MAKALAH BARISAN DAN DERET TAK HINGGA. Diajukan Untuk Memenuhi Tugas. Mata Kuliah Kapita Selekta Matematika SMA DOSEN PENGAMPU :

Transkripsi

1 MAKALAH BARISAN DAN DERET TAK HINGGA Diajukan Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kapita Selekta Matematika SMA DOSEN PENGAMPU : AMALIA ITSNA YUNITA, S.Si, M.Pd. Disusun Oleh:. Siti Khumaidatuz Zahro ( ). Safna Omega Pinta Dewi ( ) 3. Lidya Isti anah (704633) 4. Kristia Ningsih (704637) JURUSAN TADRIS MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH DAN ILMU KEGURUAN INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI TULUNGAGUNG SEPTEMBER 07

2 BARISAN DAN DERET TAK HINGGA A. BARISAN Contoh : Barisan yang mempunyai domain himpunan bilangan asli berhingga, untuk suatu bilangan asli n disebut barisan berhingga. Contohnya,,3,4,, n Barisan yang mempunyai domain himpunan semua bilangan asli disebut barisan tak terhingga. Contohnya,,3,4, B. JENIS-JENIS BARISAN TAK BERHINGGA ) Barisan Konstan Barisan U n dikatakan konstan jika dan hanya jika suku selanjutnya selalu sama dengan suku sebelumnya, atau dapat ditulis U n = U n+ untuk setiap n N. Contoh: a.,,,. adalah barisan konstan. ) Barisan Naik Barisan U n dikatakan naik jika dan hanya jika suku selanjutnya selalu lebih besar dari suku sebelumnya, atau dapat ditulis U n < U n+ untuk setiap n N. Contoh : a. { n n+ } =, 4 3, 9 4, 6, adalah barisan naik b. {n } =,3,,7, adalah barisan naik 3) Barisan Turun Barisan U n dikatakan turun jika dan hanya jika suku selanjutnya selalu lebih kecil dari suku sebelumnya, atau dapat ditulis U n > U n+ untuk setiap n N. Contoh: a. { } =,,,,. adalah barisan turun n 3 4

3 b. { n} =,, 3, 4 adalah barisan turun C. DERET ) Deret berhingga Deret Aritmatika S n = n (a + (n )b) Keterangan : S n = jumlah n suku pertama a = suku pertama b = beda n = banyak suku Deret Geometri S n = a(rn ) r S n = a( rn ) r untuk r > S n = na untuk r = untuk 0 < r < Keterangan : S n = jumlah n suku pertama a = suku pertama r = rasio n = banyak suku Bukti S n dengan r = : Rumus untuk U n deret geometri adalah U n = ar n S n = U + U + U 3 + U 4 + U n S n = ar + ar + ar 3 + ar 4 + ar n S n = a + ar + ar + ar ar n S n = a + a + a + a + + a S n = na Untuk r =

4 ) Deret tak hingga Deret geometri tak hingga Adalah deret geometri yang banyak suku-sukunya tak terhingga. Deret geometri tak hingga terdiri dua jenis, yaitu Konvergen dan Divergen.. Konvergen Adalah jumlah suatu barisan bilangan yang menuju satu nilai (mempunyai jumlah yang terbatas). Dengan syarat < r <. Maka jumlah deret geometri tak hingga tersebut mempunyai limit jumlah. S n = a( rn ) r Untuk n =, r n mendekati nol Sehingga S = ket a r S = jumlah deret geometri tak hingga a = suku pertama r = rasio Bukti: Misalkan U n = ar n- dengan -<r<, n ϵ N Ingat kembali deret geometri yang telah kamu pelajari sebelumnya, telah diperoleh bahwa s n = a + ar + ar + + ar n () Dengan mengalikan kedua ruas persamaan dengan r, didapatkan Persamaan berikut. rsn= ar +ar + ar ar n () Sekarang, dari selisih persamaan ) dengan ), diperoleh sn rs n = (a + ar + ar + + ar n ) (ar + ar + ar ar n ) sn( r) = a ar n 3

5 S n = a arn r Rumus jumlah n suku pertama deret geometri adalah S n = a( rn ), dengan r <. r Kita ingin menentukan jumlah tak berhingga suku-suku barisan geometri, ini, yaitu, s n bila n. Karena r ϵ R dan - < r < dan n, maka lim s n = lim a( rn ) = lim ( a arn ) = a, n n r n r r r S n = n= ar n = a r (terbukti). Contoh soal konvergen a Deret ini konvergen, Dengan a = dan r = S a. Divergen r Adalah jumlah dari barisan bilangan yang suku-sukunya naik atau turun tak terbatas. Syaratnya r < atau r > maka lim n r n = ± sehingga lim s n = ±. Hingga seperti ini dikatakan divergen (mempunyai jumlah tidak n terbatas). Contoh soal a. { n } = + + Pembahasan : S =, S = = 0, S 3 = + =, S 4 = + = 0, dan seterusnya. 4

6 SOAL LATIHAN Barisan S, S, S 3, atau,0,,0,, tidak mempunyai limit. Deret { n } adalah divergen karena lim n S n tidak ada. Satu kenyataan bahwa suku ke-n tidak mendekati nol untuk n, hal ini adalah juga sebagai bukti.. Diketahui rumus inplisit suatu barisan U n yaitu U n = n 48. Tentukan apakah barisan tersebut adalah barisan konstan, naik atau turun?. Diketahui deret Apakah deret tersebut konvergen? 3. Sebuah pabrik mampu memproduksi barang jenis A sebanyak.960 unit pada tahun pertama. Setiap tahun produksi mengalami penurunan sebesar 40 unit sampai tahun ke-0. Total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun ke-0 sebnyak unit 4. Sebuah bola dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 0 meter. Setiap kali memantul, bola mencapai ketinggian 3 dari ketinggian sebelumnya. Panjang lintasan bola sampai berhenti adalah meter. Agar deret (x ) + (x ) + (x ) 3 +. merupakan deret geometri konvergen, nilai x yang memenuhi adalah 6. Diketahui rumus eksplisitnya U n untuk barisan {U n } n 3n =. Tulis lima suku n+ pertaama dan tentukan apakah deret tersebut konvergen atau divergen serta tentukan lim U n! n SOAL UAS. Nyatakan 0, 6 = 0,666 ke dalam bentuk pecahan biasa menggunakan deret geometri tak hingga. Jawab : 0,666 = 0,6 + 0, , , = = 6 ( )

7 a = 0 dan r = 0 S = a r = 6( 0 0 ) = 6( = 6 ( ) ) = 6 ( ) = = 6 99 Jadi, 0,6666 = Diketahui deret tak hingga : + log(x ) + log (x ) + log 3 (x ) Tentukan batas nilai x agar deret tersebut konvergen. Jawaban : a = dan r = log(x ) Deret konvergen jika < r < a. < log(x ) log < < x < x (i) b. log(x ) < log(x ) x < x < 4 (ii) log(x ) < log + Dari (i) dan (ii) disimpulkan bahwa batas nilai x agar deret konvergen adalah < x < 4 6

8 Jawaban Soal Latihan. U = 48 = 39 U = 48 = 36 U 3 = 3 48 = 3 Karena U < U < U 3 hingga U n maka barisan tersebut merupakan barisan naik.. S =, S = = 0, S = + =, S = + = 0, dan seterusnya. Barisan S, S, S 3, atau, 0,, 0,, tidak mempunyai limit Jdi deret tersebut adalah divergen karena lim n S n tidak ada. Satu kenyataan bahwa suku ke-n tidak mendekati nol untuk n, hal ini adalah juga sebagai bukti. 3. Banyak produksi setiap tahunnya membentk deret aritmatika dengan: a = produksi tahun pertama = 960 unit b = penurunan produksi = -40 Total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun ke-0 merupakan jumlah 0 suku pertama deret aritmatika. S 0 = 0 (a + (0 )b) = (a + 9b) = ( ( 40)) = (390 60) = 660 = 3300 Jadi, total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun ke-0 sebanyak unit. 4. Berdasarkan keterangan soal lintasan bola dapat diilustrasikan: BOLA 0 m m 36 m 7

9 Lintasan bola membentuk deret geometri. Panjang lintasan seluruhnya terdiri atas dua bagian, yaitu lintasan bola turun dan lintasan bola naik. Lintasan bola turun: a = 0 dan r = 3 S n = a r = 0 3 = 0 = 0 Lintasan bola naik: a = dan r = 3 S n = a r = 3 = = 30 Total lintasan = = 80 m. Alternatif penyelesaian: Rumus panjang lintasan bola sampai berhenti: S = a( + r) r S = a(+r) r S = (+3 ) 3 = 8 = 80 Jadi, panjang lintasan bola tersbut sampai bola berhenti adalah 80 m.. Deret (x ) + (x ) + (x ) 3 + merupakan deret geometri. Suku pertama: U = a = (x ) Suku kedua: U = (x ) Rasio: 8

10 r = U (x ) = U (X ) = X Deret geometri konvergen jika nilai rasionya < r <. Dengan demikian: < (x ) < + < x + < + < x < 3 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah < x < U = 3..+ = 3 4 U = = U 3 = = 9 8 U 4 = = 0 U = = U U = U 3 U = U 4 U 3 = U U 4 = r = 4 = 4 Karena r < maka deret tersebut adalah deret divergen sehingg deret tersebut tihdak memiliki limit. 9

11 DAFTAR PUSTAKA Sinaga, Bornok, dkk. 04. Matematika k3. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. Spiegel, Murray.R, Kasir Iskandar.989.Matematika Dasar. Jakarta: Erlangga. Ayres, Frank, Philip A. Schmidt.03.Matematika Universitas. Jakarta: Erlangga. Muklis, Suparno.04. Matematika. Jakarta: Intan Pariwara. Aksin, Nur, dkk. 0. Detik-detik Ujian Nasional Matematika. Klaten: Intan Pariwara. diakses pada 30 September 07, pukul :3 WIB. 0