Deret Harmonik. Wono Setya Budhi. October 16, Wono Setya Budhi Deret Harmonik October 16, / 20

Transkripsi

1 Wono Setya Budhi October 16, 2014 Wono Setya Budhi October 16, / 20

2 1 Misalkan kita mempunyai barisan {f n } n=1 dengan f n = 1 n Wono Setya Budhi October 16, / 20

3 1 Misalkan kita mempunyai barisan {f n } n=1 dengan f n = 1 n 2 Selanjutnya, buat barisan baru H(n) = n 1 k=1 k dengan n = 1,2,3,.... Barisan ini disebut deret (barisan yang dibuat dengan cara khusus). Wono Setya Budhi October 16, / 20

4 1 Misalkan kita mempunyai barisan {f n } n=1 dengan f n = 1 n 2 Selanjutnya, buat barisan baru H(n) = n 1 k=1 k dengan n = 1,2,3,.... Barisan ini disebut deret (barisan yang dibuat dengan cara khusus). 3 Nilai barisan ini akan membesar. Salah satu melihat ini Wono Setya Budhi October 16, / 20

5 1 Misalkan kita mempunyai barisan {f n } n=1 dengan f n = 1 n 2 Selanjutnya, buat barisan baru H(n) = n 1 k=1 k dengan n = 1,2,3,.... Barisan ini disebut deret (barisan yang dibuat dengan cara khusus). 3 Nilai barisan ini akan membesar. Salah satu melihat ini Saat ini kita akan melihat order dari cara deret ini membesar dengan membandingkan fungsi f (x) dengan lim f (x) = dan lim [H(n) f (n)] = c x n dengan Wono SetyacBudhi konstanta. October 16, / 20

6 % Kita akan melihat ukuran membesarnya N=40 H(1)=1 for i=2:n H(i)=H(i-1)+1/i; end plot(h, +r ) Wono Setya Budhi October 16, / 20

7 Pernah melihat fungsi seperti ini? Wono Setya Budhi October 16, / 20

8 Fungsi dengan bentuk seperti di atas f (x) = x, f (x) = lnx atau f (x) = x r dengan 0 < r < 1. Wono Setya Budhi October 16, / 20

9 7 6 5 y = x y = logx Wono Setya Budhi October 16, / 20

10 1 Berdasarkan grafik tersebut, kita melihat bahwa ada perbedaan yang konstan terhadap y = ln(x). Wono Setya Budhi October 16, / 20

11 1 Berdasarkan grafik tersebut, kita melihat bahwa ada perbedaan yang konstan terhadap y = ln(x). 2 Apakah ini benar? Wono Setya Budhi October 16, / 20

12 1 Berdasarkan grafik tersebut, kita melihat bahwa ada perbedaan yang konstan terhadap y = ln(x). 2 Apakah ini benar? 3 Kita akan menguji dengan melihat barisan dengan n sangat besar C (n) = H(n) lnn c(n) = H(n) ln(n+1) Wono Setya Budhi October 16, / 20

13 x=linspace(1,40,40); plot(x,h(x)-log(x), b, LineWidth,2) text( Interpreter, latex,... String, $y=h(n)-\log n$,... Position,[10 H(10)-log(10)],... FontSize,16) plot(x,h(x)-log(x+1), g, LineWidth,2) text( Interpreter, latex,... String, $y=h(n)-\log (n+1)$,... Position,[10 H(10)-log(10+1)],... FontSize,16) Wono Setya Budhi October 16, / 20

14 y = H(n) logn y = H(n) log(n + 1) Wono Setya Budhi October 16, / 20

15 1 Karena C (n) = H(n) log(n) monoton turun dan c(n) = H(n) log(n+1) monoton naik, dan untuk setiap n, dugaan kita ada C (n) = c(n) lim H(n) log(n) n Wono Setya Budhi October 16, / 20

16 1 1 y=h(n) log (n+1) Wono Setya Budhi October 16, / 20

17 1 1 y=h(n) log (n+1) c(5) = H(5) ln(5+1) = H(5) x dx Wono Setya Budhi October 16, / 20

18 1 1.6 y=h(n) log n Wono Setya Budhi October 16, / 20

19 1 1.6 y=h(n) log n c(5) = H(5) ln(5) = H(5) x 1 dx Wono Setya Budhi October 16, / 20

20 1 Perhatikan bahwa C (n) c (n) = H(n) ln(n) H(n)+ln(n+1) ( = ln 1+ 1 ) n Wono Setya Budhi October 16, / 20

21 1 Perhatikan bahwa C (n) c (n) = H(n) ln(n) H(n)+ln(n+1) ( = ln 1+ 1 ) n 2 Jika n, lim n ln ( 1+ 1 n) = 0, maka lim {C (n) c (n)} = 0 atau lim C (n) = lim c (n) = C n n n yang sudah diketemukan oleh Euler ( ) ( C = lim 1+ 1 n ) lnn n Wono Setya Budhi October 16, / 20

22 1 Apakah kita dapat mengenali sisa n lnn Wono Setya Budhi October 16, / 20

23 1 Bandingkan H(n) dengan n, 3 n, 4 n,... Wono Setya Budhi October 16, / 20

24 1 Bandingkan H(n) dengan n, 3 n, 4 n,... 2 Selidiki apa yang terjadi dengan H(2n) H(n) jika n. Apakah anda mengenalinya? Wono Setya Budhi October 16, / 20

25 1 Bandingkan H(n) dengan n, 3 n, 4 n,... 2 Selidiki apa yang terjadi dengan H(2n) H(n) jika n. Apakah anda mengenalinya? 3 Selidiki juga dengan H ( 2 k n ) H(n) Wono Setya Budhi October 16, / 20

26 1 Bandingkan H(n) dengan n, 3 n, 4 n,... 2 Selidiki apa yang terjadi dengan H(2n) H(n) jika n. Apakah anda mengenalinya? 3 Selidiki juga dengan H ( 2 k n ) H(n) 4 Misalkan n mempunyai nilai tetap, selidiki apa yang terjadi dengan H ( 2 k n ). Tentu nilainya juga akan membesar. Bagaimana ukuran membesarnya? Carilah suatu fungsi yang dapat digunakan sebagai ukuran. Wono Setya Budhi October 16, / 20

27 Misalkan J (n) merupakan bilangan bulat yang tidak lebih kecil dari H n 1 Hitung J (2n) J (n) dengan n = 1,2,...,N dengan N cukup besar. Kesimpulan yang bisa diperoleh? Wono Setya Budhi October 16, / 20

28 Misalkan J (n) merupakan bilangan bulat yang tidak lebih kecil dari H n 1 Hitung J (2n) J (n) dengan n = 1,2,...,N dengan N cukup besar. Kesimpulan yang bisa diperoleh? 2 Tentukan kemungkinan nilai m n jika J (m) = J (n)+1? Wono Setya Budhi October 16, / 20

29 Misalkan J (n) merupakan bilangan bulat yang tidak lebih kecil dari H n 1 Hitung J (2n) J (n) dengan n = 1,2,...,N dengan N cukup besar. Kesimpulan yang bisa diperoleh? 2 Tentukan kemungkinan nilai m n jika J (m) = J (n)+1? 3 Misalkan n bilangan terbesar sehingga J(n) = m, untuk m = 1,2,...,30. Tuliskan ini sebagai L(m). Hitung L(m+1). Carilah L(m) suatu kesimpulan mengenai hasil ini? Wono Setya Budhi October 16, / 20

30 Misalkan J (n) merupakan bilangan bulat yang tidak lebih kecil dari H n 1 Hitung J (2n) J (n) dengan n = 1,2,...,N dengan N cukup besar. Kesimpulan yang bisa diperoleh? 2 Tentukan kemungkinan nilai m n jika J (m) = J (n)+1? 3 Misalkan n bilangan terbesar sehingga J(n) = m, untuk m = 1,2,...,30. Tuliskan ini sebagai L(m). Hitung L(m+1). Carilah L(m) suatu kesimpulan mengenai hasil ini? 4 Tentukan order dari L(m) jika m membesar tanpa batas. Sekali lagi, tentukan order membesarnya H(n). Wono Setya Budhi October 16, / 20

31 1 Bagaimana dengan deret ( 1) n+1 1 n=1 n Apakah konvergen? Apakah anda mengenalinya? Wono Setya Budhi October 16, / 20

32 1 Bagaimana dengan deret ( 1) n+1 1 n=1 n Apakah konvergen? Apakah anda mengenalinya? 2 Bagaimana dengan deret Apakah deret konvergen? Apakah anda mengenalinya? Wono Setya Budhi October 16, / 20

33 1 Bagaimana dengan deret ( 1) n+1 1 n=1 n Apakah konvergen? Apakah anda mengenalinya? 2 Bagaimana dengan deret Apakah deret konvergen? Apakah anda mengenalinya? 3 Bagaimana dengan deret Apakah deret konvergen? Apakah anda mengenalinya? Wono Setya Budhi October 16, / 20

34 1 Kita mengetahui bahwa deret x n = n divergen. Selidiki order divergensinya. Wono Setya Budhi October 16, / 20

35 1 Kita mengetahui bahwa deret x n = n divergen. Selidiki order divergensinya. 2 Carilah a n = f (n) sehingga y n = x n a n konvergen! Wono Setya Budhi October 16, / 20

36 1 Kita mengetahui bahwa deret x n = n divergen. Selidiki order divergensinya. 2 Carilah a n = f (n) sehingga y n = x n a n konvergen! 3 Kalau perlu carilah a n lebih dari satu. Wono Setya Budhi October 16, / 20

37 1 Kita mengetahui bahwa deret x n = n divergen. Selidiki order divergensinya. 2 Carilah a n = f (n) sehingga y n = x n a n konvergen! 3 Kalau perlu carilah a n lebih dari satu. 4 Ingat saat , kita memperoleh f (x) = lnx. Wono Setya Budhi October 16, / 20

38 1 Kita mengetahui bahwa deret x n = n divergen. Selidiki order konvergensinya. Wono Setya Budhi October 16, / 20

39 1 Kita mengetahui bahwa deret x n = n divergen. Selidiki order konvergensinya. 2 Carilah a n = f (n) sehingga y n = x n a n konvergen! Wono Setya Budhi October 16, / 20

40 1 Kita mengetahui bahwa deret x n = n divergen. Selidiki order konvergensinya. 2 Carilah a n = f (n) sehingga y n = x n a n konvergen! 3 Kalau perlu carilah a n lebih dari satu. Wono Setya Budhi October 16, / 20

41 1 Selidiki ke konvergenan Wono Setya Budhi October 16, / 20

42 1 Selidiki ke konvergenan Selidiki ke konvergenan Wono Setya Budhi October 16, / 20

43 1 Selidiki ke konvergenan Selidiki ke konvergenan Selidiki ke konvergenan Wono Setya Budhi October 16, / 20