Definisi 1 Deret Tak Hingga adalah suatu ekspresi yang dapat dinyatakan dalam bentuk:

Transkripsi

1 DERET TAK HINGGA

2 Definisi 1 Deret Tak Hingga adalah suatu ekspresi yang dapat dinyatakan dalam bentuk: u k = u 1 + u 2 + u u k + Bilangan-bilangan u 1, u 2, u 3, disebut suku-suku dalam deret tersebut.

3 Pandang kembali argumentasi Zeno dalam paradoks di awal, Kemudian perhatikan jumlah parsial berikut s 1 = 1 2 = s 2 = = 3 4 = s n = n = n lim s n = lim 1 1 n n 2 n = 1 Jumlah parsial di atas konvergen ke satu s 3 = = 7 8 =

4 Misalkan s n adalah jumlah n suku pertama deret tersebut, sehingga diperoleh s 1 = u 1 s 2 = u 1 + u 2 s 3 = u 1 + u 2 + u 3 s n = u 1 + u 2 + u u n = Bilangan s n disebut jumlah parsial ke-n dari deret dan barisan s n n=1 disebut barisan dari jumlah parsial. n u k

5 Note Dalam Bahasa sehari-hari, kata barisan dan deret sering digunakan saling bertukar. Akan tetapi hal ini tidak berlaku dalam matematika. Secara matematis, barisan adalah suatu keterurutan, sedangkan deret adalah suatu jumlahan. Perbedaan ini sangat penting untuk diingat.

6 Definisi 2 Misalkan s n n=1 adalah barisan dari jumlahan parsial deret u 1 + u 2 + u u k +. Jika barisan s n n=1 konvergen ke suatu limit S, maka deret tersebut dikatakan konvergen dan S disebut jumlahan dari deret itu, dengan S = u k Jika barisan dari jumlahan parsial tersebut tidak konvergen, maka barisan tersebut disebut divergen. Suatu deret yang divergen tidak memiliki jumlah.

7 Contoh 1 Tentukan apakah deret berikut Konvergen atau divergen. Jika konvergen, dapatkan jumlahnya. Jumlah parsial untuk deret ini adalah: s 1 = 1 s 2 = 1 1 = 0 s 3 = = 1 s 4 = = 0 Dengan demikian, deret divergen yang tidak memiliki nilai jumlah

8 Deret Geometrik Deret-deret yang telah diberikan di atas merupakan contoh-contoh dari deret geometrik. Deret Geometrik merupakan suatu deret yang memiliki bentuk: a + ar + ar 2 + ar ar k 1 + (a 0) yang mana setiap suku diperoleh dari penggandaan suku sebelumnya dengan suatu konstanta r yang disebut sebagai rasio dari deret tersebut.

9 Contoh 2 Dapatkan deret geometrik jika diberikan: a)a = 1, r = 3 Penyelesaian: b)a = 2 5, r = 1 5 c)a = 1, r = d)a = 1, r = 1 e)a = 1, r = 1 f) a = 1, r = x

10 Teorema 1 Suatu deret goemetrik a + ar + ar 2 + ar ar k 1 + (a 0) Konvergen jika r < 1 dan divergen jika r 1. Jika deret tersebut konvergen, maka jumlah deretnya adalah a 1 r = a + ar + ar2 + ar ar k 1 + Bukti: Misalkan bahwa r = 1. Untuk r = 1, deret tersebut menjadi a + a + a + + a +

11 Bukti: Misalkan bahwa r = 1. Untuk r = 1, deret tersebut menjadi a + a + a + + a + Sehingga jumlah parsial ke-n, s n = na dan lim n s n = ± Untuk r = 1, deret tersebut menjadi a a + a a + Sehingga barisan jumlahan parsial a, 0, a, 0, adalah divergen. Jika r 1, maka jumlah parsial ke-ndari deret tersebut adalah s n = a + ar + ar 2 + ar ar n 1 (1) Jika kedua ruas digandakan dengan r, maka diperoleh rs n = ar + ar 2 + ar ar n 1 + ar n (2)

12 s n = Jika r < 1 maka lim n rn = 0 s n rs n = a ar n 1 r s n = a ar n a arn 1 r = a 1 r arn 1 r lim s n = n Jika r > 1, maka r dipenuhi oleh r > 1 atau r < 1 untuk r > 1, lim n rn = untuk r < 1, r n berosilasi antara nilai positif dan negatif, sehingga s n divergen untuk kedua kasus ini a 1 r

13 Contoh 3 Tentukan apakah deret berikut ini konvergen atau divergen. Jika konvergen, dapatkan jumlahnya. 1 a) 2 n b) 3 2k 5 1 k Penyelesaian: a) a = 1 2 dan r = 1 2 r = 1 2 < 1 a 1 r = = = 1

14 b) 3 2k 5 1 k 3 2k 5 1 k = 9 k 5 k 1 r = 9 5 = 9(9 k 1 5 k 1 = Karena r > 1, maka deret ini divergen. k 1

15 Teorema 2 Jika deret n=1 a n konvergen, maka lim n a n = 0. Hal ini ekivalen dengan, jika lim a n 0 atau jika lim a n tidak ada, n n maka deret tersebut adalah divergen. Bukti: Misalkan s n adalah jumlah parsial ke-n dan s = lim n s n. Perhatikan bahwa a n = s n s n 1. Karena lim n s n 1 = lim n s n, maka diperoleh lim n a n = lim n s n lim n s n 1 = s s = 0

16 Deret Harmonik s 1 = 1 1 k = s 3 = s 2 = s 2 4 = membentuk suatu barisan yang monoton naik s 1 < s 2 < s 3 < s 4 < < s n < Jumlahan parsial di atas memenuhi pertidaksamaan berikut: s 2 = > = 2 2 s 4 = s > s = s > 3 2

17 s 8 = s > s = s > 4 2 s 16 = s > s = s > 5 s 2 n > n Untuk setiap konstanta M, dapat ditemukan bilangan bulat positif n sedemikian hingga n+1 2 > M. Tetapi, untuk n berlaku s 2 n > n > M

18 Sifat-Sifat Aljabar Deret Tak Hingga a)jika u k dan y k deret konvergen, maka u k + y k dan u k y k adalah deret konvergen, dan jumlah dari deret tersebut adalah u k + y k = u k + y k u k y k = u k y k

19 b) Jika c adalah suatu konstanta tak nol, maka deret u k dan cu k keduanya konvergenatau keduanya divergen. Jika konvergen, maka jumlah dari deret ini adalah c) Konvergensi atau divergensi tidak dipengaruhi oleh penghapusan sejumlah suku berhingga dari deret tersebut. Jelasnya, untuk sebarang bilangan positif K, deret u k = u 1 + u 2 + u 3 + cu k = c k=k u k u k = u K + u K+1 + u K+2 +

20 keduanya konvergen atau keduanya divergen. Apabila kedua deret tersebut konvergen, maka jumlah dari masing-masing deret tersebut tidak sama. Contoh 4 Tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen. 8! a) k 1 b) k=5 k

21 Penyelesaian: a) 8! k = 8! + 8! 2 + 8! ! k + 1 = 8! k + = 8! k berdasarkan sifat deret pada poin (b), dapat disimpulkan bahwa deret b) k=5 8! 1 1 k = = k k=5 k adalah divergen. merupakan deret yang divergen.

22 Latihan Soal 1. Dapatkan 5 jumlah parsial pertama dari jumlahan parsial ke-n. Kemudian tentukan apakah deret tersebut konvergen atau divergen. Jika konvergen, dapatkan nilainya. 3 a) 7 2k 1 1 b) k 2 +5k+6 c) 1/5 2 1 k

23 Latihan Soal 2. Tentukanlah apakah deret berikut ini konvergen atau divergen. Jika konvergen, dapatkan nilainya. 1 a) ln 3 k+1 b) 3k+3 5 k 2 1 c) 1 k+2 k+3 d) 5 k + 6 k

24 Latihan Soal 3. Dapatkan semua nilai x sedemikian hingga deret-deret berikut ini konvergen. Kemudian dapatkan jumlahnya. a) 1 x x x x x 6 + b)e x + e 2x + e 3x + e 4x + e 5x +