lim Buktikan bahwa lim r n = 0 untuk 1 < r < 1.

Transkripsi

1 Calculus Purcell

2 p > 0: 1 lim = n p lim 7n2 2n 2 +1 = Apakah {(ln n)/e n } konvergen? Buktikan bahwa lim sin5 n 2n = 0. Buktikan bahwa lim r n = 0 untuk 1 < r < 1.

3 Barisan tak Hingga: f i = a i, i N, a i R Notasi: a 1, a 2, a 3, a n n=1 a n

4 pola suku-suku awal 1, 4, 7, 10, formula eksplisit a n = 3n 2, n 1 formula rekursi a 1 = 1, a n = a n 1 + 3, n 2

5 Untuk n 1: a n = 1 1 n b n = n 1 n c n = 1 n + 1 n d n = 0.999

6 Jika Maka ε > 0, 0 < N ε < : n N a n L < ε lim a n = L ( barisan a n konvergen ke L). Otherwise, a n divergen.

7 Misal {a n } dan b n barisan yang konvergen, dan k kontanta. Maka berlaku: a) lim k = k b) lim ka n = k lim a n c) lim a n ± b n d) lim a n b n a e) lim n a n = lim b n lim b n = lim a n ± lim b n = lim a n lim b n, jika lim b n 0

8 lim f x x = L lim f n = L Contoh: ln n lim e n? Karena lim ln x/e x 1/x = lim x x e x = 0, maka lim ln n = 0. en

9 Misal barisan {a n } dan c n konvergen ke L, dan a n b n c n untuk n K, K N. Maka b n juga konvergen ke L. lim a n = lim c n = L a n b n c n, n K, K N lim b n = L

10 lim a n = 0 lim a n = 0 Contoh: lim lim a n Maka, menurut teorema C lim 2n n 1 n = lim 1 n 2n 2n n = 0 n = 0

11 Jika U batas atas dari barisan tak turun a n, maka barisan tsb konvergen ke limit A U. Jika L batas bawah dari barisan tak naik b n, maka barisan tsb konvergen ke limit B L.

12

13

14 Infinite Series (Deret tak Hingga): a k k=1 = a 1 + a 2 + a 3 + nth Partial Sum: S n = a 1 + a 2 + a a n = n k=1 a k

15 lim S n = S k=1 a k ( S n konvergen ) = S, (konvergen) {S n } divergen deretnya ( k=1 a k ) divergen

16 k=1 ar k 1 = a + ar + ar 2 + ar 3 +, a 0 nth partial sum: S n rs n = a + ar + + ar n 1 ar + ar ar n = a ar n Maka a arn S n = 1 r = a 1 r a 1 r rn

17 Jika r < 1 Maka lim r n = 0, sehingga lim S n = Jadi deret geometri konvergen. a 1 r = S Jika r > 1 atau r = 1 Maka deretnya divergen karena barisan {r n } divergen. Jika r = 1 Maka S n = na, sehingga deretnya divergen karena lim S n =.

18 n=1 a n konvergen lim a n = 0 lim a n 0 atau tidak ada a n n=1 divergen Proof: Karena deret konvergen maka: S = lim S n. Fakta bahwa a n = S n S n 1. Maka lim a n = lim S n lim S n 1 = S S = 0

19 Apakah 2n 4 n=1 konvergen? 4n 4 +n 2 Karena lim a 2n 4 n = lim 4n 4 + n 2 = lim /n 2 = 1 2 maka, dengan uji suku ke-n, deretnya divergen.

20 n=1 1 n = n + lim a n = lim 1 n = 0 Apakah lim S n = S (deretnya konvergen)? S n = n > n Jadi S n divergen, sehingga deret harmonik divergen.

21 Please read it by yourself. See 9.2 example 7 page 458. Contoh: k=`1 1 (k + 2)(k + 3) = k=1 1 (k + 2) 1 (k + 3) S n = n n + 3 = n + 3 lim S 1 n = lim 3 1 n + 3 = 1 3

22 Jika k=1 a k dan k=1 b k keduanya konvergen, dan c adalah suatu konstanta, maka k=1 ca k dan k=1 a k + b k konvergen. k=1 ca k = c k=1 a k k=1 a k + b k = k=1 a k + k=1 b k

23 k=1 a k divergen k=1 ca k divergen dan c 0 Contoh: k=1 1 3k = k= k

24 Suku-suku dari sebuah deret yang konvergen dapat dikelompokan secara bebas. Deret yang baru akan konvergen ke nilai yang sama.

25 a 1, a 2, a 3, ; a n = f n ; a n = f(a n 1 ) a n konvergen ke L jika lim a n = L lim f x x = L lim f n = L Teorema Apit: L = lim a n b n lim c n = L lim a n = 0 lim a n = 0 Jika U batas atas dari barisan tak turun a n, maka barisan tsb konvergen ke limit A U.

26 k=1 a k = a 1 + a 2 + a 3 + ; (deret) S 1, S 2, S 3, ; (barisan) lim S n = S k=1 a k = S, (konvergen) k=1 ar k 1 = a + ar + ar 2 +, a 0 (deret geometri) lim a n 0 atau tidak ada n=1 a n divergen 1 n=1 = n 2 3 n (Uji suku ke-n) +, (Deret Harmonik)

27

28

29 a k 0 dan S n U k=1 a k = S U Buktinya silahkan baca sendiri di buku. Bertanyalah kalau ada yg tidak dipahami.

30 Misal, pada interval [1, ), f suatu fungsi yang kontinu, positif, tidak naik dan a k = f(k), utk setiap bilangan bulat k. Maka f(x) dx konvergen a k konvergen 1 k=1

31 k=1 1 k p = p + 1 +, p R 3p Jika p > 1, maka deret-p konvergen Jika p 1, maka deret-p divergen Buktikan!

32 E n = S S n = a n+1 + a n+2 + Jika, pada interval [1, ), f suatu fungsi yang kontinu, positif, tidak naik dan a k = f(k), utk setiap bilangan bulat k. Maka E n = a n+1 + a n+2 + = a k k=n+1 < f(x) dx n

33

34

35 Deret Geometri r n konvergen jika 1 < r < 1 n=1 Deret-p n=1 1 n p konvergen jika p > 1

36 n=1 n 5n 2 4 konvergen atau divergen? n=1 n 2 n (n + 1) konvergen atau divergen?

37 Misal 0 a n b n untuk n N. b n konvergen a n konvergen a n divergen b n divergen Proof? Please refer to the book of Purcell..

38 Misal a n 0, b n > 0, dan lim a n b n = L. 0 < L < a n dan b n konvergen/divergen L = 0 & b n konvergen a n konvergen

39 Misal a n suatu deret positif, dan a n+1 lim a n = ρ. ρ < 1 deretnya konvergen ρ > 1 atau deretnya divergen ρ = 1 tidak ada kesimpulan

40 Untuk menguji kekonvergenan suatu deret positif perhatikan suku a n nya. a n, maka 1. Jika lim a n 0, maka deret divergen. (Uji Suku ke-n) 2. Jika a n mengandung bentuk n!, r n, n n, coba uji rasio. 3. Jika a n hanya melibatkan pangkat konstan n, coba Uji Banding Limit. Khususnya jika a n berupa ekspresi rasional dalam n, gunakan uji ini dengan b n sbg rasio suku2 awal dr pembilang&penyebut. 4. Jika uji2 diatas tidak berhasil, coba Uji Banding Biasa, Uji Integral, atau Uji Jumlah Terbatas. 5. Beberapa deret memerlukan manipulasi cerdik untuk menentukan konvergensi atau divergensinya.

41

42

43 Deret ganti tanda a 1 a 2 + a 3 a 4 + Deret harmonik ganti tanda

44 Misal sebuah deret ganti tanda a 1 a 2 + a 3 a 4 + Dengan kondisi a n > a n+1 > 0. lim a n = 0 deret ganti tanda konvergen Error = S S n a n+1

45 Misal kita punya suatu deret u n. u n konvergen u n konvergen Deret u n disebut konvergen mutlak jika u n konvergen. Dengan demikian: u n konvergen mutlak u n konvergen

46 Deret u n disebut konvergen bersyarat jika u n konvergen tetapi u n divergen. Jadi u n konvergen mutlak u n konvergen

47 Misal u n dengan u n 0, dan u n+1 lim u n = ρ ρ < 1 ρ > 1 ρ = 1 deretnya konvergen mutlak deretnya divergen tidak ada kesimpulan

48 Suku-suku dari suatu deret konvergen mutlak dapat disusun ulang tanpa mempengaruhi kekonvergenan dan jumlah deretnya.

49 Ingat! Anda harus bisa membedakan apa yang ditulis dibuku pada subbab ini: n=1 u n = 1 n n=1 a n = a 1 a 2 + a 3 a 4 + Yakni u n = 1 n a n. Bedakan dengan di subbab sebelumnya yang selalu ditulis yang selalu positif. a n n=1 atau n=1 b n

50 Langkah mengecek kekonvergenan untuk suatu deret ganti tanda n=1 u n. 1. Cek dengan Uji Rasio Mutlak (teorema C 9.5) a. Jika ρ 1, jelas n=1 u n divergen (ρ > 1) atau konvergen mutlak (ρ < 1). b. Jika ρ = 1, lihat langkah Ubah n=1 u n ke deret positif u n n=1. a. Kemudian cek dengan semua uji yang kita punya untuk deret positif (subbab , lihat rangkuman di 9.4). Termasuk uji rasio (mutlak), teorema C di 9.5. b. Jika konvergen ( n=1 u n konvergen), maka deret n=1 u n konvergen mutlak menurut teorema B di 9.5. c. Jika divergen ( n=1 u n divergen), maka harus dicek deret n=1 u n (lihat langkah 3). 3. Cek deret ganti tanda n=1 u n. a. Gunakan satu2nya uji kekonvergenan deret ganti tanda yaitu Uji Deret Ganti Tanda, teorema A 9.5, jika kondisinya dipenuhi. Jika tidak, b. Gunakan Uji Suku ke-n di 9.2 untuk menunjukkan deret tsb divergen. Jika tidak, c. Gunakan definisi di 9.2: lim S n = S konvergen. Jika tidak, maka divergen.

51