MENENTUKAN TURUNAN DAN SIFAT-SIFAT TURUNAN DARI FUNGSI 1/(x DAN h(x/(x Yuliana Saitri 1, Sri Gemawati 2, Musraini 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematia 2 Dosen Jurusan Matematia Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Peanbaru (28293, Indonesia yuliana.saitri9469@yahoo.co.id ABSTRACT This article discusses n-th derivative unction o the term 1/(x and h(x/(x where (x 0 by applying the partition numbers o n and n-th derivative o composite unction called Faa di Bruno ormula. Then we present some properties o n-th derivative unction o 1/(x and h(x/(x. Keywords: Derivative unction, Faa di Bruno ormula, Leibniz theorem, partition number ABSTRAK Artiel ini membahas turunan e-n dari ungsi yang berbentu 1/(x and h(x/(x dengan (x 0 dengan mengapliasian partisi bilangan dari n dan turunan e-n dari ungsi omposisi yang disebut dengan ormula Faa di Bruno. Selanjutnya aan ditentuan siat-siat dari turunan ungsi 1/(x and h(x/(x. Kata unci: Turunan ungsi, ormula Faa di Bruno, Teorema Leibniz, partisi bilangan 1. PENDAHULUAN Pada alulus, untu menentuan turunan e-n dari ungsi 1/(x dan h(x/(x dengan menggunaan aturan hasil bagi harus mencari satu per satu turunan pertama, edua, sampai dengan turunan e-n dari ungsi tersebut. Artiel ini membahas tentang turunan e-n dari ungsi 1/(x dan h(x/(x tanpa harus mencari turunan sebelumnya dengan mengapliasian partisi bilangan dari n. Selanjutnya dengan memandang pembilang dari turunan e-n ungsi 1/(x dan h(x/(x aan diperoleh siat-siatnya. Artiel ini merupaan tinjauan sebagian dari artiel yang ditulis oleh Jaimczu [3]. Repository FMIPA 1
2. TEOREMA LEIBNIZ, PARTISI BILANGAN, TEOREMA BINOMIAL, DAN FORMULA FAA DI BRUNO Teori penduung yang beraitan dengan pembahasan mengenai turunan e-n dari ungsi 1/(x dan h(x/(x serta siat-siatnya dibahas pada bagian ini. Teorema 1 [2](Teorema Leibniz Jia dan g dua ungsi pada x yang memilii turunan e-n, maa (g (n (x = (n (xg ( (x, (n > 0, (1 dengan (0 = dan g (0 = g. Buti. Lihat [2]. Deinisi 2 [1, h. 1] Sebuah partisi dari bilangan bulat positi n adalah barisan hingga dari bilangan bulat positi p 1, p 2,..., p m sedemiian sehingga m i=1 p i = n dengan p i adalah bagian dari partisi. Deinisi 3 [1, h. 1] Fungsi partisi p(n adalah jumlah partisi dari n. Deinisi 4 [1, h. 2] Ω n dinotasian sebagai himpunan semua partisi dari n. Partisi {p 1, p 2,..., p m } dinotasian dengan π dan ditulis π n untu menotasian π adalah partisi dari n. Sebuah partisi π dapat juga ditulis dengan π = [1 π 1, 2 π 2,..., n π n ] untu setiap i(1 i n [1]. Banyanya i yang muncul pada partisi π dari n dinotasian dengan π i. Banyanya bagian-bagian partisi π dinotasian dengan l(π atau l(π = m dan {π 1, π 2,..., π n } merupaan partisi dari l(π dan dinotasian dengan δ(π [3]. Teorema 5 [4, h. 416](Teorema Binomial Misalan x dan y adalah bilangan riil dan n adalah bilangan bulat ta negati, maa Buti. Lihat [4, h. 416]. (x + y n = x n y. Deinisi 6 [7] Misalan α = p 1, p 2,..., p m partisi dari n. simbol α! mewaili peralian atorial dari bagian α, α! = m i=1 (p i!. Dengan cara yang sama, notasi digunaan untu mewaili oeisien multinomial : ( n α = n! ( α α! = n. p 1, p 2,..., p m Repository FMIPA 2
Teorema 7 [5, h. 807] Misalan y = g(u dan u = (x memilii turunan e-n, maa omposisi ungsi y = (g (x juga memilii turunan e-n dan (g (n (x = ( n! π1 ( (x (n πn (x π 1! π n! (g(l(π (x, 1! n! (g (n (x = ( n n [ π δ(π! (g(l(π (x (i (x ] π i, (2 dengan Ω n merupaan himpunan partisi dari n, l(π = π 1 + + π n, dan π 1 + 2π 2 + + nπ n = n. Buti. Lihat [5, h. 807-809]. i=1 3. MENENTUKAN TURUNAN DAN SIFAT-SIFAT TURUNAN DARI FUNGSI 1/(x DAN h(x/(x Teorema 8 Jia (x terdierensialan pada x dan (x 0, maa ( (n 1 (x = P n, (n 0, (3 n+1 (x dengan P n merupaan polinomial dengan oeisien bilangan bulat pada variabel (x, (1 (x,..., (n (x. Jia n = 0, maa dan jia n 1, maa P n = ( l(π ( 1 l(π n l(π (x π δ(π Buti. Misalan g (u = 1, turunan e-n dari g(u adalah u P 0 = 1, (4 n [ (i (x ] π i. (5 i=1 g (n (u = ( 1n n! u n+1. (6 Selanjutnya, substitusian persamaan (6 e persamaan (2, diperoleh ( (n 1 (x = (g (n (x, = ( n π δ(π! (g(l(π (x n [ (i (x ] π i, i=1 Repository FMIPA 3
( (n 1 (x = ( n π ( 1 l(π l(π! n [ (i (x ] π i, δ(π! l(π+1 (x i=1 = ( n π ( 1 l(π l(π! n [ n l(π (x (i (x ] π i, δ(π! n+1 (x i=1 ( (n 1 ( 1 l(π( ( n l(π π δ(π n l(π (x n [ i=1 (i (x ] π i (x =, (7 n+1 (x ( (n 1 (x = P n n+1 (x. Turunan e-n dari ungsi 1/(x pada persamaan (3 terbuti. Selanjutnya, Misalan ungsi = (x dan = (0. Berdasaran penguraian polinomial P n, diperoleh polinomial pertama P n yaitu P 1 = (1 (x = (1, (8 P 2 = (x (2 (x + 2 (1 (x (1 (x = (2 + 2 (1 (1, (9 P 3 = (3 + 6 (1 (2 6 (1 (1 (1, (10 P 4 = (4 + 8 (1 (3 + 6 (2 (2 36 (1 (1 (2 + 24 (1 (1 (1 (1, (11 P 5 = (5 + 10 (1 (4 60 (1 (1 (3 + 20 (2 (3 90 (1 (2 (2 + 240 (1 (1 (1 (2 + 120 (1 (1 (1 (1 (1. (12 Berdasaran persamaan (8, (9, (10, (11, dan (12 dapat diperoleh beberapa siat-siat dari polinomial P n yang dinyataan dalam teorema beriut. Teorema 9 Polinomial P n (n 1 mempunyai siat-siat sebagai beriut: 1. Setiap bentu monomial pada polinomial P n, yaitu monomial yang berbentu (i1 (i 2 (in memilii n ator dan i 1 +i 2 + +i n = n. Jumlah monomial pada polinomial P n adalah p(n, dengan p(n adalah jumlah partisi dari n. 2. Jia n genap, maa jumlah oeisien dari polinomial P n adalah 1 dan jia n ganjil, maa jumlah oeisien dari polinomial P n adalah 1. Sehingga secara umum jumlah oeisien dari polinomial P n adalah ( 1 n. 3. Jia n genap, oeisien monomial dengan berjumlah genap adalah positi dan oeisien monomial dengan berjumlah ganjil adalah negati. Jia n ganjil, oeisien monomial dengan berjumlah genap adalah negati dan oeisien monomial dengan berjumlah ganjil adalah positi. 4. Jia A n merupaan jumlah nilai mutla dari oeisien pada polinomial P n, yaitu A n = ( l(π, (n 1. (13 π δ(π Repository FMIPA 4
Maa rumus beriut terpenuhi (A 0 = 1: q(x = 1 2 e x = A! x, (14 dengan A ( 0 merupaan turunan e- dari ungsi q(x pada x = 0 (A = q ( (0. Jari-jari onvergensi pada persamaan (14 adalah R = log 2. 5. Koeisien dari monomial yang berbentu (n adalah -1 dan oeisien dari monomial yang berbetu (1 (1 adalah ( 1 n n!, sehingga A n n!. Buti. 1. Berdasaran persamaan (5, diperoleh banya ator dari setiap monomial dari P n adalah n. Selanjutnya, = (0 dan 1 π 1 + + n πn = n, maa i 1 + i 2 + + i n = n. p(n adalah jumlah partisi dari n. Sehingga jumlah monomial dari P n adalah p(n. 2. Misalan (x = e x, sehingga (i (x = e x dan (i (0 = 1 untu semua bilangan bulat i 0. Selain itu, ruas iri persamaan (7 untu x = 0 menjadi ( (n ( (n 1 1 (0 = (0, e x = (e x x=0, ( (n 1 (0 = ( 1 n. (15 Selanjutnya, ruas anan dari persamaan (7 untu x = 0 menjadi ( 1 l(π( n π ( l(π δ(π (0 n l(π n i=1 [ (i (0 ] π i ((0 n+1 = ( l(π ( 1 l(π. (16 π δ(π Persamaan (16 merupaan jumlah oeisien dari polinomial P n. 3. Pandang persamaan (5, Terdapat dua asus untu nilai n, yaitu asus 1 Untu n genap, Jia l(π genap, maa n l(π genap. Sehingga banya ator dari monomial berjumlah genap dan oeisien monomial P n bernilai positi. Jia l(π ganjil, maa n l(π ganjil. Sehingga banya ator dari monomial berjumlah ganjil dan oeisien polinomial P n bernilai negati. Kasus 2 Untu n ganjil berlau sebalinya. Repository FMIPA 5
4. Misalan (x = 2 e x, maa (0 = 1 dan (i (x = e x untu semua i > 0, sehingga untu x = 0 diperoleh (i (0 = 1. Sehingga ruas anan pada persamaan (7 untu x = 0 menjadi ( 1 l(π( ( n l(π π δ(π (0 n l(π n [ i=1 (i (0 ] π i = ( l(π. (17 (0 n+1 π δ(π Persamaan (17 merupaan A n. Selanjutnya, ruas iri dari persamaan (7 untu x = 0 menjadi (g (n (0 = q (n (0, (18 dengan mensubstitusian persamaan (17 dan (18 e persamaan (7, diperoleh Persamaan (19 mengaibatan q (n (0 = A n. (19 q(x = (g (x = 1 2 e, x A q(x =! x. Selanjutnya, ungsi omples q(z = 1/(2 e x analiti di caram z < log 2 dan jari-jari onvergensi dari persamaan (14 adalah R = log 2 [8, h. 48]. 5. Berdasaran aibat persamaan (5, bagian (5 terbuti. Sehingga Teorema 9 terbuti. Teorema 10 Jia h(x dan (x terdierensialan pada x dengan (x 0, maa turunan e-n dari ungsi h(x/(x, yaitu ( (n h (x = Q n n+1 (x, (20 dengan Q n = h (n (x n (xp. (21 Buti Pandang ungsi h(x/(x sebagai peralian dari dua ungsi h(x dan 1/(x, dengan menggunaan Teorema Leibniz dan persamaan (3, maa ( (n h ( ( ( n 1 (x = h (n (x (x, = h (n P (x +1 (x, ( (n n ( n h h (n (x n (xp (x =. n+1 (x Repository FMIPA 6
Sehingga persamaan (20 terbuti. Gunaan persamaan (21, (4, (8, (9, dan (10, maa diperoleh polinomial pertama Q n yaitu Q 0 = h. (22 Q 1 = h (1 h (1. (23 Q 2 = h (2 2h (1 (1 h (2 + 2h (1 (1. (24 Q 3 = h (3 3h (2 (1 3h (1 (2 + 6h (1 (1 (1 h (3 + 6h (1 (2 6h (1 (1 (1. (25 Berdasaran penguraian polinomial Q n pada persamaan (22, (23, (24, dan (25 diperoleh beberapa siat-siat dari polinomial Q n yang dinyataan dalam teorema beriut. Teorema 11 Misalan diberian polinomial Q n (n 0. 1. Jumlah dari oeisien polinomial Q n (n 1 adalah nol. 2. Jia C n merupaan jumlah nilai mutla dari oeisien pada polinomial Q n, maa C n = A, (n 0. (26 3. Jia n genap, oeisien monomial dengan berjumlah genap adalah positi dan oeisien monomial dengan berjumlah ganjil adalah negati. Jia n ganjil, oeisien monomial dengan berjumlah genap adalah negati dan oeisien monomial dengan berjumlah ganjil adalah positi. 4. Jia C n merupaan jumlah dari nilai mutla dari oeisien pada polinomial Q n, maa p(x = ex 2 e = x C! x, (27 dengan C ( 0 merupaan turunan e- dari ungsi p(x = e x /(2 e x untu x = 0 (C = p ( (0. Jari-jari onvergensi dari persamaan (27 adalah R = log 2. 5. Jia C n merupaan jumlah nilai mutla dari oeisien pada polinomial Q n dan A n merupaan jumlah nilai mutla dari oeisien polinomial P n, maa C 0 = A 0 = 1, C n = 2A n, (n 1. Repository FMIPA 7
6. Jia A n merupaan jumlah nilai mutla dari oeisien polinomial P n, maa n 1 A n = A, (n 1. 7. Setiap bentu monomial pada polinomial Q n, yaitu monomial dengan bentu h (i1 (i 2 (i(n+1 memilii (n + 1 ator dan i 1 + i 2 + + i (n+1 = n dengan h = h (0 dan = (0. Jumlah monomial pada polinomial Q n adalah n p( dengan p( merupaan jumlah dari partisi (p(0 = 1. Buti. 1. Berdasaran Teorema 9 bagian (2, jumlah oeisien polinomial P adalah ( 1, sehingga jumlah oeisien dari polinomial Q n berdasaran persamaan (21 yaitu P = berdasaran Teorema Binomial, persamaan (28 menjadi P = 0. ( 1, (28 Sehingga jumlah oeisien dari polinomial Q n sama dengan nol. 2. Berdasaran Teorema 9 bagian (4, Jumlah nilai mutla dari oeisien polinomial P adalah A, arena C n adalah jumlah nilai mutla dari oeisien polinomial Q n maa C n = A. 3. Berdasaran persamaan (21 dan berdasaran Teorema 9 bagian (3, maa bagian (3 terbuti. 4. Misalan (x = e x 2, maa (0 = 1, (n (x = e x (n 1, dan (n (0 = 1. Selanjutnya, misalan h(x = e x, maa h(0 = 1, h (n (x = e x (n 1, dan h (n (0 = 1. Oleh arena itu, p(x = h(x (x, ex p(x = e x 2. (29 Persamaan (21 secara tida langsung memberian bahwa persamaan (29 memenuhi p (n (0 = C n (n 0. Selanjutnya, ungsi variabel omples p(z = e z /(e z 2 analiti di caram z < log 2 dan aibatnya jari-jari onvergensi dari persamaan (27 adalah R = log 2 [8]. Repository FMIPA 8
5. ungsi q(x pada Teorema 9 bagian (4, yaitu q(x = 1/(2 e x untu x = 0, maa q(0 = 1. Selanjutnya, aibatnya, ex p(x = 2 e, x ( 1 = 1 + 2, 2 e x p(x = 1 + 2q(x, (30 C 0 = p(0 = q(0 = A 0 = 1. Selanjutnya, turunan e-n dari persamaan (30, yaitu p (n (x = 2q (n (x (n 1. Sehingga berdasaran persamaan (30, Teorema 9 bagian (4, dan Teorema 11 bagian (4, diperoleh C n = p (n (0 = 2q (n (0 = 2A n (n 1. 6. Berdasaran bagian (2 dan bagian (5, maa diperoleh 2A n = A, (31 dengan melauan modiiasi aljabar pada persamaan (31, diperoleh n 1 A n = A. 7. Berdasaran persamaan (21 dan Teorema 9 bagian (1, sehingga banyanya ator dari setiap bentu monomial dari polinomial Q n, adalah n + 1 dan i 1 + i 2 + + i (n+1 = n dengan h = h (0 dan = (0. Jumlah monomial pada polinomial Q n adalah n (p(0 = 1. Teorema 11 terbuti. p( dengan p( merupaan jumlah dari partisi 4. KESIMPULAN Berdasaran hasil pembahasan yang telah diemuaan, maa dapat disimpulan bahwa dapat ditentuan turunan e-n dari ungsi 1/(x dan h(x/(x. Secara umum, dapat diperoleh siat-siat dari turunan ungsi 1/(x dan h(x/(x dengan menguraian pembilang dari hasil turunan ungsi tersebut. Partisi bilangan bulat n sangat berpengaruh untu menentuan turunan e-n dari ungsi 1/(x dan h(x/(x, sehingga perlu etelitian dalam menetuan partisi dari n. Untu n yang besar, partisi n aan semain banya. Sehingga perlu apliasi untu menetuan partisi n sehingga mempermudah menentuan turunan dari ungsi 1/(x dan h(x/(x. Repository FMIPA 9
DAFTAR PUSTAKA [1] Andrews, G. E. 1976. The Theory o Partitions. Wesley Publishing Company, Pennsylvania. [2] http://mathematician0.weebly.com/uploads/4/9/1/1/49118391/070 1 successive dierentiation 1.pd, 01 November 2014. P. 11.41, [3] Jaimczu, R. 2011. Successives Derivatives and Integer Sequences. Journal o Integer Sequences, 14 :1-17. [4] Rosen, H. K. 2012. Discrete Mathematics and Its Applications. McGraw-Hill, New Yor. [5] Roman, S. 1980. The Formula o Faa di Bruno. The American Mathematical Monthly, 85 : 805-809. [6] Stewart, J. 2001. Kalulus Edisi Keempat: Buu 1. Terj. dari Calculus, ourth edition, oleh I Nyoman, S. Erlangga, Jaarta. [7] Vella. C. D. 2008. Explisit Formulas or Bernoulli and Euler Number. Electronic Journal o Combinatorial Number Theory, 8 : 1-7. [8] Wil, H. S. 1994. Generating unctionology. Academic Press, Philadelphia. Repository FMIPA 10