KEKONVERGENAN DERET RECIPROCALS PRIMA YANG BERHUBUNGAN DENGAN BILANGAN FERMAT ABSTRACT

Transkripsi

1 KEKONVERGENAN DERET RECIPROCALS PRIMA YANG BERHUBUNGAN DENGAN BILANGAN FERMAT Apriadi, Sri Gemawati 2, Musraini 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru 28293, Indonesia apriadi.matematika08@gmail.com ABSTRACT In article we study the densities of several sets connected with the Fermat numbers F m = 2 2m +. This article is a review of the article of Krizek et al. [Journal of Number Theory, 97(200): 95-2]. In particular, the series of reciprocals of all primes divisors of Fermat numbers is proved to be convergent. The series of reciprocals of elite primes is also shown to be convergent. Keywords: Fermat numbers, elite primes, sum of reciprocals, density ABSTRAK Artikel ini mempelajari densitas dari beberapa himpunan yang berhubungan dengan bilangan Fermat F m = 2 2m +. Artikel ini merupakan review dari artikel Krizek dkk. [Journal of Number Theory, 97(200): 95-2]. Secara khusus, deret kebalikan dari semua pembagi prima dari bilangan Fermat dibuktikan konvergen. Deret kebalikan dari bilangan prima elit juga ditunjukkan konvergen. Kata kunci: Bilangan Fermat, prima elit, penjumlahan dari reciprocals, densitas. PENDAHULUAN Bilangan prima merupakan salah satu materi penting pada bidang teori bilangan sebagai elemen himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat positif. Bilangan primaadalah bilangan bulat positif n > yang hanyamemiliki duafaktor yaitu satu dan bilangan itu sendiri sedangkan bilangan lainnya disebut bilangan komposit. Dalam bidang teori bilangan, bilangan prima sering menjadi topik pembelajaran utama diantaranya hubungan antara bilangan prima dan bilangan Fermat. Bilangan Fermat adalah bilangan bulat dalam bentuk F m = 2 2m +, dimana m 0. Diberi nama bilangan Fermat karena untuk menghormati Pierre de Fermat (60-665)yang sangat yakin bahwa bilangan tersebut selalu prima. Pada tahun Repository FMIPA

2 732, LeonhardEulermenyangkalpernyatanFermatdenganmemfaktorkanF 5. Saat ini, dugaan yang berlaku tampaknya tidak ada bilangan prima Fermat di luar m = 4 yang ada. Sebuah syarat perlu dan cukup untuk primalitas dari setiap bilangan Fermat disediakan oleh uji Pepin. Dalam Artikel ini menggunakan p dan q untuk notasi bilangan prima. Untuk subset A dari semua bilangan bulat positif dan setiap bilangan real x misalkan A(x) := A [0, x]. Dinotasikan P himpunan semua bilangan prima yang terdapat m sehingga p membagi F m. Dengan hasil diketahui dari Goldbach [3], dua bilangan Fermat berbeda adalah relatif prima. Dengan demikian, setiap anggota p P membagi bilangan Fermat tunggal. Persoalan utama yang akan dibahas dalam Artikel ini menyangkut kekonvergenan deret reciprocals dari P. Akan ditunjukkan bahwa P adalah densitas asimtotik relatif nol sebagai subset dari semua bilangan prima. Pada tahun 955, Golomb [2] mengatakan jika deret p p P adalah konvergen. Akan diberikan bukti yang lebih rinci pada persoalan ini. Dimulai dengan menunjukkan batas atas ukuran dari himpunan P(x). 2. KEKONVERGENAN DERET RECIPROCALS FAKTOR PRIMA BILANGAN FERMAT Pada sub bab ini dibahas mengenai faktor prima dari bilangan Fermat. Berikut diberikan teorema-teorema yang berhubungan dengan faktor prima bilangan Fermat. Teorema [3, h. 59] Jika m > dan p prima sehingga p F m, p = k2 m+2 + dengan k bilangan asli. Bukti. Lihat [3, h. 59]. Teorema 2 [4] Kardinalitas dari himpunan faktor prima bilangan Fermat adalah terbatas, dapat dinotasikan sebagai ( ) x P(x) = O,x logx Bukti. Berdasarkan Teorema (), jika p F m dan m 2, diperoleh p ( mod 2 m+2 ). Untuk setiap n > 0, misalkan S n = {p P p = 2 n k +,untuk suatu k ganjil} () himpunan S n merupakan partisi dari P. Karena S 0 =,S = {3}, S 2 = {5}, S 3 =, S 4 = {7}, S 5 = S 6 =, S 7 = {64,670047} dan seterusnya. Untuk Repository FMIPA 2

3 n 3, Jika p S n p F m untuk suatu m 2, kemudian dengan menggunakan Teorema Lucas [3], berlaku juga untuk n m+2. Dapat ditulis p S n p n 2 m=0 F m < F n (2) dimana perkalian disisi kiri pada pertidaksamaan (2) adalah sama dengan bila S n himpunan kosong. Karena p 2 n+ untuk semua p S n, ini menyatakan bahwa sehingga dengan menggunakan sifat bahwa (2 n +) Sn < 2 2n +, log(22n +) S n < log(2 2n log(y +) log(x+) < logy, berlaku untuk semua y > x >, logx dengan y = 2 2n dan x = 2 n diperoleh Pertidaksamaan (3) menyatakan n S j = 2+ j= n < 2+ j=3 S n 2n n. (3) n j=3 2 j j 2 n c, untuk n 3, n n 2 n S j c, untuk n 3, (4) n j= dengan c = 4. Misalkan x 4 dan pilih n sehingga 3 kedua pertidaksamaan (6) dan (7) berikut 2 2 n > 2 2 n < x < 2 n+ (5) (6) n c 2 logx < n+ (7) terpenuhi dengan c 2 =. Dengan memilih n, dari pertidaksamaan (4)-(7), menyatakan bahwa bilangan prima p P di dalam suatu S j untuk suatu j n adalah log2 n ( ) 2 n x x S j < c n < c 3 logx = O,x logx j= Repository FMIPA 3

4 n j= ( ) x S j = O,x (8) logx Selanjutnya untuk keterbatasan kardinalitas dari himpunan p P(x) untuk p S j untuk suatu j > n. Tetapi dalam kasus ini, p ( mod 2 n+ ). Menurut hasil dari [8], diketahui bahwa banyaknya bilangan prima tidak melebihi x yang kongruen dengan ( mod 2 n+ ) yang dinotasikan dengan π(x;,2 n+ ) adalah π(x;,2 n+ ) < π(x;,2 n+ ) < 2x φ(2 n+ )log(x/2 n+ ) = x 2 n log(x/2 n+ ) 2x φ(2 n+ )log(x/2 n+ ) = x 2 n log(x/2 n+ ) dengan φ adalah fungsi Euler Totient. Selanjutnya dengan menggunakan pertidaksamaan (5) dan (6) dapat disimpulkan bahwa bagian kanan (9) terbatas di atas oleh ( ) π(x;,2 n+ x ) < 2 n log(x/2 n+ ) < 4 x x log( x/2) = O logx Akibat 3. Misalkan λ >, kedua deret 2 dan ( ) x π(x;,2 n+ ) = O,x (0) logx p P d D (9) p λ () d λ (2) konvergen. Bukti. Kekonvergenan deret () merupakan akibat langsung dari Teorema (2), sedangkan kekonvergenan deret (2) dari konvergenan deret (). Secara umum pada Lema berikut: Lema 3 [4] Misalkan A adalah sebarang himpunan bilangan bulat positif sehingga dua anggota yang berbeda dari A adalah relatif prima. Misalkan D(A) adalah himpunan semua bilangan bulat positif yang membagi suatu anggota dari A dan misalkan P(A) adalah sub himpunan yang terdiri dari bilangan prima yang berada di D(A). Misalkan λ > 0, deret p P(A) p λ (3) Repository FMIPA 4

5 dan keduanya konvergen atau keduanya divergen. d λ (4) Bukti. Dapat dilihat bahwa jika (4) konvergen begitu juga (3), karena P(A) D(A). Asumsikan deret (4) adalah konvergen. Karena setiap dua anggota yang berbeda dari A adalah relatif prima, berikut bahwa deret (4) dapat ditulis d = + λ a A d a a> d> d λ ( σ(a) d = + λ a λ a A a> untuk bilangan bulat positif n ditulis σ λ (n) untuk jumlah dari pangkat-λ dari semua pembagi n. Fungsi σ λ (n)/n λ adalah multiplicative, dan jika p t pangkat prima σ λ (p t ) p t = t k=0 p kλ < k 0 ) (p λ ) k = + p λ (5) σ λ (p t ) p t < + p λ (6) dengan demikian, dengan menggunakan multiplicative fungsi σ(n)/n λ dan pertidaksamaan (6) dapat disimpulkan bahwa jika n adalah bilangan bulat positif, σ λ (p t ) < ( + ) p n < e p t p λ p λ. (7) + p n Untuk pertidaksamaan (7), gunakan sifat bahwa + x < e x untuk semua x > 0, dari pertidaksamaan (5), diperoleh < + a A a> Selanjutnya perhatikan bahwa deret p P(A) ( p n e p λ + ) p λ adalah konvergen, karena rasio antara bentuk umum dari deret (9) dan (3), rasio (p λ /p λ ) menuju ke dan deret (3) adalah konvergen. Akibatnya, ada suatu konstanta C sehingga (20) p λ + p P(A) (8) (9) Repository FMIPA 5

6 Misalkan f : [0,C ] {, ) fungsi diberikan oleh f(x) := { e x x, untuk x (0,C ),, untuk x = 0. (2) Fungsi f pasti kontinu pada interval tertutup [0,C ] dan terbatas. Dengan dengan demikian terdapat konstanta C 2 sehinggga e x < C 2 x berlaku untuk semua x [0,C ]. (22) Dengan menggunakan pertidaksamaan (20) dan (22), diperoleh p n e p λ < C2 p a p λ (23) berlaku untuk semua a A. Dari pertidaksamaan (8), (20) dan (23) dan karena dua anggota dari A adalah relatif prima, diperoleh ( d <+ p n e λ a A a> <+C 2 a A a> <+C 2 <+C C 2 p a p P(A) yang menyatakan bahwa (2) adalah konvergen. ) p λ p λ p λ d λ < +C C 2 (24) 3. KEKONVERGEN DERET RECIPROCALS BILANGAN PRIMA ELIT Pada sub bab ini dibahas mengenai bilangan prima elit. Dalam [], Aigner memperkenalkan konsep prima elit, sebagai bilangan prima p sehingga p adalah bukan residu kuadrat modulo F m untuk semua tapi ada hingga banyaknya nilai dari m. Artinya, bilangan prima elit yang tepat bilangan prima p dapat menerapkan Uji Pepin dengan a = p untuk menentukan primalitas dari F m. Aigner menemukan hanya 4 bilangan prima elit di bawah 35 [0] 6 beberapa yang pertama 3, 5, 7, 4, 5.36,... dan yang terbesar di bawah 35 [0] 6 menjadi Oleh karena itu ada begitu sedikit bilangan prima elit dalam kisaran yang relatif besar. Misalkan E adalah himpunan semua bilangan prima elit. Repository FMIPA 6

7 Teorema 4 [4] Kardinalitas dari himpunan bilangan prima elit terbatas, dapat dinotasikan sebagai berikut ( ) x E(x) = O,x. (25) (logx) 2 Bukti. Dimulai dengan bilangan bulat positif besar x dan hitung berapa banyak bilangan prima p x yang merupakan elit. Asumsikan bahwa p x karena hanya adao( x) = O(x/(logx) 2 )bilangaprimadibawah x. Untukbilanganprimap x tulis p = 2 ep k p (26) dengan e p dan k p c = dan c log2 2 > 0merupakan konstanta mutlak. Perhatikan ( x bahwa untuk O prima p x dalam pertidaksamaan logx 2 ) e p < c loglogx c 2 (27) berlaku. Misalkan t = c loglogx c 2 dan asumsikan p sehingga e p t. p adalah bilngan prima yang kongruen untuk mod 2 t. Berdasarkan hasil dari [7], banyaknya bilangan prima yang tidak lebih dari x adalah perhatikan bahwa π(x;,2 t ) < 2t 2 t log(x/2 t ), (28) x > 2 t berlaku untuk x > c 3. Secara khusus, x/2 t > x untuk x > c 3 dan pertidaksamaan (28) menyatakan bahwa ( ) π(x;,2 t 6x ) < 2 t+ logx 2c2+4 x (logx/2) = O x,x (log x/2) ( π(x;,2 t ) = O x (log x/2) (29) ),x. (30) Misalkan suatu bilangan prima elit p dengan p x dan e p < t. Perhatikan bahwa untuk p, k p = p > > c 4 x 2 ep 2 t logx > x(/3), untuk x > c 5 (3) Pada pertidaksamaan (3) ambil c 4 = 2 c 2 dan c 5 > c 3. Dinotasikan f p merupakan multiplicative order dari 2 mod k p. Artinya, f p merupakan bilangan bulat terkecil dengan k p (2 f p ). Secara khusus, dari pertidaksamaan (3), menyatakan bahwa 2 fp > k p > x /3 f p > c 6 logx, (32) Repository FMIPA 7

8 dengan c 6 = 3log2. Perhatikan bahwa barisan {F m} m 0 merupakan periodic modulo p untuk m e p dengan periode f p. Perhatikan bahwa ekivalen dengan F m F m+fp ( mod p), untuk m e p (33) 2 2m (2 fp ) ( mod p). (34) Karena m e p dan k p (2 fp ), ini menunjukkan bahwa (p ) 2 m (2 fp ) sehingga (35) memenuhi Teorema Fermats Little. Selanjutnya, dari (33) diperoleh bahwapmerupakanprimaelitjikaf m bukanresidukuadratmodulopuntukm e p. Karena F m kongruen dengan mod 4 untuk semua m, ini menunjukkan hukum dari kuadrat recipricality, bahwa F m p = p F m, berlaku untuk semua m. Dimana untuk dua bilangan bulat a dan b dengan b > ganjil gunakan (a/b) untuk menotasikan simbol Jacobi dari a terhadap b. Sehingga p merupakan kuadrat non residu modulo F m jika dan hanya jika F m merupakan kuadrat non residu modulo p, dari (33) menunjukkan bahwa ada tak hingga banyaknya. Kerenanya p merupakan kuadrat non residu modulo tak hingga bilangan Fermat, kontradiksi dengan fakta bahwa p merupakan elit. Karena e p < t, ini menunjukkan bahwa F t,f t+,...,f 2t (35) merupakan semua kuadrat non residu modulo p. Perhatikan bahwa bilangan yang ada dalam (35) merupakan independen dari bilangan p (mereka hanya tegantung pada x). Perhatikan bahwa t F t+i < x /3 (36) untuk x < c 7. dan pertidaksamaan ekivalen dengan yang berlaku jika yang ekivalen dengan i=0 t 2t F t+i < F i < 2 2t+, i=0 i=0 2 2t+ < x /3 (t+)log2+loglog2 < loglogx log3, (c loglogx c 2 +)log2 < loglogx log3 loglog2, c 2 log2 > log2+log3+loglog2. (37) Repository FMIPA 8

9 Dengandemikian, pilihc 2 sehingga(37)berlaku. Inimenyatakanbahwa(35)berlaku juga. Secara khusus, semua bilangan dari (35) lebih kecil dari p, sehingga dua darinya tidak kongruen modulo p. Untuk i = 0,,...,t diberikan F t+ = S i U 2 i, (38) dimana S i merupakan kuadrat bebas. Ini juga diketahui bahwa tidak ada bilangan Fermat yang merupakan kuadrat sempurna. Maka S i > untuk semua i = 0,,,t dan karena dua bilangan Fermat adalah relatif prima, ini menunjukkan bahwa dua bilangan S i juga relatif prima. Syarat bahwa semua bilangan pada (35) merupakan kuadrat non risudu modulo p adalah ekivalen dengan ( ) Si =,untuk i = 0,,...,t. (39) p Karena setiap prima pembagi F m kongruen dengan mod 4 untuk setiap m, ini menunjukkan bahwa S i kongruen dengan mod 4. Maka(39) ekivalen dengan ( ) p =,untuk i = 0,,...,t. (40) S i Untuk i tetap, pertidaksamaan (40), karena S i kuadrat bebas, dan setiap bilangan prima ganjil q ada (q )/2 kuadrat residu modulo q, menunjukkan bahwa dari semua φ(s i ) dalam bentuk a( mod S i ) dengan a bergerak melalui semua bilangan bulat positif yang lebih kecil dari S i dan relatif prima dengan S i, p termasuk φ(s i )/2 dari mereka. Artinya, ada subset A i dari kardinalitas φ(s i )/2 dari himpunan semua bilangan bulat lebih kecil dari S i, dan relatif prima dengan S i, sehingga jika p memenuhi (40) untuk i, p a( mod S i ) untuk a A i. Sekarang misalkan T = t t 0 S. Karena setiap dua dari S i adalah relatif prima, ini menunjukkan bahwa t i=0 φ(s i ) 2 = φ(t) 2 t+ kelas residu modulo T yang relatif prima ke T dan yang terdapat bilangan prima p. Namun, dengan hasil [7], untuk Kelas kongruensi tertentu modulo T yang relatif prima ke T, banyaknya bilangan prima hingga x dalam kelas kongruensi ini paling banyak 2x φ(t)log(x/t). karena dari (36) T = t S i t=0 t F k+ < x /3, i=0 diperoleh bahwa x/t > x 2/3. Maka banyaknya bilangan prima hingga x dalam kelas residu T tidak lebih dari 3x φ(t)logx Repository FMIPA 9

10 karena diketahui φ(t)/2 t+ kelas kongruen modulo T yang memuat p, ini menunjukkan bahwa keseluruhan dari p tidak lebih dari ( ) φ(t) 3x 2 t+ φ(t)logx = 3x x 2 t+ logx = O,x (log x)2 akibatnya konvergen. p E p DAFTAR PUSTAKA [] Aigner, A Uber Primzahlen Nachdenen (Fast) Alle Fermatschen Zahlen Quadratische Nichtreste Sind. Monatsh. Math, 0: [2] Golomb, S.W Sets of Primes with Intermediate Density. Math, Scand, 3: [3] Krizek, M., F. Luca, & L. Somer Lectures on Fermat Numbers. Springer-Verlag, New York. [4] Krizek, M., F. Luca, & L. Somer On the Convergence of Series of Reciprocals of Primes Related to the Fermat Numbers. J. Number Theory, 97: 95-2 [5] Montgomery, H. L. & R. C. Vaughan The Large Sieve. Mathematika, 20: Repository FMIPA 0