Daftar Isi 3. BARISAN ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB
|
|
- Johan Hermanto
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 (Semester I Tahun ) Dosen FMIPA - ITB hgunawan@math.itb.ac.id. August 29, 2011
2
3 Dalam kisah Zeno tentang perlombaan lari antara Achilles dan seekor kura-kura, ketika Achilles mencapai posisi x 0 tempat sang kura-kura mulai berlari, sang kura-kura telah menempuh x 1 meter; dan ketika Achilles mencapai posisi tersebut beberapa saat kemudian, sang kura-kura telah menempuh x 2 meter lebih jauh; dan seterusnya. Sebagai contoh, bila Achilles berlari dengan kecepatan 6 m/detik sementara sang kura-kura berlari dengan kecepatan 3 m/detik (ditarik roda), maka Achilles akan mencapai posisi-posisi tertentu yang pernah dicapai oleh sang kura-kura pada saat detik, n = 1, 2, 3,.... 2n
4 Bentuk penjumlahan di atas membentuk sebuah deret geometri, yang jumlahnya sama dengan Jadi, dalam cerita di atas, n kita mempunyai sebuah barisan bilangan Bila n menuju n tak terhingga, maka 1 2 menuju 0. Jadi barisan bilangan di atas n konvergen ke 1. Dengan pengetahuan ini, pada akhirnya kita dapat menyimpulkan bahwa Achilles akan menyalip sang kura-kura setelah berlari selama 1 detik.
5 Sebuah barisan bilangan real dapat diartikan sebagai suatu daftar bilangan real x 1, x 2, x 3,.... Persisnya, sebuah barisan bilangan real adalah suatu fungsi dari N k er, yakni suatu aturan yang mengaitkan setiap bilangan asli n dengan sebuah bilangan real tunggal x n. Di sini x n disebut sebagai suku ke-n barisan tersebut. Notasi x n menyatakan barisan dengan suku ke-n x n.
6 Himpunan {x n : n N} disebut sebagai daerah nilai barisan x n. Barisan x n dikatakan terbatas (terbatas di atas atau terbatas di bawah) apabila daerah nilainya terbatas (terbatas di atas atau terbatas di bawah). Jadi, x n terbatas jika dan hanya jika terdapat K > 0 sedemikian sehingga x n K untuk setiap n N.
7 Contoh 1 (i) Barisan 1 n adalah barisan bilangan 1, 1 2, 1 3,.... (ii) Barisan ( 1) n adalah barisan bilangan 1, 1, 1, 1,.... Jika n ganjil, maka suku ke-n bernilai 1; dan jika n genap, maka suku ke-n bernilai 1. Jadi daerah nilai barisan ini adalah { 1, 1}. (iii) Barisan r n yang didefinisikan secara induktif dengan r 1 = 1 dan r n+1 = r n, untuk n = 1, 2, 3,... adalah barisan 1, 2, 3 2, 5 3,....
8 Soal Latihan Daftar Isi 1 Buktikan bahwa ketiga barisan pada Contoh 1 merupakan barisan terbatas. 2 Berikan dua buah contoh barisan yang tak terbatas. 3 Barisan Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... dapat didefinisikan secara induktif dengan x 1 = x 2 = 1 dan x n+2 = x n + x n+1, n = 1, 2, 3,.... Buktikan bahwa barisan x n tak terbatas. 4 Misalkan x n adalah barisan Fibonacci. Definisikan r n := x n+1 x n, n N. Buktikan bahwa barisan r n terbatas.
9 Barisan x n dikatakan konvergen ke L (L R) apabila untuk setiap ɛ > 0 terdapat bilangan asli N (yang bergantung hanya pada ɛ) sedemikian sehingga jika n N, maka x n L < ɛ. Secara intuitif, x n konvergen ke L apabila x n semakin mendekati L ketika n semakin besar. Secara informal, kita dapat mengatakan bahwa x n menuju L bila n menuju tak terhingga.
10 Bilangan L dalam hal ini disebut sebagai limit barisan x n, dan kita tuliskan lim n x n = L, atau x n L, bila n. Untuk tiap n N, bilangan x n dapat dianggap sebagai hampiran untuk L (dan sebaliknya, L merupakan hampiran untuk x n ). Jarak x n L antara x n dan L menyatakan kesalahan pada penghampiran tersebut (dengan ɛ sebagai taksiran kesalahan maksimum-nya). Definisi di atas menyatakan bahwa kesalahan tersebut dapat dibuat sekecil-kecilnya dengan memilih n cukup besar.
11 Contoh 2 Daftar Isi Barisan 1 n konvergen ke 0, yakni 1 lim n n = 0. Diberikan ɛ > 0 sembarang, kita dapat memilih bilangan asli N > 1 ɛ sedemikian sehingga jika n N, maka 1 n 0 1 = n 1 N < ɛ. Catatan. Eksistensi bilangan asli N yang lebih besar dari bilangan real 1 ɛ tentu saja dijamin oleh Sifat Archimedes.)
12 Teorema 3 Daftar Isi Sebuah barisan tidak mungkin konvergen ke dua buah limit yang berbeda. Bukti. Misalkan x n konvergen ke L dan juga ke M. Untuk ɛ > 0 sembarang, kita dapat memilih n cukup besar sedemikian sehingga L M L x n + x n M < ɛ + ɛ = 2ɛ. Karena ketaksamaan ini berlaku untuk tiap ɛ > 0, kita simpulkan bahwa L M = 0 atau L = M.
13 Teorema 4 Daftar Isi Jika x n konvergen, maka x n terbatas. Catatan. Kebalikan dari Teorema 4 tidak berlaku. Sebagai contoh, ( 1) n terbatas, tetapi tidak konvergen. Di sini keterbatasan merupakan syarat perlu tetapi bukan merupakan syarat cukup untuk kekonvergenan.
14 Bukti. Misalkan x n konvergen ke L. Pilih N N sedemikian sehingga untuk n N berlaku x n L < 1. Akibatnya, untuk n N, kita mempunyai x n x n L + L < 1 + L. Sebut K := maks{ x 1,..., x N, 1 + L }. Maka jelas bahwa x n K, untuk tiap n N. Ini menunjukkan bahwa x n terbatas.
15 Barisan yang tidak konvergen disebut barisan divergen. Dari Teorema 4, kita mengetahui bahwa barisan tak terbatas tidak mungkin konvergen, dan karenanya ia merupakan barisan divergen. Sebagai contoh, barisan Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... merupakan barisan divergen karena ia tak terbatas.
16 Selanjutnya perlu diingat bahwa barisan terbatas pun mungkin saja divergen. Sebagai contoh, barisan ( 1) n merupakan barisan divergen. Dengan mudah kita dapat menunjukkan bahwa lim n ( 1)n ±1. Namun ini belum menunjukkan bahwa ( 1) n divergen. Untuk menunjukkan kedivergenan ( 1) n, kita harus meyakinkan bahwa lim n ( 1)n L untuk sembarang L R.
17 Soal Latihan Daftar Isi 1 Buktikan bahwa untuk setiap bilangan rasional r > 0, barisan 1 n r konvergen ke 0. 2 Buktikan bahwa n 1 n+1 konvergen ke 1. 3 Tuliskan arti dari lim n x n L. Tunjukkan bahwa lim n ( 1)n L untuk sembarang L R. 4 Buktikan jika c R dan x n konvergen ke L, maka cx n konvergen ke cl. 5 Buktikan jika x n konvergen ke L > 0, maka terdapat N N sedemikian sehingga x n > L 2 untuk tiap n N. 6 Berikan alasan sederhana mengapa barisan Fibonacci tidak mungkin konvergen.
18 Dalam contoh dan soal-soal latihan pada subbab sebelumnya, ketika ɛ > 0 diberikan, cukup mudah bagi kita untuk mencari bilangan asli N yang memenuhi definisi barisan konvergen. Namun secara umum tidaklah selalu demikian situasinya. Dalam hal ini kita perlu mempunyai cara lain untuk memeriksa kekonvergenan suatu barisan (dan menentukan limitnya) tanpa harus menggunakan definisinya.
19 Proposisi 5 Misalkan x n L dan y n M bila n, dan λ, µ R. Maka (i) λx n + µy n λl + µm bila n. (ii) x n y n LM bila n. (iii) x n y n L M bila n, asalkan M 0. Catatan. Bukti bagian (ii) dan (iii) diserahkan sebagai latihan.
20 Bukti. (i) Berdasarkan Soal Latihan 3.2 No. 4, cukup dibuktikan bahwa, jika x n L dan y n M untuk n, maka x n + y n L + M untuk n. Diberikan ɛ > 0 sembarang, terdapat N 1 N sedemikian sehingga untuk n N 1 berlaku x n L < ɛ 2. Pada saat yang sama, terdapat N 2 N sedemikian sehingga untuk n N 2 berlaku y n M < ɛ 2. Sekarang pilih N := maks{n 1, N 2 }. Maka, untuk n N, kita peroleh (dengan menggunakan Ketaksamaan Segitiga) (x n + y n ) (L + M) x n L + y n M < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Ini menunjukkan bahwa x n + y n L + M untuk n.
21 Contoh 6 Daftar Isi lim n 2n 2 5n 3n 2 7n + 4 = 2 3. Penjelasan. Berdasarkan Proposisi 5 (serta contoh dan soal latihan pada 3.2), 2n 2 5n 3n 2 7n + 4 = bila n. 2 (5/n) 3 (7/n) + (4/n 2 ) = 2 3
22 Teorema 7 (Teorema Apit) Misalkan x n y n z n untuk tiap n N. Jika x n L dan z n L untuk n, maka y n L untuk n. Catatan. Hipotesis bahwa x n y n z n berlaku untuk tiap n N dapat diperlunak menjadi hanya berlaku untuk tiap n n 0 untuk suatu n 0 N.
23 Bukti. Diberikan ɛ > 0 sembarang, pilih N N sedemikian sehingga untuk n N berlaku atau x n L < ɛ dan z n L < ɛ L ɛ < x n < L + ɛ dan L ɛ < z n < L + ɛ. Akibatnya, untuk n N, kita peroleh sehingga L ɛ < x n y n z n < L + ɛ, y n L < ɛ. Ini menunjukkan bahwa y n L untuk n.
24 Contoh 8 Daftar Isi x n Misalkan x n terbatas. Maka lim n n = 0. Penjelasan. Barisan x n terbatas berarti terdapat K > 0 sedemikian sehingga untuk setiap n N berlaku Akibatnya K Karena lim n n K x n K. K n x n n K n. x n = 0, maka menurut Teorema Apit lim n n = 0.
25 Teorema 9 Daftar Isi (i) Jika x n L untuk n, maka x n L untuk n. (ii) Jika x n 0 untuk tiap n N dan x n L untuk n, maka L 0 dan x n L untuk n.
26 Bukti. (i) Berdasarkan Ketaksamaan Segitiga, untuk setiap n N, kita mempunyai x n L x n L. Karena itu jelas jika x n L untuk n, maka x n L untuk n. (ii) Andaikan L < 0, kita dapat memilih n N sedemikian sehingga x n < L 2 < 0, bertentangan dengan hipotesis. Jadi mestilah L 0. Selanjutnya, untuk membuktikan bahwa x n konvergen ke L, kita tinjau kasus L = 0 dan kasus L > 0 secara terpisah.
27 Untuk kasus L = 0, kita perhatikan bahwa x n < ɛ bila x n < ɛ. Karena itu, x n 0 untuk n karena x n 0 untuk n. Sekarang misalkan L > 0. Untuk tiap n N, kita mempunyai x n L = x n L xn + L 1 L x n L. Jadi, diberikan ɛ > 0, kita tinggal memilih N N sedemikian sehingga untuk setiap n N berlaku x n L < ɛ L. Ini menunjukkan bahwa x n L untuk n.
28 Soal Latihan Daftar Isi 1 Buktikan Proposisi 5 bagian (ii) dan (iii). 2 Buktikan jika x n L y n untuk tiap n N dan y n 0 untuk n, maka x n L untuk n. 3 Buktikan bahwa 1 2 n konvergen ke 0, dengan menggunakan fakta bahwa n < 2 n untuk tiap n N. 4 Buktikan bahwa n + 1 n konvergen ke 0. 5 Diketahui x < 1. Buktikan bahwa x n konvegen ke 0. (Petunjuk. Tuliskan x = 1 1+a, maka x n < 1 an.) 6 Misalkan x n y n untuk tiap n N. Buktikan jika x n L dan y n M untuk n, maka L M.
29 Barisan x n dikatakan naik apabila x n x n+1 untuk tiap n N. Serupa dengan itu, x n dikatakan turun apabila x n x n+1 untuk tiap n N. Barisan naik atau turun disebut barisan monoton. Bila x n < x n+1 atau x n > x n+1 untuk tiap n N, maka x n dikatakan naik murni atau turun murni.
30 Contoh 10 Daftar Isi (i) Barisan 1 n merupakan barisan monoton turun. (ii) Barisan Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... merupakan barisan monoton naik. (iii) Barisan konstan c merupakan barisan monoton naik dan sekaligus turun. (iv) Barisan ( 1) n bukan merupakan barisan monoton.
31 Teorema 11 Daftar Isi (i) Jika x n naik dan terbatas (di atas), maka ia konvergen ke sup{x n : n N}. (ii) Jika x n turun dan terbatas (di bawah), maka ia konvergen ke inf{x n : n N}.
32 Bukti. (i) Misalkan A := {x n : n N} dan L = sup A. Akan ditunjukkan bahwa x n L untuk n. Untuk setiap ɛ > 0, L ɛ bukan batas atas himpunan A, dan karenanya terdapat N N sedemikian sehingga L ɛ < x N L. Karena x n naik, untuk setiap n N berlaku dan sebagai akibatnya L ɛ < x N x n L, x n L < ɛ. Dengan demikian x n L untuk n. (ii) Serupa dengan bukti untuk bagian (i).
33 Contoh 12 Misalkan x n := n 2, n N. Di sini jelas bahwa x n naik. Selanjutnya, untuk tiap n 2, kita mempunyai 1 n 2 1 n(n 1) = 1 n 1 1 n. Akibatnya, untuk tiap n N berlaku n ( ) ( n 1 1 ) 1 = 2 n n < 2. Jadi x n terbatas (di atas). Menurut Teorema 11, x n konvergen (ke suatu bilangan L 2).
34 Contoh 13 Diberikan x 0 > 0, definisikan barisan x n secara induktif dengan x n = 1 2 ( x n x n 1 ), n N. Maka, dapat ditunjukkan bahwa x n turun dan terbatas di bawah oleh 2, sehingga konvergen. Limitnya adalah 2.
35 Contoh 14 Daftar Isi Misalkan x n := ( n) n, n N. Maka dapat diperiksa bahwa xn naik dan terbatas (di atas), sehingga konvergen. Limitnya adalah bilangan e.
36
37 Soal Latihan 1 Berikan contoh barisan naik dan barisan turun yang belum dibahas dalam bab ini. 2 Buktikan Teorema 11 bagian (ii). 3 Diketahui 0 < x < 1. Buktikan bahwa x n turun dan terbatas di bawah, sehingga ia konvergen. 4 Misalkan x n := ! + + 1, n N. Buktikan bahwa n! x n naik dan terbatas (di atas). (Petunjuk. Gunakan fakta bahwa 2 n 1 n! untuk tiap n N.) 5 Misalkan x n := n, n N. Buktikan bahwa x n naik. Apakah x n terbatas (di atas)?
BAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret
BAGIAN PERTAMA Bilangan Real, Barisan, Deret 2 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 3 0. BILANGAN REAL 0. Bilangan Real sebagai Bentuk Desimal Dalam buku ini pembaca diasumsikan telah mengenal dengan
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. September 12, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. September 12, 2011 Teorema 11 pada Bab 3 memberi kita cara untuk menyelidiki kekonvergenan sebuah barisan tanpa harus mengetahui
Lebih terperinciMA5032 ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 17, 2011 Zeno, seorang filsuf dan matematikawan Yunani Kuno (490-435 SM), mengemukakan sebuah paradoks tentang suatu
Lebih terperinciDaftar Isi 5. DERET ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB September 26, 2011
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. September 26, 2011 Diberikan sejumlah terhingga bilangan a 1,..., a N, kita dapat menghitung jumlah a 1 + + a N. Namun,
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 11, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 1, 2007 Diberikan sebuah fungsi yang terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 3, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. October 3, 2011 6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak Hingga Bila sebelumnya kita mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. August 18, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 18, 2011 Kita telah mencatat sebelumnya bahwa supremum dan infimum suatu himpunan tidak harus merupakan anggota himpunan
Lebih terperinciMA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun
MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Eudoxus & Lingkaran Fakta bahwa luas lingkaran sebanding dengan kuadrat diameternya dibuktikan* secara rigorous oleh Eudoxus
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3. Topologi Garis Bilangan Real 3.1 Teori Limit Limit, supremum, dan infimum Titik limit 3.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup 3.3
Lebih terperinciMA5032 ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan
Lebih terperinci2 BARISAN BILANGAN REAL
2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut "pola" tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinci2 BARISAN BILANGAN REAL
2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut "pola" tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan
Lebih terperinci11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)
11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku
Lebih terperinciBAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan
BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz
Lebih terperinciDERET TAK HINGGA. Contoh deret tak hingga :,,, atau. Barisan jumlah parsial, dengan. Definisi Deret tak hingga,
DERET TAK HINGGA Contoh deret tak hingga :,,, atau. Barisan jumlah parsial, dengan Definisi Deret tak hingga,, konvergen dan mempunyai jumlah S, apabila barisan jumlah jumlah parsial konvergen menuju S.
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. November 19, 2007 Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus
Lebih terperinciBAB I TEOREMA TEOREMA LIMIT BARISAN
BAB I TEOREMA TEOREMA LIMIT BARISAN Definisi : Barisan bilangan real X = (x n ) dikatakan terbatas jika ada bilangan real M > 0 sedemikian sehingga x n M untuk semua n N. Catatan : X = (x n ) terbatas
Lebih terperinciBARISAN BILANGAN REAL
BAB 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut pola tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan
Lebih terperinciCATATAN KULIAH ANALISIS REAL LANJUT
CATATAN KULIAH ANALISIS REAL LANJUT May 26, 203 A Lecture Note Acknowledgement of Sources For all ideas taken from other sources (books, articles, internet), the source of the ideas is mentioned in the
Lebih terperinciURAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN
Pertemuan ke-: 10, 11, dan 12 Penyusun : Kosim Rukmana Materi: Barisan Bilangan Real 7. Barisan dan Limit Barisan 6. Teorema Limit Barisan 7. Barisan Monoton URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 7. Barisan dan
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL
DAFTAR ISI SISTEM BILANGAN REAL. Sifat Aljabar Bilangan Real......................2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real.............4 Supremum
Lebih terperinciMemahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan
4 BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA JUMLAH PERTEMUAN : 5 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan kekonvergenan
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup Titik limit dari suatu himpunan tidak harus merupakan anggota himpunan tersebut. Pada interval
Lebih terperinciBarisan Deret ANALISIS REAL (BARISAN DAN DERET) Kus Prihantoso Krisnawan. August 30, Yogyakarta. Krisnawan Pertemuan 1, 2, & 3
ANALISIS REAL (BARISAN DAN DERET) Kus Prihantoso Krisnawan August 30, 0 Yogyakarta Limit Monoton Pada bagian ini kita akan mencoba menebak bentuk umum dari suatu barisan. Limit Monoton Pada bagian ini
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB Deret Tak Hingga Pada bagian ini akan dibicarakan penjumlahan berbentuk a +a 2 + +a n + dengan a n R Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu pengertian barisan
Lebih terperinci) dengan. atau sub barisan (subsequences) dari X ,,,..., kemudian dipilih hasil index barisan Contoh, jika X =
Section 3.4 Barisan Bagian dan Teorema Bolzano Weierstrass Di bagian ini kita akan diberikan konsep dari barisan bagian dari barisan bilangan real. Secara informal, barisan bagian dari barisan adalah satu
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 10, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. October 10, 2011 Pemahaman yang baik tentang fungsi kontinu merupakan hal yang penting dalam analisis. Dalam optimisasi,
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciBAB III KEKONVERGENAN LEMAH
BAB III KEKONVERGENAN LEMAH Bab ini membahas inti kajian tugas akhir. Di dalamnya akan dibahas mengenai kekonvergenan lemah beserta sifat-sifat yang terkait dengannya. Sifatsifat yang dikaji pada bab ini
Lebih terperinciBAB III SUB BARISAN DAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS
BAB III SUB BARISAN DAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS Dalam bab ini akan kita bahas pengertian tentang sub barisan dari barisan bilangan real, yang lebih umum dibandingkan ekor suatu barisan, serta dapat
Lebih terperinci16. BARISAN FUNGSI. 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik
16. BARISAN FUNGSI 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik Bila pada bab-bab sebelumnya kita membahas fungsi sebagai sebuah objek individual, maka pada bab ini dan selanjutnya kita akan
Lebih terperinciBarisan dan Deret Agus Yodi Gunawan
Barisan dan Deret Agus Yodi Gunawan Barisan. Definisi. Barisan tak hingga adalah suatu fungsi dengan daerah asalnya himpunan bilangan bulat positif dan daerah kawannya himpunan bilangan real. Notasi untuk
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciAyundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Deret Tak Terhingga. Ayundyah. Barisan Tak Hingga. Deret Tak Terhingga
Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII April 29, 2015 Akar Barisan a 1, a 2, a 3, a 4,... adalah susunan bilangan-bilangan real yang teratur, satu untuk setiap bilangan bulat positif. adalah fungsi yang
Lebih terperinciBAB III INTEGRAL LEBESGUE. Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh
BAB III INTEGRAL LEBESGUE Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh fungsi-fungsi terukur dan memenuhi sifat yang berkaitan dengan integral Lebesgue. Kajian mengenai keterukuran suatu
Lebih terperinciF. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR
F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR No. (TIU) : 1. Pendahuluan Mahasiswa dapat memahami pengertian dan konsep himpunan, fungsi dan induksi matematik, mampu menerapkannya dalam penyelesaian soal dan
Lebih terperinciMODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV
MODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV Mata Kuliah Wajib 2 sks untuk mahasiswa Program Studi Matematika Oleh Dr. WURYANSARI MUHARINI KUSUMAWINAHYU, M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 26, 2007 Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Apakah masuk akal untuk membahas luas daerah
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 2.2 Sistem Bilangan Real sebagai Lapangan Terurut Operasi Aritmetika. Sifat-sifat dasar urutan dan aritmetika dari Sistem Bilangan
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 4. Fungsi Kontinu 4.1 Konsep Kekontinuan Fungsi kontinu Limit fungsi dan limit barisan Prapeta himpunan buka 4.2 Sifat-Sifat Fungsi
Lebih terperinciBAB V KEKONVERGENAN BARISAN PADA DAN KETERKAITAN DENGAN. Pada subbab 4.1 telah dibahas beberapa sifat dasar yang berlaku pada koleksi
BAB V KEKONVERGENAN BARISAN PADA DAN KETERKAITAN DENGAN Pada subbab 4.1 telah dibahas beberapa sifat dasar yang berlaku pada koleksi semua fungsi yang terintegralkan Lebesgue, 1. Sebagaimana telah dirumuskan
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciPENGANTAR ANALISIS REAL
Seri Analisis dan Geometri No. 1 (2009), -15 158 (173 hlm.) PENGANTAR ANALISIS REAL Oleh Hendra Gunawan Edisi Pertama Bandung, Januari 2009 2000 Dewey Classification: 515-xx. Kata Kunci: Analisis matematika,
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 4.2 Sifat-Sifat Fungsi Kontinu Diberikan f dan g, keduanya terdefinisi pada himpunan A, kita definisikan f + g, f g, fg, f/g secara
Lebih terperinciMA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun
MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Bab 1 Sifat Kelengkapan Bilangan Real 2 1.1 Paradoks Zeno ACHILLES TORTOISE 0 1 1½ Sumber: skeptic.com 1 1 1... 1 2 4 8?
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. memahami sifat-sifat dari barisan fungsi. Pada bab ini akan diuraikan materimateri
BAB II KAJIAN TEORI Analisis kekonvergenan pada barisan fungsi, apakah barisan fungsi itu? Apakah berbeda dengan barisan pada umumnya? Tentunya sebelum membahas mengenai barisan fungsi, apa saja jenis
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan
Lebih terperinciPengantar : Induksi Matematika
Pengantar : Induksi Matematika Analisis Real /2 SKS/ Ega Gradini, M.Sc Induksi Matematika adalah cara standar dalam membuktikan bahwa sebuah pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Pembuktian
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI ( ) =
II. LANDASAN TEORI 2.1 Fungsi Definisi 2.1.1 Fungsi Bernilai Real Fungsi bernilai real adalah fungsi yang domain dan rangenya adalah himpunan bagian dari real. Definisi 2.1.2 Limit Fungsi Jika adalah suatu
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3.3 Himpunan Kompak Himpunan tak terhingga lebih sulit ditangani daripada himpunan terhingga. Namun ada himpunan tak terhingga yang
Lebih terperinciBAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE. Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada
BAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada Bab II, selanjutnya pada bab ini akan dipelajari gagasan mengenai fungsi terukur Lebesgue. Gagasan mengenai
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciMA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun
MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Bab 7 Limit dan Kekontinuan 2 Isaac Newton (1643-1727) Isaac Newton adalah seorang fisikawan & matematikawan Inggris yang
Lebih terperinciDwi Lestari, M.Sc: Konvergensi Deret 1. KONVERGENSI DERET
1. KONVERGENSI DERET Suatu barisan disebut konvergen jika terdapat bilangan Z yang setiap lingkungannya memuat semua. Jika bilangan Z itu ada maka dapat ditulis: lim sehingga dapat dikatakan bahwa barisan
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
Lebih terperinciUJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan
(Semester I Tahun 2011-2012) Analysis and Geometry Group, FMIPA-ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan August 8, 2011 Di sekolah menengah telah dipelajari apa yang
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang
Pertemuan 2. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 0. Bilangan Real 0. Bilangan Real sebagai bentuk desimal Pada pembahasan berikutnya kita diasumsikan telah mengetahui dengan
Lebih terperinciPertemuan ke-10: UJI PERBANDINGAN, DERET BERGANTI TANDA, KEKONVERGENAN MUTLAK, UJI RASIO, DAN UJI AKAR
Pertemuan ke-0: UJI PERBANDINGAN, DERET BERGANTI TANDA, KEKONVERGENAN MUTLAK, UJI RASIO, DAN UJI AKAR Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 205 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205
Lebih terperinciINTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use
INTISARI KALKULUS 2 Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Program Studi Matematika - FMIPA Institut Teknologi Bandung Januari 200 Pengantar Kalkulus & 2 merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi semua
Lebih terperinciVariabel Banyak Bernilai Real 1 / 1
Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real Turunan Parsial dan Turunan Wono Setya Budhi KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1 Turunan Parsial dan Turunan Usaha pertama untuk
Lebih terperinciDefinisi 1 Deret Tak Hingga adalah suatu ekspresi yang dapat dinyatakan dalam bentuk:
DERET TAK HINGGA Definisi 1 Deret Tak Hingga adalah suatu ekspresi yang dapat dinyatakan dalam bentuk: u k = u 1 + u 2 + u 3 + + u k + Bilangan-bilangan u 1, u 2, u 3, disebut suku-suku dalam deret tersebut.
Lebih terperinciMATEMATIKA SEKOLAH 2. MENENTUKAN POLA BARISAN BILANGAN & SUKU KE-n. Oleh : Novi Diah Wayuni ( ) Riswoto ( )
MATEMATIKA SEKOLAH 2 MENENTUKAN POLA BARISAN BILANGAN & SUKU KE-n Oleh : Novi Diah Wayuni ( 1001060083) Riswoto ( 1001060085 ) A. Menentukan Pola barisan bilangan Sederhana B. Menentukan suku ke-n barisan
Lebih terperinciDiusulkan oleh: Nama : Pita Suci Rahayu Nim : Kelas/Semester: C/1
Diusulkan oleh: Nama : Pita Suci Rahayu Nim : 1384202092 Kelas/Semester: C/1 BARISAN DAN DERET Barisan bilangan adalah himpunan bilangan yang diurutkan menurut suatu aturan/pola tertentu yang dihubungkan
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori penelitian ini. 2. Konsep Dasar Graf Teori dasar mengenai graf
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. Drs. CARNOTO, M.Pd. NIP Pola Barisan Bilangan
BARISAN DAN DERET Drs. CARNOTO, M.Pd. NIP. 19640121 199010 1 001 Pola Barisan Bilangan Beberapa urutan bilangan yang sering kita pergunakan mempunyai pola tertentu. Pola ini Sering digunakan untuk menentukan
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL
DAFTAR ISI 1 SISTEM BILANGAN REAL 1 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real..................... 1 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6 1.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real............
Lebih terperinciBILANGAN BERPANGKAT. Jika a bilangan real dan n bilangan bulat positif, maka a n adalah
BILANGAN BERPANGKAT Jika a bilangan real dan n bilangan bulat positif, maka a n adalah perkalian a sebanyak n faktor. Bilangan berpangkat, a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat atau eksponen.
Lebih terperinciTUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan
BAB II LANDASAN TEORI Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan teorema-teorema yang akan menjadi landasan untuk pembahasan pada Bab III nanti, diantaranya: fungsi komposisi,
Lebih terperinciANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS
ANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta salam
Lebih terperinciAyundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Uji Deret Positif. Ayundyah. Uji Integral. Uji Komparasi. Uji Rasio.
Uji Uji Deret Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII April 29, 2015 Uji Deret Uji Deret yang mempunyai suku-suku positif menjadi bahasan pada uji integral ini. Uji integral ini menggunakan ide dimana suatu
Lebih terperinciBAB 3 REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK
BAB 3 REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK 3. Perumusan Penduga Misalkan N adalah proses Poisson non-homogen pada interval 0, dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi intensitas
Lebih terperinciMateri W6b BARISAN DAN DERET. Kelas X, Semester 2. B. Barisan dan Deret Aritmatika.
Materi W6b BARISAN DAN DERET Kelas X, Semester 2 B. Barisan dan Deret Aritmatika www.yudarwi.com B. Barisan dan Deret Aritmatika Barisan adalah kumpulan objek-objek yang disusun menurut pola tertentu U
Lebih terperinciMA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun
MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Tentang Mata Kuliah MA3231 Mata kuliah ini merupakan mata kuliah wajib bagi mahasiswa program studi S1 Matematika, dengan
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 1. SIFAT KELENGKAPAN BILANGAN REAL
Pertemuan 4. BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 1.1 Paradoks 1. SIFAT KELENGKAPAN BILANGAN REAL Bila kita menjumlahkan 1 2 + 1 4 + 1 8 +... Apabila kita ambil contoh
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN ( SAP ) MATA KULIAH ANALISIS REAL I ( MT403) / 3 SKS KOSIM RUKMANA
SATUAN ACARA PERKULIAHAN ( SAP ) MATA KULIAH ANALISIS REAL I ( MT403) / 3 SKS KOSIM RUKMANA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2008 0
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. : k N} dan A(m) menyatakan banyaknya m suku pertama (x n ) yang menjadi suku (x nk ), maka A(m)
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Konvergensi barisan bilangan real mempunyai banyak peranan dan aplikasi yang cukup penting pada beberapa bidang matematika, antara lain pada teori optimisasi,
Lebih terperinci5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real
5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real Sifat aljabar dan sifat urutan bilangan real telah dibahas sebelumnya. Selanjutnya, akan dijelaskan sifat kelengkapan bilangan real. Bilangan rasional ℚ juga memenuhi
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN
BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciFUNGSI KONTINU. sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1).
FUNGSI KONTINU 51 FUNGSI KONTINU 511 Definisi A R, f: A R, dan c A Kita mengatakan bahwa f kontinu di c jika, diberi persekitaran Vg (f (c)) dari f (c) terdapat persekitaran (c) dari c sedemikian sehingga
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan Matematika & Analisis Real Matematika berurusan dengan gagasan, yang mungkin merupakan abstraksi atau sari dari sesuatu yang terdapat
Lebih terperinciBAB I LIMIT-LIMIT Limit-limit Fungsi
.. Limit-it Fungsi BAB I LIMIT-LIMIT... Definisi. Misalkan A R. Suatu titik c R adalah titik cluster dari A jika setiap lingkungan-δ dari c, V δ (c) = (c-δ,c+δ), memuat paling sedikit satu titik dari A
Lebih terperinciMATEMATIKA BISNIS DERET. Muhammad Kahfi, MSM. Modul ke: Fakultas Ekonomi Bisnis. Program Studi Manajemen
MATEMATIKA BISNIS Modul ke: DERET Fakultas Ekonomi Bisnis Muhammad Kahfi, MSM Program Studi Manajemen http://www.mercubuana.ac.id Konsep Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut
Lebih terperinciHendra Gunawan. 26 Februari 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 26 Februari 2014 9.6 Deret Pangkat Kuliah yang Lalu Menentukan selang kekonvergenan deret pangkat 9.7 Operasi pada Deret Pangkat Mlkk Melakukan
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita
Lebih terperinciMATEMATIKA SEKOLAH 2
MATEMATIKA SEKOLAH 2 Menentukan pola barisan bilangan sederhana Menentukan suku ke-n barisan aritmetika dan barisan geometri Disusun oleh : Novi Diah Wahyuni 1001060083 Riswoto 1001060085 PROGRAM STUDI
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruang Metrik Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh aksioma-aksioma tertentu. Ruang metrik merupakan hal yang fundamental dalam analisis fungsional,
Lebih terperinciSistem Bilangan Real
TUGAS I ANALISIS REAL I Sistem Bilangan Real Tugas 1 Analisis Real I Disusun oleh : Nariswari Setya D. Kartini Marvina Puspito M0108022 M0108050 M0108056 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU
Lebih terperinciUNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Ruang Norm Sumanang Muhtar Gozali UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Definisi. Misalkan suatu ruang vektor atas. Norm pada didefinisikan sebagai fungsi. : yang memenuhi N1. 0 N2. 0 0 N3.,, N4.,, Kita dapat
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET 1. A. Barisan dan Deret Aritmatika 11/13/2015. Peta Konsep. A. Barisan dan Deret Aritmatika
Jurnal Peta Konsep Daftar Hadir MateriA SoalLatihan Materi Umum BARISAN DAN DERET 1 Kelas X, Semester A. Barisan dan Deret Aritmatika Barisan dan Deret Aritmatika Barisan dan Deret Soal Aplikasi dalam
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET MATERI PENDAMPING OLIMPIADE MATEMATIKA MA/SMA
BARISAN DAN DERET MATERI PENDAMPING OLIMPIADE MATEMATIKA MA/SMA I. SISTEM BILANGAN REAL DAN OPERASINYA II. NOTASI SIGMA III. BARISAN BILANGAN IV. DERET BILANGAN V. INDUKSI MATEMATIKA DISUSUN OLEH : AHAMD
Lebih terperinci