BARISAN DAN DERET. AFLICH YUSNITA F, M.Pd. STKIP SILIWANGI BANDUNG

Transkripsi

1 BARISAN DAN DERET AFLICH YUSNITA F, M.Pd. STKIP SILIWANGI BANDUNG

2 . Pola Bilangan Adalah: susunan bilangan yang memiliki aturan atau pola tertentu Contoh:,,,4,5 mempunyai pola bilangan ditambah satu dari bilangan sebelumnya.. Barisan Aritmatika Adalah: suatu barisan bilangan yang memiliki selisih dua suku berurutan (beda) selalu tetap. a, (a + b), (a + b), (a + b),,(a + (n-)b) Suku ke- n ditentukan dengan rumus: Un = a + (n-)b Dimana: a = suku pertama b = beda = U n - U n- INGAT!!!

3 Suku barisan adalah bilangan bilangan dalam suatu barisan. suku pertama = U suku kedua = U suku ketiga = U.. suku ke -n = U n

4 Contohnya :.,, 5, 7, U = U = U = 5 U 4 = 7. 5, 0, 5, 0, U = 5 U = 0 U = 5 U 4 = 0

5 Rumus suku ke-n Misalnya suatu barisan aritmatika mempunyai suku pertama a dan b. barisan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut : +b +b +b +b +b a a+b a+b a+b a+4b

6 Perhatikan : U = a U = a + b U = a + b U 4 = a + b U 5 = a + b U = a + ( )b U = a + ( )b U = a + ( )b U 4 = a + (4 )b U 5 = a + (5 )b Dari pola diatas didapatkan bahwa suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah U n = a + (n )b

7 Contoh soal.. Tentukan suku pertama, beda, dan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika, 8,, 8, Jawab : Suku pertama atau a = Beda atau b = 5 Rumus suku ke-n = U n = a + (n )b U n = + (n )5 U n = + (5n 5 ) U n = + 5n 5 U n = 5n

8 Pada suatu barisan aritmatika diketahui bahwa suku ke- adalah 0,dan suku ke-5 adalah 6 a. Tentukan suku pertama dan beda dari barisan tersebut b. Tentukan rumus suku ke-n barisan tersebut Jawab : a. U = 0 a + b = 0.( ) U 5 = 6 a + 4b = 6 -.( ) -b = -6 b = untuk b = maka berdasarkan () dapat diperoleh a = - jadi, suku pertama dan beda barisan tersebut berturut turut adalah a = - dan b = b. Berdasarkan hasil diatas diperoleh : U n = a + (n )b U n = - + ( n ) U n = - + ( n ) U n = - + n U n = n 4 jadi, rumus suku ke-n barissan tersebut adalah U n = n 4

9 Sisipan B.A = U, U, U,... U n Misalkan U = x suku awal U = y suku akhir Dengan b = U n U (n-)

10 diantara U dan U disisipkan bilangan sebanyak kx,( x b), ( x b),...( x kb), y kbanyaksisipan Sehingga didapat : b = y - ( x + kb ) b = y x kb kb + b = y x b ( k + ) = y x b = y x k Setelah sisipan

11 Jadi beda barisan aritmetika yang terbentuk : y x k Keterangan : x = bilangan pertama y = bilangan terakhir k = banyak sisipan b = beda

12 Contoh Soal : ). Diantara 0 dan disisipkan tiga bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika. Tentukan beda dari barisan tersebut! jawab : b = b = x = 0 y = k = y x k 0 4

13 Lanjutan jawaban : B.A = 0,(0+b), (0+b), (0+b), = 0, 0, 0, 0, = 6 9 0,0,0, , = 0,0 4, 4, 4,

14 Deret Aritmatika Pengertian : Deret adalah jumlahan berurut suku-suku dari suatu barisan. Jumlah suku deret aritmatika dinyatakan dengan Sn

15 b n a b a b a b a a b k a Sn n k... { n k Uk Sn n U U U U Bentuk umum Rumus Deret Aritamtika

16 Bentuk umum deret aritamtika Sn = U + U + U + U4 + + Un atau Sn = a+[ a+b] +[a+b] +[a+b]+ +[a+(n-)b]

17 Rumus Deret Aritmatika S n n n n a U S n a n Sn = jumlah suku ke-n a = U = suku pertama b = (U U) = beda suku n = banyak suku Un = suku ke-n dengan Un = [a + ( n ) b ] b

18 Contoh : Seorang pembuat sumur dengan ketentuan biaya penggalian sebagai berikut: m pertama biayanya Rp0.000,00 m kedua biayanya bertambah Rp5.000,00 m ketiga biayanya bertambah Rp5.000,00 demikian seterusnya, jika biaya penggalian seluruhnya habis Rp55.000,00 maka tentukan dalamnya sumur tersebut

19 Diketahui : a = b = Sn= Ditanyakan: n Jawab : Sn = n/ {a + (n )b} = n/ {(0.000) + (n ) 5.000} = n/ { n 5.000} = n n n + n 0 = 0 (n +) (n 0) = 0 n = - atau n = 0 Jadi dalamnya sumur itu adalah 0 m.

20 BARISAN DAN DERET GEOMETRI

21 Barisan Geometri Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang memiliki perbandingan(rasio) antara dua buah suku terdekat berturut-turut selalu tetap. Contoh : Barisan geometri.,, 9, 7,...., 6, 0, 5, Tentukan rasio dari masing-masing contoh di atas dan apakah merupakan barisan geometri?

22 Contoh :,, 9, 7,... rasio : 9...,, 9, 7,...merupakan barisan geometri karena mempunyai perbandingan(rasio)tetap yaitu. Contoh :, 6, 0, 5, rasio : , 6, 0, 5, bukan merupakan barisan geometri karena perbandingan(rasio)tidak tetap.

23 Rumus barisan geometri Rumus suku ke-n dari barisan geometri adalah dengan U ar n n Keterangan : U n = suku ke-n a = suku pertama n = banyaknya suku r = rasio

24 Contoh : Tentukan suku ke 8 dari barisan geometri berikut, 6, 8, 54,! Jawab : Barisan geometri, 6, 8, 54, a r r U U n 8 6 a. r () n 7 x87 474

25 Deret Geometri Deret Geometri adalah jumlah suku-suku barisan geometri. Jika barisan geometrinya adalah maka deret geometrinya adalah Bentuk ini dikenal sebagai jumlah n suku pertama deret geometri, yang dapat dinyatakan n, a, dan r.

26 Untuk itu, gunakan sifat bahwa rasio antara dua suku berurutan selalu r dengan proses berikut. Kita tuliskan hasil ini dalam teorema berikut tentang suku ke-n dan jumlah n suku pertama deret geometri.

27 Teorema Suku ke-n dan jumlah n suku pertama deret geometri Pada deret geometri dengan sukupertama = = a danrasio deret = r, dengan maka suku ke-n deret ini adalah dan jumlah n suku pertamanya adalah

28 Contoh Pada suatu deret geometri, jika suku pertamanya adalah 7, suku terakhirnya adalah 448 dan jumlahnya 889, tentukan rasio dan banyaknya suku deret tersebut. Jawab: Jika deretnya S u u... n u n maka kita mempunyai n u a 7, u n 7r 448, n dan r Sn r

29 S n r n dan r dari 7r n 448 diperoleh r n 64, sehingga r n 64r. Gantikan data ini pada persamaan terakhir diperoleh 64r r 64r 7 r 64r 7 7r 6r 6 r

30 Gantikan r = ke persamaan r n 64r, n 8 7 sehingga n 7 Jadi rasio deret adalah dan banyaknya suku deret adalah 7

31 Deret Geometri konvergen ( tak hingga )

32 Deret geometri tak hingga adalah penjumlahan dari suatu deret geometri yang jika deret tersebut kita jumlahkan,maka kita tidak dapat menghitung banyak seluruh deret geometri tersebut. Atau dapat kita tuliskan : U + U + U +.. contoh :

33 Jika suatu deret geometri tak hingga dapat ditentukan pendekatan jumlahnya, maka deret tersebut dinamakan deret yang konvergen. Contoh : a b ½ +.. Rasio masing - masing deret tersebut adalah 0.dan -½

34 Suatu deret geometri tak hingga mempunyai jumlah tertentu (konvergen) jika rasio deret tersebut terletak pada interval -< r < atau r <

35 Rumus jumlah deret geometri tak hingga Jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah : a S r

36 Contoh : Carilah jumlah deret geometri berikut Jawab : 6 sehingga, r a a S r S

37 Contoh : Diketahui jumlah tak hingga 4 dan rasionya ½, maka tentukanlah suku pertamanya! Jawab : r Sehingga, a S 4 Jadi suku pertamanya adalah S r 4 a 4 a a 4.

38 Soal. Carilah jumlah deret geometri berikut Diketahui jumlah tak hingga 4 dan suku pertamanya 6, maka tentukanlah rasionya!

39 Deret Geometri tak terhingga Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan r <. Jumlah S dari dert geometri tak hingga adalah a 0 a s r r Rumus pada deret geometri berlaku juga untuk n tak terhingga. Adapun untuk n tak terhingga terdapat dua kasus yang harus kalian perhatikan, yaitu:

40 Kasus Jika r < - atau r >, maka untuk n, nilai rn makin besar. Untuk r < -, n, dengan n ganjil didapat rn Untuk r < -,, dengan n genap didapat rn Untuk r >, rn didapat rn Akibatnya, a s r Deret geometri dengan r < - atau r > ini disebut deret geometri divergen (memencar).

41 Contoh : Suatu deret geometri mempunyai suku ke- 5 sama dengan 64 dan suku ke- sama dengan 8. Tentukanlah jumlah 0 suku pertama dan jumlah n suku pertama deret geometri tersebut! Jawab: u 8, berarti : ar 8 u ar. r 8r r 5 64, berarti : ar 4 64

42 Sehingga didapat r = Dengan mensubstitusi r = ke persamaan ar = 8, kalian mendapatkan a. = 8 sehingga a = 4 Jumlah n suku pertama deret ini adalah : 4 n 4 4. n S n 4. n 4. n 4 n 4

43 Jumlah 0 suku pertama deret ini adalah : S

44 Sebuah bola basket dijatuhkan dari ketinggian 6 m. pada setiap pantulan, bola memantul dan mencapai ketinggian dari ketinggian semula. Tentukan panjang lintasan yang terjadi hinggabola benar-benar berhenti. Jawab Panjang lintasan total bola hingga berhenti dinyatakan oleh deret berikut S h h 0 h... h0= ketinggian mulamula 6 m.

45 m h h m h h h h m h h h h n h n h Dengan demikian, anda dapat menuliskan n h h h h h S

46 Dapat anda lihat bahwa: Merupakan deret geometri tak hingga konvergen dengan a = 4 dan r =/.Oleh karena itu, jumlah dari deret tersebut (dimisalkan D) adalah 4 4 r a D Dengan demikian: 0 () 6 6 S D Jadi, panjang lintasan yang dilalui bola sampai bola berhenti adalah 0 m.

47