PREMI TUNGGAL ASURANSI JIWA CONTINGENT MENGGUNAKAN MODEL TINGKAT BUNGA EKSPONENSIAL VASICEK ABSTRACT

Transkripsi

1 PREMI TUNGGAL ASURANSI JIWA CONTINGENT MENGGUNAKAN MODEL TINGKAT BUNGA EKSPONENSIAL VASICEK Shinta Pragustia Kuarni, Hasriati 2, T. P. Nababan 2 Mahasiswa Program Studi S Matematia 2 Dosen Jurusan Matematia Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Peanbaru 28293, Indonesia *shintapragustiauarni@yahoo.com ABSTRACT This article discusses a single premium of life insurance contingent using exponential Vasice interest rate model. This calculation of premium is solved by predetermined life probability based on Weibull distribution, discount factor by using exponential Vasice interest rate model, and single premium of life insurance contingent by using insurance money payment made at the end of the policy year. Keywords: Life insurance contingent, exponential Vasice interest rate model, Weibull distribution ABSTRAK Artiel ini membahas tentang premi tunggal asuransi jiwa contingent menggunaan model tingat bunga esponensial Vasice. Perhitungan premi ini dapat diselesaian dengan menentuan terlebih dahulu peluang hidup berdasaran distribusi Weibull, fator dison dengan menggunaan model tingat bunga esponensial Vasice, dan premi tunggal asuransi jiwa contingent dengan pembayaran uang pertanggungan dilauan di ahir tahun polis. Kata unci: Asuransi jiwa contingent, model tingat bunga esponensial Vasice, distribusi Weibull. PENDAHULUAN Asuransi jiwa berjanga adalah suatu jenis asuransi yang memberian uang pertanggungan apabila terjadi resio ematian dari peserta asuransi selama ontra asuransi berlangsung [6, h. 82]. Asuransi jiwa berdasaran jumlah tertanggung terdiri atas asuransi jiwa perorangan dan gabungan. Asuransi jiwa gabungan merupaan asuransi yang memberian perlindungan untu dua orang atau lebih dalam satu polis, dengan uang pertanggungan aan diberian jia salah seorang

2 tertanggung meninggal dunia. Suatu asuransi yang berupa asuransi jiwa berjanga dengan status hidup gabungan dimana pembayaran uang pertanggungannya diaitan terhadap urutan meninggal dari peserta asuransi disebut dengan asuransi jiwa contingent [7, h. 94]. Setiap peserta asuransi diwajiban membayar premi. Pembayaran premi yang hanya dilauan satu ali pembayaran saat ontra asuransi disetujui disebut dengan premi tunggal [6, h. 69]. Premi tunggal dipengaruhi oleh peluang hidup dan tingat bunga. Pada artiel ini peluang hidup yang digunaan adalah peluang hidup berdasaran distribusi Weibull [5, h. 77] dan tingat bunga yang digunaan adalah tingat bunga yang nilainya berubah setiap tahun. Untu mempredisi perubahan tersebut maa diperluan suatu model tingat bunga yaitu model esponensial Vasice yang tingat bunganya berbentu esponensial dari tingat bunga Vasice 977 [3, h. 62]. Pada artiel ini aan dibahas mengenai premi tunggal asuransi jiwa contingent menggunaan model tingat bunga esponensial Vasice, dimana pembayaran uang pertanggungannya aan dilauan segera apabila selama masa pertanggungan peserta asuransi yang berusia x tahun meninggal terlebih dahulu daripada peserta yang berusia y tahun. 2. PREMI TUNGGAL ASURANSI JIWA BERJANGKA BERDASARKAN DISTRIBUSI WEIBULL Pada bagian ini dibahas mengenai premi tunggal asuransi jiwa berjanga berdasaran distribusi Weibull. Sebelumnya dibahas mengenai percepatan mortalita. Percepatan mortalita merupaan lajunya tingat anga ematian orang yang berusia x tahun. Berdasaran distribusi Weibull diperoleh percepatan mortalita untu orang yang berusia x tahun yaitu dan untu usia x + t tahun adalah µ x = x m. µ x+t = x + t m. 2 Percepatan mortalita mempunyai hubungan terhadap peluang hidup untu seseorang yang berusia x tahun hingga x + t tahun yang dinyataan dengan tp x = e t 0 µ x+s ds. 3 Dengan mensubstitusian persamaan 2 e persamaan 3 diperoleh peluang hidup berdasaran distribusi Weibull yaitu tp x = e m+x+t m+ x m+. 4 Berdasaran persamaan 4, untu seseorang yang berusia y tahun peluang hidupnya adalah tp y = e m+y+t m+ y m+. 5 2

3 Menurut Futami [7, h. 58], peluang hidup untu status hidup gabungan dengan dua orang peserta asuransi yang berusia x dan y tahun dinyataan dalam bentu tp xy = t p x t p y. 6 Kemudian dengan mensubstitusian persamaan 4 dan 5 e persamaan 6, diperoleh peluang hidup untu peserta asuransi yang berusia x dan y tahun berdasaran distribusi Weibull tp xy = e m+x+t m+ x m+ +y+t m+ y m+. 7 Premi tunggal asuransi jiwa berjanga n tahun untu peserta asuransi yang berusia x dan y tahun, dengan uang pertanggungan dibayaran pada ahir tahun polis dinyataan dalam bentu [7, h. 74] n A xy: n = v t+ t q xy n A x: n = v t+ t p xy t+ p xy. 8 dimana v menyataan fator dison. Dengan menggunaan persamaan 7, persamaan 8 menjadi n A xy: n = v t+ e m+x+t m+ x m+ +y+t m+ y m+ e m+x+t+ m+ x m+ +y+t+ m+ y m+. 9 Jia uang pertanggungannya dibayaran segera, premi tunggal asuransi jiwa berjanga untu status hidup gabungan dinyataan dalam bentu n Ā xy: n = v t+ 2 t q xy 0 Dengan menyelesaian persamaan 0 diperoleh hubungan antara premi tunggal asuransi jiwa berjanga yang uang pertanggungannya dibayaran pada ahir tahun polis dan segera yaitu Ā xy: n = + i 2 A xy: n dengan i menyataan tingat bunga. Dengan mensubstitusian persamaan 9 e persamaan sehingga diperoleh n Ā xy: n = + i 2 v t+ e m+x+t m+ x m+ +y+t m+ y m+ e m+x+t+ m+ x m+ +y+t+ m+ y m+. 2 3

4 Persamaan 2 merupaan premi tunggal asuransi jiwa berjanga berdasaran distribusi Weibull yang uang pertanggungannya dibayar segera apabila salah seorang dari peserta asuransi meninggal selama masa pertanggungan tanpa memperhatian urutan meninggal dari peserta asuransi. 3. PREMI TUNGGAL ASURANSI JIWA CONTINGENT MENGGUNAKAN MODEL TINGKAT BUNGA EKSPONENSIAL VASICEK Model tingat bunga esponensial Vasice merupaan model yang mempunyai tingat bunga berbentu esponensial dari tingat bunga Vasice 977 [3, h. 69], yang dinyataan dalam bentu rc = e uc, 3 dimana uc merupaan tingat bunga Vasice. Bentu umum model tingat bunga Vasice adalah [, h. 7] duc = α β uc dc + θdw c, u0 = u 0, 4 dan model tingat bunga esponensial Vasice dapat dinyataan dengan [, h. 20] drc = rc αβ + θ2 α ln rc dc + θrcdw c, 5 2 dengan rc menyataan tingat bunga esponensial Vasice, c menyataan watu, dengan c 0, β menyataan titi eseimbangan dengan β > 0, α menyataan ecepatan proses untu embali menuju β dengan α > 0, θ menyataan volatilitas dengan θ > 0, dan W c menyataan proses Wiener. Dengan menggunaan lemma Ito diperoleh solusi dari persamaan 5 yaitu rc = e e αc ln r0+β e αc + c 0 θe αc s dw s. 6 Dari persamaan 6 dan 3 diperoleh solusi persamaan 4 yaitu uc = e αc ln r0 + β e αc + Espetasi dan variansi dari persamaan 7 dinyataan dengan c 0 θe αc s dw s. 7 E uc = e αc ln r0 + β e αc, 8 V ar uc = θ2 2α e 2αc. 9 Kemudian espetasi dari persamaan 6 yaitu E rc = e e αc ln r0+β e αc + 4α θ2 e 2αc. 20 4

5 Dengan menggunaan persamaan 8 dan 9, fungsi epadatan peluang dari rc yang berdistribusi lognormal dinyataan dalam bentu frc i ; α, β, γ 2 = 2πγ 2 2 rci e 2γ 2 ln rc i e αδ ln rc i β e αδ 2. 2 Fungsi lielihood pada persamaan 2 yaitu Lα, β, γ 2 = 2π n 2 γ n n i= rc i e 2γ 2 n i=ln rc i e αδ ln rc i β e αδ Persamaan 22 dimodifiasi dalam bentu logaritma natural sehingga ln Lα, β, γ 2 = n n 2 ln2π n lnγ ln rc i 2γ 2 i= n ln rci e αδ ln rc i β e αδ i= Untu memperoleh nilai dari parameter α, β, dan γ 2 maa persamaan 23 dideferensialan terhadap α, β serta γ 2 dan menyamaan diferensialnya dengan 0 diperoleh α = n i= ln ln rc i β ln rc i β δ n i= ln rc i β n i= β = ln rc i e αδ n i= ln rc i. 25 n e αδ n [ γ 2 i= ln rci e αδ ln rc i β e αδ] 2 =. 26 n Nilai dari α, β, dan γ 2 dapat dinyataan dalam bentu yang lebih sederhana dengan menggunaan notasi-notasi sebagai beriut r w = n ln rc i, r z = i= n ln rc i, r ww = i= n ln rc i 2, i= r zz = n ln rc i 2, r wz = i= Sehingga α, β, dan γ 2 menjadi α = δ ln rwz βr z βr w + nβ 2 r ww 2βr w + nβ 2 β = n ln rc i ln rc i. i=. 27 r z r ww r w r wz n r ww r wz r 2 w r w r z. 28 5

6 γ 2 = r zz 2e αδ r wz 2β e αδ r z e αδ r w + e 2αδ r ww n + nβ2 e αδ n Serta nilai dari θ 2 adalah θ 2 = 2αγ 2 e 2αδ. 30 Fator dison untu model tingat bunga esponensial Vasice dinyataan dengan [2, h. 638] v t+ = t+ c= + E [rc]. 3 Dengan mensubstitusian persamaan 20 e persamaan 3 sehingga diperoleh v t+ = t+ c= + e. 32 e αc ln r0+β e αc + θ2 4α e 2αc Selanjutnya, untu peserta asuransi yang berusia x tahun aan meninggal sebelum y tahun selama masa pertanggungan n tahun maa premi tunggal asuransi jiwa contingent dengan uang pertanggungan dibayar di ahir tahun polis dinyataan dalam bentu [7, h. 94] n A x y: n = v t+ t qx y n A x y: n = v t+ t+ p y t p x t+ p x Dengan menggunaan persamaan 3 dan 7 maa persamaan 33 menjadi n A x y: n = v t+ e m+y+t+ 2 m+ y m+ e m+x+t m+ x m+ e m+x+t+ m+ x m+. 34 Dengan mensubstitusian persamaan 32 e persamaan 34 diperoleh n t+ A x y: n = c= + exp { e αc ln r0 + β e αc + θ2 e m+y+t+ 2 m+ y m+ e m+x+t m+ x m+ e m+x+t+ m+ x m+ 4α e 2αc }. 35 6

7 Persamaan 35 menyataan premi tunggal asurnasi jiwa contingent berdasaran distribusi Weibull menggunaan model tingat bunga esponensial Vasice dengan pembayaran uang pertanggungan dilauan di ahir tahun polis. Selanjutnya, untu premi tunggal asuransi jiwa contingent yang pembayaran uang pertanggungan dilauan segera dinyataan dengan n Ā x y: n = v t+ 2 t qx y. 36 Dengan menyelesaian persamaan 36 diperoleh hubungan premi tunggal asuransi jiwa contingent yang uang pertanggungannya dibayar pada ahir tahun polis dan segera yaitu Ā x y: n = + i 2 A x y: n. 37 Kemudian dengan mensubstitusian persamaan 35 e persamaan 37 maa berdasaran distribusi Weibull diperoleh Ā x y: n = + i 2 n t+ c= e m+y+t+ 2 m+ y m+ e + e e αc ln r0+β e αc + θ2 4α e 2αc m+x+t m+ x m+ e m+x+t+ m+ x m+. 38 Model tingat bunga esponensial Vasice bersifat mean reverting [, h. 20], yaitu θ2 β+ tingat bunganya aan menuju pada nilai e 4α. Oleh arena itu, dengan θ2 β+ mensubstitusian e 4α pada i sehingga premi tunggal asuransi jiwa contingent berdasaran distribusi Weibull menggunaan model tingat bunga esponensial Vasice adalah Ā x y: n = + e β+ θ2 4α n 2 t+ c= e m+y+t+ 2 m+ y m+ e + e e αc ln r0+β e αc + θ2 4α e 2αc m+x+t m+ x m+ e m+x+t+ m+ x m+. 39 Contoh Sepasang suami istri mengiuti program asuransi j iwa contingent selama 5 tahun dengan usia suami 35 tahun dan istri 30 tahun, yang aan memperoleh uang pertanggungan sebesar Rp ,00 dengan tingat bunga 9,8% serta nilai onstanta dari distribusi Weibull adalah = 0, dan m =, 5. Aan ditentuan premi tunggal asuransi jiwa contingent berdasaran distribusi Weibull yang harus dibayar oleh sepasang suami istri tersebut. 7

8 Dietahui x = 35, y = 30, R = , n = 5 tahun, i = 9, 8%, = 0, 00375, dan m =, 5. a. Menggunaan Tingat Bunga Tetap Nilai fator dison berdasaran tingat bunga tetap i = 9, 8% yaitu v = + i = = 0, , 098 Dengan mensubstitusian nilai fator dison e persamaan 34 sehingga premi tunggalnya adalah A 35 30: 5 = 0, Jia uang pertanggungan dibayaran di ahir tahun polis sebesar Rp ,00 maa premi tunggalnya adalah Rp ,45. Selanjutnya untu uang pertanggungan dibayaran segera maa premi tunggalnya yaitu Ā 35 30: 5 = + 0, A 35 30: 5 = + 0, Rp , 45 Ā 35 30: 5 =Rp , 2. Jadi, premi yang harus dibayar oleh sepasang suami istri tersebut dengan tingat bunga 9,8% adalah Rp ,2. b. Menggunaan Model Tingat Bunga Esponensial Vasice Untu mengestimasi parameter dari tingat bunga esponensial Vasice pada persoalan ini digunaan data tingat bunga Sertifiat Ban Indonesia SBI dari tahun 2005 sampai 204. Data tersebut diperoleh dari website Tabel : Data Tingat Bunga Sertifiat Ban Indonesia SBI Tahun Tingat Bunga SBI% ,8 2006, , , , ,4 20 6, , , ,03 Dari data tingat bunga SBI dan berdasaran persamaan 3 maa r0 = e y0 = e 0,098 =, 0965, 8

9 serta δ = sehingga diperoleh r w = 0, 695, r z = 0, 6735, r ww = 0, , r zz = 0, , r wz = 0, Dengan menggunaan persamaan 27, 28, 29, dan 30 diperoleh β = 0, 03024, α = 0, 09329, γ 2 = 0, 0009, θ = 0, 0428 Kemudian dengan mensubstitusian nilai α, β, θ, dan r0 e persamaan 35 maa premi tunggalnya adalah A 35 30: 5 = 0, Dengan uang pertanggungan sebesar Rp ,00 yang dibayaran pada ahir tahun polis maa premi tunggalnya adalah Rp ,33. Sehingga dengan pembayaran uang pertanggungan dilauan segera maa premi tunggal untu sepasang suami istri tersebut yaitu Ā 35 30: 5 0, = + e0, , A 35 30: 5 =, Rp , 33 Ā 35 30: 5 =Rp , 49. Jadi, sepasang suami istri tersebut harus membayar premi tunggalnya sebesar Rp , KESIMPULAN Kesimpulan yang penulis peroleh dari penulisan sripsi ini yaitu perhitungan nilai premi tunggal asuransi jiwa contingent berdasaran distribusi Weibull menggunaan model tingat bunga esponensial Vasice dan tingat bunga tetap memperhatian dua onstanta dari distribusi Weibull, yaitu dan m. Jia > m maa peluang hidup peserta asuransi semain besar, hal ini juga mengaibatan nilai premi tunggalnya semain besar. Sebalinya, jia < m maa peluang hidupnya semain ecil sehingga premi tunggalnya semain ecil. Premi tunggal asuransi jiwa contingent berdasaran distribusi Weibull menggunaan model tingat bunga esponensial Vasice juga dipengaruhi oleh nilai eseimbangan dari tingat bunga yaitu β, percepatan tingat bunga menuju titi eseimbangan yaitu α dan volatilitas yaitu θ. Jia β lebih besar maa nilai premi tunggalnya semain besar. Sebalinya, jia β lebih ecil maa nilai premi tunggalnya semain ecil. Sehingga dengan nilai < m dan β yang ecil aan menguntungan bagi peserta asuransi jiwa contingent. 9

10 DAFTAR PUSTAKA [] M. Bohner, Fixed Income Models Winter 200/20 Lecture Notes, Missouri University, USA, 20. [2] N. L. Bowers Jr, H. U. Gerber, J. C. Hicman, D. A. Jones dan C. J. Nesbitt, Actuarial Matematics, Second Ed., The Society of Actuaries, Illinois, 997. [3] D. Brigo dan F. Mercurio, Interest Rate Models Theory and Practice, Springer, Germany, 200. [4] D. C. M. Dicson, M. R. Hardy dan H. R. Waters, Actuarial Mathematics for Life Contingent Riss, Cambridge University Pres, New Yor, [5] M. B. Finan, A Reading of the Theory of Life Contingency Models: A Preparation for Exam MLC/3L, 20, 875 hal, diases 3 Mei 205, p [6] T. Futami, Matematia Asuransi Jiwa, First Ed., Terj. dari Seimei Hoen Sugau, Gean 92 Revision, oleh G. Herliyanto, Incoporated Fundation, Toyo, Jepang, 993. [7] T. Futami, Matematia Asuransi Jiwa, Second Ed., Terj. dari Seimei Hoen Sugau, Gean 92 Revision, oleh G. Herliyanto, Incoporated Fundation, Toyo, Jepang, 994. [8] J. C. Hull, Option, Futures, and Other Derivative, Sixth Ed., Prentice Hall, New Jersey, [9] C. W. Jordan Jr, Life Contingencies, Second Ed., Society of Actuaries, Chicago, 99. [0] F. C. Klebaner, Introduction to Stochastic Calculus with Application, Second Ed., Monash University, Australia, [] K. M. Ramachandran dan C. P. Tsoos, Mathematical Statistics with Applications, University of South Florida, Tampa, Florida, [2] M. Ross, Stochastic Processes, Second Ed., John Wiley, California, [3] R. E. Walpole, R. H. Myers, S. L. Myers dan K. Ye, Probability and Statistics for Engineers and Scientists, Ninth Ed., Pearson Education International, United States, USA