PARTISI BILANGAN p(5n + 4), p(7n + 5) DAN p(11n + 6) SECARA BERTURUT-TURUT KONGRUEN MODULO 5, 7 DAN 11 ABSTRACT

Transkripsi

1 PARTISI BILANGAN p(5n + 4), p(7n + 5) DAN p(11n + 6) SECARA BERTURUT-TURUT KONGRUEN MODULO 5, 7 DAN 11 Abdul Akhyar 1, Syamsudhuha 2, Sri Gemawati 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya Pekanbaru 28293, Indonesia abdul.akhyar@yahoo.co.id ABSTRACT A partition of a positive integer is the representation of the positive integer its self or sums of the other positive integers, while the partition function is the number of partitions. This article disscusses a simple proof of partition numbers p(5n + 4), p(7n + 5) and p(11n + 6) consecutively congruent modulo 5, 7, and 11. The proof for modulo 5 and 7 are carried out via Jacobi identities, while for modulo 11 via Euler and Jacobi identities. Keywords: identities Partition number, modulo, generating function, Euler and Jacobi ABSTRAK Partisi dari bilangan bulat positif merupakan suatu cara menuliskan bilangan tersebut sebagai dirinya sendiri ataupun juga sebagai jumlah dari bilangan bulat positif lainnya, sedangkan fungsi partisi adalah banyaknya partisi yang dimiliki oleh suatu bilangan. Artikel ini membahas tentang bukti sederhana dari partisi bilangan p(5n + 4), p(7n + 5) dan p(11n + 6) secara berturut-turut kongruen pada modulo 5, 7 dan 11. Untuk pembuktian pada modulo 5 dan 7 melalui identitas Jacobi, sedangkan untuk modulo 11 melalui identitas Euler dan identitas Jacobi. Kata kunci: Partisi bilangan, modulo, fungsi pembangkit, identitas Euler dan identitas Jacobi 1. PENDAHULUAN Berbicara tentang matematika tidak akan bisa lepas dari hal yang disebut dengan bilangan. Berdasarkan keanggotaannya, bilangan dibagi menjadi beberapa macam, salah satunya adalah bilangan bulat. Bilangan bulat positif dapat ditulis sebagai dirinya sendiri ataupun sebagai jumlah dari bilangan bulat positif lainnya yang dikenal sebagai partisi bilangan. Fungsi partisi menyatakan jumlah atau banyaknya partisi yang bisa dimiliki oleh suatu bilangan. 1

2 Dalam [12] dinyatakan bahwa pada tahun 1917 P.A MacMahon menemukan barisan partisi bilangan hingga n = 200, kemudian Ramanujan mengamati barisan tersebut dan menemukan bahwa terdapat fungsi partisi bilangan dengan jarak yang sama kongruen dengan nol modulo 5, 7 dan 11, yaitu p(5n + 4) 0 (mod 5), p(7n + 5) 0 (mod 7) dan (p11n + 6) 0 (mod 11). Bukti untuk partisi bilangan (p11n + 6) 0 (mod 11) banyak ditemukan dalam banyak artikel diantaranya seperti dalam Atkin dan Swinnerton-Dyer[1], Ekin[6], Hardy et al.[7], Hirschhorn[9], [10], [11], tetapi pembuktian tersebut tidak sesederhana seperti yang ditulis disini. Karya tulis ini membahas tentang bukti partisi bilangan p(5n + 4) 0 (mod 5), p(7n + 5) 0 (mod 7) dan (p11n + 6) 0 (mod 11) yang dilakukan melalui identitas Jacobi dan identitas Euler dengan me-review artikel yang berjudul A Short and Simple Proof of Ramanujans Mod 11 Partition Congruence yang ditulis oleh Hirschhorn [12]. 2. TEORI PENDUKUNG Pada bagian ini dijelaskan mengenai partisi bilangan, fungsi partisi fungsi pembangkit partisi bilangan dan teorema binomial. Definisi 1 [3, h. 1] Partisi dari bilangan bulat positif n adalah barisan turun yang r terbatas dari bilangan bulat positif λ 1, λ 2,..., λ r sehingga λ i = n. λ i disebut bagian dari partisi. Definisi 2 [3, h. 2] Fungsi partisi p(n) menyatakan banyaknya partisi yang dimiliki oleh bilangan bulat n, atau disebut juga sebagai jumlah partisi dari n. Contoh 1 (4,2,2,1) adalah partisi dari 9 karena =9, sedangkan 1, 2 dan 4 disebut bagian partisi dari 9. Fungsi partisi untuk 9 adalah p(9) = 30 [8]. Teorema 3 Fungsi pembangkit untuk p(n) adalah p(n)q n = n=1 i=1 1, dimana q < 1. (1) 1 qn Bukti. Dapat dilihat pada [4, h. 5]. Jika dimisalkan E(q) = (1 q n ), maka persamaan (1) dapat ditulis menjadi n=1 p(n)q n = 1 E(q). (2) 2

3 Teorema 4 (Teorema Binomial)Misalkan x dan y adalah bilangan real dan n adalah bilangan bulat tak negatif, maka n ( ) n (x + y) n = x n i y i. i i=0 Bukti. Dapat dilihat pada [13, h. 167]. 3. IDENTITAS EULER DAN IDENTITAS JACOBI Pada bagian ini diberikan teorema mengenai identitas Euler dan identitas Jacobi sebagai berikut. Teorema 5 (Identitas Euler) Untuk q < 1 maka E(q) = n= ( 1) n q n(3n 1)/2. (3) Bukti. Dapat dilihat pada [2, h:177]. Dari persamaan (3) jika diuraikan dengan n = 0, 1, 1, 2, 2, 3,... maka diperoleh E(q) = 1 q q 2 + q 5 + q 7 q 12 q 15 ±. (4) Teorema 6 (identitas Jacobi) Untuk q < 1 maka E(q) 3 = ( 1) n (2n + 1)q (n2 +n)/2. (5) Bukti. Dapat dilihat pada [5, h:14]. Dari persamaan (5) jika diuraikan diperoleh E(q) 3 = 1 3q + 5q 3 7q 6 + 9q 10 11q q 21 15q q 36 19q 45 ±. (6) 3

4 4. PARTISI BILANGAN p(5n + 4), p(7n + 5) DAN p(11n + 6) SECARA BERTURUT-TURUT KONGRUEN MODULO 5, 7 DAN FUNGSI PARTISI BILANGAN KONGRUEN NOL MODULO 5 Pada bagian ini dibahas mengenai bukti dari partisi bilangan p(5n+4) 0 (mod 5) yang dilakukan melalui identitas Jacobi. Teorema 7 Untuk setiap bilangan bulat tak negatif n maka p(5n + 4) 0 (mod 5). Bukti. Perhatikan pangkat q dari deret E(q) 3 pada persamaan (6), yaitu 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45,.... Diperoleh bahwa bilangan - bilangan tersebut kongruen dengan 0, 1 atau 3 (mod 5). Jika dimisalkan i = 0, 1 atau 3, dan J i adalah suku - suku dimana pangkat dari q kongruen dengan i (mod 5) maka diperoleh E(q) 3 = J 0 + J 1 + J 3. (7) Tetapi karena (2n + 1) 0 (mod 5) jika (n 2 + n)/2 3 (mod 5), maka J 3 0 (mod 5), sehingga persamaan (7) menjadi Berdasarkan Teorema 4 diperoleh sehingga E(q) 3 J 0 + J 1. (1 q) 5 (1 q 5 ) (mod 5), E(q) 5 = (1 q) 5 (1 q 2 ) 5 (1 q 3 ) 5, (1 q 5 )(1 q 10 )(1 q 15 ) (mod 5), E(q) 5 E(q 5 ) (mod 5). (8) Dari persamaan (2) diperoleh bahwa Dari kekongruenan (8), diperoleh p(n)q n = 1 E(q) = (E(q)3 ) 3 (E(q) 5 ) 2. p(n)q n (E(q)3 ) 3 E(q 5 ) 2 (mod 5) = (J 0 + J 1 ) 3 E(q 5 ) 2 (mod 5) = J J 2 0 J 1 + 3J 0 J J 3 1 E(q 5 ) 2 (mod 5), (9) 4

5 dari pembilang N(q) = J J0 2 J 1 + 3J 0 J1 2 + J1 3 beberapa suku pertama sebagai berikut. pada persamaan (9) diperoleh J 3 0 = q , 3J 2 0 J 1 = q(9 + 21q ), 3J 0 J 2 1 = q 2 ( q ), J 3 1 = q 3 ( q ), sehingga diperoleh bahwa pangkat dari q dalam J0 3 kongruen 0 (mod 5), dalam 3J0 2 J 1 kongruen 1 (mod 5), dalam 3J 0 J1 2 kongruen 2 (mod 5), dalam J1 3 kongruen 3 (mod 5), dan tidak terdapat pangkat dari q yang kongruen dengan 4 (mod 5), sehingga koefisien q 5n+4 adalah 0 (mod 5). Dengan demikian maka p(5n + 4)q 5n+4 0 (mod 5), n 0 dan p(5n + 4) 0 (mod 5) FUNGSI PARTISI BILANGAN KONGRUEN NOL MODULO 7 Pada bagian ini dibahas mengenai bukti dari partisi bilangan p(7n+5) 0 (mod 7) yang dilakukan melalui identitas Jacobi. Teorema 8 Untuk setiap bilangan bulat tak negatif n maka p(7n + 5) 0 (mod 7). Bukti. Dengan memperhatikan kembali pangkat q dari suku-suku pada deret E(q) 3 dalam persamaan (6) diperoleh bahwa bilangan - bilangan pangkat tersebut kongruen dengan 0, 1, 3 atau 6 (mod 7). Jika dimisalkan i = 0, 1, 3 atau 6, dan J i adalah suku - suku dimana pangkat dari q kongruen dengan i (mod 7) maka diperoleh E(q) 3 = J 0 + J 1 + J 3 + J 6. (10) Tetapi karena (2n + 1) 0 (mod 7) jika (n 2 + n)/2 6 (mod 7), maka J 6 0 (mod 7), sehingga persamaan (10) menjadi Berdasarkan Teorema 4 diperoleh bahwa E(q) 3 J 0 + J 1 + J 3. (1 q) 7 (1 q 7 ) (mod 7), 5

6 sehingga E(q) 7 = (1 q) 7 (1 q 2 ) 7 (1 q 3 ) 7, (1 q 7 )(1 q 14 )(1 q 21 ) (mod 7), E(q) 7 E(q 7 ) (mod 7). (11) Dari persamaan (2) diperoleh bahwa Dari kekongruenan (11), diperoleh p(n)q n (E(q)3 ) 2 E(q 7 ) p(n)q n = 1 E(q) = (E(q)3 ) 2 E(q) 7. = (J 0 + J 1 + J 3 ) 2 E(q 7 ) (mod 7), (mod 7), = J J J J 0 J 1 + 2J 0 J 3 + 2J 1 J 3 E(q 7 ) (mod 7). (12) dari pembilang N(q) = J J J J 0 J 1 + 2J 0 J 3 + 2J 1 J 3 pada persamaan (12) diperoleh beberapa suku pertama debagai berikut. J 2 0 = q 21 +, J 2 1 = q 2 (9 + 66q 14 + ), J 2 3 = q 6 ( q 7 + ), 2J 0 J 1 = q( 6 22q 14 + ), 2J 0 J 3 = q 3 ( q 7 + ), 2J 1 J 3 = q 4 ( 30 54q 7 + ). Dapat dilihat bahwa pangkat dari q dalam J 2 0 kongruen 0 (mod 7), dalam J 2 1 kongruen 2 (mod 7), dalam J 2 3 kongruen 6 (mod 7), dalam 2J 0 J 1 kongruen 1 (mod 7), dalam 2J 0 J 3 kongruen 3 (mod 7), dalam 2J 1 J 3 kongruen 4 (mod 7), dan tidak terdapat pangkat dari q yang kongruen dengan 5 (mod 7), sehingga koefisien q 7n+5 adalah 0 (mod 7). Dengan demikian maka p(7n + 5)q 7n+5 0 (mod 7), dan p(7n + 5) 0 (mod 7). 6

7 4.3. FUNGSI PARTISI BILANGAN KONGRUEN NOL MODULO 11 Pada bagian ini dibahas mengenai bukti dari partisi bilangan p(11n + 6) 0 (mod 11). Pembuktian dilakukan melalui identitas Euler dan identitas Jacobi. Teorema 9 Untuk setiap bilangan bulat tak negatif n maka p(11n + 6) 0 (mod 11). Bukti. Dari persamaan (4) diperoleh bahwa bilangan pangkat q dari suku-suku pada deret E(q) kongruen dengan 0, 1, 2, 4, 5 atau 7 (mod 11). Jika dimisalkan i = 0, 1, 2, 4, 5 atau 6, dan E i adalah suku - suku dimana pangkat dari q kongruen dengan i (mod 11) maka diperoleh E(q) = E 0 + E 1 + E 2 + E 4 + E 5 + E 7, dan dari persamaan (6) diperoleh bahwa bilangan pangkat q dari suku-suku pada deret E(q) 3 kongruen dengan 0, 1, 3, 4, 6 atau 10 (mod 11). Jika dimisalkan i = 0, 1, 3, 4, 6 atau 10, dan J i adalah suku - suku dimana pangkat dari q kongruen dengan i (mod 11), diperoleh E(q) 3 = J 0 + J 1 + J 3 + J 4 + J 6 + J 10. (13) Tetapi karena (2n + 1) 0 (mod 11) jika (n 2 + n)/2 4 (mod 11), maka J 4 0 (mod 11), sehingga persamaan (13) menjadi Berdasarkan Teorema 4 diperoleh bahwa sehingga E(q) 3 = J 0 + J 1 + J 3 + J 6 + J 10. (1 q) 11 (1 q 11 ) (mod 11), E(q) 11 = (1 q) 11 (1 q 2 ) 11 (1 q 3 ) 11, (1 q 11 )(1 q 22 )(1 q 33 ) (mod 11), E(q) 11 E(q 11 ) (mod 11). (14) Dari persamaan (2) diperoleh bahwa Dari kekongruenan (14), diperoleh p(n)q n (E(q)3 ) 7 E(q 11 ) 2 p(n)q n = 1 E(q) = (E(q)3 ) 7 (E(q) 11 ) 2. = (J 0 + J 1 + J 3 + J 6 + J 10 ) 7 E(q 11 ) 2 (mod 11). (15) 7

8 Dari pembilang N(q) = (J 0 + J 1 + J 3 + J 6 + J 10 ) 7 pada persamaan (15) jika dicari pangkat dari q yang kongruen dengan 6 (mod 11) diperoleh dimana p(11n + 6)q 11n+6 = P E(q 11 ) 2, P 7J 6 0 J J 5 0 J J 4 0 J 1 J 6 J J 3 0 J 3 1 J 3 + 2J 3 0 J 1 J 2 3 J J 3 0 J 3 6 J J 2 0 J 2 1 J 3 J J 2 0 J 2 1 J 6 J J 2 0 J 2 3 J 2 6 J J 2 0 J 3 J 6 J J 2 0 J J 0 J J 0 J 4 1 J 3 J J 0 J 2 1 J 2 3 J 6 + 3J 0 J 2 1 J 2 3 J J 0 J 1 J 3 J J 0 J 1 J 3 6 J J 0 J 4 3 J 6 J J 0 J 3 3 J J 5 1 J J 3 1 J 3 J 2 6 J J 3 1 J 6 J J 2 1 J J 1 J 3 3 J J 1 J 2 3 J 2 6 J J 1 J 3 J 6 J J 1 J J 6 3 J J 3 J J 5 6 J 2 10, maka harus ditunjukkan bahwa P 0 (mod 11) sebagai berikut. Perhatikan bahwa sehingga (E(q) 3 ) 4 = E(q) 12 = E(q) 11 E(q) E(q 11 )E(q) E(q 11 )(E 0 + E 1 + E 2 + E 4 + E 5 + E 7 ), (J 0 + J 1 + J 3 + J 6 + J 10 ) 4 E(q 11 )(E 0 + E 1 + E 2 + E 4 + E 5 + E 7 ). (16) Di ruas kanan dari persamaan (16) diperoleh bahwa tidak terdapat suku - suku dimana pangkat dari q kongruen dengan 3, 6, 8, 9, dan 10 (mod 11), karena persamaan (16) kongruen maka hal ini juga terjadi diruas kiri. Sehingga jika ruas kirinya dikalikan atau diekspansikan, akan diperoleh lima polinomial berderajat empat yang kongruen dengan nol modulo 11. Sebagai contoh, 4J 3 0 J 3 + 4J 0 J J 0 J 1 J 3 J J 2 1 J J 1 J 2 6 J J 6 J (17) Jika persamaan (17) dikali 3, lalu dalam modulo 11 diperoleh J 3 0 J 3 + J 0 J J 0 J 1 J 3 J J 2 1 J J 1 J 2 6 J 10 + J 6 J (18) Dengan cara yang sama diperoleh J 3 0 J 6 + 7J 2 0 J J 0 J 1 J 6 J 10 + J 3 1 J 3 + 3J 1 J 2 3 J 10 + J 3 6 J 10 0, (19) 3J 0 J 2 1 J 6 + 6J 0 J 3 J 6 J 10 + J 0 J J 2 1 J J 1 J J 3 3 J 10 0, (20) 3J 2 0 J 3 J 6 + 7J 2 0 J J 0 J J 1 J 3 J 6 J 10 + J 3 1 J 6 + J 1 J , (21) J 3 0 J J 0 J 1 J 3 J 6 + 3J 0 J 1 J J 1 J J 3 J J 2 6 J (22) Jika kelima polinomial (18) sampai (22) secara berturut-turut dimisalkan sebagai Q 1, Q 2, Q 3, Q 4, Q 5, dan juga sudah diketahui bahwa P berderajat tujuh, maka akan 8

9 dicari pengali berderajat tiga katakanlah M 1, M 2, M 3, M 4, M 5 sedemikian hingga P M 1 Q 1 + M 2 Q 2 + M 3 Q 3 + M 4 Q 4 + M 5 Q 5. Karena suku-suku di P mengandung q yang pangkatnya kongruen dengan 6 (mod 11), maka pangkat dari q di suku-suku dalam M 1, M 2, M 3, M 4, M 5 haruslah kongruen dengan 3, 0, 9, 8 dan 7 (mod 11). Dengan demikian diperoleh M 1 = 7J 1 J 3 J J 2 0 J 3 + 7J 3 1, M 2 = 7J 0 J 1 J J 2 6 J J 3 0, M 3 = 7J 0 J 3 J 6 + 5J 0 J J 3 3, M 4 = 7J 3 J 6 J J 2 1 J 6 + 7J 3 10, M 5 = 7J 0 J 1 J 6 + 5J 1 J J 3 6, sehingga P 0 (mod 11). 5. KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan pada artikel ini, maka dapat disimpulkan bahwa fungsi partisi bilangan p(5n + 4), p(7n + 5) dan p(11n + 6) untuk bilangan bulat tak negatif n secara berturut-turut akan selalu kongruen pada modulo 5, 7 dan 11. Untuk fungsi partisi p(11n + 6) dibuktikan dengan menggunakan identitas Euler dan identitas Jacobi, sedangkan untuk fungsi partisi p(5n + 4) dan p(7n + 5) dapat dibuktikan hanya dengan menggunakan identitas Jacobi. DAFTAR PUSTAKA [1] A. O. L. Atkin dan P. Swinnerton-Dyer, Some properties of partitions, Proceedings of the London Mathematical Society, 3 (1953), [2] G. E. Andrews, Number Theory, W. B. Saunders Company, Philadelphia, [3] G. E. Andrews, The Theory of Partitions, Cambridge University Press, London, [4] Z. S. Aygin, Ramanujan s Congruences for the Partition Function, Tesis Magister, Bilkent University, [5] B. C. Berndt, Number Theory in the Spirit of Ramanujan, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, [6] A. B. Ekin, Inequalities for the crank, Journal of Combinatorial Theory Series A, 83 (1998),

10 [7] G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar dan B. M. Wilson, Collected papers of Srinivasa Ramanujan, Cambridge University Press, London, [8] A. Hassen dan T. J. Osler, Playing With Partitions On The Computer, pmathematics and Computer Education, 35 (2001), [9] M. D. Hirschhorn, A birthday present for Ramanujan, American Mathematical Monthly, 97 (1990), [10] M. D. Hirschhorn, A generalisation of Winquists identity and a conjecture of Ramanujan, Journal of the Indian Mathematical Society, 51 (1987), [11] M. D. Hirschhorn, Ramanujans partition congruences, Discrete Mathematics, 131 (1994), [12] M. D. Hirschhorn, Short and simple proof of Ramanujan s mod 11 partition congruence, Journal of Number Theory, 00 (2014), 1-4. [13] J. J. Siang, Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer, Andi, Yogyakarta,