HUBUNGAN BILANGAN SEMPURNA DAN BILANGAN PRIMA FIBONACCI ABSTRACT

Transkripsi

1 HUBUNGAN BILANGAN SEMPURNA DAN BILANGAN PRIMA FIBONACCI Revi Lestari 1, Sri Gemawati, M. Natsir 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya Pekanbaru 893 p.revilestari@yahoo.com ABSTRACT This article discusses the concept of F -perfect number, that is a positive integer n such that (d n,d<n) d = 3n. From the concept of F -perfect numbers the relation of perfect numbers n = F k 1 F k+1 and Fibonacci prime numbers F k 1 and F k+1 is obtained. Keywords: Perfect number, Fibonacci prime, continued fraction, arithmetic-geometric mean inequality ABSTRAK Artikel ini membahas tentang konsep dari F -bilangan sempurna, yaitu bilangan bulat positif n yang memenuhi (d n,d<n) d = 3n. Dari konsep F -bilangan sempurna diperoleh hubungan bilangan sempurna n = F k 1 F k+1 dengan bilangan prima Fibonacci F k 1 dan F k+1. Kata kunci: Bilangan sempurna, bilangan prima Fibonacci, pecahan kontinu, ketidaksamaan rata-rata aritmatika-geometri 1. PENDAHULUAN Teori bilangan adalah cabang dari ilmu Matematika Murni yang mempelajari tentang bilangan bulat dan sifat-sifatnya secara lebih luas. Dalam teori bilangan, salah satu materi yang menarik dan sering di bahas adalah bilangan sempurna dan bilangan Fibonacci. Nama barisan bilangan Fibonacci di berikan oleh Leonardo Fibonacci yang merupakan ahli matematika yang terkemuka di Italia pada abad pertengahan. Fibonacci banyak menulis buku, salah satu yang terkenal adalah Liber Abaci. Pada bab 1 buku tersebut terdapat sebuah permasalahan, yaitu tentang masalah kelinci beranak-pinak. Fibbonacci menggambarkan jumlah kelinci dalam setahun melalui barisan bilangan 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1,... atau bila dinotasikan menjadi F 1, F, F 3, F 4, F 5, F 6, F 7, F 8,... barisan bilangan inilah yang dinamakan dengan barisan bilangan Fibonacci. Repository FMIPA 1

2 Pada zaman Yunani kuno ahli-ahli matematika tertarik dengan pengertian bilangan Sempurna. Thomas [5] Pythagoras mengamati bahwa 6 sama dengan penjumlahan pada faktor yang tepat: 6 = , bilangan inilah yang disebut bilangan sempurna. bilangan sempurna adalah bilangan yang memiliki hasil penjumlah faktor-faktor positif sama dengan dua kali bilangan tersebut. Jika d adalah faktor bilangan positif dari n, maka n adalah bilangan sempurna jika (d n,d<n) d = n. Contoh untuk n = 8 maka faktor positif dari 8 yang memenuhi adalah 1,, 4, 7, 14 jika dijumlahkan maka hasilnya 8. Empat bilangan sempurna yang berikutnya adalah 486, 818, , Artikel ini menyajikan perluasan bilangan sempurna yang memiliki hubungan dengan bilangan prima Fibonacci. Pada artikel ini akan menjelaskan konsep dari F -bilangan sempurna, yang mana untuk bilangan bulat positif n sedemikian sehingga (d n,d<n) d = 3n akan dibuktikan untuk semua bilangan sempurna Fibonacci adalah berbentuk n = F k 1 F k+1, dengan F k 1 dan F k+1 adalah bilangan prima Fibonacci.. BILANGAN PRIMA FIBONACCI DAN BILANGAN SEMPURNA Pada barisan Fibonacci yang dimulai dari suku ketiganya, setiap suku barisan tersebut dapat diperoleh dari menjumlahkan dua suku tepat sebelumnya. Suku-suku barisan Fibonacci dilambangkan dengan F n dengan bentuk umum [5, h. 19]. F 1 = F = 1 F n = F n 1 + F n dengan n 3. Pada barisan bilangan Fibonacci, adalah bilangan Fibonacci yang ke-3, 5 adalah bilangan Fibonacci yang ke-5, bilangan ini di sebut bilangan prima Fibonacci. Bilangan prima Fibonacci adalah bilangan Fibonacci yang ke-n dengan n adalah Prima. Lima bilangan prima Fibonacci yang pertama adalah F, F 3, F 5, F 7 dan F 11. Teorema 1(Cassini) Untuk F n barisan bilangan Fibonacci memenuhi F n 1 F n+1 F n = 1 n, n 1 Bukti. [5, h. 13] Selain bilangan prima Fibonacci, bilangan sempurna juga menarik untuk diketahui. Untuk mengetahui bilangan sempurna dimulai dengan fungsi τ dan fungsi σ. Fungsi τ untuk n bilangan bulat positif menyatakan banyaknya bilangan bulat positif yang membagi n. Misalkan n = 18 dan bilangan bulat positif yang membagi n adalah 1,,3,6,9 dan 18, jika dihitung banyaknya bilangan bulat positif tersebut adalah 6, sehingga τ(18) = 6. Fungsi sigma (σ) menyatakan penjumlahan semua banyaknya bilangan bulat positif yang membagi n. Untuk n = 18 maka σ(18) = = 39. Repository FMIPA

3 Selanjutnya, untuk fungsi τ dan fungsi σ adalah multiplikatif. Dengan memberikan fungsi baru F yang didefinisikan oleh F (n) = d n f(d), Teorema Jika f adalah fungsi multiplikatif, maka F (n) = d n f(d) adalah multiplikatif. Bukti. [5, h. 367] Akibat 3 Fungsi tau dan fungsi sigma adalah multiplikatif. Bukti. [5, h. 368] Teorema 4 Diberikan p adalah sebarang bilangan prima dan k adalah sebarang bilangan bulat positif maka τ(p k ) = k + 1 dan σ(p k ) = (pk+1 1). (p 1) Bukti. [5, h. 369] Teorema 5 Diberikan n adalah bilangan bulat positif dengan bentuk kanonik n = p k 1 1 p k p km m maka dan Bukti. [5, h. 369] τ(n) = (k 1 + 1)(k + 1) (k m + 1) σ(n) = (pk ).(pk+1 1) (p 1 1) (p 1) (pkm+1 m 1) (p m 1) untuk τ(n) dan σ(n) dapat ditulis juga dalam bentuk τ(n) = m i=1 (k i+1) dan σ(n) = m i=1 (p k i i 1) (p i 1). Teorema 5 (Euclid) Jika n adalah bilangan bulat yang mana n 1 adalah prima maka N = n 1 ( n 1) adalah bilangan sempurna. Bukti. [5, h. 375] 3. HUBUNGAN BILANGAN SEMPURNA DAN BILANGAN PRIMA FIBONACCI Pada artikel ini membahas hubungan Bilangan Sempurna dan Bilangan Fibonacci Prima melalui konsep dari F -bilangan sempurna yang mana setiap bilangan bulat positif n sedemikian sehingga d n,d<n d = 3n. Akan dibuktikan bahwa semua F bilangan sempurna adalah berbentuk n = F k 1 F k+1, dimana kedua F k 1 dan F k+1 adalah bilangan prima Fibonacci. Hubungan kedua bilangan tersebut telah dibahas sebelumnya oleh Tianxin Cai, Deyi Chen dan Yong Zhang [4]. Terlebih dahulu akan membahas beberapa Lema pendukung sebagai berikut Repository FMIPA 3

4 Lema 6 Jika d > 0 adalah bilangan bulat ganjil, maka x dy = 4 memiliki solusi bilangan bulat jika dan hanya jika u dv = 1 memiliki solusi bilangan bulat. Bukti. Dengan menggunakan transformasi, maka diperoleh { u= x(x +3), v= (x +1)y. Maka, u dv = ( x(x + 3) ) d( (x + 1)y ) = 1 Lema 7 Semua solusi persamaan 1 + x + y = 3xy (1 x < y) adalah { x= F k 1 y= F k+1 (1) dengan k 1 dan F n adalah bilangan Fibonacci. Bukti. Pertama-tama akan dibuktikan bahwa persamaan (1) memenuhi persamaan 1 + x + y = 3xy. Berdasarkan identitas Cassini diperoleh yang mana, maka, F n F n+1 F n 1 = ( 1) n 1, F k F k+1 F k 1 = 1 (F k+1 F k 1 ) F k+1 F k 1 = 1 F k+1 3F k+1 F k 1 + F k 1 = F k 1 + F k+1 = 3F k 1 F k+1. Terbukti bahwa x dan y memenuhi persamaan (1). Lalu akan dibuktikan bahwa persamaan (1) adalah solusi untuk 1 + x + y = 3xy (1 x < y). Yang perlu dibuktikan bahwa jika 1 + x + y = 3xy (1 x < y) maka x = F k 1. Untuk persamaan 1 + x + y = 3xy maka 1 + x + y = 3xy 5x 4 = (3x y), dengan x adalah bilangan Fibonacci. Jika x = F k maka 5F k 4 = (3x y). 5F k + 4 = L k, dengan L 0 =, L 1 = 1, L n+1 = L n + L n 1. Oleh karena itu 8 = (5F k + 4) (5F k 4) = L k (3x y), Repository FMIPA 4

5 L jadi 3x y = 1,L k = 3 dan x = F k = k 4 = 1 = F 5 = F 1. Sehingga dapat disimpulkan bahwa x = F k 1. Lema 8 Jika bilangan bulat positif k 3, maka 1 + x + y = kxy tidak memiliki solusi. Bukti. Karena kxy = 1 + x + y > xy, maka perlu dibuktikan untuk k 4. Jika 1 + x + y = kxy memiliki solusi bilangan bulat, diskriminan dari kuadratik dari persamaan 1+x +y = kxy pada x haruslah kuadrat, dengan z adalah diskriminan maka nilai z Z sehingga atau k y 4(y + 1) = (k 4)y 4 = z, z (k 4)y = 4, maka diperoleh bahwa k adalah bilangan ganjil. Dengan menggunakan kontradiksi, misalkan k adalah bilangan genap, maka x dan y tidak bisa keduanya genap. Jika hanya salah satu x dan y adalah ganjil, maka 1 + x + y = kxy ( mod 4) = 0 ( mod 4). Jika x dan y adalah keduanya bilangan ganjil, maka 1 + x + y = kxy ( mod ) = 1 0 ( mod ). Oleh karena itu k adalah ganjil. Sehingga k 4 bukanlah kuadrat sempurna untuk bilangan bulat ganjil k 4, jadi melalui Lema 1 dan diperoleh z (k 4)y = 4 u (k 4)v = 1 l( k 4) memiliki solusi bilangan bulat memiliki solusi bilangan bulat adalah bilangan ganjil. Untuk bilangan ganjil k 4, diperoleh k 4 = [ k 1; 1, k 3 k 3,,, 1, k ] maka l( k 4) = 6 [6, h. 503] dimana hal ini kontradiksi dengan l( k 4) adalah ganjil. Lema 9 Untuk setiap bilangan bulat positif a ada tak hingga bilangan genap n sehingga n σ a (n). Bukti. Misalkan faktorisasi prima dari n adalah r i=1 pk i i maka σ a (n) = r i=1 σ a(p k i i ) dengan k dan n adalah bilangan positif. Karena σ a (n) adalah multiplikatif maka berlaku σ a (n) = r i=1 σ a (p i ) k i = σ a (p k 1 1 p k p k r r ) = σ a (p k 1 1 )σ a (p k ) σ a (p k r r ) Pilih p adalah bilangan prima yang membagi 1+ a sehingga σ a (p) = (1+ a )(1+p a ), p adalah ganjil dan 1 + p a sehingga p σ a (p), karena p tak hingga maka dapat Repository FMIPA 5

6 disimpulkan bahwa ada tak hingga bilangan genap n untuk n σ a (n). Lema 10 Jika bilangan prima p < q dengan p q + 1 dan q p + 1 maka p = dan q = 3. Bukti. Karena p < q dengan p q + 1 dan q p + 1 jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat positif k sehingga 1 + p + q = kpq. Jika k = 1, maka 1 + p + q = pq atau (p 1)(q 1) = diperoleh p =,q = 3. Jika k, maka kpq pq > p + q + 1. Lema 11 Jika x x+1 xy 1 N, dengan x, y N dan y, maka x x+1 = 1 xy 1 = 1. Andaikan x x+1 xy 1 Bukti. Untuk (x, y) = (1, ), maka x x+1 = n maka xy 1 x (1 + ny)x + n + 1 = 0, jadi diskriminan harus berupa kuadrat dengan z Z sedemikian hingga (1 + ny) 4(n + 1) = z, atau { 1 + ny + z = a, 1 + ny z = b, dengan ab = 4(n + 1). Oleh karena itu, ny = a + b, y = a + b n = a + b a + b 4 =, 1) ab 4 x( ab 4 dengan a b > 0. Jika b 5 maka y = a+b 4 ab 4 b = 1,, 3 atau 4. a+b 4 5b 4 < 1. Oleh karena itu, Jika b = 1, maka a = 4(n + 1) 1, diperoleh < y = a a 4 < 3. Jika b =, maka a = (n + 1) 6, diperoleh 1 < y = a <. a Jika b = 3, maka a = 4 a+ (n + 1) 4. untuk a 6, diperoleh y = 1; 3 3a 4 untuk 4 a 5, diperoleh 1 < y = a+ <. 3a 4 Jika b = 4, maka a = n untuk a = 3, diperoleh y = a= = 5; untuk a 4 a 4, diperoleh y = a+ 1. a Lema 1 Jika bilangan bulat positif x y memenuhi x y y + 1 dan y x x + 1, maka x = y = 1. Bukti. Untuk x = y, maka x = y = 1. Misalkan x > y maka { y y + 1 = xt, x x + 1 = yt 1, dengan t 1,t N. Untuk t = y, maka y 1 dan x = y = 1. Untuk t > y, maka y y + 1 = xt (y + 1)(y + 1) = y + y + 1, Repository FMIPA 6

7 yang mana ini tidak mungkin. Oleh karena itu y > t dan t yt 1 = t (x x + 1) = (xt ) t (xt ) + t = (y y + 1) + t (y y + 1) + t = (y y) + (y y) + t t + 1 jadi y t t +1, dengan t 3 N sehingga t t +1 = yt 3. Perlu diingat juga bahwa y y + 1 = xt = t x, maka { t t + 1 = yt 3, y y + 1 = t x, dengan y > t. Dengan mengulang proses tersebut, maka akan diperoleh x > y > t > t 3 > > t k = 1 dengan bilangan t, t 3,, t n memenuhi { t i+1 t i t i + 1, t i t i+1 t i Tetapi t k 1 t k t k + 1 dan t k = 1, jadi t k 1 = 1. Oleh karena itu x = y = t = = t k = 1, dimana ini adalah kontradiksi. Selanjutnya akan dipaparkan perluasan Bilangan sempurna dan bilangan prima Fibonacci melalui beberapa Teorema. Pertama akan dibahas perluasan dari Bilangan sempurna yang mana misalkan N adalah himpunan bilangan bulat positif σ (n) n = d = bn, () dengan b N. d n,d<n Teorema 13 Untuk setiap bilangan bulat positif b 3 persamaan () memiliki solusi terbatas dan tidak memiliki solusi untuk b = 1,. Bukti. Misalkan n = p α 1 1 p α p σ k k yang adalah faktorisasi prima dari n, dimana p 1 < p < < p k, α i 1, dan k 1. Untuk k = 1, dari persamaan persamaan () akan diperoleh dimana ini tidak mungkin. Untuk k 3, diperoleh σ (n) n = 1 + p p (α 1 1) 1 = bp α 1 1 bn =σ (n) n > n p 1 + n p + + n, p k Repository FMIPA 7

8 dengan menggunakan ketidaksamaan rata-rata aritmatika-geometri maka diperoleh ( n bn = p 1 ) n 1 n k p p k ( kp α 1 k 1 p α k p α k k k ) n. dengan α i k α i 3 untuk 1 i k, diperoleh b kp a 1 k 1 p a k p a k k k Oleh karena itu n adalah terbatas. Untuk k =, dari persamaan (3) maka k k i=1 p a i 3 i 3n 1 3. (3) b p α p α 1, (4) diperoleh bahwa α i (1 i ) adalah terbatas. Jika α > 1, maka dapat simpulkan dari persamaan (4) bahwa p adalah terbatas, sehingga n adalah terbatas. Jika α = 1 dan α 1 > 1, maka p 1 adalah terbatas dari persamaan (4), tetapi σ (n) n = bn, (1 + p 1 + p p α 1 1 )(1 + p ) p α 1p 1 = bp α 1 1 p, (1 + p 1 + p p α 1 1 )p bp α 1 1 p + (1 + p 1 + p p α 1 1 ) = 0. (5) Dengan mengikuti persamaan (5) bahwa p adalah terbatas oleh karena itu p 1 juga terbatas. Jika α 1 = α = 1, maka dari σ (n) n = bn diperoleh 1 + p + p = 1p 1 p. (6) Untuk b 3, dari Lema (8) diperoleh bahwa persamaan (6) memiliki solusi bukan bilangan bulat. Dari persamaan (3), persamaan (4) dan persamaan (6), dapat disimpulkan bahwa persamaan () tidak memiliki solusi untuk b = 1,. Teorema 14 Untuk b = 3 semua solusi dari persamaan () adalah n = F k 1 F k+1 (k 1), dengan F k 1 dan F k+1 adalah bilangan prima Fibonacci. Bukti. Misalkan n = p α 1 1 p α p α k k adalah merupakan faktorisasi prima dari n, dengan p 1 < p < < p k, α i 1, dan k 1. Akan dibuktikan jika n adalah F -bilangan sempurna, maka k = dan α 1 = α = 1. Jika k = 1 maka α (n) n = 1 + p 1 + p p (α 1 1) 1 = 3p α 1 1, hal ini tidak mungkin. Jika k 3 maka dari persamaan (3) diperoleh n = 1, hal ini tidak mungkin. Repository FMIPA 8

9 Sehingga k =. Kemudian akan ditunjukkan bahwa α 1 = α = 1. Misalkan α 1 + α 3 akan diperoleh α 1 α 1 + α 1 α α 1 (α 1 + α ) dan α α + α 1 α α (α 1 +α ), dan dengan menggunakan ketidaksamaan rata-rata aritmatika-geometri, diperoleh 3n = σ (n) n > (1 + p 1 + p p (α 1 1) 1 )p α + (1 + p + p p (α 1) )p α 1 1 > (α 1 + α )(p α p 1p α p (α 1 1) 1 p α p 1 1 p p α 1 1 p (α 1) p α 1 = 3n 1 α 1 ) 1 +α Dimana ini tidak mungkin, sehingga k =,α 1 = α = 1 dan σ (n) n = 3n, maka diperoleh 1 + p 1 + p = 3p 1 p 1. Definisi 15 Jika bilangan bulat positif n memenuhi σ (n) n = 3n, (7) maka n disebut F -bilangan sempurna. Selanjutnya akan dipaparkan generalisasi bilangan sempurna secara lebih luas lagi σ a (n) n a = d a = bn, (8) dengan bilangan bulat a 3 dan b 1. d n,d<n Teorema 16 Untuk setiap bilangan bulat positif a 3 dan b 1, persamaan (8) memiliki solusi terbatas. Bukti. Misalkan n = p α 1 1 p α p α k k adalah merupakan faktorisasi prima dari n, dengan p 1 < p < < p k, α i 1, dan k 1. Ini jelas bahwa k 1. Untuk k, mengikuti pembuktian Teorema (13), b kp (a 1)α 1 α k 1 p (a 1)α a k p (a 1)α k a k k Untuk α 3, n adalah terbatas. k k i=1 p α i i n 1. Akibat 17 Untuk setiap bilangan bulat positif di berikan a, ada tak hingga bilangan bulat positif b sedemikian hingga persamaan (8) memiliki solusi bilangan bulat. Bukti. Melalui Teorema (13), Teorema (14), Teorema (15) dan Lema (9) diperoleh bahwa persamaan (8) memiliki solusi bilangan bulat untuk a dan ada tak hingga Repository FMIPA 9

10 bilangan bulat positif b dan pada Teorema (3.8) persamaan (8) hanya memiliki solusi satu bilangan bulat yang genap untuk a =, b = 3. Teorema 18 Jika n = pq, dengan p < q adalah bilangan prima dan n σ 3 (n) maka n = 6, jika n = α p (α 1), dengan p adalah bilangan prima yang ganjil dan n σ 3 (n) maka n adalah bilangan sempurna yang genap kecuali 8. Bukti. Untuk n = pq(p < q), maka σ 3 (n) = 1 + p 3 + q 3 + p 3 q 3. Karena n σ 3 (n), sehingga pq 1 + p 3 + q 3. Untuk p q dan q p mengikuti dari x = (x + 1)(x x + 1) bahwa p q dan q p diperoleh dari lema (10), sistem { p q + 1 q p + 1 Hanya memiliki solusi (p, q) = (, 3). Dari lema (1), sistem { p q q + 1, q p p + 1. tidak memiliki solusi. Jika { p q + 1 q p p + 1 Maka pq(q +1) (p p+1) dan pq p p+q +1, sehingga terdapat k N sedemikian hingga p p + q + 1 = kpq, diperoleh q = p p + 1 kp 1. (9) untuk k = 1, maka diperoleh q = p p+1 = p + 1, sehingga (p, q) = (, 3). p 1 p 1 untuk k, maka dari Lema (11), persamaan (9) tidak memiliki solusi. Dengan cara yang sama, dapat diperoleh bahwa sistem { q p + 1 p q q + 1 tidak memiliki solusi. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa jika n adalah bilangan sempurna yang genap kecuali 8, maka n σ 3 (n). Untuk n adalah bilangan sempurna yang genap, diperoleh n = p 1 ( p 1), dengan p dan p 1 adalah prima. Jelas bahwa 6 σ 3 (6) dan 8 σ 3 (8). Misalkan n = p 1 ( p 1), dengan p 5 dan p 1 adalah prima. Jika 3p 1 = ( p 1)( p + p +1) dan 3p 1 = 7( (p 1) ), sehingga 7 p + p + 1 dan σ 3 (n) = σ 3 ( p 1 ( p 1)) = n p + p + 1 (( p 1) ( p 1) + 1), 7 Repository FMIPA 10

11 diperoleh bahwa untuk n adalah bilangan sempurna genap kecuali 8, maka n σ 3 (n). Lalu akan dibuktikan bahwa jika n = α 1 p, dengan p adalah bilangan prima ganjil, α dan n σ 3 (n), maka α adalah bilangan prima dan p = α 1. σ 3 (n) = σ 3 ( p 1 p) = σ 3 ( p 1 )σ 3 (p) 0 ( mod α 1 p), karena 1+p 0 ( mod α 1 ) dan ( (α 1) ) 0 ( mod p), dengan k 1, k N sehingga p = k 1 α 1 1 dan ( (α 1) ) = 3α 1 = k 7 p, maka diperoleh 3α 1 = ( α 1 )( α + α + 1) = k 3 (k 1 α 1 1) (10) dengan k 3 = 7k. Jika k 1 = 1 maka diperoleh p = α 1 1, dengan mengikuti persamaan (10) maka α 1 0( mod α 1 1) atau α + α + 1 0( mod α 1 1). Untuk α 1 0( mod α 1 1) maka 1 = α 1 ( α 1 1) 0( mod α 1 1), hal ini tidak mungkin. Untuk α + α ( mod α 1 1) diperoleh 0 α + α + 1 = ( α 1 1)( α 1 + 6) ( mod α 1 1), sehingga α = 4. lalu n = α 1 p = 3 ( 3 1) = 56 dan n σ 3 (n), hal ini tidak mungkin. Jika k 1 3, maka dari persamaan (10) diperoleh dengan k 4 N sehingga sehingga dengan k 5 N sedemikian sehingga α + α ( mod k 1 α 1 1). α + α + 1 = k 4 (k 1 α 1 1). (11) 1 k 4 ( mod α 1 ), k 4 = k 5 α 1 1. (1) Dengan mensubtitusikan persamaan (1) pada persamaan (11) akan diperoleh α + α + 1 = (k 5 α 1 1)(k 1 α 1 1), maka α 1 = + k 1 + k 5 k 1 k 5 4, Repository FMIPA 11

12 atau (k 1 1)(k 5 1) + k 1 k 5 11, (13) sehingga diperoleh bahwa k 5 = 1 atau dengan k 1 3. Untuk k 5 = 1, dari persamaan (13), k 1 11 sehingga , dengan α 1 = +k 1 +k 5 = k 1+3 maka k k 1 k 5 4 k = 5,α = 4 dan bilangan prima p = k 1 α 1 1 = 39, hal ini tidak mungkin. Untuk k 5 =, dari persamaan (13), diperoleh k 1 4, sehingga k 1 = 3 atau 4 dengan α 1 = +k 1+k 5 = k 1+4, maka k k 1 k 5 4 k = 4 dan α =,n = α 1 p = α 1 (k 1 α 1 1) = 14 dan n σ 3 (n), hal ini tidak mungkin. Sehingga diperoleh k 1 =, yang mana bilangan prima p = k 1 α 1 1 = α 1 dan α adalah bilangan prima. 4. KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan sebelumnya, maka dapat disimpulkan untuk setiap bilangan bulat positif b 3 persamaan σ (n) n = d n,d<n d = bn memiliki solusi terbatas dan tidak memiliki solusi untuk b = 1, dan untuk b = 3 solusinya adalah n = F k 1 F k+1 (k 1), dengan F k 1 dan F k+1 adalah bilangan prima Fibonacci. Untuk d n,d<n da = bn setiap bilangan bulat positif a ada tak hingga bilangan bulat positif b sehingga persamaan tersebut memiliki solusi bilangan bulat. Jika n = pq dengan p < q adalah bilangan prima dan n σ 3 (n), maka n = 6, jika n = α p (α 1), p adalah bilangan prima yang ganjil dan n σ 3 (n), maka n adalah bilangan sempurna yang genap kecuali untuk 8. DAFTAR PUSTAKA [1] Dickson, L.E History of the Theory of Number. Chelsea Publishing Company. New York. [] Gessel, I Fibonacci is a square, Fibonacci Quart. Journal of Number Theory, 11: [3] Guy, R.K Unsolved Problem in Number Theory, 3 rd Ed. Springer, New York. [4] Zhang & C. Tianxin Perfect Numbers and Fibonacci Prime. Journal of Number Theory, 11: [5] Thomas, K Elementary Number Theory and Its Applications, nd Ed. Academic Press. New York. [6] Rosen, K.H Elementary Number Theory and Its Applications, 5 th Ed. Addison-Wesley Publishing Company. USA. [7] Weisstein, E.W Cassini s Identity. From Math World-A Wolfram Web Resource: Diakses pada 1 Desember 014, pk. 10. Repository FMIPA 1

13 [8] Kaplan, P. & K.S Williams, 006. Pell s Equations x my = 1, 4 and Continued Fraction. Journal of Number Theory, 3: [9] Luca, F. & J. Ferdinands, 006. Sometimes n Divides σ a (n). Amer. Math Monthly, 113: Repository FMIPA 13