BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

Transkripsi

1 BAB TINJAUAN PUSTAKA.. Teori Chaos Penemuan chaos dimulai etia para matematisi dan fisiawan melauan analisis dari suatu sistem dinamis ang berbentu persamaan differensial dan menemuan eganjilan dalam perilauna. Sistem persamaan differensial ang merupaan model dari sistem dinamis dapat dipandang sebagai suatu mesin ang menerima input dari beberapa nilai awal dari variabel ang terait, emudian menghasilan nilai baru setelah dioperasian beberapa saat. Setiap langah penelesaianna dapat diream dalam bentu titi oordinat dari suatu bidang grafis, ang bila di-plot dari awal hingga ahir menampaan jeja perilau dari sistem dinamis tersebut. Suatu eadaan chaos dapat diartian sebagai eadaan di mana jeja perilau sistem susah dipredisi (Surga,007). Para ahli dinamia nonlinier juga menggunaan istilah chaos untu tingah lau ta teratur dan ta terprairaan dalam sistem nonlinier deterministi. Sistem seperti ini tida pernah mengulang dirina sendiri, melainan secara terus-menerus melauan sesuatu ang berbeda, sehingga geraanna tampa aca dan ta teratur (Waler, 99). Chaos menunjuan bahwa sebuah sistem dapat memilii tingah lau omples ang muncul sebagai onseuensi interasi sederhana, ta linier beberapa omponen saja. Bahan dietahui pula bahwa sistem-sistem sederhana dengan hana satu atau dua derajat ebebasan saja dapat bersifat chaos (Setiawan,99). Salah satu sifat dari sistem dinamis chaos adalah model deterministina bersifat sederhana. Realisasi tingah lau omples ang tida membutuhan model matematia ang omples merupaan sumbangan dinamia nonlinier ang paling

2 penting. Model-model ang sederhana dapat menghasilan tingah lau omples dan tida teratur (Setiawan, 99), hal ini meniratan bahwa geraan ang bersifat chaos ternata jauh dari etidateraturan total dan malah menampilan suatu pola tertentu ang dapat terlihat dengan mudah (Waler, 99). Berdasaran enataan ini. maa ita dapat mengharapan penggambaran teoritis sejumlah besar gejala alam ang aca dan ta dapat diperiraan dengan menggunaan model matematia ang menunjuan perilau chaos deterministi (Setiawan, 99). Aspe lain tentang chaos, etia muncul dalam fisia, adalah suatu sensitivitas estrim terhadap ondisi awal. Aspe ini dapat diandaian sebagai eadaan etia ita henda menegaan sebuah pena tega lurus pada salah satu ujungna. Jia ditempatan secara vertial, pena tersebut aan berada dalam eseimbangan. Namun, eseimbangan tersebut tida stabil, bahan suatu gangguan ang ecil seperti hembusan udara ang ringan, atau suara buu jatuh dapat menebaban pena tersebut jatuh e arah ang lain. Posisi vertial pena merupaan suatu contoh eadaan ang menunjuan sensitivitas estrim terhadap ondisi awal. Keadaan ang bersifat chaos adalah seperti ini, dimana semua bagian gerana sama sensitifna seperti pada pena vertial. Aibatna, esalahan ang sangat ecil sealipun dalam penguuran suatu sistem chaos dapat menebaban esalahan ang luar biasa. Hal inilah ang terjadi pada peramalan cuaca, etidamampuan peramalan ini diaui sebagai contoh gera chaos ang bersangutan dengan transfer panas di atmosfer (Waler, 99).... Studi Chaos Secara Numeri Suatu eberatan ang timbul etia gejala chaos dipelajari secara numeri dengan menggunaan omputer digital aitu mengenai penggunaan seumpulan bilangan rasional berhingga dengan panjang ata berhingga (finite) dan watu perhitungan ang juga berhingga. Hal ini menebaban orbit periodi ang panjang dengan orbit quasiperiodi atau orbit chaos sulit untu dibedaan. Orbit ang teramati secara numeri hana menampilan pseudo-orbit, arena setiap langah dimulai dengan bilangan ang dibulatan berbeda dengan orbit ang sebenarna, mesipun perbedaan itu ecil.

3 Namun, bilangan bilangan irasional dapat dideati dengan bilangan rasional, atau dengan ata lain daerah chaos dielilingi oleh daerah-daerah periodi. Strategi ang benar dalam studi omputer adalah dengan mengidentifiasi orbit periodi dengan tepat dan mencirian gera ta periodi. Selain itu, sistematia orbit periodi bana seali memberitahuan sifat gera ta periodi ang berdeatan (Dalam ruang parameter). Dan telah dibutian bahwa setiap periode orbit pseudo-chaos dibaangi dengan orbit chaos ang sebenarna. Pengamatan lintasan secara langsung merupaan sebuah metode dengan resolusi paling rendah. Sedangan penentuan belahan Poincaré (Bagian ini aan dijelasan lebih lanjut pada subbab...) memberian suatu cara efetif untu mengungap sifat gera (Setiawan, 99). Studi chaos secara numeris bahan dapat dilauan dengan menggunaan alulator tangan, aitu untu persamaan logisti ang diberian pada persamaan.. x wx( x) (.) Dengan rentang 0 x dan w adalah parameter ang dapat diatur. Untu nilai x 0,4 dan nilai w,9 maa dari persamaan.. diperoleh x 0,696, emudian nilai x menjadi nilai awal dan diperoleh x 0,64, hal ini dilauan seterusna untu beberapa iterasi sehingga aan ditemuan bahwa nilai x aan dibatasi pada nilai 0,655 dan berulang lagi. Hal ini ang diataan sebagai eadaan periodi. Selanjutna jia nilai nilai w dinaian menjadi 3,3, maa nilai x aan berganti-ganti antara nilai tinggi 0,84 dan nilai rendah 0,480, dan hal inilah ang diataan sebagai penggandaan perioda, dan dengan melanjutan prosedur ini, maa aan diperoleh penggandaan periode lagi, begitu seterusna sehingga diperoleh ondisi chaos (Waler, 99). Namun, perhitungan uantitatif ini tida dapat digunaan untu menggambaran suatu geraan sistem dinamis nonlinier, maa analisis numeris ang lebih bai adalah dengan menggunaan perangat-perangat analisis seperti ang telah dijelasan pada paragraf sebelumna.

4 ... Ruang Fasa Ruang fasa (phase space) merupaan sarana ang bermanfaat untu menggambaran tingah lau sistem-sistem ang bersifat chaos dalam bentu geometri. Adapun ang dimasud dengan ruang fasa dari suatu sistem dinamis adalah ruang ang secara matematia memilii arah oordinat tega lurus, dimana masing-masing oordinat mewaili variabel-variabel ang diperluan untu menentuan eadaan sistem pada saat tersebut (Baer et al, 996). Sebagai contoh, eadaan dari suatu Partiel ang bergera pada satu dimensi ditentuan oleh posisina (x) dan ecepatanna (v), arena itu ruang fasana berupa bidang. Sedangan untu partiel ang bergera pada tiga dimensi aan memilii enam dimensi ruang fasa, aitu tiga arah untu posisi dan tiga arah untu ecepatan. Sebuah ruang fasa dapat dibentu dengan beberapa variabel ang berbeda. Misalna pada contoh ini momentum dapat digunaan untu menggantian ecepatan. Sebagai contoh dari penentuan ruang fasa ini misalna pada rotor berecepatan onstan. Persamaan gerana aitu persamaan. dan.3. dω 0 (.) dt dθ ω0 (.3) dt Lintasan fasa dari rotor ini berupa garis horizontal dengan ecepatan sudut ang berbeda, seperti ditunjuan pada gambar..

5 ω -π π θ Gambar.. Ruang fasa dari rotor dengan ondisi batas periodi. Lintasan fasa bergera dari anan e iri dan menghilang pada θ π dan muncul embali pada θ - π. Lintasan ang bergantung pada θ dan ω memastian bahwa daerah bujur sangar awal bertransformasi menjadi daerah berbentu jajaran genjang dengan tinggi onstan, dengan demiian luasan daerah asal tetap terjaga. Koordinat sudut, θ dari rotor dapat dinaian ( secara positif atau secara negatif) tanpa batas. Namun, θ adalah periodi secara fisia. Dari ruang fasa ini dapat ditentuan apaah sistem bersifat disipatif atau onservatif. Carana adalah dengan mengidentifiasi variabel-variabel pada persamaan sistem dan menghitung nilai perubahan volum ang diberian oleh persamaan.4. (Baer et al, 996). dv F V dt Dan nilai turunan logaritma hana bergantung pada uantitas (.4) F, jia nilaina 0 maa sistem bersifat onservatif dan jia nilaina negative maa sistem bersifat disipatif. Setiap sistem ang aan diam dengan berlaluna watu dapat dicirian oleh sebuah titi tetap dalam ruang fasa. Secara umum orbit sistem seperti ini aan tertari menuju edaerah ruang fasa ang lebih ecil dan berdemensi lebih rendah. Daerah

6 seperti ini juga disebut sebagai penari (attractor), sebagai contoh adalah pendulum sederhana nonlinier teredam.... Belahan Poincaré Salah satu arateristi dari sistem chaos adalah bahwa sistem tersebut sangat sensitif terhadap ondisi awal. Misalan untu dua ondisi awal dengan selisih ang sangat ecil, maa lintasanna menimpang secara esponensial terhadap watu. Salah satu cara untu menentuan arateristi ini aitu esponensial Lapunov, suatu perhitungan rerata dari divergensi dan onvergensi dari dua lintasan ang berdeatan. Namun, hasil dari perhitungan esponensial ini adalah berupa anga, sedangan penelitian ini mengharapan penggambaran dinamia sistem melalui suatu pola eluaran. Maa perangat analisis lain ang digunaan pada penelitian ini adalah Belahan Poincaré. Belahan Poincaré adalah sebuah bidang potong berdimensi dua (Representasi dua dimensi dari ruang fasa) tempat dimana lintasan-lintasan (Trajectories) dari sebuah penelesaian sistem dinami melewatina. Dari belahan Poincaré aan diperoleh sebuah foto fasa (phase portrait) ang di dalam ilmu fisia disebut juga dengan photo stroboscopic. Belahan Poincaré secara umum diperluan untu menederhanaan proses penganalisaan suatu sistem dinami ang berdimensi tiga atau empat guna mendapatan informasi sebana-banana mengenai sifat-sifat sistem tersebut (sifat stabil atau tida stabilna orbit-orbit periodi, misalna) (Zaaria, 00). Belahan Poincaré ini muncul sebagai titi. Dimana titi tersebut adalah perpotongan antara lintasan dengan sebuah bidang. Hal ini diilustrasian pada gambar.. Pada gambar, bidang S berada pada x 3 onstan, dan aan diperoleh titi-titi potong ang bersesuaian dengan arah perembangan ( x 3 < 0) ang diberian. Tinggi h dari bidang dipilih sedemiian rupa sehingga lintasan Г memotong bidang S pada

7 P 0, P, P,. Titi-titi ini merupaan belahan Poincaré dari Г pada bidang S (Berge et al, 984). X3 Г Po P P S h X X Gambar.. Ilustrasi Belahan Poincaré. Lintasan fasa Г memotong bidang S ( Dengan x 3 < 0) pada titi-titi ang berurutan P 0, P, P,. Titi-titi ini merupaan Belahan Poincaré dari Г pada bidang S. Sistem chaos selain memilii geraan ang bersifat deterministi (Jia diberian suatu eadaan awal ang telah dietahui sebelumna, maa geraanna ang aan datang dapat diuraian secara tepat dengan menggunaan perhitungan matematia), juga bersifat ta periodi (Geraanna tida pernah berulang secara tepat). Dalam asus pendulum sederhana, jia geraanna bersifat ta periodi (chaos) maa aan terbentu titi-titi ta berhingga pada ruang fasa. Hal ini ang dianalisis dengan menggunaan Belahan Poincaré, aitu menentuan perilau sistem pendulum sederhana pada ruang fasa secara periodi Penggandaan Perioda Perubahan estabilan atau perubahan ang dramatis dalam dinamia suatu sistem aibat berubahna nilai parameter dalam suatu sistem, dinamaan bifurasi. Bifurasi ini tida selalu berhubungan dengan omplesitas, tetapi terdapat beberapa jenis bifurasi ang senantiasa berhubungan dengan bertambahna erumitan suatu sstem

8 ang pada ahirna mengaibatan ondisi chaos. Beberapa ahli dinamia nonlinier mengemuaan bahwa salah satu jenis bifurasi ang terenal adalah penggandaan perioda (period doubling), ani suatu geraan periodi ang mengalami bifurasi dan melontaran geraan periodi lain ang periodena dua ali lebih besar dari periode semula. Kemudian masing-masing geraan periodi itu mengalami bifurasi lagi ang sama dan begitu proses seterusna. Masing-masing geraan periodi ang terlontar biasana tida stabil, aibatna pada suatu nilai parameter tertentu aan sangat bana geraan periodi ang tida stabil dalam suatu sistem. Ketia hal ini terjadi, dinamia sistem sudah sangat omples dan ondisi chaos terjadi lagi. Untu lebih jelasna, ditinjau sebuah sistem dinamis ang diatur oleh satu set persamaan differensial, aitu persamaan.5. dx f ( x,..., m) (.5) dt Dengan m merupaan sebuah parameter, sistem ini aan mengalami serangaian perubahan ualitatif etia nilai parameter m divariasian, perubahan ini terjadi sebelum sistem tersebut menunjuan perilau chaos. Ketia nilai m dinaian, satu nilai Eigen dari sistem ang dilinieran aan meninggalan lintasan lingaran, melewati nilai -. Dan etia nilai Eigen sama dengan -, sebuah orbit dengan perioda ang baru aan muncul, dimana perioda orbit ini dua ali lebih besar dari orbit awalna. Jadi, ruang fasa aan terlihat seperti osilasi ang periodi dengan bentu ang berbeda dari lingaran awal. Hal ini ang disebut dengan penggandaan perioda. Jia nilai m lebih dinaian maa aan terbentu orbit periodi ang baru terbentu aan menjadi tida stabil, dan penggandaan perioda beriutna aan terjadi embali. Dan hal inilah ang diataan bahwa sistem tersebut mengalami eadaan chaos.... Chaos dan Pengaruhna Dalam Sains Teori chaos buan hana seumpulan labirin matematia, namun merupaan sejumlah besar ejadian di alam semesta. Menurut beberapa peneliti, eadaan chaos telah

9 mendorong lahirna paradigma ilmu pengetahuan baru. Selain itu, menurut merea teori chaos ini juga dapat merepresentasian ilmu pengetahuan baru ang lebih unggul etimbang metode redusionis Newton, Einstein dan Darwin ang urang menari (Kusmarni, 008). Chaos tida hana memberi para ilmuwan suatu cara baru untu melihat dunia, menjelasan perilau dalam ragam sistem ang luas, namun juga memahami daa tari esteti ang besar dalam bentu geometri omples ang fantasti (Waler, 99). Studi chaos juga memilii dua tujuan, aitu untu membutian pemahaman teoriti ang diperoleh dari studi model dan untu membangun teori baru dengan menantang teori ang ada dengan penemuan-penemuan ang tida diharapan (oleh teori ang sudah ada) (Setiawan, 99). Beberapa bentu gejala chaos ang timbul dalam beberapa bidang sains, aitu: a. Dalam bidang meania, Lorenz dan Duffing berhasil memodelan sistem meani sederhana. Vibrasi ang bersifat chaos pada tiang penangga pengeboran mina lepas pantai juga merupaan persoalan teni penting ang giat ditangani saat ini. b. Dalam bidang geofisia, selain prairaan cuaca, dinamia atmosfer dan lautan juga merupaan bagian dari dinamia nonlinier (chaos). Salah satu contohna adalah fenomena gelombang El-Nino ang terjadi pada lautan pasifi. Model dinamo geomagneti ang melibatan persamaan differensial biasa juga menampaan tingah lau bersifat chaos. c. Dalam bidang fisia zat padat, model osilator gandeng dalam suatu rentang parameter tertentu ang sering digunaan dalam pemodelan fisia zat padat ternata menunjuan gejala chaos. Selain itu, freuensi radio dalan sambungan Josephson ang dipaai dalam penguat parametri noise, bertambah secara luar biasa seiring dengan naina level gain. Karena level noise ang tinggi semacam ini ta dapat dijelasan oleh suatu sumber noise dan penguatanna ang telah dienal, Huberman dan sejawatna menataan hal ini sebagai dinamia instristi sambungan tersebut.

10 d. Dalam bidang edoteran, dinamia jantung ang dimodelan dengan osilator periodi terendala, serta ritmi jantung dan berbagai prate lini ternata mengalami gejala chaos. Selain itu, gejala chaos dalam jaringan saraf dan EEG (Electroencephalographic) dan dalam ativitas ota telah mendapat bana perhatian beberapa tahun belaangan ini. e. Dalam bidang eologi dan eonomi, dinamia chaos juga terus diembangan untu dapat diterapan dalam bidang ilmu tersebut. Salah satu fenomena chaos ang telah diteliti dalam bidang ini aitu fenomena beruntun. Beberapa ahli fisia eonomi telah melaporan bahwa penebab risis negara-negara asia termasu Indonesia di tahun 997 merupaan efe beruntun dari egagalan sistem eonomi di beberapa titi. Dengan teori Chaos ini dapat membantu melihat senario-senario mana ang berpeluang lebih besar menimbulan risis dan mana ang tida (Situngir et al, 00)... Pendulum Sederhana Fenomena gera osilasi dapat ditemuan di bana bidang fisia, dintarana gera eletron di dalam atom, perilau arus dan tegangan di dalam rangaian listri. Dari beberapa contoh gera osilasi tersebut, gera pendulum merupaan contoh paling sederhana. Pendulum sederhana adalah suatu sistem ang terdiri dari sebuah massa, m ang teriat pada tali ringan ang ta dapat mulur sepanjang l dan dapat beraun bebas dalam bidang vertial pada sumbu O sebagai respon terhadap gaa gravitasi, g, seperti pada gambar.3.

11 O θ l T F D θ mg Gambar.3. Gaa-gaa ang beerja pada pendulum, tegangan tali dan gaa berat, gaa peredam, dan gaa pengendali esternal. Karena massa ang teriat dapat bergera bebas sepanjang lingaran berjarijari l diseitar sumbu O, maa massa tersebut dapat mengalami gera rotasi dengan percepatan sudut α, atau θ ang merupaan turunan edua dari posisi sudut,θ terhadap watu. Sedangan ecepatan tranlasina adalah persamaan.6. v lω l θ (.6) Dari gambar.. terlihat bahwa gaa F beerja pada massa, m ang posisina terhadap titi asal O adalah l, maa tora ang beerja pada massa tersebut adalah persamaan.7. τ l F (.7) Tora adalah besaran vector ang besarna diberian oleh persamaan.8. τ lf sin θ (.8) Sedangan huum edua Newton untu gera rotasi adalah persamaan.9. Σ τ I θ (.9) Dengan I adalah momen inersia ang besarna adalah persamaan.0. I ml (.0) Gaa D pada gambar.3 adalah persamaan.. D bv (.) Dengan b adalah oefisien redaman. Dan dengan mensubstitusi persamaan.6. e persamaan. diperoleh persamaan..

12 D blθ (.) Berdasaran persamaan.8,.9, dan gambar.3. maa dapat diperoleh persamaan gera pendulum dengan menganalisis gaa-gaa ang beerja pada massa,m, aitu gaa peredam, gaa gravitasi dan gaa pengendali. Hal ini diberian oleh persamaan.3. -Dl sin θ (-mgl sin θ) Fl sin θ I θ (.3) Kemudian ditetapan bahwa gaa pengendali adalah fungsi watu dan D bergantung pada ecepatan. Dengan mensibstitusi persamaan.0 dan. e persamaan.3 dan menusun ulang persamaan tersebut, maa diperoleh persamaan.4. ml θ bl θ mgl sin θ F(t)l (.4) θ b g F ( t) θ sin θ m l ml (.5) Persamaan.5 merupaan persamaan differensial orde dua ang menggambaran gera pendulum sederhana. Penelesaian persamaan.5 terdiri dari dua bagian, aitu penelesaian transien dan penelesaian eadaan tuna. Penelesaian transien merupaan penelesaian etia sistem masih bergantung pada sarat-sarat awal (dengan sistem ang mendapat pengaruh redaman). Setelah sistem berjalan beberapa deti, penelesaian ini menjadi diabaian arena penurunan amplitudo ang esponensial, sehingga diperoleh penelesaian eadaan tuna (Tipler, 998). Pendulum sederhana ini merupaan suatu sistem dinamis ang dapat menunjuan perilau chaos. Dalam asus ini ang dibutuhan adalah penentuan dua variabel, posisi dan ecepatan. Sebuah titi pada bidang posisi-ecepatan disebut sebagai eadaan (state) ang oordinatna adalah posisi dan ecepatan. Keadaan bergera sepanjang suatu lintasan pada bidang sementara pendulum beraun. Bila ta ada gesean, lintasanna berbentu lingaran tertutup (loop) ang menataan eadaan ahirna aan datang dalam bentu eadaan awalna. Dan jia terdapat gesean, lintasanna terpilin menuju titi berhentina pendulum. Sistem dinamis ang bersifat chaos tida dapat dinataan dalam lintasan bentu tertutup (Setiawan, 99).

13 ...Pendulum Sederhana Linier Persamaan.5. pada subbab.. merupaan persamaan gera pendulum sederhana dengan memperhatian seluruh gaa ang beerja pada pendulum. Sedangan persamaan gera pendulum sederhana ang terdapat pada buu ajar fisia dasar biasana hana memperhatian gaa gravitasi untu gera pendulum sederhana, dengan mengabaian gaa peredam dan gaa pengendali. Atau dengan ata lain, F(t) 0 dan b 0, sehingga persamaan.5. menjadi persamaan.6. θ g sin θ 0 (.6) l Persamaan (.5) merupaan persamaan nonlinier dan untu simpangan ang ecil, θ << radian maa sin θ θ, maa persamaan (.6) menjadi persamaan.7. θ g θ (.7) l Persamaan.7 merupaan persamaan differensial linier orde edua ang menggambaran persamaan gera pendulum sederhana linier dengan l g merupaan freuensi alami pendulum (freuensi etia tida ada gaa redaman dan gaa pengendali). Penelesaian persamaan.7 secara analitis diberian oleh persamaan.8 g θ(t) θ o cos t l Dengan periode diberian oleh persamaan.9. (.8) T l π (.9) g Gera osilasi ang terjadi berupa sinusoidal terhadap watu dan terus-menerus sepanjang watu tanpa pelemahan. Sebagai contoh diberian Grafi θ Vs t untu θ o π/4 dan l 0,5 m ditunjuan pada gambar.4 dan merupaan gera harmonis sederhana.

14 (rad) t (s) Gambar.4. Grafi θ Vs t untu θ o π/4 dan L 0,5 m. Dan grafi antara θ Vs θ menghasilan gambar fasa dari pendulum ini, dengan bentu elips tertutup seperti pada gambar.5. Dengan dimulai dari titi oordinat (5,0), titi ang ang disebut sebagai eadaan (state) aan bergera melingar membentu sebuah orbit bebentu elips hingga watu ang ta berhingga. θ (rad/s) (rad) Gambar.5. Grafi θ Vs θ dari pendulum sederhana merupaan gambar fasa pendulum dengan bentu elips Jia ondisi awal diubah sediit, misalan θ o π/3.5 maa aan diperoleh perbandingan grafi Grafi θ Vs t seperti gambar.5. Pada grafi tersebut dapat dilihat bahwa dua gelombang sinusoidal berjalan dengan sediit perbedaan amplitudo, dan ondisi ini tida berubah hingga watu ang ta berhingga.

15 rad t s Gambar.6. Perbandingan Grafi θ Vs t untu θ o π/4 dan θ o π/3.5 Model pendulum ini tida riil untu dua hal penting, aitu: a. Sistem ini mengabaian redaman ang mengaibatan hilangna gaa gera pendulum secara berangsur-angsur, misalna gaa gese dengan udara. Sedangan gera sistem meania ang riil aan memperlihatan adana redaman jia tida ada pengaruh gaa pengendali esternal seperti ang telah dijelasan pada subbab.. Jadi, persamaan.7 telah gagal menjelasan aspe penting ini. b. Semua sistem ang riil aan memilii beberapa derajat etidalinieran, ang menebaban adana perilau husus pada sistem (Thompson et al,986).... Pendulum Sederhana Nonlinier Gera pendulum ang sudah dibicaraan pada subbab.. masih dengan asumsi bahwa sin θ θ ang memberian hasil ang secara ualitatif benar. Tetapi, jia sudut simpangan pada pendulum sembarang atau tida dibatasi dengan asumsi tersebut maa persamaan dari pendulum adalah persamaan.6 ang merupaan persamaan nonlinier. Sedangan periode untu pendulum ini diberian oleh persamaan T T0 sin θ 0 sin θ 0... (.0) 4

16 Penelesaian persamaan.6 dapat dilauan dengan metode Euler atau dengan Integral Elipti. Persamaan ini juga dapat diselesaian secara numeri dengan bantuan omputer digital. Sebagai contoh diberian grafi-grafi penelesaian persamaan.6 untu θ o 0 dan θ.95 rad/s dengan menggunaan Mathematica. Grafi θ Vs t ang merupaan grafi simpangan pendulum ditunjuan pada gambar.7. rad t s - Gambar.7. Grafi θ Vs t untu θ o 0 dan θ.95 rad/s. Sedangan grafi θ Vs θ ang merupaan gambar fasa pendulum diberian pada gambar.8. θ (rad/s) - (rad) - Gambar.8. Grafi θ Vs θ dari pendulum sederhana nonlinier merupaan gambar fasa pendulum nonlinier Dari gambar.7 dan.8 dapat terlihat bahwa pendulum juga tida mengalami redaman sehingga gelombang ang dihasilan berlangsung terus-menerus dengan

17 amplitudo onstan dan perioda ang juga onstan. Dan dari persamaan.6 juga dapat ditentuan nilai F ω ( g / l sinθ ) 0, maa sistem ini bersifat θ ω onservatif. Jia ondisi awal diubah sediit, aitu θ.9 rad/s, aan diperoleh perbandingan grafi θ Vs t seperti gambar.9. Dari grafi ini, dietahui bahwa dengan perubahan ondisi awal ang ecil ini menghasilan amplitudo ang berbeda, dan arena perbedaan amplitudo ini maa aan dihasilan sediit perbedaan perioda juga, tetapi perbedaan gelombang ini juga bersifat periodi (Thompson et al,986). rad t s - Gambar.9. Perbandingan Grafi θ Vs t untu θ o.95 rad/s dan θ o.9 rad/s..3. Pendulum Sederhana Nonlinier Teredam Pada Subbab.. telah diberian penjelasan mengenai gera pendulum sederhana nonlinier dengan mengabaian efe redaman. Untu gera pendulum sederhana nonlinier teredam, persamaan gerana adalah persamaan.5. dengan F(t) 0, atau persamaan.. θ b g θ sin θ 0 (.) m l b g Dengan membuat pemisalan q dan Ω m l maa persamaan. menjadi persamaan.. θ qθ Ω sin θ 0 (.)

18 Penelesaian persamaan. dapat dilauan dengan menggunaan metode numeri seperti ang telah disebutan pada subbab.. atau dengan bantuan omputer digital. Sebagai contoh diberian grafi-grafi hasil penelesaian persamaan. dengan menggunaan Mathematica. Grafi θ Vs t untu ondisi awal rad θ o 0; q0.08; θ o 3 rad/s ditunjuan pada gambar t s Gambar.0. Grafi θ Vs t untu ondisi awal θ o 0; q0.08; θ o 3 rad/s. Dari gambar.0 ini dapat terlihat bahwa amplitudo berurang secara lambat terhadap watu, penurunan amplitudo ini merupaan penuruan esponensial. Bila redaman ecil, pendulum berosilasi dengan freuensi sudut mendeati freuensi ta teredam. rad s 3 Sedangan grafi θ Vs θ diberian pada gambar rad Gambar..Grafi θ Vs θ untu pendulum nonlinier teredam dengan orbit ang berpilin menuju satu titi. Dari gambar. dapat terlihat bahwa lintasan pendulum berpilin e dalam satu titi. Titi tersebut tetap dan tida bergera, dan arena titi-titi itu menari orbit-orbit ang berdeatan denganna, maa titi ini disebut penari (Attractor). Seperti ang ita etahui bahwa setiap sistem ang aan diam seiring berjalanna watu dapat dicirian sebagai titi tetap dalam ruang fasa, orbit sistem ini aan tertari e dimensi ang lebih rendah, daerah ini juga disebut attractor. Penari pada asus ini merupaan penari ang buan chaos arena dapat diperiraan dan tingah launa dapat

19 diramalan dengan tepat (Setiawan, 99). Sifat disifatif dari sistem ini juga dapat ω ( qω g / l sinθ ) ditentuan dari nilai F q θ ω, atau nilai F bernilai negatif. Jia ondisi awal diubah sediit,misalna untu θ o 0; q0.08; θ o 3 rad/s rad maa aan diperoleh perbandingan grafi seperti gambar t s Gambar.. Perbandingan Grafi θ Vs t untu ondisi awal q0.08 dan q Pendulum Sederhana Nonlinier Teredam dan Terendali Setelah gera nonlinier teredam tetapi ta terendali, masalah ang muncul emudian adalah bagaimana jia gera pendulum nonlinier tersebut terendali melalui pengaruh luar. Dengan ehadiran pengaruh luar ang diberian epada sistem aan membuat sistem menjadi ta terpredisi. Misalan bahwa gaa luar ang beerja pada sistem adalah persamaan.3 F(t) A cos Ω D t (.3) Dengan mensubstitusian persamaan.3 e persamaan.5 maa diperoleh persamaan.4. θ b g AcosΩ θ sin θ Dt (.4) m l ml b Dengan permisalan q, Ω m ditulis sebagai persamaan.5. g A, dan a, maa persamaan.4 dapat l mg

20 θ qθ Ω sin θ a Ω cos Ω (.5) Persamaan.5 merupaan persamaan gera untu sistem pendulum nonlinier teredam dan terendali. Gaa pengendali esternal ang beerja pada sistem ini dapat diperoleh dengan menggunaan arus bola-bali (AC) ang diberian secara horizontal (Pada sumbu x), jia massa, m berupa magnet ang dipasang secara vertial. Sistem seperti ini biasa digunaan misalna pada lengan robot (Hubbard, 00). t D Untu sebuah sistem dinamis ang digambaran melalui persamaan differensial orde dua, maa beberapa sarat penting ang harus dipenuhi, aitu: a. Sistem tersebut harus memilii setidana tiga variabel dinamis. b. Persamaan gera harus memilii suu nonlinier ang menggabungan beberapa variabel. Dan persamaan.6 dapat dipecah menjadi beberapa persamaan differensial orde pertama, aitu: dω qω Ω dt dθ ω dt d( Ω Dt) Ω D dt sinθ aω cosω D t (.6) Persamaan.6 merupaan suu nonlinier dari persamaan gera sistem ini. Jadi, dengan nilai tertentu dari parameter-parameterna sistem ini aan menunjuan gejala chaos (Baer et al, 996). Adapun epentingan dibutuhanna paling sediit tiga variabel untu menghasilan tingah lau chaos dapat dijelasan berdasaran gera lintasan dalam ruang fasa. Karena lintasan tida dapat berubah drastis bila pertambahan nilai parameterna berlangsung secara infinitesimal, maa satu-satuna gambaran ang dapat diterima adalah pecahna orbit awal. Jia pecahna orbit ini terjadi dalam sebuah bidang, maa setidana terdapat satu titi dimana lintasan memotong dirina sendiri, dan hal itu melanggar eunian solusi. Karena itu, pecahna orbit tanpa

21 memotong dirina sendiri hana dapat terjadi pada ruang berdimensi tiga atau lebih (Setiawan, 99). Sistem pendulum seperti ini bana dimanfaatan pada robot, peredam massatertala pada bangunan untu meredusi hempasan angin eras, dan peredam massa pasif untu beban gempa..3. Metode Runge-Kutta Salah satu metode numeri ang digunaan dalam penelesaian persamaan differesial adalah metode Runge-Kutta. Metode ini mencapai etelitian suatu pendeatan deret Talor tanpa memerluan alulasi turunan ang lebih tinggi. Bana perubahan terjadi, tetapi semuana dapat ditampung dalam bentu umum dari persamaan.7. i i f (x i, i, h) h (.7) dimana f (x i, i, h) disebut suatu fungsi ang dapat diinterpretasian sebagai sebuah slope rata-rata sepanjang interval. Fungsi tersebut dapat ditulis dalam bentu umum dalam persamaan.8. f a a a n n (.8) dimana setiap a adalah onstanta dan setiap besarna adalah persamaan-persamaan.9. f(x i, i ) f(x i p h, i q h) 3 f(x i p h, i q h q h) (.9) n f(x i p n- h, i q n-, h q n-, h... q n-,n- n- h) Semua harga berhubungan secara reurensi. Artina muncul dalam persamaan untu, ang muncul lagi dalam persamaan untu 3, dan seterusna. Reurensi ini membuat metode RK efisien untu alulasi oleh omputer (Ramond et al, 99). Berbagai jenis metode Runge-Kutta dapat direncanaan dengan melasanaan jumlah suu-suu ang berbeda pada fungsi tersebut seperti dinataan oleh n. untu n atau RK orde pertama ternata adalah metode Euler, aitu persamaan.30.

22 0 h f(x 0, 0 ) (.30) Dalam deret Talor didapatan persamaan ), '( ), x f! h h f(x h) (x (.3) Untu metode RK orde edua diberian oleh persamaan-persamaan.3. x h h x hf hf(x, ) dengan,, (.3) Metode RK orde tiga diberian oleh persamaan-persamaan.33. ) 4 ( 6 ), (, 3 3 h x hf h x hf hf(x, ) (.33) Metode RK orde empat diberian oleh persamaan-persamaan.34. x h x h x hf h x hf h x hf hf(x, ) ) ( ) ( ) ( 6 ), (,, (.34) Sedangan untu menelesaian persamaan differensial orde dua digunaan metode RK orde empat dengan terlebih dahulu membuat permisalan. Ditinjau persamaan differensial orde dua seperti pada persamaan.35. ),, ( dx d x f dx d (.35)

23 Dengan (x 0 ) 0, dan (x 0 ) 0. Persamaan.35. dibuat permisalan sehingga diperoleh persamaan-persamaan.36. d z dx dz z dx f ( x,, ) f ( x,, z) (.36) Persamaan-persamaan.36. merupaan persamaan-persamaan simultan ang dapat juga ditulisan sebagai f (x,,z)z dan f (x,,z)f(x,,z). Berdasaran persamaanpersamaan.36 tersebut, persamaan differensial orde tersebut diselesaian dengan mengiuti aturan metode RK orde empat pada persamaan.34 (Kandasam et al,997). Metode Runge-Kutta orde 4 ang nilaina berupa fungsi f(x,) harus dievaluasi pada setiap langah-langah penelesaianna. Karenana metode ini, ditinjau dari sisi efisiensi watu adalah urang efisien (Iengar et al, 006). Namun, arena dalam simulasi ini variabel ang terlibat hana sediit maa efisiensi tersebut menjadi tida dominan. Mengingat bahwa pemrograman dengan Runge-Kutta orde 4 lebih sederhana dalam implementasina, maa pada penelitian ini dipilih penelesaian dengan metode Runge-Kutta orde 4.