingkaran Kurva lengkung sederhana dan teratur yang banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari adalah lingkaran. Buatlah kerucut dari kertas manila, kemudian potong sejajar bidang alas. Berbentuk apakah permukaan kerucut yang dipotong tadi? Permukaan kerucut yang dipotong tadi berbentuk lingkaran. Dalam matematika, lingkaran didefinisikan sebagai himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu. Selanjutnya titik itu disebut pusat lingkaran. Sedangkan ruas garis yang menghubungkan tiap-tiap titik pada lingkaran dan titik pusat lingkaran disebut jari-jari lingkaran. Jadi lingkaran dapat dilukis jika titik pusat dan jari-jari lingkaran diketahui. Adapun unsur unsur lingkaran adalah sebagai berikut : a. Jari-jari lingkaran yaitu ruas garis yang menghubungkan titik pusat dengan sebuah titik pada lingkaran b. Tali busur yaitu garis yang menghubungkan dua buah tutuk pada lingkaran c. Diameter yaitu tali busur yang melalui titik pusat lingkaran d. Busur lingkaran yaitu kurva pada keliling lingkaran yang dibatasi oleh dua titik pada lingkaran e. Juring yaitu daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh dua jari-jari dan satu tali busur f. Tembereng yaitu daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah tali busur dan busur lingkaran. g. Apotema yaitu gari tegak lurus terhadap tali busur.. Persamaan Lingkaran a. Persamaan Lingkaran dengan pusat O(0, 0) 10
11 Ambil sebarang titik pada lingkaran misal T(x1,y1) dan titik O sebagai pusat lingkaran. Tarik garis melalui T tegak lurus sumbu x misal di A. Pandang OTA! OTA merupakan segitiga siku-siku, dimana membentuk sudut siku-siku di titik A. Sehingga berlaku teorema pytagoras: OA + AT = OT 1 + y1 r x = O r T(x1,y1 ) A Karena berlaku untuk semua titik pada lingkaran maka x + y = r x + y = r merupakan persamaan lingkaran yang pusatnya di (0,0) dengan jari-jari r Contoh 1. Persamaan lingkaran pusatnya O(0,0) dan jari-jari 3 adalah x + y = 9. Persamaan lingkaran pusatnya O(0,0) dan jari-jari 5 adalah x + y = 5 3. Persamaan lingkaran pusatnya O(0,0) dan jari-jari 1 adalah x + y = 1 Contoh 1. x + y = 16 adalah lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari 4. x + y = 4 adalah lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari b. Persamaan Lingkaran dengan pusat O(a, b) 11
12 Ambil sebarang titik pada lingkaran misal T(x1,y1) dan titik P(a,b) sebagai pusat I D P r A T(x1,y1) Q lingkaran. Tarik garis melalui T tegak lurus sumbu x misal titik A Buat garis yang melalui titik P sejajar sumbu x, sehingga memotong TA di titik Q. Pandang PQT! PQT merupakan segitiga siku-siku di titik Q, TQ = (y 1 b) dan PQ = (x 1 a). Sehingga berlaku teorema pytagoras: PQ + QT = OT ( x a) + ( y b) = 1 1 r 1
13 Karena berlaku untuk setiap titik T(x 1,y 1 ) pada lingkaran, maka berlaku : ( x a) + ( y b) = r ( x a) + ( y b) = r merupakan persamaan lingkaran yang pusatnya di (a,b) dengan jari-jari r Contoh Tentukan persamaan lingkaran dengan a. pusat (, 3) dan jari-jari 5 b. pusat (-3,1) dan jari-jari c. pusat (, -) dan jari-jari 1 Penyelesaian a. Persamaan lingkaran dengan pusat (, 3) dan jari-jari 5 adalah ( x ) + ( y 3) = 5 b. Persamaan lingkaran dengan pusat (, 3) dan jari-jari 5 adalah ( x + 3) + ( y 1) = 4 c. Persamaan lingkaran dengan pusat (, 3) dan jari-jari 5 adalah ( x ) + ( y + ) = 1 Contoh Tentukan koordinat pusat dan jari jari lingkaran dengan persamaan 4x +4y - 4x + 16y -19 = 0 Penyelesaian 4x + 4y -4x + 16y -19 = 0, kedua ruas dibagi 4 didapat x x x 19 + y x + 4y = x + y + 4y = 0,dijadikan kuadrat sempurna diperoleh x + + y + 4y + 4 = x + ( y + ) = 9 Jadi, koordinat pusat lingkaran adalah (1/, -) dan jari-jarinya 3 c. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran 13
14 Bentuk umum persamaan lingkaran didapat dengan menurunkan persamaan lingkaran yang berpusat tidak pada (0,0) berikut ini: ( ) ( ) x a + y b = r x ax + a + y by + b = r x + y ax by + a + b = r x + y + Ax + By + C = 0, dengan A = a, B = b dan C = a + b r Bentuk umum persamaan lingkaran adalah x + y + Ax + By + C = dengan pusat di A, B dan jari-jari r = A + B C Contoh Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik P(1,0), Q(0,1) dan R(,). Penyelesaian Missal persamaan lingkarannya adalah x y Ax By C = 0 Titik P (1,0) pada lingkaran berarti A.1 + B.0 + C = 0 A + C = -1 atau A = -1 C...(1) Titik Q (0,1) pada lingkaran berarti A.0 + B.1 + C = 0 B + C = -1 atau B = -1 - C...() Titik R (,) pada lingkaran berarti + + A. + B. + C = 0 A + B + C = -8...(3) Substitusi (1) dan () pada (3) didapat (-1 C ) + (-1-C) + C = C C + C = 0-3C = - 4 C = 4/3 Dari (1) didapat A = -7/3 Dari () didapat B = -7/ Jadi, persamaan lingkarannya adalah x + y x y + = Garis Singgung Lingkaran 14
15 Garis singgung lingkaran adalah suatu garis yang memotong lingkaran tepat pada satu titik. a. Gradien garis singgung diketahui dan lingkaran berpusat di (0,0) Misal persamaan garis singgung: y = mx + k Sehingga ada satu titik pada lingkaran: x +y = r yang memenuhi persamaan garis Y = mx + singgung di atas. Akibatnya: r O r X+Y = r ( ) ( ) x + mx + k = r x + m x + mkx + k = r 1+ m x + mkx + k r = 0; merupakan persamaan kuadrat dalam variabel x. Agar persamaan itu mempunyai satu harga x, maka harus terpenuhi syarat diskriminan dari persamann sama dengan nol yaitu : ( mk ) 4 ( 1 + m ).( k r ) = 0 m k ( k m k r m r ) 4 ( k r m r ) = 0 k r ( 1 m ) = = 0 k = ± r 1+ m Jadi, persamaan garis singgungnya adalah y = mx ± r 1+ m Contoh 8 Tentukan garis singgung pada lingkaran x + y = 16 dengan gradien 3 Penyelesaian Persamaan garis singgung pada lingkaran x + y = r dengan gradient m adalah sebagai berikut y = mx ± r 1 + m 15
16 Maka y = 3x ± y = 3x ± 4 10 b. Gradien garis singgung diketahui dan lingkaran berpusat di (a, b) Kita dapat menurunkan rumusnya dengan cara yang serupa dengan di atas. Maka akan diperoleh persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di (a,b) yaitu ( ) 1 y b = m x a ± r + m Contoh Tentukan garis singgung pada lingkaran (x + 3) + (y - 1) = 4 dengan gradien - Penyelesaian Persamaan garis singgung pada lingkaran (x a) + (y - b) = r dengan gradient m adalah ( ) Maka, y b = m x a ± r 1+ m ( x ) ( ) y 1= + 3 ± 1+ y 1= x 6± 5 y = x 5± 5 c. Persamaan garis singgung jika titik singgungnya diketahui pada lingkaran berpusat di (0,0) Persamaan garis singgung dengan titik singgung (x 1, y 1 ) pada lingkaran x + y = r adalah Contoh x1x + y1 y = r Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x + y = 5 di titik (3, -4) Penyelesaian Persamaan garis singgungnya adalah x x + y y = r 1 1 3x 4y = 5 d. Persamaan garis singgung jika titik singgungnya diketahui pada lingkaran berpusat di (a,b) 16
17 Persamaan garis singgung dengan titik singgung (x 1, y 1 ) pada lingkaran ( x a) + ( y b) = r adalah ( x = r 1 a)( x a) + ( y1 b)( y b) Persamaan garis singgung dengan titik singgung (x 1, y 1 ) pada lingkaran x y Ax By C = 0 adalah 1 1 x x + y1 y + A 1 1 C ( x + x ) + B( y + y ) = LATIHAN 1 1. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (3,4), (5,0) dan (0,5).. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran X + y = 100 yang melalui titik (6,8) 3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran X + y +8x 6y = 0 dan apa keistimewaan dari lingkaran ini? KUNCI JAWABAN LATIHAN 1 1. Misal persamaan lingkaran yang melalui titik (3,4), (5,0) dan (-5,0), adalah x + y +Ax + By + C= 0 Titik (3,4) pada lingkaran: A + 4B + C= 0 atau 3A + 4B + C=-5 Titik (5,0) pada lingkaran: A C= 0 atau 5A + C= -5 Titik (0,5) pada lingkaran: 5+0 5A C= 0 atau 5A + C= -5. Dari tiga persamaan di atas didapat A = 0, B= 0 dan C = -5 Jadi persamaan lingkarannya adalah x + y - 5 = 0. Titik (6,8) pada lingkaran x + y = 10 Persamaan garis singgung pada lingkaran x + y = 100 yang melalui titik (6,8) adalah 6x + 8y = 100 atau 3x + 4y = Persamaan x + y +8x 6y = 0 dapat diubah menjadi x + 8x + y 6y = 0 x + 8x y 6y + 9= (x + 4) + (y - 4) = 5 Jadi pusat (-4, 3 ) dan jari-jari = 5 17
18 Kegiatan Belajar Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan parabola A. Tujuan Pembelajaran 1. Mendeskripsikan unsur-unsur parabola. Menentukan persamaan parabola 3. Menggambar sketsa parabola B. Uraian Materi 1. Unsur Unsur Parabola Kurva lengkung sederhana dan teratur yang mempunyai satu sumbu simetri adalah Parabola. Buatlah model kerucut dari kertas manila. Atau plastisin (sering disebut malam). Iris dengan bidang yang tegak lurus alas kerucut. Berbentuk apakah permukaan kerucut yang teriris? Permukaan kerucut yang teriris benbentuk parabola. Parabola diperoleh dengan mengiris bangun kerucut sejajar garis pelukisnya. Dalam matematika parabola didefinisikan sebagai himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu dan suatu garis tertentu pula. Selanjutnya titik itu disebut fokus parabola, sedangkan garis itu disebut garis arah atau A direktriks. Parabola dapat dilukis jika diketahui garis arah dan titik fokus yang terletak pada suatu garis, di mana garis itu tegak lurus garis arah.. Persamaan Parabola a. Persamaan parabola dengan puncak (0,0) Persamaan parabola dengan puncak (0,0) dan fokus di F(p,0) adalah y = 4 px 18
19 Secara analog, jika F(-p,0) dan persamaan direktrisnya x = p, maka persamaan parabolanya adalah y = 4 px - Untuk parabola dengan p > 0, maka parabola terbuka ke kanan - Untuk parabola dengan p < 0, maka parabola terbuka ke kiri Contoh Tentukan koordinat fokus dan persamaan sumbu simetri, persamaan direktris, dan panjang latus rectum dari persamaan parabola Penyelesaian Diketahui persamaan parabola p = > 0. Jadi parabola terbuka ke kanan. Dari keterangan di atas diperoleh : - Koordinat fokus parabola di F(,0) - Sumbu simetri: y = 0 - Persamaan direktris : x = - y = 8x! y = 8x. Maka diperoleh 4px = 8x, sehingga - Untuk x =, diperoleh y = 8. = 16. Sehingga y = ± 4. Jadi, koordinat titik-titik ujung latus rectum adalah (,4) dan (, -4) Persamaan parabola dengan puncak (0,0) dan fokus di F(0,p) adalah x = 4 py Secara analog, jika F(0,-p) dan persamaan direktrisnya y = p, maka persamaan parabolanya adalah x = 4 py - Untuk parabola dengan p > 0, maka parabola terbuka ke atas - Untuk parabola dengan p < 0, maka parabola terbuka ke bawah b. Persamaan parabola dengan puncak (a,b) Persamaan parabola dengan puncak (a,b) adalah ( y b) = 4 p( x a) Secara umum, terdapat 4 macam bentuk baku persamaan parabola yang berpuncak di (a,b), yaitu : - ( y b) = 4 p( x a) kanan - ( y b) = 4 p( x a) kiri merupakan parabola horizontal yang terbuka ke merupakan parabola horizontal yang terbuka ke 19
20 LATIHAN - ( x a) = 4 p( y b) - ( x a) = 4 p( y b) merupakan parabola vertikal yang terbuka ke atas merupakan parabola vertikal yang terbuka ke bawah Contoh Tentukan persamaan parabola jika titik puncaknya (,3) dan titik fokusnya (6,3)! Penyelesaian Titik puncak adalah (,3), maka a = dan b = 3 Titik fokus (6,3), maka a + p = 6, sehingga diperoleh p = 4 Persamaan parabolanya adalah : ( y 3) = 16 ( x ) 1. Buatlah sketsa grafik parabola y = 4x dan x = -4y. Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di titik pangkal O dan melalui (6,-6) serta menyinngung sumbu y 3. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (-, -3) pada parabola y = 8x 4. Tentukan puncak, sumbu simetri, fokus dan direktrik dari parabola dengan persamaan y = - 6x Kunci Jawaban Latihan 1. a) Parabola y = 4x puncaknya (0,0), dan melalui titik (1,1), (,4), (-1, 1), (-, 4) yang dicari dengan menggunakan tabel berikut. Anda dapat membuat sketsa sendiri! x y b) Parabola x = -4y puncaknya (0,0), dan melalui titik (1,-4), (,-8), (-1, 4), (-, 8) yang dicari dengan menggunakan tabel berikut. Anda dapat membuat sketsa sendiri! y x
21 . Parabola yang berpuncak di titik pangkal O dan menyingung sumbu y, bentuk umumnya adalah x = py Melalui (6,-6), maka 36 = -1 p, didapat p = -3 Jadi persamaan parabola yang diminta adalah x = -6y 3. Titik (-, -3) tidak pada parabola y = 8x. Dari y = 8x didapat p = 4 Misal titik singgungnya (a,b), maka persamaan garis singgungnya adalah by = 4(x + a). Garis singgung ini melalui titik (-, -3) maka -b = 4(-3 + a) atau 4a + b = 1... (1) Sedangkan (a, b) pada parabola y = 8x maka berlaku b = 8a... () Eliminasi dari (1) dan () didapat a = dan b = 4 atau a = 4,5 dan b=-6 Jadi persamaan garis singgungnya adalah : 4y = 4( x + ) atau y = x +, atau -6y = 4( x + 4,5) atau 4x + 6y + 18 = 0 4. Persamaan parabola y = - 8x Puncak di (0,0) Persamaan sumbu simetri adalah y = 0 atau sumbu x Koordinat fokus adalah (-, 0); Persamaan direktrik adalah x = Kegiatan Belajar 3 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan elips A. Tujuan Pembelajaran 1. Mendeskripsikan unsur-unsur elips. Menentuan persamaan ellips 3. Menggambar sketsa ellips B. Uraian Materi 1. Unsur Unsur Elips Kurva lengkung sederhana dan teratur yang mempunyai dua sumbu simetri adalah Ellips. Buatlah model kerucut dari kertas manila, kemudian potong menurut bidang tidak sejajar bidang alas tetapi tidak memotong bidang alas kerucut. Berbentuk apakah permukaan kerucut yang terpotong? Permukaan kerucut yang terpotong berbentuk ellips. 1
22 Dalam matematika ellips didefinisikan sebagai himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya. Selanjutnya dua titik itu disebut Titik Fokus Ellips Elips mempunyai sumbu simetri yaitu : garis yang memuat fokus dinamakan sumbu mayor garis yang tegak lurus sumbu mayor di titik tengah disebut sumbu minor. Persamaan Elips a. Persamaan elips yang berpusat di O(0,0) - Untuk elips yang berfokus di sumbu X, persamaan elips : b x + a y = a b x atau a y + b = 1 - Untuk elips yang berfokus di sumbu X, persamaan elips : a x + b y = a b x atau b y + a = 1 b. Persamaan elips yang berpusat di P(α,β ) - Untuk elips yang berfokus di sumbu X, persamaan elips : ( x α ) ( y β ) a + b = 1 - Untuk elips yang berfokus di sumbu Y, persamaan elips : ( x α ) ( y β ) b + a = 1 3. Sketsa Elips Dapatkah anda membuat gambar ellips? Buatlah dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Gambarlah di bukumu titik F1, F dan panjang a > F1F. Tentukan titik A dan B pada perpanjangan garis F1F sedemikian hingga FB = F1A dan AB = a. FB= F1A = (a - F1F) 3. Titik Ti diperoleh sebagai berikut: a) Buat lingkaran dengan pusat F1 dan jari-jari ri > F1A b) Dari B busurkan lingkaran dengan jari-jari a - ri c) Perpotongan lingkaran pada langkah (a) dan (b) adalah titik Ti.
23 d) Lakukan langkah yang sama dengan mengganti peran F1 dengan F dan sebaliknya. Akan didapat titik-titik C dan D yang memenuhi definisi ellips. Hubungkan titik-titik itu dengan kurva mulus akan didapat sketsa ellips LATIHAN 3 1. Tentukan sumbu mayor / minor, dari persamaan Ellips : 8x + 1 y = 96. Tentukan persamaan Ellips jika diketahui titik puncak ( 0,- ) 3. Gambar grafik Ellips jika Persamaannya : a. x + y = ( x 1) ( y ) = 1 KUNCI JAWABAN LATIHAN x + 1y = 96 8x 1y + = x y + = Sumbu mayor = 1 = 4 3 Sumbu minor = 8 = 4. 3
24 3. Titik pusat di (,-1), maka α = dan β = 1 Sumbu mayor = a = 8; a = 4 Sumbu minor = b = 6; b = 3 Persamaan umum elips ( x α ) ( y β ) + = 1 a b Maka, persamaan elips adalah ( x ) ( y + 1) + = a. Titik pusat (0,0) Sumbu mayor = 8 Sumbu minor = b. Titik pusat (1,) Sumbu mayor = 4 Sumbu minor = (1, ) Kegiatan Belajar 4 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan hiperbola A. Tujuan Pembelajaran 1. Mendeskripsikan unsur-unsur hiperbola. Menentukan persamaan hiperbola 3. Menggambar sketsa hiperbola B. Uraian Materi 4
25 1. Unsur- Unsur Hiperbola Kurva lengkung sederhana dan teratur yang mempunyai dua sumbu simetri adalah Hiperbola. Hiperbola merupakan bangun datar yang diperoleh dengan mengiris bangun ruang kerucut yang saling bertolak belakang memotong tegak lurus bangun kerucut tersebut tetapi tidak memotong puncak kerucut. Dalam matematika hiperbola didefinisikan sebagai himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya. Selanjutnya dua titik itu disebut Titik Fokus Hiperbola. Jadi hiperbola dapat dilukis jika diketahui dua titik fokus hiperbola dan suatu ruas garis yang panjangnya kurang dari dari jarak kedua titik fokus itu diketahui.. Persamaan Hiperbola a. Persamaan hiperbola yang berpusat di O(0,0) - Titik pusat di (0,0) - Titik puncak (a,0) dan (-a,0) - Titik fokus di (c,0) dan (-c,0) b - Persamaan asimtot hiperbola : y = ± x a - Eksentrisitas : - c = a + b c e = a - Persamaan direktris : a x = ± c x y - Persamaan hiperbola : b x a y = a b atau = 1 a b b. Persamaan hiperbola yang berpusat di P(α,β ) Untuk hiperbola yang berpusat di (α,β ), maka : - Titik pusat di (α,β ) - Titik fokus di (α +c,β ) dan (α -c,β ) - Titik puncak di (α +a,β ) dan (α -a,β ) 5
26 - Persamaan direktris : a x = α + c - Persamaan asimtot hiperbola : y β = ± ( x α ) x α a - Persamaan hiperbola : ( ) ( ) = 1 b a y β b - Bentuk umum persamaan hiperbola : Ax By + Cx + Dy + E = 0 Dengan A 0, B 0, dan A B a C T i 3. Sketsa Hiperbola 1. Tetapkan titik F1, F dan panjang a <. Tentukan titik A dan B pada perpanjangan garis F1F sedemikian hingga FB = F1A. 3. F B = F,A = 1 / ( F,F - a). 4. Titik Ti diperoleh sebagai berikut: 5. Buat lingkaran dengan pusat F1 dan jari-jari ri > F A F, B A D 6. Dari B busurkan lingkaran dengan jari-jari ri - a 7. Perpotongan lingkaran pada langkah (a) dan (b) adalah titik Ti. 8. Lakukan langkah yang sama dengan mengganti peran F1 dengan F dan sebaliknya. Selamat mencoba F, LATIHAN 4 1. Tentukan koordinat titik puncak dari Hiperbola 16 y 5 x = 400! 1. Tentukan persamaan hiperbola jika diketahui asimtotnya y = ± x dan panjang 3 sumbu minor = 6! KUNCI JAWABAN LATIHAN 4 6
27 1. 16 y 5x = y 5x = y x = 1, sehingga a= 5, b= 4, dan c= Eksentrisitas : e = 41 5 Titik puncak : (5,0) dan (-5,0) Titik fokus : ( 41,0) dan (- 41,0) 4 Persamaan asimtot : y = ± x 5 (16) Panjang latus rectum : = 6, Persamaan direktriks : x = ± = ± ( x + 4) ( y 1) = 1 7
28 BAB III. EVALUASI A. Pilihan Ganda 1. Persamaan lingkaran yang berpusat di O ( 0.0 ) dan melalui titik potong garis x + y = 5 dan x y = 1 adalah a. x + y = 4 c. x + y = 13 e. x + y = 5 b. x + y = 9 d. x + y = 16. Persamaan lingkaran yang berpusat di P ( -3. ) dan jari jari 4 adalah. a. x + y 6x 6y 3 = 0 b. x + y 6x + 6y 3 = 0 c. x + y + 6x + 6y + 3 = 0 d. x + y + 6x 4y 3 = 0 e. x + y + 6x 6y + 3 = 0 3. Sebuah garis g = y = x + p menyinggung lingkaran x + y = 1, maka nilai p adalah a. 1 dan -1 c. dan - e. 3 dan 3 b. dan - d. dan Persamaan garis singgung di titik (, ) pada lingkaran x + y = 1 adalah a. x + y = 0 c. x + y 6 = 0 e. x + y + 6 =0 b. x + y + 6 = 0 d. x + y 6 = 0 5. Persamaan garis singgung di titik (.6 ) pada lingkaran ( x 3 ) + ( y + 1 ) = 16 adalah. a. x 7y + 6 = 0 c. x + 7y 6 = 0 e. x 7y 6 =0 b. x + 7y 6 = 0 d. x 7y 6 = 0 8
29 6. Jika diketahui persamaan parabola dan fokus di. a. (0,1) b. (0,6) c. (0,4) d. (0,) e. (0,3) x = 1y maka parabola tersebut berpuncak di O (0,0) 0 7. Persamaan parabola yang berpuncak di (3,7) dan fokusnya (3,5) adalah a. x 6x 8y + 65 = 0 b. x 6x 8y 45 = 0 c. x 6x + 8y + 65 = 0 d. x 6x + 8y 65 = 0 e. x 6x 8y 47 = 0 8. Persamaan parabola ( y 3) = 16( x ) mempunyai persamaan direktris.. a. x = -3 b. x = - c. x = d. x = 3 e. x = 4 9. Koordinat titik puncak dari ellips dengan persamaan 16x 5y 160x 00y = adalah. a. (8,5) dan (0,5) b. (8,4) dan (0,4) c. (10,4) dan (8,5) d. (10,4) dan (0,4) e. (10,5) dan (0,5) x 3 ( y 5) + = 1 adalah Panjang sumbu mayor dari elips ( ) a. 3 b. 6 c. 9 d. 1 9
30 e Persamaan elips yang memiliki titik pusat (4,-), titik puncak (9,-) dan titik fokus (0,-) adalah ( x 4) ( y + ) a. + = ( x + 4) ( y ) b. + = ( x 4) ( y + ) c. + = ( x 4) ( y ) d. + = ( x + 4) ( y + ) e. + = Koordinat titik puncak dari persamaan hiperbola a. (7,0) dan (-7,0) b. (8,0) dan (-8,0) c. (0,7) dan (0,-7) d. (0,8) dan (0,-8) e. (7,8) dan (-7,-8) x y = 1 adalah Persamaan asimtot dari hiperbola 5 6 a. y = ± x b. y = ± x c. y = ± x d. y = ± x e. y = ± x 7 x y = 1 adalah Diketahui hiperbola mempunyai koordinat titik puncak di (8,0) dan (-8,0) serta koordinat titik fokus di (4,0) dan (-4,0). Persamaan hiperbola tersebut adalah 30
31 x y x y a. = 1 b. = x y x y c. = 1 d. = x y e. = Diketahui persamaan hiperbola 9x 16y 18x 64y =. Eksentrisitas dan panjang lactus rectumnya adalah. a. 5/4 dan 9/4 b. 5/4 dan 18/4 c. 3/4 dan 9/4 d. 9/4 dan 3/4 e. 3/4 dan 18/4 B. Isian 1 1. Hitunglah nilai m jika lingkaran ( x 4 ) + ( y + 3 ) = m melalui titik A ( -1, -3 )!. Titik P (,6 ) terletak pada lingkaran + y + nx + 6y 1 = 0 x Tentukan nilai n! 3. Tentukan pusat dan jari jari lingkaran x + y 6x 10 y + = 0 4. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P (.4 ) dan jari jari 5 5. Tentukan koordinat puncak, koordinat fokus, persamaan direktris, dan latus rectum dari persamaan ( y ) 16( x 1) =! 6. Tentukan persamaan parabola jika diketahui F ( 4,10 ) dan direktrisnya x = 4! 7. Gambar grafik parabola y = 16 x 31
32 DAFTAR PUSTAKA Bahri, Samsul dan Mustain Terampil Matematika untuk SMK (Teknik) Kelas XII. Bekasi : Galaxy Puspa Mega Mauludin, Ujang Matematika untuk SMK kelas XII Program Keahlian Teknik Industri. Jakarta : Indah Jaya Adipratama Noormandiri, B.K Matematika SMA untuk kelas XII program Ilmu Alam. Jakarta: Erlangga Teguh, Mega Modul Irisan Kerucut. Departemen Pendidikan Nasional 3
Kelas XI MIA Peminatan
Kelas Disusun : Markus Yuniarto, S.Si Tahun Pelajaran 017 018 Peta Konsep Glosarium Istilah Keterangan Lingkaran Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik
Lebih terperinciBab 1. Irisan Kerucut
Tahun Ajaran 01 01-013/Genap Bab 1. Irisan Kerucut e=0 e 1 A. Lingkaran Persamaan Lingkaran yang berpusat di titik (0,0) Pada segitiga siku-siku, siku, menurut dalil phytagoras berlaku : c =
Lebih terperinciRINGKASAN IRISAN KERUCUT (PARABOLA, ELIPS, DAN HIPERBOLA)
RINGKASAN IRISAN KERUCUT (PARABOLA, ELIPS, DAN HIPERBOLA) Matematika15.wordpress.com NAMA: KELAS: RINGKASAN IRISAN KERUCUT (PARABOLA, ELIPS, DAN HIPERBOLA) PENGERTIAN IRISAN KERUCUT Bangun Ruang Kerucut
Lebih terperinciRINGKASAN IRISAN KERUCUT (PARABOLA, ELIPS, DAN HIPERBOLA)
NAMA: KELAS: PENGERTIAN IRISAN KERUCUT Bangun Ruang Kerucut yang dipotong oleh sebuah bidang datar. RINGKASAN IRISAN KERUCUT (PARABOLA, ELIPS, DAN HIPERBOLA) Macam-macam Irisan Kerucut: 1. Parabola 2.
Lebih terperinciPENDAHULUAN. Gambar potongan kerucut berbentuk lingkaran, ellips, parabola dan hiperbola
1 PENDAHULUAN A. Deskripsi Dalam modul ini kita akan mempelajari lengkungan yang dihasilkan dari potongan kerucut dengan bidang datar. Jika suatu kerucut dipotong oleh sebuah bidang, maka garis potong
Lebih terperinciMAT. 10. Irisan Kerucut
MAT. 0. Irisan Kerucut i Kode MAT.0 Irisan Kerucut BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL
Lebih terperincihttp://meetabied.wordpress.com SMAN 1 Bone-Bone, Luwu Utara, Sul-Sel Kebahagiaan tertinggi dalam kehidupan adalah kepastian bahwa Anda dicintai apa adanya, atau lebih tepatnya dicintai walaupun Anda seperti
Lebih terperinciPERSAMAAN HIPERBOLA KEGIATAN BELAJAR 14
1 KEGIATAN BELAJAR 14 PERSAMAAN HIPERBOLA Setelah mempelajari kegiatan belajar 14 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan Persamaan Hiperbola 2. Melukis Persamaan Hiperbola Sebelumnya anda telah
Lebih terperinciIRISAN KERUCUT (CONICS SECTIONS)
IRISAN KERUCUT (CONICS SECTIONS) Irisan kerucut merupakan kurva yang terbentuk ketika sebuah bidang memotong permukaan kerucut tegak. Kurva dari irisan kerucut berupa lingkaran, parabola, ellips dan hiperbola.
Lebih terperinciMatematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA
Fungsi Non Linier Diskripsi materi: -Harga ekstrim pada fungsi kuadrat 1 Fungsi non linier FUNGSI LINIER DAPT BERUPA FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA
Lebih terperinciMODUL 8 FUNGSI LINGKARAN & ELLIPS
MODUL 8 FUNGSI LINGKARAN & ELLIPS 8.1. LINGKARAN A. PERSAMAAN LINGKARAN DENGAN PUSAT PADA TITIK ASAL DAN JARI-JARI R Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari jari R adalah : x 2 + y 2 = R 2 B. PERSAMAAN
Lebih terperinciPERSAMAAN BAKU PARABOLA DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA MAKALAH
PERSAMAAN BAKU PARABOLA DAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA MAKALAH Dibuat untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Geometri Analitik Ruang yang diampu oleh M. Khoridatul Huda, S. Pd., M. Si. Oleh: TMT 5E Kelompok
Lebih terperinciK13 Antiremed Kelas 11 Matematika Peminatan
K13 Antiremed Kelas 11 Matematika Peminatan Persiapan UAS 1 Doc. Name: K13AR11MATPMT01UAS Version : 015-11 halaman 1 01. Sukubanyak f() = 3 + + 3- dapat ditulis sebagai. f() = [( + ) - 3] + f() = [( -
Lebih terperincifungsi Dan Grafik fungsi
fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Non Linear Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi
Lebih terperinciModul Matematika 2012
Modul Matematika MINGGU V Pokok Bahasan : Fungsi Non Linier Sub Pokok Bahasan :. Pendahuluan. Fungsi kuadrat 3. Fungsi pangkat tiga. Fungsi Rasional 5. Lingkaran 6. Ellips Tujuan Instruksional Umum : Agar
Lebih terperincic. 2 d Jika suatu garis mempunyai persamaan 2x + y + 4 = 0, maka gradiennya adalah a. 2 b. ½ c. 2 d. ½
1 SOAL LATIHAN UH MATEMATIKA PERSAMAAN GARIS LURUS KELAS 8 SMP I. Pilihan Ganda GRADIEN (m) 1. Persamaan garis y = x, maka gradiennya adalah a. b. 4 c. d.. Persamaan garis y = x, maka gradiennya adalah
Lebih terperinciPertemuan 2 KOORDINAT CARTESIUS
Kalkulus Pertemuan 2 KOORDINAT CARTESIUS Koordinat Cartesius 1 2 3 Jarak y Hitunglah jarak dari A(3,-5) ke B(4,2) A(3,-5) maka x 1 = 3 dan y 1 = -5 B(4,9) maka x 2 = 4 dan y 2 = 2 sehingga d(a, B) = (x
Lebih terperinciPERSAMAAN ELLIPS. Setelah mempelajari kegiatan belajar 12 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan persamaan elips. 2. Melukis persamaan elips
1 KEGIATAN BELAJAR 12 PERSAMAAN ELLIPS Setelah mempelajari kegiatan belajar 12 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan persamaan elips. 2. Melukis persamaan elips Anda tentu sangat mengenal sekali
Lebih terperinciLingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Bab Sumber: www.panebiancod.com Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu merumuskan persamaan lingkaran dan menggunakannya dalam pemecahan masalah; menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran
Lebih terperinciPersamaan Parabola KEGIATAN BELAJAR 10
1 KEGIATAN BELAJAR 10 Persamaan Parabola Setelah mempelajari kegiatan belajar 10 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan persamaan Parabola 2. Melukis Persamaan Parabola Anda tentu sangat mengenal
Lebih terperinciParabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik P(x, y) pada
Parabola 6.1. Persamaan Parabola Bentuk Baku Parabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik P(x, y) pada bidang sedemikian hingga titik itu berjarak sama dari suatu titik tertentu yang disebut
Lebih terperinci5.1 KONSTRUKSI-KONSTRUKSI DASAR
KONSTRUKSI GEOMETRI Unsur-unsur geometri sering digunakan seorang juru gambar atau ahli gambar teknik untuk menggambar konstruksi mesin. Unsurunsur goemetri yang dimaksudkan ini adalah busur-busur, lingkaran,
Lebih terperinciMATERI PRASYARAT. ke y= f(x) =ax2 + bx +c
1 MATERI PRASYARAT A. Fungsi Kuadrat Bentuk umum : y= f(x) = ax 2 + bx +c dengan a 0. Langkah-langkah dalam menggambar grafik fungsi kuadrat y= f(x) = ax 2 + bx +c 1. Tentukan titik potong dengan sumbu
Lebih terperinciLINGKARAN. Lingkaran. pusat lingkaran diskriminan posisi titik posisi garis garis kutub gradien. sejajar tegak lurus persamaan lingkaran
LINGKARAN Persamaan Persamaan garis singgung lingkaran Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dan (a, b) Kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran Merumuskan persamaan garis singgung yang melalui suatu
Lebih terperinciGEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG
HANDOUT (BAHAN AJAR) GEOMETRI ANALITIK BIDANG & RUANG Sofyan Mahfudy IAIN Mataram KATA PENGANTAR Alhamdulillah puji syukur kepada Alloh Ta ala yang dengan rahmat dan karunia-nya penulis dapat menyelesaikan
Lebih terperinciPersamaan Garis singgung Melalui titik (x 1, y 1 ) diluar lingkaran. Pusat Lingkaran (a, b) Persamaan Garis singgung. Jari Jari r.
PERSAMAAN LINGKARAN Pusat Lingkaran (0, 0) Melalui titik (x, y ) pada lingkaran Jika diketahui gradient m xx y mx r yy r m x y r Persamaan Garis singgung Melalui titik (x, y ) diluar lingkaran Jari Jari
Lebih terperinciBilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah
Lebih terperinciβ α α β SOAL MATEMATIKA UNTUK SMA istiyanto.com Mari Berbagi Ilmu Dengan Yang Lain A. Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat
A. Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat 1. Salah satu akar persamaan kuadrat ( a 1) x + (3a 1) x 3a = 0 adalah 1, maka akar lainnya adalah.... Nilai m yang memenuhi agar persamaan kuadrat ( m + 1) x +
Lebih terperinciA. Pengertian Parabola. Menentukan panjang Latus Rectum DT = FS = DF = 2p Maka DE = 2.DF = 4p. B. Persamaan Parabola
htt://www.smkekalongan.sch.id Parabola A. Pengertian Parabola Parabola adalah temat kedudukan titik-titik ada geometri dimensi ang memiliki jarak ang sama terhada satu titik tertentu dan garis tertentu.
Lebih terperinciFUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii)
FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan
Lebih terperinciLINGKARAN. A. PERSAMAAN LINGKARAN B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN
LINGKARAN. A. PERSAMAAN LINGKARAN B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN 4 ia nc o3 D.c om Bab r: w be Su m. pa ww ne b Lingkaran Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu merumuskan persamaan lingkaran
Lebih terperinci6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI
6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah
Lebih terperinciFUNGSI. Riri Irawati, M.Kom 3 sks
FUNGSI Riri Irawati, M.Kom 3 sks Agenda 1. Sistem Koordinat Kartesius. Garis Lurus 3. Grafik persamaan Tujuan Agar mahasiswa dapat : Menggunakan sistem koordinat untuk menentukan titik-titik dan kurva-kurva.
Lebih terperinciK13 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika
K1 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika Peminatan - Persiapan PTS Semester Genap Halaman 1 01. Grafik berikut ini yang menunjukkan grafik dari parabola x 2 = -12y adalah... (Catatan: Setiap kotak pada
Lebih terperinciPERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X Created By Ita Yuliana
Lebih terperinciMasukan pengertian dan di setiap topik dan buat daftar pustaka.. latar dan tujuan ambil dari silabus online book,,, ingat ok!!!!
Masukan pengertian dan di setiap topik dan buat daftar pustaka.. latar dan tujuan ambil dari silabus online book,,, ingat ok!!!! LINGKARAN Lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang merupakan tempat
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT
BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya
Lebih terperinciFungsi Linear dan Fungsi Kuadrat
Modul 1 Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Drs. Susiswo, M.Si. K PENDAHULUAN ompetensi umum yang diharapkan, setelah mempelajari modul ini, adalah Anda dapat memahami konsep tentang persamaan linear dan
Lebih terperinciLingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak
4 Lingkaran 4.1. Persamaan Lingkaran Bentuk Baku. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak tetap dari suatu titik tetap. Titik tetap dari lingkaran disebut pusat lingkaran,
Lebih terperinciIRISAN KERUCUT: PARABOLA
K-3 matematika K e l a s XI IRISAN KERUCUT: ARABOLA Tujuan embelajaran Setelah memelajari materi ini, kamu diharakan memiliki kemamuan berikut.. Memahami definisi arabola dan unsur-unsurna.. Memahami konse
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciKURVA DAN PENCOCOKAN KURVA. Matematika Industri 1 TIP FTP UB
KURVA DAN PENCOCOKAN KURVA TIP FTP UB Pokok Bahasan Pendahuluan Kurva-kurva standar Asimtot Penggambaran kurva secara sistematis, jika persamaan kurvanya diketahui Pencocokan kurva Metode kuadrat terkecil
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELLIPS
1 KEGIATAN BELAJAR 13 PERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELLIPS Setelah mempelajari kegiatan belajar 13 ini, mahasiswa diharapkan mampu Menentukan Persamaan Garis Singgung Elips, Titik Singung dan Garis Pada kegiatan
Lebih terperinciSILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN
SILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN 1. Mata Kuliah / Kode : Geometri Analitik/ PMK 708 2. Jumlah SKS : 3 SKS 3. Jurusan / Program Studi : TMIPA / Tadris Matematika 4. Tujuan
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS SINGGUNG HIPERBOLA
1 KEGIATAN BELAJAR 15 PERSAMAAN GARIS SINGGUNG HIPERBOLA Setelah mempelajari kegiatan belajar 15 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menemukan Persamaan Garis Singgung Hiperbola, Titik Singung dan Garis
Lebih terperinciKELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA. BY : Drs. Abd. Salam, MM
KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA BAHAN AJAR FUNGSI LINIER & KUADRAT SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB FUNGSI A. FUNGSI DAN RELASI Topik penting yang
Lebih terperinciMatematika EBTANAS Tahun 1991
Matematika EBTANAS Tahun 99 EBT-SMA-9-0 Persamaan sumbu simetri dari parabola y = 8 x x x = 4 x = x = x = x = EBT-SMA-9-0 Salah satu akar persamaan kuadrat mx 3x + = 0 dua kali akar yang lain, maka nilai
Lebih terperinciPeta Konsep. Standar Kompetensi. Kompetensi Dasar. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi. persamaan garis lurus
PErSamaan GarIS lurus Untuk SMP Kelas VIII Peta Konsep Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi dan persamaan garis lurus Kompetensi Dasar Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Dalam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan kait-mengkait
Lebih terperinciKISI-KISI UJIAN SEKOLAH
KISI-KISI UJIAN SEKOLAH Matematika SEKOLAH MENENGAH PERTAMA DAERAH KHUSUS IBUKOTA (DKI) JAKARTA TAHUN PELAJARAN 2012-2013 KISI KISI PENULISAN SOAL UJIAN SEKOLAH TAHUN PELAJARAN 2012-2013 Jenjang : SMP
Lebih terperinciDari gambar jaring-jaring kubus di atas bujur sangkar nomor 6 sebagai alas, yang menjadi tutup kubus adalah bujur sangkar... A. 1
1. Diketahui : A = { m, a, d, i, u, n } dan B = { m, e, n, a, d, o } Diagram Venn dari kedua himpunan di atas adalah... D. A B = {m, n, a, d} 2. Jika P = bilangan prima yang kurang dari Q = bilangan ganjil
Lebih terperinciC. Ø D. S. Gambar di atas adalah kubus ABCD.EFGH dan salah satu jaring-jaringnya, maka titik E menempati nomor... A.(I) C.(III) B.
1. Amir, Adi, dan Budi selalu berbelanja ke Toko "Anda", Amir tiap 3 hari sekali. Adi tiap 4 hari sekali, Budi tiap 6 hari sekali. Bila ketiganya mulai berbelanja sama-sama pertama kali tanggal 20 Mei
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan
Lebih terperinciKurikulum 2013 Antiremed Kelas
Kurikulum 2013 Antiremed Kelas Irisan Kerucut Elips dan Hiperbola Doc. Name: K13AR11MATPMT0298 Version: 2015 10 halaman 1 01. Persamaan adalah persamaan... Elips Horizontal Elips Vertikal Hiperbola Horizontal
Lebih terperinci1. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari adalah... D E
1. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari adalah... A. 3-3 + 21-7 21-21 + 7 2. Persamaan (2m - 4)x² + 5x + 2 = 0 mempunyai akar-akar real berkebalikan, maka nilai m adalah... A. -3-3 6 Kunci
Lebih terperinciGEOMETRI ANALIT DI R3
GEOMETRI ANALIT DI R3 1. Persamaan berderajat pertama dengan tiga variabel di Persamaan yang berbentuk Ax + By + Cz + D = 0, (3*) dengan A, B, C, D merupakan bilangan real dan A, B, C tak bersama-sama
Lebih terperinciIRISAN DUA LINGKARAN. Tujuan Pembelajaran. ). Segmen garis dari P ke Q disebut sebagai tali busur. Tali busur ini memotong tegak lurus garis C 1
K- matematika K e l a s I IRISAN DUA LINGKARAN Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menentukan persamaan dan panjang tali busur dua lingkaran
Lebih terperinciB. 30 X + 10 Y 300; 20 X + 20 Y 400; X 0, Y 0 C. 10 X + 30 Y 300; 20 X + 20 Y 400, X 0, Y 0 D. 10 X + 30 Y 300, 20 X + 20 Y 400, X 0, Y 0
BIDANG STUDI : MATEMATIKA 1. Harga 3 kg pepaya dan 5 kg jeruk adalah Rp 13.000, sedangkan harga 4 kg papaya dan 3 kg jeruk adalah Rp 10.000, maka harga 2 kg papaya dan 4 kg jeruk adalah. A. Rp 10.000 B.
Lebih terperinciTAHUN PELAJARAN 2003/2004 UJIAN NASIONAL. Matematika (D10) PROGRAM STUDI IPA PAKET 2 (UTAMA) SELASA, 11 MEI 2004 Pukul
DOKUMEN NEGARA SANGAT RAHASIA UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 00/004 SMA/MA Matematika (D0) PROGRAM STUDI IPA PAKET (UTAMA) SELASA, MEI 004 Pukul 07.0 09.0 DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL Hak Cipta pada
Lebih terperinciKing s Learning Be Smart Without Limits
Nama Siswa : LEMBAR AKTIVITAS SISWA PERSAMAAN LINGKARAN Jadi dapat disimpulkan bahwa persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari = r adalah Kelas : Persamaan lingkaran: Kompetensi Dasar (KURIKULUM
Lebih terperinciMatematika EBTANAS Tahun 1986
Matematika EBTANAS Tahun 986 EBT-SMA-86- Bila diketahui A = { x x bilangan prima < }, B = { x x bilangan ganjil < }, maka eleman A B =.. 3 7 9 EBT-SMA-86- Bila matriks A berordo 3 dan matriks B berordo
Lebih terperinciDESKRIPSI PEMELAJARAN - MATEMATIKA
DESKRIPSI PEMELAJARAN MATA DIKLAT : MATEMATIKA TUJUAN : Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide/gagasan
Lebih terperinciMateri Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier
Materi Fungsi Linear Admin 8:32:00 PM Duhh akhirnya nongol lagi... kali ini saya akan bahas mengenai pelajaran yang paling disukai oleh hampir seluruh warga dunia :v... MATEMATIKA, ya itu namanya. materi
Lebih terperinciSILABUS (HASIL REVISI)
Sekolah : SMP... Kelas : VIII Mata Pelajaran : Matematika Semester : I(satu) SILABUS (HASIL REVISI) Standar Kompetensi : ALJABAR 1. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus Kompetensi
Lebih terperinciPersamaan Lingkaran. Pusat Jari-jari Pusat. Jari-jari Menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran. Persamaan Lingkaran
2. 5. Menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran. Persamaan Lingkaran Persamaan Lingkaran () () Bentuk Umum 0 dibagi (2) Pusat Jari-jari Pusat (,), Jumlah kuadrat pusat dikurangi Jari-jari
Lebih terperinciMBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari
MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi
Lebih terperinciBAB XI PERSAMAAN GARIS LURUS
BAB XI PERSAMAAN GARIS LURUS A. Pengertian Pesamaan Garis Lurus Persamaan garis lurus adalah suatu fungsi yang apabila digambarkan ke dalam bidang Cartesius akan berbentuk garis lurus. Garis lurus ini
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR TAHUN 1987
MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,
Lebih terperincimatematika KTSP & K-13 GARIS SINGGUNG LINGKARAN K e a s A. Definisi Garis Singgung Lingkaran Tujuan Pembelajaran
KTSP & K-3 matematika K e l a s XI GARIS SINGGUNG LINGKARAN Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami definisi garis singgung lingkaran..
Lebih terperinciSolusi Pengayaan Matematika Edisi 3 Januari Pekan Ke-3, 2005 Nomor Soal: 21-30
Solusi Pengayaan Matematika Edisi 3 Januari Pekan Ke-3, 005 Nomor Soal: -30. Garis 5y 60 memotong sumbu X dan sumbu Y masing-masing di titik A dan B, sehingga OAB membentuk segitiga siku-siku. Sebuah lingkaran
Lebih terperinciMelukis Grafik Irisan Kerucut Tanpa Transformasi Sumbu-sumbu Koordinat
JURNAL PENDIDIKAN MATEMATIKA VOLUME NOMOR JANUARI 0 Melukis Grafik Irisan Kerucut Tanpa Transformasi Sumbu-sumbu Koordinat La Arapu (Lektor pada Program Pendidikan Matematika FKIP Universitas Haluoleo)
Lebih terperinciMatematika EBTANAS Tahun 1999
Matematika EBTANAS Tahun 999 EBT-SMA-99-0 Akar-akar persamaan kuadrat + = 0 adalah α dan β. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (α + ) dan (β + ) + = 0 + 7 = 0 + = 0 + 7 = 0 + = 0 EBT-SMA-99-0 Akar-akar
Lebih terperinciUntuk lebih jelasnya, perhatikan uraian berikut.
KISI-KISI PENULISAN SOAL DAN URAIAN ULANGAN TENGAH SEMESTER GENAP Jenis Sekolah Penulis Mata Pelajaran Jumlah Soal Kelas Bentuk Soal AlokasiWaktu Acuan : SMP/MTs : Gresiana P : Matematika : 40 nomor :
Lebih terperinciMatematika Semester IV
F U N G S I KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menggambar fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi trigonometri
Lebih terperinciRENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Satuan Pendidikan : SMA Negeri 14 Palembang Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Semester : XI / 1 Materi Pokok : Elips (Ellipse) A. Kompetensi Inti KI 1 : Menghayati dan
Lebih terperinciA. Menentukan Letak Titik
Apa yang akan Anda Pelajari? Koordinat Cartesius Mengenal pengertian dan menentukan gradien garis lurus Menentukan persamaan garis lurus Menggambar grafik garis lurus Menentukan Gradien, Persamaan garis
Lebih terperinciBAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5
BAB PERSAMAAN Sifat Sifat Persamaan Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan. Sedangkan kesamaan adalah kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama
Lebih terperinciI. PETUNJUK: Untuk soal nomor 1 sampai dengan nomor, pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat!
I. PETUNJUK: Untuk soal nomor sampai dengan nomor, pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat!. Persamaan ( p + ) x ( p + ) x + ( p ) = 0, p, merupakan persamaan kuadrat dalam x untuk nilai p... p c.
Lebih terperinciJika persegi panjang ABCD di atas diketahui OA = 26 cm, maka panjang BO adalah... A. 78 cm. C. 26 cm B. 52 cm. D. 13 cm Kunci : C Penyelesaian :
1. Jika persegi panjang ABCD di atas diketahui OA = 26 cm, maka panjang BO adalah... A. 78 cm C. 26 cm B. 52 cm D. 13 cm 2. Gambar disamping adalah persegi panjang. Salah satu sifat persegi panjang adalah
Lebih terperinciMatematik Ekonom Fungsi nonlinear
1 FUNGSI Fungsi adalah hubungan antara 2 buah variabel atau lebih, dimana masing-masing dari dua variabel atau lebih tersebut saling pengaruh mempengaruhi. Variabel merupakan suatu besaran yang sifatnya
Lebih terperinciMADRASAH ALIYAH AL-MU AWANAH BEKASI SELATAN 2012
MODUL MATEMATIKA PERSIAPAN UJIAN NASIONAL 0 TAHUN AJARAN 0/0 MATERI PERSAMAAN KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT UNTUK KALANGAN MA AL-MU AWANAH MADRASAH ALIYAH AL-MU AWANAH BEKASI SELATAN 0 Jalan RH. Umar
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinciSOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com
SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN 05 yosprens.wordpres.com SOAL DAN PEMBAHASAN MATA UJI MATEMATIKA TKD SAINTEK SBMPTN 05 Berikut ini 5 soal mata uji matematika beserta pembahasannya yang diujikan
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 5 Bangun Geometris 5.1. Persamaan Kurva Persamaan suatu kurva secara umum dapat kita tuliskan sebagai F (, )
Lebih terperinciMatematika Teknik Dasar-2 7 Silinder. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya
Matematika Teknik Dasar- 7 Silinder Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Definisi dan Persamaan Silinder adalah sebuah permukaan yang didapatkan dari sebuah garis yang
Lebih terperinciA. PERSAMAAN GARIS LURUS
A. PERSAMAAN GARIS LURUS Persamaan garis lurus adalah hubungan nilai x dan nilai y yang terletak pada garis lurus serta dapat di tulis px + qy = r dengan p, q, r bilangan real dan p, q 0. Persamaan dalam
Lebih terperinciRingkasan Materi Matematika Untuk SMP Persiapan UN Web : erajenius.blogspot.com --- FB. : Era Jenius --- CP
Lingkaran & Garis Singgung A. Unsur-Unsur Lingkaran Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tetap yang disebut titik pusat lingkaran. Lambang lingkaran dengan
Lebih terperinciSistem PERSAMAAN dan PERTIDAKSAMAAN linier
Materi W4a Sistem PERSAMAAN dan PERTIDAKSAMAAN linier Kelas X, Semester 1 A. Sistem Persamaan Linier dengan Dua Variabel www.yudarwi.com A. Sistem Persamaan Linier dengan dua Variabel Bentuk umum : ax
Lebih terperinci3.1. Sub Kompetensi Uraian Materi MODUL 3 MENGGAMBAR BENTUK BIDANG
3.1. Sub Kompetensi Kemampuan yang akan dimiliki oleh mahasiswa setelah memahami isi modul ini adalah sebagai berikut : - Mahasiswa mampu memahami dan menggambar bentuk bidang dalam gambar kerja. 3.2.
Lebih terperinciREMIDI MATEMATIKA PEMINATAN KELAS XI UNGGULAN
REMIDI MATEMATIKA PEMINATAN KELAS XI UNGGULAN 1. Copy soal sesuai nama masing-masing 2. Jawablah pada kolom yang disediakan 3. Kirim jawaban melalui email kamto.al.rasyid84@gmail.com. Bias juga diserahkan
Lebih terperinciBEBERAPA FUNGSI KHUSUS
BEBERAPA FUNGSI KHUSUS ). Fungsi Konstan ). Fungsi Identitas 3). Fungsi Modulus 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi genap jika f(x) = f(x), dan Fungsi ganjil jika f(x) = f(x) 5). Fungsi Tangga dan
Lebih terperinciPERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
Materi W2e PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT Kelas X, Semester 1 E. Grafik Fungsi Kuadrat www.yudarwi.com E. Grafik Fungsi Kuadrat Grafik fungsi kuadrat f(x) = ax 2 + bx + c dapat dilukis dengan langkah-langkah
Lebih terperinci2 - x. 5. Persamaan garis k yang sejajar dengan garis l : x 3y + 6 = 0 dan melalui titik (3, 2) adalah
. Dari sebidang tanah diketahui 0 % dari luas tanah digunakan untuk mendirikan rumah, ½ % dari sisanya untuk taman dan sisanya tanah kosong. Jika luas tanah kosong 45 m, maka luas taman adalah.. 4 m m.
Lebih terperinciD. GEOMETRI 2. URAIAN MATERI
D. GEOMETRI 1. TUJUAN Setelah mempelajari modul ini diharapkan peserta diklat memahami dan dapat menjelaskan unsur-unsur geometri, hubungan titik, garis dan bidang; sudut; melukis bangun geometri; segibanyak;
Lebih terperinciSOAL DAN PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP 2012 TINGKAT PROVINSI (BAGIAN A : ISIAN SINGKAT)
SOAL DAN PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP 2012 TINGKAT PROVINSI (BAGIAN A : ISIAN SINGKAT) BAGIAN A : ISIAN SINGKAT 1. Sebuah silinder memiliki tinggi dan volume. Luas permukaan bola terbesar yang mungkin
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II, 016/017 1 Maret 017 Bab Sebelumnya 9.1 Barisan Tak Terhingga 9. Deret Tak Terhingga 9.3 Deret Positif: Uji Integral 9.4 Deret Positif: Uji Lainnya 9.5 Deret
Lebih terperinci1. Akar-akar persamaan 2x² + px - q² = 0 adalah p dan q, p - q = 6. Nilai pq =... A. 6 B. -2 C. -4 Kunci : E Penyelesaian : D. -6 E.
1. Akar-akar persamaan 2x² + px - q² = 0 adalah p dan q, p - q = 6. Nilai pq =... A. 6-2 -4 Kunci : E -6-8 2. Himpunan penyelesaian sistem persamaan Nilai 6x 0.y 0 =... A. 1 Kunci : C 6 36 3. Absis titik
Lebih terperinciFungsi Dua Peubah dan Turunan Parsial
Fungsi Dua Peubah dan Turunan Parsial Irisan Kerucut, Permukaan Definisi fungsi dua peubah Turunan Parsial Maksimum dan Minimum Handout Matematika Teknik, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 1 Irisan
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS BAHAN BELAJAR MANDIRI 4
BAHAN BELAJAR MANDIRI 4 PERSAMAAN GARIS PENDAHULUAN Secara umum bahan belajar mandiri ini menjelaskan tentang konsep garis, dan persamaan garis lurus yang dinyatakan ke dalam bentuk implisit maupun bentuk
Lebih terperinci