Matriks, Barisan (sequence), Deret (summa)ons)

Transkripsi

1 Matriks, Barisan (sequence), Deret (summa)ons) Learning is not child's play, we cannot learn without pain. - Aristotle 1

2 Matriks 2

3 Aritme=ka Matriks Penjumlahan Syarat: matriks harus berukuran sama Contoh:! $! $! = $ 3

4 Aritme=ka Matriks Produk Jika matriks M adalah matriks m x n, dan matriks N adalah matriks n x p, maka MN adalah sebuah matriks m x p. Contoh:! ! $ $ =! $ 4

5 Matrik Iden=tas dan Perpangkatan Matriks iden=tas Jika A matriks m x n, AI n = I m A = A Perpangkatan: A 0 = I n A 3 = AAA A 4 = AAAA 5

6 Matriks Transpose dan Matriks Simetris Matriks Transpose Contoh:! A = ! A t = $ $ Maka transpose matriks A adalah: Matriks Simetris Suatu matriks B dikatakan simetris jika B = B t Contoh:! B = B t = $ 6

7 Matriks Nol- Satu Matriks nol- satu hanya berisi angka nol atau satu. Operasi join dan meet:! A = 1 0 $ 0 1 A! B = $ Join 1!1 0!1 0!0 1!1 ' = $ '! B = $ A! B = $ 1!1 0!1 0!0 1!1 Meet ' = $ ' 7

8 Produk Boolean Produk boolean hampir sama dengan produk, namun operasi penjumlahan digan= dengan v sedangkan operasi perkalian digan= dengan. Contoh notasi: A! B 8

9 Barisan Contoh: a n Sebuah barisan { } dimana: a n = 1 n a 1, a 2, a 3, a 4,... 1, 1 2, 1 3, 1 4,... 9

10 Barisan Aritme=ka (analogi diskrit dari fungsi linier f(x) = dx + a) Barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap. a n = a 1 + (n- 1)b a n = Suku ke- n a 1 = Suku pertama b = Beda antar Suku contoh: 2, 5, 8, 11, 14,.. à ditambah 3 100, 95, 90, 85, 80, à dikurang 5 10

11 Barisan Geometri (analogi diskrit dari fungsi eksponensial f(x) = ar x ) Barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan yang tetap. a n = ar n- 1 a n = suku ke- n a = suku pertama r = rasio antar suku berurutan contoh: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,.. à dikali 2 80, 40, 20, 10, 5, 2½,.. à dikali 1/2 11

12 Recurrence Rela=on Recurrence rela)on untuk barisan {a n } adalah persamaan yang menyatakan a n dalam satu atau lebih suku sebelumnya, yaitu a 0, a 1, a 2, a n- 1, untuk semua bilangan bulat n > n 0, dimana n adalah bilangan bulat non- nega=f. Contoh: Barisan Fibonacci f 0 = 0 f 1 =1 f n = f n!1 + f n!2 Kondisi awal/inisial untuk n = 2, 3, 4, Leonardo Pisano Bigollo a.k.a. Fibonacci 12

13 Formula Tertutup (1) Jika kita berhasil membuat suatu persamaan yang memenuhi recurrence rela)on serta menghilangkan kondisi awalnya, dikatakan kita telah memecahkan recurrence rela)on beserta kondisi awalnya. Persamaan yang dihasilkan disebut dengan formula tertutup. 13

14 Formula Tertutup (2) Contoh: Tentukan formula tertutup untuk recurrence rela)on berikut a 0 = 2; a n = a n untuk n = 1,2,3,4,5, Solusi: a 0 = 2 a 1 = a 2 = (2 + 3) + 3 = a 3 = ( ) + 3 = a n = 2 + 3(n) untuk n = 0,1,2,3,4,5, Formula tertutup, tanpa kondisi awal 14

15 Deret Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. n! a j a m + a m a n j=m Contoh: 5! 2 j = 35 j=1 15

16 Bentuk Tertutup Deret juga dapat dinyatakan dalam bentuk tertutup, beberapa yang cukup berguna adalah: Telescoping Sum Sumber: Kenneth H. Rosen. Discrete Mathema)cs and Its Applica)ons 16

17 Deret Aritme=ka D n = n 2 (2a + (n!1)b) Telescoping Sum Deret Geometris D n = a(1! rn ) (1! r) Keterangan: Dn : Jumlah deret suku ke- n a : Suku pertama b : beda antar suku berurutan r : rasio antar suku berurutan 17

18 Faktorial n! = n.(n- 1).(n- 2) Jika n = 0, n! = 1. Jika n > 1, n! = n.(n- 1)! Contoh: 5! = = 120 Pendefinisian secara rekursif 18

19 La=han 1. Tentukan formula eksplisit barisan berikut: a. - 1, 1, - 1, 1, - 1, 1, - 1, b. 0, 1, - 2, 3, - 4, 5, c. 1/4, 2/9, 3/16, 4/25, 5/36, 6/49, 2. Tulis deret berikut dalam notasi deret (summa)on): Gabungkan deret berikut dalam satu notasi deret (summa)on): n k=1 n k=1 2 (3k 2 + 4)+ 5 (2k 2!1) 19

20 La=han 4. Pada deret di bawah, ubah dengan variabel: j = k 1 n+1 ' k=1! k n + k $ 20

21 Referensi Kenneth H. Rosen. Discrete Mathema)cs and Its Applica)ons 7 th Ed. Rinaldi Munir. Matema)ka Diskrit edisi ke)ga. Susanna S.Epp. Discrete Mathema)cs with Applica)ons 4 th Ed. 21