PERBANDINGAN DAN KARAKTERISTIK BEBERAPA TES KONVERGENSI PADA DERET TAK HINGGA

Transkripsi

1 Eksakta Vol 8 No Oktober 07 E-ISSN : P-ISSN : PERBANDINGAN DAN KARAKTERISTIK BEBERAPA TES KONVERGENSI PADA DERET TAK HINGGA Prodi Matematika Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Pag dewimunp@gmailcom ABSTRACT The infinite series is an infinite sum of elements of a sequence of real numbers A main thing related to the infinite series is to determine its convergence convergent or t Purpose this research were to analyze and determine a comparison and characteristics of each convergence test such as: D'Alembert test Raabe test Gauss's test Cauchy's Root Test and Logarithm Test A method used descriptive method by analyzing theories relevant to the problems discussed and based on literature studythe results showed that each convergence test had characteristics for its convergence test The D'Alembert Ratio test is easier to use in a series that contains the formn! rn and nn Raabe test used if the ratio test obtained value it comparison is so the test does not give conclusion Whereas logarithmic test is used in the infinite series that contains the logarithmic form The Cauchy n-th root test can be used to determine the absolute series convergence of the nth power Keyword: Convergence test convergence PENDAHULUAN Deret tak hingga merupakan penjumlahan tak berhingga dari elemenelemen suatu barisan bilangan riil an barisan bilangan riil : disebut deret tak tak hingga dari barisan an Selanjutnya jika Sn disebut jumlah parsial ke n dari deret tak hingga Hal utama yang berkaitan deret tak hingga adalah menentukan apakah suatu deret atau Jika deret tersebut ada artinya jumlah tak berhingga dari dari suku-suku barisan an menuju nilai tertentu tetapi jika tidak ada atau menuju nilai tak hingga maupun negatif tak hingga deret tersebut disebut Deret tak hingga mempunyai bermacam bentuk mulai dari yang sederhana seperti: deret aritmatika deret geometri deret-p sampai pada deret yang tidak sederhana seperti : atau atau deret berbentuk : Untuk deret deret sederhana seperti deret aritmatika deret geometri

2 Eksakta Vol 8 No Oktober 07 E-ISSN : P-ISSN : deret-p biasanya dengan mudah dapat ditentukan karena sudah ada formulanya yang baku yang langsung dapat diterapkan sehingga hasilnya sekaligus dapat ditentukan apakah atau tidak Tetapi jika deret tersebut tidak dalam bentuk sederhana untuk menentukan keannya perlu suatu analisis dahulu terhadap bentuk polanya kemudian baru memilih formula tes si yang cocok yang sesuai dengan karakteristik masing- masing tes si Beberapa tes si yang dapat digunakan berkaitan dengan menentukan kean deret tak hingga antara lain : Uji banding Uji rasio atau uji rasio mutlakuji integral uji Kummers uji Bertrand-DeMorgan s uji Gauss s uji akar Cauchy s uji Dirichlet Pada masing- masing uji si mempunyai karakteristik tertentu mempunyai penurunan rumus yang berbeda- beda Beberapa uji si diatas sudah sangat sering digunakan pada penelitian ini peneliti memfokuskan pada uji si : Tes D AlembertTes Raabe uji uji Gauss s Tes akar Cauchy s Tes Logaritma Rumusan masalah dalam penelitian ini adalah: bagaimanakah perbandingan karakteristik Tes si: Tes D AlembertTes Raabe uji uji Gauss s Tes akar Cauchy s Tes Logaritma? Beberapa deret tak hingga yang sering dipakai adalah : Deret geometri berbentuk : Jumlah n suku dari deret geometri adalah jika untuk akibatnya 0 Jadi di mana a 0 disebut deret geometrik StroudKA ; hal46 Dapat ditunjukkan bahwa sebuah deret geometrik dengan jumlah S jika r tetapi jika r Deret tak hingga deret-p berbentuk : : i deret akan jika ii deret jika EPurcell;hal46 Selanjutnya akan diuraikan sifat-sifat deret tak hingga : Definisi Deret takterhingga mempunyai jumlah S jika barisan jumlah-jumlah parsial { Sn } menuju S Jika { Sn } deret tersebut Deret tidak mempunyai jumlah EPurcell;hal74 Perhatikan deret geometrik sekali lagi Suku ke-n dari andinyatakan dengan Contoh menunjukan bahwa deret geometrik akan jika hanya jika 0 Berikut adalah beberapa teorema berkaitan kean deret tak hingga Hal 47

3 Eksakta Vol 8 No Oktober 07 E-ISSN : P-ISSN : TeoremaUji Suku ke-n untuk Divergensi Jika deret 0 Secara ekivalen jika 0 atau jika tidak ada deret tersebut EPurcell;hal75 Bukti : Sn adalah jumlah parsial ke-n Perhatikan bahwa Karena Pang deret harmoikberikut: 3 0 Menunjukan bahwa hal ini tidak benar Dapat dilihat dengan jelas bahwa / 0 Walaupun demikian deret itu sebagaimana yang akan diperhatikan berikut ini Contoh : Deret harmonik adalah jumlah n suku deret harmonik adalah: Jika adalah deret entri-entri non negatif i jika barisan terbatas ii jika barisan tidak terbatas Wasan; hal56 Teorema 3 0 dimana m bilangan bulat positif : i ii Wasan;hal56 Teorema 4 Tes Perbandingan Limit 0 dimana L adalah bilangan real positif keduanya atau keduanya Wasan; hal57 Bukti : Karena pilih 0 ada bilangan bulat positif m sehingga setiap n m Jadi deret harmonik adalah Berikut sifat-sifat deret : Jika keduanya adalah c sebuah konstanta : i ii adalah EPurcell; hal77 Teorema 0 Akibatnya : Dengan teorema perbandingan kesimpulan terbukti Teorema 5 Uji Integral f adalah fungsi yang kontinu positif tak menaik pada selang [ andaikan untuk seluruh bilangan bulat positifk deret tak hingga : jika hanya jika integral tak wajar Hal 48

4 Eksakta Vol 8 No Oktober 07 E-ISSN : P-ISSN : Contoh penggunaan uji integral pada pembuktian deret-p : i deret akan jika ii deret jika Bukti : Jika 0 fungsi adalah kontinu positif tak naik pada [ menurut uji integral jika hanya jika ada Jika [ ] Jika p [ ] ln t Karena 0 jika p jika p Karena ln kita dapat menyimpulkan bahwa deret p jika p jika 0 Jika p 0 -p 0 sehingga suku ke-n dari deret adalah 0 sehingga deret Segkan jika p yang terbentuk adalah deret Harmonik yang METODE PENELITIAN Penelitian ini merupakan penelitian dasar Metode yang digunakan adalah metode deskriptif dengan menganalisis teori-teori yang relevan dengan permasalahan yang dibahas berlandaskan studi kepustakaan Langkah-langkah dalam menjawab permasalahan adalah sebagai berikut: Mencari teori-teori yang berkaitan deret tak hingga kean Menghubungkan teori-teori yang ada dengan permasalahan penelitian 3 Mengkaji perbandingan karakteristik masing- masing uji si: uji Kummers uji Bertrand-DeMorgan s uji Gauss s uji akar Cauchy s uji Dirichlet 4 Melakukan pembahasan interpretasi dari pembahasan yang telah dilakukan HASIL PEMBAHASAN Akan dibahas beberapa tes kean yang khusus yang memuat bentuk akar atau yang memuat fungsi logaritma Tes Rasio D Alembert s Ratio test : a Jika L b Jika L c Jika L tidak ada kesmpulan d Jika L Bukti: a L L 0 pilih 0 L 0 R L- Karena N n Jadi Akibatnya: sehingga diperoleh: atau Karena R K n akibatnya n juga Hal 49

5 Eksakta Vol 8 No Oktober 07 E-ISSN : P-ISSN : L -L 0 Pilih - L 0 atau L Karena berlaku : Dari pertidaksamaan sebelah kanan diperoleh : Karena barisan merupakan barisan naik positif 0 sehingga dapat disimpulkan c L Pang: i Pang: Dan ii Dari i ii terlihat bahwa untuk L tidak memberi kesimpulan apakah deret atau d Jika L yaitu : Dari definisi it tak hingga Sehingga diperoleh : atau Karena Karena sehingga berdasarkan teorema perbandingan disimpulkan : Contoh : Tentukanlah kean deret! Jawab :! Berdasarkan tes Rasio! Tes Raabe Raabe s Test 0! deret a Jika L R : i jika L ii jika L iii Tidak ada kesimpulan jika L b Jika L c Jika L Bukti : a Jika L bernilai Real i L Karena L Ambil 0 Karena Dari ruas kiri yaitu sehingga Jika kedua ruas dikurang dengan diperoleh: n nm Jika masing-masing pertidaksamaan ditambahkan diperoleh: Untuk Hal 50

6 Eksakta Vol 8 No Oktober 07 E-ISSN : P-ISSN : karena 0 Untuk nm Akibatnya Jadi barisan adalah terbatas diatas untuk setiap nm menurut teorema 5 ii Jika L Pilih 0 dengan Karena sehingg Dari pertidaksamaan ruas kanan yaitu: diperoleh Jadi untuk nm Sehingga : atau Karena iii Jika L Ambil sehingga dimana ambil pula tetapi Dari kedua contoh deret disimpulkan bahwa L tidak memberi kesimpulan kean b Jika L ambil 0 Dari kasus ambil Untuk nm Akibatnya Jadi barisan adalah terbatas diatas untuk setiap nm menurut teorema 5 c Jika L ambil Dari sini diperoleh Jadi untuk nm Sehingga : atau Karena Contoh: Diberikan deret : 0 Tentukanlah kean deret tersebut Jawab suku ke-n dari dari deret adalah : Pang : Selanjutnya sehingga sehingga Hal 5

7 Eksakta Vol 8 No Oktober 07 E-ISSN : P-ISSN : Berdasarkan teorema rasio : jika akibatnya deret jika x jika x untuk x pakai teorema Raabee Pang Karena nilai it kecil dari deret 3 Tes logaritma Logarithmic Test 0 Jika L R : i jika L ii jika L iii Tidak ada kesimpulan jika L Jika L 3 Jika L Bukti : i L Pilih 0 sehingga p L- Karena ada bilangan asli berlaku atau p L- m Selanjutnya sehingga Barisan ini adalah barisan naik Barisan adalah barisan tak turun yang ke- e sehingga Pang / : / untuk setiap n m Jadi untuk n m Jika p adalah berdasarkan uji banding adalah ii L Pilih 0 ℎ Karena ada bilangan asli m sehingga untuk setiap n akibatnya / Selanjutnya / karena /n / Berdasarka tes Raabe iv L Tidak ada kesimpulan Contoh : Tentukan kean dari deret : dengan x 0 Jawab Pang!!! Berdasarkan tes rasio: jika atau x /e Hal 5

8 Eksakta Vol 8 No Oktober 07 E-ISSN : P-ISSN : jika atau x /ejika x /e [ ] n[- nlog ] n [- n { n[- }] ] Jadi 4 Tes akar ke-n Cauchy 0 L : Jika L R: i Jika L ii Jika L iii Jika L tidak memberi kesimpulan Jika L Bukti: i Jika L pilih 0 dengan -L L misalkan R L Karena L ada bilangan bulat positif m sehingga L R Pang R Karena berdasarkan teorema perbandingan disimpulkan ii Jika L pilih 0 sehingga L 0 r L Karena ada k Z sehingga : L Sehingga Karena r akibatnya iii Jika L Pang kasus berikut: a b Bukti: Misal Pang: ln 0 ln ln Dengan cara sehingga 0 yang sama diperoleh Dari a b dpat disimpukan bahwa jika L tidak ada kesimpulan si iv Kasus L artinya Berdasarkan teorema perbandingan : Contoh : Tentukanlah kean dari deret : Jawab: Pang Hal 53

9 Eksakta Vol 8 No Oktober 07 E-ISSN : P-ISSN : Jadi 0 Berdasarkan teorema Karena 5 Tes Condensasi Cauchy s Cauchy s Condensation Test Jika an barisan bilangan real positif yang tidak naik deret: sama-sama atau sama-sama Bukti : i akan ditunjukkan juga Karena jumlah m barisan terbatas di atas artinya: 0 0 k Karena an barisan tidak naik kita mempunyai: 4 seterusnya diperoleh: Dan k Berdasarkan teorema 5 Karena jumlah parsial Sm dari deret terbatas ii akan ditunjukkan juga Karena berdasarka terema 5 m jumlah parsial tidak terbatas diatas Artinya 0 Karena an barisan bilangan real positif yang tidak naik : 4 seterusnya Secara umum: Pilih : n m sehingga: 4 [ 4 8 ] Diperoleh jumlah Sm parsial dari tidak terbatas Contoh: Tunjukkan i Divergen jika p0 ii Konvergen jika p iii Divergen jika p Jawab: Menggunakan tes Condensasi Cauchy s i Jika p0 /np n-p 0 ii p0 Barisan merupakan barisan tidak naik merupakan deret geometri dengan rasio r Sehingga deret akan jika r yaitu jika p Akan jika r yaitu jika p terbukti Contoh : Diberikan deret Buktikan deret Bukti : Berdasarkan teorema jika p0 Hal 54

10 Eksakta Vol 8 No Oktober 07 E-ISSN : P-ISSN : Untuk n Berdasarkan tes rasio Berdasarkan tes kondensasi mengakibatkan Contoh: 0 Dimana k adalah bilangan bulat positif Tentukan syarat kea deret tersebut: Jawab : Karena berdasarkan tes rasio D Alembert tidak ada kesimpulan Pang Menggunakan tes Raabe s: jika jika A 6 Tes Konvergensi Deret Fungsi Kriteria Cauchy: adalah barisan fungsi pada D subhimpunan dari himpunan Real ke f Deret adalah seragam pada D jika hanya jika untuk setiap 0 ada M sehingga jika m n M Tes Weiestrass adalah barisan bilangan real positif sehingga Jika seragam di D Bukti : m n kita mempunyai: Karena barisan terbatas akibatnya barisan juga terbatas subbarisan dari Sehingga barisan Tes Integral f fungsi turun positif pada himpunan { t : t } deret jika hanya jika integral tak wajar : { } ada Dalam kasus fungsi misalkan jmlah parsial jumlah jumlah seluruhnya s Bukti: Karena f positif turun pada interval [k k-] ; begitu juga seterusnyauntuk k 3 4 n menjumlahkan masingmasing pertidaksamaan diperoleh : Dengan mengambil it dari pertidaksanaan diatas diperoleh kesimpulan : Jika ada [ ] ada Hal 55

11 Eksakta Vol 8 No Oktober 07 E-ISSN : P-ISSN : jika tidak ada [ ] juga tidak ada itnya ada untuk k n m menjumlahkan masingmasing pertidaksamaan diperoleh : Dari kedua pertidaksamaan diperoleh bahwa Dengan mengambil diperoleh: Contoh: Tentukan kean deret: Karena ft adalah fungsi positif turun gunakan tes integraluntuk p dt logn log Untuk p [ ] [ ] ~ deret jika p jika p0 SIMPULAN DAN SARAN Karakteristik dari masing masing tes si adalah: Tes Rasio D Alembert lebih sering dipakai karena lebih mudah penggunaannya Karakteristiknya: mudah dipakai pada deret yang sukunya memuat bentuk: n! rn nn lebih mudah menentukan nilai : Tes Raabe; biasanya dipakai jika pada tes rasio diperoleh nilai it perbandingannya adalah sehingga tes tersebut tidak memberikan kesimpulan Jadi tes ini merupakan pengembangan dari tes rasio Tes Logaritma tes ini digunakan pada deret tak hingga yang memuat bentuk logaritma Keutamaan bentuk logaritma pada deret ini adalah kita dapat lebih menyederhanakan bentuk aljabar seperti bentuk pangkat dapat dirubah menjadi bentuk perkalian segkan perkalian diubah menjadi penjumlahan bentuk pembagian dapat dirubah menjadi bentuk pengurangan Tes akar ke-n Cauchy dapat digunakan menentukan kean deret tak hingga yang memuat bentuk pangkat ke-n Dengan tes kean ini bentuk pangkat dapat disederhanakan menjadi bentuk lebih sederhana tanpa pangkat Akibatnya akan mudah menentukan nilai it akar ke-n Tes kondensasi Cauchy dipakai untuk menyederhanakan deret dengan bentuk lebih rumit menjadi deret yang lebih sederhana yang memuat bentuk sehingga berikutnya dapat digunakan tes Rasio bisa dihitung itnya dengan cepat Tes barisan Fungsi: tes digunakan memeriksa kean deret dari fungsi pada bilangan real A Saran Untuk menentukan kean deret tak hingga perlu dipakai tes si yang tepat sehingga dapat lebih cepat diketahui keannya Untuk dapat memilih tes si yang tepat disarankan untuk mengetahui terlebih dahulu karakteristik dari masing-masing tes si tersebut DAFTAR PUSTAKA Hal 56

12 Eksakta Vol 8 No Oktober 07 E-ISSN : P-ISSN : BartleRobert G Sherbert Donald R 994 Introduction To Real Analysis United States of america Jhon Wiley & Sons Purcell Edwin J Varberg Dale Rigdon 004 Kalkulus Jakarta Erlangga Stroud KA 003 Matematika Teknik Jakarta Erlangga Wasan Siri Krishan Prakash Ravi 976 Real Analysis New Delhi Tata McGraw-Hill Publishing Company Limited Hal 57