Jikax (2 x) = 57, maka jumlah semua bilangan bulat x yang memenuhi adalah A. -5 B. -1 C. 0 D. 1 E. 5

Transkripsi

1 Soal Babak Penyisihan OMITS 011 BAGIAN I. PILIHAN GANDA 1. Hasil kali sebarang bilangan rasional dengan sebarang bilangan irasional selalu merupakan anggota dari himpunan bilangan A. Bulat B. Asli C. Rasional D. Real E. Irasional. Adi dan Beni membersihkan rumah setiap 6 dan 9 hari sekali. Jika keduanya membersihkan rumah pertama kali secara bersamaan pada hari senin tanggal 7 Februari 011, maka keduanya akan membersihkan rumah secara bersamaan untuk kedua kalinya pada hari senin tanggal A. 0 Maret 011 B. 1 Maret 011 C. 1 Juni 011 D. 13 Juni 011 E. 17 Oktober C A B D Jika diketahui panjang AB = 0 cm, panjang BC = 5 cm, dan besar sudut CBD = 75, maka nilai dari tan BAC A B C D E Didefinisikan sebuah operasi bilangan mengoperasikan bilangan bulat a dan b dengan definisi a b = a + b + ab Jikax ( x) = 57, maka jumlah semua bilangan bulat x yang memenuhi A. -5 B. -1 C. 0 D. 1 E. 5 Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA 9

2 5. Bentuk paling sederhana dari A. 3 B. 3 + C D E Bilangan 011! memiliki digit 0 di posisi paling belakang pada representasi desimalnya sebanyak A. 499 B. 500 C. 501 D. 50 E Dalam sebuah termasuk perguruan tinggi negeri, peluang Adi diterima 0,8, peluang Budi diterima 0,75, peluang Edi diterima 0,7, dan peluang Tedi diterima 0,6. Tentukan peluang paling sedikit 3 dari 4 siswa tersebut diterima di perguruan tinggi negeri! A. 0,5 B. 0,486 C. 0,586 D. 0,638 E. 0, Sisa pembagian dari oleh 14 A. B. 3 C. 5 D. 9 E Diberikan sebuah segitigaabc dengan AB = 4 cm dan AC = 5 cm. Titik D berada pada ruas garis BC dengan BD = cm dan DC = 3 cm. Panjang AD A B C D E Diberikan sebuah himpunan garis-garis lurusl 1, l,, l 011 dengan l i l j untuk setiap i j. Jika l i l i+1 untuk setiap i = 1,,, 010, maka himpunan garis-garis tersebut membagi bidang koordinat-xy menjadi bagian. A B C D E Dalam sebuah turnamen sepak bola setiap tim bertemu dengan tim lain sebanyak tepat satu kali. Tim yang kalah, seri dan menang masing-masing mendapatkan poin 0, 1, dan 3. Poin-poin peserta membentuk barisan aritmatika dengan beda tidak sama dengan nol. Jika tidak ada tim yang selalu kalah, banyaknya tim yang mengikuti turnamen tersebut paling sedikit tim. 30 Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA

3 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 E Banyaknya bilangan 4 digit yang bersisa jika dibagi oleh 3, bersisa 3 jika dibagi oleh 5, bersisa 5 jika dibagi oleh 7 dan bersisa 7 jika dibagi oleh 11 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 E Sebuah polynomial monik p(x), berderajat 3, jika dibagi oleh x + 1, x +, dan x 3 memberikan sisa yang sama yaitu 6. Jika semua koefisien dari p(x) merupakan bilangan bulat, maka banyaknya bilangan bulat x yang menyebabkan p(x) merupakan bilangan prima A. 0 B. 1 C. D. 3 E Jika bilangan-bilangan dari 1 sampai dengan 10 semua digitnya dijumlahkan, maka hasilnya adalah 46. Jika bilangan-bilangan dari 1 sampai dengan 011 semua digitnya dijumlahkan, maka hasilnya A. 743 B C D E Diberikan sebuah trapezium ABCD dengan AB CD dan A = D = 90. Sebuah lingkaran dengan diameter AD menyinggung BC di titik P. Jika panjang AB = 3 cm dan panjang AD = 8 cm maka luas trapesium ABCD A. 30 B. 3 C D E Diberikan vektor-vektor S = 4i + 5j + 6k T = 7i + 8j + 9k U = 8i + 4j + 6k Nilai dari S T U A. 18 B. 1 C. 0 D. 1 E Sebuah segitiga ABC memiliki panjang sisiab = 3 cm, BC = 4 cm dan AC = 5 cm. Jarak antara pusat lingkaran dalam dan pusat lingkaran luar dari segitiga ABC sama dengan cm A B C. 1 5 D. 5 E. 5 Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA 31

4 18. Banyaknya pasangan bilangan bulat positif (m, n) sedemikian sehingga m, n < 11 dan terdapat bilangan bulat x dan y sedemikian sehingga mx + ny = 5 A. 59 B. 60 C. 63 D. 64 E Nilai dari 1 cos 5 x dx 0 A B C D E Seutas tali sepanjang meter dipotong menjadi bagian. Salah satu bagian dibentuk menjadi sebuah lingkaran, sedangkan bagian yang lain dibentuk menjadi sebuah segitiga sama sisi. Agar total luas kedua bangun tersebut minimum, berapakah panjang tali yang dibentuk menjadi lingkaran? A. π 3 9+π 3 B. π 3 9+π 3 C. 3π 3 9+π 3 D. 4π 3 9+π 3 E. 4π 3 18+π 3 1. Jika x menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x dan x menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x, maka nilai dari A B C D E Tentukan koefisien dari x 3 pada polinomial p x = x + x ! A. 165 B. 176 C. 198 D. 45 E Misalkan α menyatakan panjang garis singgung persekutuan dalam dan β menyatakan panjang garis singgung persekutuan luar dari buah lingkaran yaitu lingkaran x + y = 4 dan x + y 8x 6y = 4. Tentukan nilai dari β! A. 4 4 B. 0 C. 4 6 D. 4 7 E Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA

5 4. 11 orang duduk melingkar di dalam sebuah forum. Adi, Beni, dan Cepi merupakan anggota dari forum tersebut. Jika Adi tidak mau duduk berdampingan dengan Beni maupun Cepi, banyaknya posisi duduk dari 11 orang tersebut A. 9! B. 6 9! C. 56 8! D. 60 8! E. 8 9! 5. Sani dan 3 adiknya sedang mengamati kartu keluarga mereka dan menemukan fakta berikut Umur Sani kurang dari 30 tahun Umur Sani dan 3 adiknya membentuk barisan geometri dengan rasio tidak sama dengan 1. Jika umur mereka merupakan bilangan bulat, berapakah jumlah terbesar dari umur mereka? A. 40 B. 45 C. 54 D. 60 E Di dalam sebuah peti terdapat 4 buah kotak kardus berbeda yang masing-masing berisi 5 bola dengan perincian Kotak1 : bola merahdan 3 bola putih Kotak : 3 bola merahdan bola putih Kotak3 : 4 bola merahdan 1 bola putih Kotak4 : 5 bola merah Jika dimbil 1 bola dari masing-masing kotak, berapakah peluang terambilnya 3 bola merah dan 1 bola putih? A B. 1 5 C. 4 5 D. 1 5 E Jumlah semua bilangan polindrom 5 digit yang semua digitnya ganjil A B C D E Tentukan nilai minimum darix + x + 9 x x 3 x 4 untuk x R! A. 6 B. 5 C. 1 D. 1 E Sebuah lingkaran dengan pusat (0,3) dan jari-jari mengalami rotasi dengan pusat (0,0) sebesar 45 kemudian dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y = x. Pusat lingkaran hasil transformasi tersebut Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA 33

6 A. 1, 5 B. 5, 1 C. 5, 1 D. 5, 1 E. 5, Banyaknya pasangan bilangan bulat non negative (x 1, x, x 3 ) yang memenuhi x 1 + x + x 3 = 11 dan x 1 5 A. 45 B. 55 C. 56 D. 57 E Banyaknya nilai dari A dengan 0 A π yang memenuhi persamaan sin A + sin A + sin 3A = 0 A. B. 3 C. 4 D. 5 E x 1 dan x merupakan akar-akar persamaan nilai dari x x 4 ax + a x + 1 = 0 A. a B. a 4 4a + a C. a4 + 4a + 4 D. a 4 + a + E. a a4 a + 4 a a 33. Jika determinan matriks A = a 5 6 a 7 dan B = sama, maka nilai minimum dari a A. 1 7 B. 4 7 C. 1 D. E Berapakah nilai dari A B D E C. 40? 34 Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA

7 35. Di dalam sebuah kelas terdapat beberapa siswa sedemikian sehingga setiap siswa mengenal tepat setengah dari siswa lainnya. Banyaknya siswa pada kelas tersebut paling sedikit A. 3 B. 5 C. 7 D. 11 E Jumlah semua bilangan bulat x sedemikian sehingga x 3 + x + x + 3 juga merupakan bilangan bulat A. B. 1 C. 0 D. 1 E. 37. Banyaknya solusi bulat dari system persamaan x y + z + y x + z = 1 z xy 1 z = 4 xyz A. 0 B. 1 C. D. 3 E. Tak berhingga 38. Sebuah jam pasir berbentuk kerucut terbalik dengan jari-jari 50 cm dan tinggi 80 cm. Jam tersebut menjatuhkan pasir dengan debit 1 cm 3 /detik. Berapakah kecepatan perubahan kedalaman pasir saat kedalaman pasirnya 10 cm? (dalam cm/detik) A. 500π 64 B π C π D. 500π 36 E π 39. Diberikan sebuah segi empat tali busur ABCD. Garis AD dan BC berpotongan di titik P yang terletak di luar lingkaran. Jika panjang PA = PB, maka nilai dari AC +BD AB CD+AD BC = A. 1 B. 1 3 C. 1 D. 3 E. 40. Dalam sebuah permainan, Adi diminta menuliskan dua buah bilangan bulat. Pada setiap langkah, Adi diminta menghapus keduanya kemudian menggantinya dengan jumlah dan selisih keduanya. Setelah 1000 langkah, hasil kali dua bilangan yang dihasilkan tidak mungkin bernilai A B C. 01 D. 014 E. 016 Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA 35

8 41. Suatu barisan bilangan U = {U n } n=1 didefinisikan sebagai U n = n + n + 1. Jumlah 100 suku pertama dari barisan bilangan tersebut A B C D E Misalkan x, y, dan z merupakan bilangan real. Tentukan nilai terbesar dari z sedemikian sehingga x + y + z = dan xy + yz + zx = 1! A. 0 B. 1 C. 3 4 D. 1 E Diberikan sebuah bilangan 4 digit. Bilangan tersebut jika dibaca dari belakang sama dengan 3 kali bilangan itu sendiri. Banyaknya bilangan yang memenuhi kondisi ini adalah A. 0 B. 1 C. D. 3 E x, y, dan z merupakan bilangan real sedemikian sehingga x + y = 144 x + xy 3 + y = 5 y + yz + z = 169 Nilai dari yz 3 + xy + xz A. 30 B. 60 C. 10 D. 150 E Banyaknya himpunan bagian dari himpunan S = {1,, 3,, 11} sedemikian sehingga tidak memuat 7 bilangan berurutan A B. 000 C. 001 D. 00 E Tentukan banyaknya segitiga yang panjang setiap sisinya merupakan bilangan bulat dan panjang sisi terpanjangnya 100 satuan! A B C. 990 D E Banyaknya solusi positif dari system persamaan x 1 + x = x 3 x + x 3 = x 4 36 Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA

9 x 3 + x 4 = x 1 x 4 + x 1 = x A. 0 B. 1 C. 4 D. 8 E. Tak berhingga 48. Sisa pembagian x 010 x oleh x 1 A. 0 B. C. x D. E. x 49. Diberikan sebuah lingkaran dengan pusat O dan jari-jari 6 cm. Sebuah garis melalui titik P, yang terletak di luar lingkaran, menyinggung lingkaran di titik A. B dan C titik titik pada lingkaran sedemikian sehingga PB = BC. Jika panjang AP = 6 cm dan titik B, C dan P segaris, maka panjang PB = cm A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 3 E Sebuah lingkaran berpusat di titik O dan berjari-jari 3 cm. Tali busur AB melewati titik O. Tali busur CD memotong AB di titik M. E adalah titik pada CD sedemikian sehingga AE CD. Jika panjang AC = 5 cm dan panjang AD = cm, maka panjang AE = cm A. 6 5 B. 4 3 C. 3 D. 5 3 E. BAGIAN II. ISIAN SINGKAT 1. Diberikan sebuah matriks A = 1 0. Nilai dari A011. Suatu fungsi m dan n memetakan himpunan bilangan asli pada bilangan bulat dengan m(x) dan n(x) masing-masing menyatakan hasil kali dan penjumlahan digit-digit dari x. Jika 0 < x < 100, maka nilai maksimum dari m(x) n(x) 3. Jika setiap dari 3 persamaan kuadrat x a x + a + 1 = 0 x a + 1 x + a = 0 x 3ax + x + a + = 0 selalu memiliki tepat satu akar real yang sama, maka nilai dari a 4. Diberikan suatu barisan bilangan a n n=1. Jikaa 1 =, a = 3, dan a n+ = 5a n+1 6a n. Carilah sisa pembagian a 011 oleh 13! Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA 37

10 5. Diberikan sebuah segienam beraturan A 1 dengan panjang sisi 1 cm. Untuk setiap bilangan asli i yang lebih dari 1, A i merupakan segienam beraturan yang titik-titik sudutnya merupakan titik tengah sisi-sisi segienam beraturan A i 1. Tentukan nilai terkecil dari n sedemikian sehingga luas A n kurang dari 1 15 kali luas A 1! 6. Tentukan banyaknya bilangan 5 digit yang jumlah digit-digitnya samadengan 10! 7. 4 pasang suami istri beserta anaknya masing-masing 1 orang hadir dalam sebuah jamuan makan. Jika mereka duduk melingkar, tentukan banyaknya posisi duduk mereka sehingga setiap anak duduk diapit oleh kedua orang tuanya! 8. Diberikan sebuah segitiga sama sisi ABC dengan panjang sisi 6 cm. Sebuah lingkaran dengan jari-jari 3 cm melewati titik B dan C. Lingkaran ini memotong sisi AB dan AC masing-masing di titik P dan Q. Di dalam bidang APQ dibuat sebuah lingkaran. Jari-jari lingkaran terpanjang yang bisa dibuat cm. 9. Banyaknya cara menyusun 7 benteng pada papan catur berukuran 8 8 sedemikian sehingga tidak ada benteng yang bisa saling memangsa 10. Diberikan sebuah segitiga ABC dengan AB = 1 cm, AC = 13 cm dan ABC = 90. Sebuah lingkaran menyinggung sisi BC, perpanjangan garis AB dan perpanjangan garis AC. Panjang jari-jari lingkaran tersebut cm. 38 Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA