Konsep Fungsi Semikontinu
|
|
- Yenny Rachman
- 5 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 JURNAL FOURIER Oktober 2014, Vol. 3, No. 2, ISSN X Kosep Fugsi Semikotiu Malahayati Program Studi Matematika, Fakultas Sais da Tekologi, UIN Sua Kalijaga, Jl. Marsda Adisucipto No. 1 Yogyakarta, Idoesia Korespodesi; malahayati_01@yahoo.co.id Abstrak Makalah ii membahas kosep dasar da beberapa fugsi semicotiuous, dimulai dega megealka kosep upper limit da lower limit. Kata Kuci: Abstract This paper discusses the basic cocepts ad some of the semicotiuous fuctios, begis by itroducig the cocept of upper limit ad lower limit. Keywords Pedahulua Kosep fugsi semikotiu didefiisika dega memafaatka pegertia limit atas da limit bawah, atau yag biasa dikeal dega limit superior da limit iferior. Kosep fugsi semikotiu bayak dimafaatka oleh peeliti diataraya dalam medefiisika ruag Baire-1 da subruag laiya. Pada paper ii fugsi fugsi yag dibicaraka berilai real da didefiisika pada E, dega E himpua bagia dari ruag metrik X. Sebelumya disepakati terlebih dahulu bahwa setiap pegambila ifimum da supremum dari suatu himpua pada paper ii, himpua yag dimaksud merupaka himpua bagia dari R (real exteded) dega R = R {, }. Dalam medefiisika fugsi semikotiu diperluka kosep limit atas da limit bawah, oleh karea itu, berikut dimulai dega mejelaska kosep limit atas da limit bawah beserta sifat-sifatya. Defiisi 1.1. Diberika fugsi f yag didefiisika pada E da x 0 E. 1) Limit atas (upper limit) fugsi f ketika x medekati x 0 ditulis dega lim f(x) da didefiisika lim f(x) = if {M ε (f, x 0 ): ε > 0}, dega M ε (f, x 0 ) = sup{f(x): x N ε (x 0 ) E}. 2) Limit bawah (lower limit) fugsi f ketika x medekati x 0 ditulis dega lim f(x) da didefiisika dega m ε (f, x 0 ) = if {f(x): x N ε (x 0 ) E}. lim f(x) = sup {m ε (f, x 0 ): ε > 0}, Pada Defiisi 1.1 diatas, ilai limitya selalu ada da dapat berilai berhigga, +, atau. Selajutya aka dibahas sifat-sifat yag terkait dega limit atas da limit bawah JURNAL FOURIER Versi olie via
2 92 Malahayati Lemma 1.2. Diberika fugsi f yag didefiisika pada E da x 0 E. 1) Jika h > lim f(x), maka terdapat ε > 0 sehigga utuk setiap 0 < α ε berlaku lim f(x) M α (f, x 0 ) M ε (f, x 0 ) < h. 2) Jika h < lim f(x), maka terdapat ε > 0 sehigga utuk setiap 0 < δ ε berlaku lim f(x) m δ (f, x 0 ) m ε (f, x 0 ) > h. 3) Jika h < M ε (f, x 0 ) maka terdapat x N ε (x 0 ) E sehigga berlaku h < f(x) M ε (f, x 0 ). 4) Jika h > m ε (f, x 0 ) maka terdapat x N ε (x 0 ) E sehigga berlaku m ε (f, x 0 ) f(x) < h. Bukti: Cukup dibuktika bagia (1) da (2), utuk bagia (3) da (4) bukti dilakuka dega cara serupa. 1) Diketahui h > lim f(x) = if {M ε (f, x 0 ): ε > 0}, berarti terdapat ε > 0 sehigga M ε (f, x 0 ) < h. Selajutya utuk sebarag α, dega 0 < α ε diperoleh N α (x 0 ) E N ε (x 0 ) E. Oleh karea itu, diperoleh sup{f(x): x N α (x 0 ) E} sup{f(x): x N ε (x 0 ) E}. Akibatya, M α (f, x 0 ) M ε (f, x 0 ). Dega kata lai diperoleh lim f(x) M α (f, x 0 ) M ε (f, x 0 ) < h. 2) Diketahui h < lim f(x) = sup {m ε (f, x 0 ): ε > 0}, berarti terdapat ε > 0 sehigga m ε (f, x 0 ) > h. Selajutya utuk sebarag δ, dega 0 < δ ε diperoleh N δ (x 0 ) E N ε (x 0 ) E. Oleh karea itu, diperoleh if {f(x): x N δ (x 0 ) E} if {f(x): x N ε (x 0 ) E}. Akibatya, m δ (f, x 0 ) m ε (f, x 0 ). Dega kata lai diperoleh lim f(x) m δ (f, x 0 ) m ε (f, x 0 ) > h. Lemma 1.3. Diberika fugsi f yag didefiisika pada E da x 0 E. Jika < c < 0 maka berlaku 1) lim cf(x) = c lim f(x) x x 0 2) lim cf(x) = c lim f(x). Selajutya, jika 0 c < maka berlaku 1) lim cf(x) = c lim f(x) 2) lim cf(x) = c lim f(x). JURNAL FOURIER (2014)
3 Kosep Fugsi Semikotiu 93 Bukti: Utuk < c < 0, diperoleh 1) Diambil ε > 0 sebarag, maka diperoleh m ε (cf, x 0 ) = if {cf(x): x N ε (x 0 ) E} = c sup{f(x): x N ε (x 0 ) E} = c M ε (f, x 0 ). Oleh karea itu, diperoleh lim cf(x) = sup {m ε (cf, x 0 ): ε > 0} = sup {c M ε (f, x 0 ): ε > 0} = c if {M ε (f, x 0 ): ε > 0} = c lim f(x). 2) lim cf(x) = c. 1. lim c f(x) = c. lim c. 1 c c Selajutya, utuk 0 c <, diperoleh f(x) = c lim f(x). 3) lim cf(x) = lim ( 1)( c) f(x) = ( 1) lim ( c)f(x) = ( 1)( c) lim f(x) = c lim f(x). 4) lim cf(x) = lim ( 1)( c) f(x) = ( 1) lim ( c)f(x) x x 0 = ( 1)( c) lim f(x) = c lim f(x). Sebelum membahas sifat-sifat limit atas da limit bawah lebih lajut, berikut ii aka didefiisika terlebih dahulu beberapa pegertia agar mudah dalam memahami pembuktia sifat-sifat selajutya. Persekitara di dega jari-jari ε > 0 sembarag, ditulis N ε ( ) da didefiisika N ε ( ) = {x x > 1 ε }. Sedagka persekitara di dega jari-jari ε > 0 sembarag, ditulis N ε ( ) da didefiisika N ε ( ) = {x x < 1 ε }. Selajutya, diberika barisa bilaga {x }. Barisa {x } dikataka koverge apabila terdapat bilaga k sehigga utuk ε > 0 sembarag, terdapat ε > 0 akibatya utuk setiap > ε berlaku x N ε (k). Teorema 1.4. Diberika fugsi f yag didefiisika pada E da x 0 E. 1) Jika h = lim f(x) atau h = lim f(x) maka terdapat barisa {x } di E sehigga {x } koverge ke x 0 da lim f(x ) = h. 2) Jika h > lim f(x) atau h < lim f(x) maka tidak ada barisa {x } di E sehigga {x } koverge ke x 0 da lim f(x ) = h. JURNAL FOURIER (2014)
4 94 Malahayati Bukti: 1) Misalka h = lim f(x). Diambil sembarag x 0 E. Apabila x 0 E\E, maka diperoleh h = lim f(x) = if {M ε (f, x 0 ): ε > 0} = f(x 0 ). Oleh karea itu, terdapat barisa {x } di E dega x = x 0 utuk setiap N, sehigga {x } koverge ke x 0 da lim f(x ) = f(x 0 ) = h. Selajutya, ditijau utuk x 0 E E. Diambil sembarag N. Aka ditujukka terlebih dahulu bahwa terdapat α > 0 dega α 1 sehigga M α (f, x 0 ) N1(h). Apabila h =, maka terdapat α > 0 dega α 1 sehigga berlaku M α (f, x 0 ) lim f(x) = h =. Dega demikia diperoleh M α (f, x 0 ) = da jelas M α (f, x 0 ) N1( ). Apabila h <, maka N1(h) memuat bilaga k sehigga k > h = lim f(x). berdasarka Lemma 1.2 bagia (1), terdapat ε > 0 sehigga utuk setiap 0 < β ε berlaku h M β (f, x 0 ) M ε (f, x 0 ) < k. Dipilih α = mi { 1, ε}, sehigga diperoleh h M α(f, x 0 ) < k. Akibatya M α (f, x 0 ) N1(h). Dega demikia terbukti bahwa terdapat α > 0 dega α 1 sehigga M α (f, x 0 ) N1(h). Selajutya aka ditujukka terdapat x N α (x 0 ) E sehigga berlaku f(x ) N1(M α (f, x 0 )). Apabila M α (f, x 0 ) > maka terdapat bilaga k sehigga < k < M α (f, x 0 ) da k N1 (M α (f, x 0 )). Berdasarka Lemma 1.2 bagia (3), terdapat x N α (x 0 ) E sehigga k < f(x ) M α (f, x 0 ). Dega kata lai diperoleh f(x ) N1(M α (f, x 0 )). Jadi utuk setiap N terdapat 0 < α 1 sehigga terdapat x N α (x 0 ) E. Dega kata lai, terdapat barisa {x } sehigga barisa {x } koverge ke x 0. Selajutya, karea utuk setiap N, f(x ) N1(M α (f, x 0 )) da M α (f, x 0 ) N1(h) maka diperoleh f(x ) N2 (h) utuk 2. Dega kata lai f(x ) h. Utuk kasus h = lim f(x) dapat dibuktika dega cara yag sama. 2) Misalka h > lim f(x). Diambil sembarag x 0 E. Apabila x 0 E\E, maka diperoleh h > lim f(x) = f(x 0 ). Adaika ada barisa {x } di E sehigga {x } koverge ke x 0 da lim f(x ) = h. Dega demikia, barisa yag koverge ke x 0 haya barisa {x } dega x = x 0 utuk setiap. Oleh karea itu diperoleh lim f(x ) = f(x 0 ) < h. Kotradiksi dega lim f(x ) = h. Berarti tidak ada barisa {x } di E dega {x } koverge ke x 0 da lim f(x ) = h. Selajutya, ditijau utuk x 0 E E. Adaika ada barisa {x } di E sehigga {x } koverge ke x 0 da lim f(x ) = h. Karea h > lim f(x) maka ada bilaga k sehigga JURNAL FOURIER (2014)
5 Kosep Fugsi Semikotiu 95 h > k > lim f(x). (1) Karea lim f(x ) = h > k maka terdapat N N sehigga f(x ) > k utuk setiap N. Oleh karea itu, utuk sembarag ε > 0, N ε (x 0 ) E memuat tak higga bayak titik-titik x di E sehigga f(x ) > k. Berarti utuk sembarag ε > 0, diperoleh M ε (f, x 0 ) = sup{f(x): x N ε (x 0 ) E} > k. Sehigga berlaku lim f(x) k. Kotradiksi dega peryataa (1.1). Jadi tidak ada barisa {x } di E dega {x } koverge ke x 0 da lim f(x ) = h. Utuk kasus h < lim f(x) dapat dibuktika dega cara yag sama. Selajutya diberika suatu akibat dari Teorema 1.4, yag meyataka bahwa ilai limit bawah dari sembarag fugsi lebih kecil atau sama dega ilai limit atasya. Akibat 1.5. Diberika fugsi f yag didefiisika pada E da x 0 E maka berlaku lim f(x) lim f(x). Bukti: Namaka h = lim f(x), maka berdasarka Teorema 1.4 bagia (1) terdapat barisa {x } di E dega sifat x x 0 sehigga f(x ) h. (1.2) Aka dibuktika h lim f(x). Adaika h < lim f(x), maka berdasarka Teorema 1.4 bagia (2), tidak ada barisa {x } di E sehigga x x 0 da f(x ) h. Kotradiksi dega peryataa (1.2). Jadi terbukti lim f(x) lim f(x). Teorema berikut meyataka hubuga limit atas da limit bawah. Apabila diperoleh ilai limit atas da limit bawah sama maka dikataka ilai limitya ada. Teorema 1.6. Diberika fugsi f yag didefiisika pada E da x 0 titik limit E. Jika lim f(x) = lim f(x) = k maka lim f(x) = k. x x 0 Bukti: Diketahui lim f(x) = lim f(x) = k. Diambil ε > 0 sembarag. Berdasarka Lemma 1.2 terdapat α, β > 0 sehigga berlaku k ε < m α (f, x 0 ) k M β (f, x 0 ) < k + ε. Selajutya dipilih 0 < γ < mi{α, β}, sehigga diperoleh Oleh karea itu, diperoleh k ε < m α (f, x 0 ) m γ (f, x 0 ) k M γ (f, x 0 ) M β (f, x 0 ) < k + ε. k ε < m γ (f, x 0 ) M γ (f, x 0 ) < k + ε. Jadi, utuk sembarag ε > 0 terdapat γ > 0, sehigga apabila x N γ (x 0 ) E berlaku f(x) N ε (k). Dega kata lai diperoleh lim f(x) = k. JURNAL FOURIER (2014)
6 96 Malahayati Lemma 1.7. Diberika fugsi f yag didefiisika pada (a, b), dega a < b. 1) Jika fugsi f aik mooto pada (a, b) maka f(x) = if{f(x): x (a, b)}. lim x a 2) Jika fugsi f turu mooto pada (a, b) maka f(x) = sup{f(x): x (a, b)}. lim x a Megguaka Lemma 1.7 dapat ditujukka teorema berikut ii. Teorema 1.8. Diberika fugsi f yag didefiisika pada E da x 0 E, maka berlaku 1) lim f(x) = if {M ε (f, x 0 ): ε > 0} = lim M ε (f, x 0 ) ε 0. 2) lim f(x) = sup {m ε (f, x 0 ): ε > 0} = lim m ε (f, x 0 ). x x ε 0 0 Bukti: Diberika ε 1, ε 2 > 0 sembarag, dega ε 1 < ε 2 maka diperoleh M ε1 (f, x 0 ) M ε2 (f, x 0 ) da m ε1 (f, x 0 ) m ε2 (f, x 0 ). Dega kata lai, fugsi g(ε) = M ε (f, x 0 ) aik mooto pada (0, ) da fugsi h(ε) = m ε (f, x 0 ) turu mooto pada (0, ). Berdasarka Lemma 1.7 diperoleh 1) lim M ε (f, x 0 ) = lim g(ε) = if {g(ε): 0 < ε < } ε 0 ε 0 = if {M ε (f, x 0 ): 0 < ε < } = lim f(x). 2) lim m ε (f, x 0 ) = lim h(ε) = sup {h(ε): 0 < ε < } ε 0 ε 0 = sup {m ε (f, x 0 ): 0 < ε < } = lim f(x). Teorema 1.9. Diberika fugsi-fugsi f, g da f + g yag didefiisika pada E da x 0 E, maka berlaku 1) lim (f(x) + g(x)) lim f(x) + lim g(x). 2) lim (f(x) + g(x)) lim f(x) + lim g(x). Fugsi Semikotiu Fugsi semikotiu erat kaitaya dega fugsi kotiu, oleh sebab itu berikut diberika terlebih dahulu pegertia fugsi kotiu. Defiisi 2.1. Diberika ruag metrik (X, d) da fugsi f yag didefiisika pada X. Fugsi f dikataka kotiu di x 0 X jika utuk setiap bilaga ε > 0 terdapat δ > 0 sehigga utuk setiap x X dega d(x, x 0 ) < δ berlaku f(x) N ε (f(x 0 )). Selajutya, f dikataka kotiu pada X jika f kotiu disetiap titik x X. Setelah diperkealka kosep limit atas da limit bawah, berikut diberika defiisi fugsi semikotiu. Defiisi 2.2. Diberika fugsi f yag didefiisika pada E da x 0 E. 1) Fugsi f dikataka semikotiu atas (upper semicotiuous) di x 0 apabila f(x 0 ) = lim f(x). Selajutya, fugsi f dikataka semikotiu atas pada E apabila fugsi f semikotiu atas disetiap x 0 E. JURNAL FOURIER (2014)
7 Kosep Fugsi Semikotiu 97 2) Fugsi f dikataka semikotiu bawah (lower semicotiuous) di x 0 apabila f(x 0 ) = lim f(x). Selajutya, fugsi f dikataka semikotiu bawah pada E apabila fugsi f semikotiu bawah disetiap x 0 E. 3) Fugsi yag semikotiu atas atau semikotiu bawah diamaka fugsi semikotiu. Teorema 2.3. Diberika fugsi f yag didefiisika pada E. Fugsi f kotiu pada E jika da haya jika fugsi f semikotiu atas da semikotiu bawah pada E. Bukti: Diambil sembarag x 0 E. Apabila x 0 E\E maka berdasarka Defiisi 1.6 da Defiisi 2.2 jelas peryataa berlaku. Selajutya, ditijau utuk x 0 E E. (Syarat perlu). Diketahui fugsi f kotiu pada E, maka fugsi f kotiu di x 0, berarti berlaku f(x 0 ) = lim f(x). Utuk sembarag ε > 0 berlaku Oleh karea itu diperoleh M ε (f, x 0 ) = sup{f(x): x N ε (x 0 ) E} f(x 0 ). lim f(x) = if{m ε (f, x 0 ): ε > 0} f(x 0 ). Selajutya, diambil sembarag γ > 0. Karea f(x 0 ) = lim f(x) maka terdapat ε > 0 sehigga utuk setiap x N ε (x 0 ) E berlaku f(x) < f(x 0 ) + γ. Akibatya, diperoleh 2 Oleh karea itu diperoleh M ε (f, x 0 ) = sup{f(x): x N ε (x 0 ) E} f(x 0 ) + γ 2 < f(x 0) + γ. lim f(x) = if{m ε (f, x 0 ): ε > 0} M ε (f, x 0 ) < f(x 0 ) + γ, utuk sembarag γ > 0. Karea utuk γ > 0 sembarag selalu berlaku 0 lim f(x) f(x 0 ) < γ, maka diperoleh lim f(x) = f(x 0 ). Dega cara yag sama dapat diperoleh lim f(x) = f(x 0 ). Dega kata lai, fugsi f semikotiu atas da semikotiu bawah pada E. (Syarat cukup). Diketahui fugsi f semikotiu atas da semikotiu bawah pada E, maka fugsi f semikotiu atas da semikotiu bawah di x 0. Oleh karea itu diperoleh lim f(x) = lim f(x) = f(x 0 ). Berdasarka Teorema 1.6 diperoleh f(x 0 ) = lim f(x). Dega kata lai, fugsi f kotiu di x 0. Jadi terbukti fugsi f kotiu pada E. Selajutya aka dibahas sifat-sifat fugsi semikotiu yag sagat diperluka dalam pembahasa pada bab-bab selajutya. Lemma 2.4. Diberika fugsi fugsi f da g yag didefiisika pada E, dega f fugsi semikotiu bawah pada E da g fugsi semikotiu atas pada E. 1) Jika < c < 0 maka cf fugsi semikotiu atas pada E da cg fugsi semikotiu bawah pada E. JURNAL FOURIER (2014)
8 98 Malahayati 2) Jika 0 c < maka cf fugsi semikotiu bawah pada E da cg fugsi semikotiu atas pada E. Bukti: Diambil sembarag x 0 E. Apabila x 0 E\E maka berdasarka Lemma 1.3 peryataa (1) da (2) berlaku. Selajutya, ditijau utuk x 0 E E. 1) Diambil sembarag bilaga c, dega < c < 0. Diketahui fugsi f semikotiu bawah pada E, berarti fugsi f semikotiu bawah di x 0, sehigga diperoleh lim f(x) = f(x 0 ). Karea < c < 0 maka diperoleh cf(x 0 ) = c lim f(x) = lim cf(x) x x 0 Dega kata lai, cf fugsi semikotiu atas di x 0. Oleh karea itu, cf fugsi semikotiu atas pada E. Disisi lai, diketahui g fugsi semikotiu atas pada E, berarti g fugsi semikotiu atas di x 0. Sehigga diperoleh Karea < c < 0, maka diperoleh lim g(x) = g(x 0 ). lim cg(x) = c lim g(x) = cg(x 0 ).e x x 0 Dega kata lai cg fugsi semikotiu bawah di x 0. Oleh karea itu, cg fugsi semikotiu bawah pada E. 2) Diambil sembarag bilaga c, dega 0 c <. Diketahui f fugsi semikotiu bawah pada E, berarti f fugsi semikotiu bawah di x 0. Berdasarka peryataa 1, diperoleh cf fugsi semikotiu atas di x 0, sehigga diperoleh ( 1)( cf) fugsi semikotiu bawah di x 0. Dega kata lai, cf fugsi semikotiu bawah di x 0. Oleh karea itu, cf fugsi semikotiu bawah pada E. Disisi lai, diketahui g fugsi semikotiu atas pada E, berarti g fugsi semikotiu atas di x 0. Oleh karea itu, cg fugsi semikotiu bawah di x 0, sehigga ( 1)( cg) fugsi semikotiu atas di x 0. Dega kata lai, cg fugsi semikotiu atas di x 0. Jadi, cg fugsi semikotiu atas pada E. Teorema 2.5. Diberika fugsi f yag didefiisika pada E da x 0 E. 1) Fugsi f semikotiu bawah di x 0 jika da haya jika utuk setiap bilaga h, dega h < f(x 0 ) terdapat bilaga ε > 0 sehigga f(x) > h utuk setiap x N ε (x 0 ) E. 2) Fugsi f semikotiu atas di x 0 jika da haya jika utuk setiap bilaga h, dega h > f(x 0 ) terdapat bilaga ε > 0 sehigga f(x) < h utuk setiap x N ε (x 0 ) E. Bukti: Cukup dibuktika bagia (1), utuk bagia (2) bukti dilakuka dega cara serupa. Diambil sembarag x 0 E. Utuk x 0 E\E diambil sembarag bilaga h, dega h < f(x 0 ). Terdapat ε > 0 sehigga N ε (x 0 ) E = {x 0 }. Akibatya diperoleh f(x) > h utuk setiap x N ε (x 0 ) E. Sebalikya, berdasarka Defiisi 2.2 jelas fugsi f semikotiu bawah di x 0. Selajutya ditijau utuk x 0 E E. (Syarat perlu). Diambil sembarag bilaga h, dega h < f(x 0 ). Karea fugsi f semikotiu bawah di x 0, maka lim f(x) = f(x 0 ) sehigga diperoleh lim f(x) > h. Berdasarka Lemma 1.2 bagia (1), maka terdapat ε > 0 sehigga m ε (f, x 0 ) > h. Oleh karea itu, diperoleh JURNAL FOURIER (2014)
9 Akibatya f(x) > h, utuk setiap x N ε (x 0 ) E. m ε (f, x 0 ) = if{f(x): x N ε (x 0 ) E} > h. Kosep Fugsi Semikotiu 99 (Syarat cukup). Diberika sembarag bilaga h, dega f(x 0 ) > h. Berdasarka hipotesa, ada bilaga ε > 0 sehigga f(x) > h, utuk setiap x N ε (x 0 ) E. Oleh karea itu, berlaku Akibatya diperoleh m ε (f, x 0 ) = if{f(x): x N ε (x 0 ) E} h. lim f(x) = sup{m ε (f, x 0 ): ε > 0} m ε (f, x 0 ) h. Karea lim f(x) h, utuk setiap h < f(x 0 ), maka lim f(x) f(x 0 ). Sebalikya, karea utuk sembarag ε > 0 berlaku f(x 0 ) m ε (f, x 0 ) = if{f(x): x N ε (x 0 ) E}, maka diperoleh f(x 0 ) sup{m ε (f, x 0 ): ε > 0} = lim f(x). Jadi terbukti lim f(x) = f(x 0 ). Dega kata lai fugsi f semikotiu bawah di x 0. Dega memafaatka teorema sebelumya, berikut ii diberika syarat perlu da cukup utuk fugsi semikotiu bawah da semikotiu atas. Teorema 2.6. Diberika fugsi f yag didefiisika pada E. 1) Fugsi f semikotiu bawah pada E jika da haya jika utuk setiap h R {x E: f(x) > h} merupaka himpua terbuka. 2) Fugsi f semikotiu atas pada E jika da haya jika utuk setiap l R {x E: f(x) < l} merupaka himpua terbuka. Bukti: Cukup dibuktika bagia (1), utuk bagia (2) bukti dilakuka dega cara serupa. (Syarat perlu). Diambil sembarag h R. Namaka A = {x E: f(x) > h}, aka dibuktika A terbuka. Diambil sembarag c titik limit A c da α R dega α < f(c). Berdasarka Teorema 2.5 bagia (1), terdapat ε > 0 sehigga berlaku f(x) > α utuk setiap x N ε (c) E. Selajutya, karea c titik limit A c, maka terdapat z N ε (c) A c \{c} sehigga α < f(z) h. Karea h > α utuk setiap α < f(c), maka diperoleh f(c) h. Dega kata lai, c A c. Oleh karea itu A c tertutup. Jadi terbukti A terbuka. (Syarat cukup). Diambil sembarag c E da bilaga h, dega h < f(c). Namaka A = {x E: f(x) > h}. Berdasarka hipotesa himpua A c tertutup. Karea A c tertutup da tidak memuat titik c, berarti c buka titik limit A c. Oleh karea itu, terdapat bilaga δ > 0 sehigga f(x) > h utuk setiap x N δ (c) E. Berdasarka Teorema 2.5 diperoleh fugsi f semikotiu bawah di c. Karea berlaku utuk sembarag c E maka fugsi f semikotiu bawah pada E. Teorema 2.7. Diberika fugsi f yag terbatas pada ruag metrik (E, d). Fugsi f semikotiu bawah pada E jika da haya jika terdapat barisa aik mooto fugsi fugsi kotiu {f } pada E sehigga {f } koverge titik demi titik ke f pada E. JURNAL FOURIER (2014)
10 100 Malahayati Bukti: (Syarat perlu). Utuk setiap N, didefiisika f : E R, dega f (x) = if{f(t) + d(x, t): t E}. Aka ditujukka {f } aik mooto. Utuk setiap N, berlaku f(t) + d(x, t) f(t) + ( + 1) d(x, t), utuk setiap x, t E. Oleh karea itu, diperoleh f (x) f +1 (x), utuk setiap N. Dega kata lai barisa {f } aik mooto. Selajutya aka dibuktika utuk setiap N, f kotiu pada E. Diambil sembarag x, y E, diperoleh f (x) = if{f(t) + d(x, t) t E} if{f(t) + d(y, t) + d(x, y) t E} = if{f(t) + d(y, t): t E} + d(x, y) = f (y) + d(x, y). Dega kata lai, diperoleh Dega cara yag sama, diperoleh Oleh karea itu, berdasarka (2) da (3) diperoleh f (x) f (y) d(x, y) (2) f (y) f (x) d(x, y) (3) f (y) f (x) d(x, y). Selajutya, diberika ε > 0 sembarag, dipilih δ = ε +1 sehigga utuk setiap x, y E dega d(x, y) < δ, berlaku f (y) f (x) d(x, y) < δ < ε. Dega kata lai, terbukti bahwa f kotiu pada E. Selajutya aka dibuktika lim f (x) = f(x), utuk setiap x E. Karea fugsi f terbatas pada E maka f terbatas kebawah pada E. Oleh karea itu terdapat bilaga M, sehigga M f(x) utuk setiap x E. Diambil sembarag x 0 E, maka utuk setiap N berlaku f (x 0 ) = if{f(t) + d(x 0, t) t E}. Oleh karea itu, diperoleh f (x 0 ) f(x 0 ) + d(x 0, x 0 ) = f(x 0 ). Akibatya, lim f (x 0 ) f(x 0 ). (4) Sebalikya, diambil sembarag bilaga h, dega h < f(x 0 ). Berdasarka Teorema 2.5, terdapat bilaga ε > 0 sehigga f(x) > h, utuk setiap x N ε (x 0 ) E. Karea h, M, ε R maka h M R, meurut Archimedes terdapat 0 N sehigga 0 > h M. Dega kata lai, terdapat 0 N sehigga M + ε 0 > h. Utuk setiap bilaga > 0, apabila t N ε (x 0 ) E, maka berlaku ε ε JURNAL FOURIER (2014)
11 Kosep Fugsi Semikotiu 101 f (x 0 ) = if{f(t) + d(x 0, t) t N ε (x 0 ) E} if{f(t) t N ε (x 0 ) E} h. Sedagka utuk ilai-ilai t yag lai, f (x 0 ) = if{f(t) + d(x 0, t) t E\N ε (x 0 )} if{m + ε t E\N ε (x 0 )} = M + ε > M + ε 0 > h. Dega demikia, utuk setiap > 0, karea f (x 0 ) h utuk setiap h < f(x 0 ) maka diperoleh f (x 0 ) f(x 0 ). Oleh karea itu, diperoleh lim f (x 0 ) f(x 0 ). (5) Berdasarka (4) da (5) diperoleh lim f (x 0 ) = f(x 0 ). (Syarat cukup). Diambil sembarag α R. Aka dibuktika bahwa himpua {x E: f(x) > α} terbuka. Aka ditujukka terlebih dahulu bahwa {x E: f(x) > α} = {x E: f (x) > α} =1. Diambil sembarag x {x E: f(x) > α}, maka berlaku f(x) > α. Adaika f (x) α, utuk setiap N, maka berlaku, f (x) α < f(x). Karea f(x) > α maka f(x) α > 0. Oleh karea itu, diambil ε = 1 (f(x) α) > 0. Utuk setiap N, diperoleh 2 f (x) f(x) f(x) α = f(x) α > 1 (f(x) α) = ε. 2 Kotradiksi dega {f } koverge titik demi titik ke f. Jadi f (x) > α, utuk suatu N. Dega kata lai, terbukti x =1 {x E: f (x) > α}. Sebalikya, diambil sembarag x =1 {x E: f (x) > α}, maka terdapat N N sehigga f N (x) > α. Adaika f(x) α, maka diperoleh f N (x) > α f(x). Karea barisa {f } aik mooto, maka f m f N, utuk setiap m > N. Diambil ε = 1 2 (f N(x) f(x)) > 0. Karea f(x) < f N (x) f m (x), utuk setiap m > N, maka diperoleh f m (x) f(x) f N (x) f(x) ε. Kotradiksi dega {f } koverge titik demi titik ke f. Jadi f(x) > α. Oleh karea itu diperoleh {x E: f(x) > α} = =1 {x E: f (x) > α}. Karea himpua {x E: f (x) > α} terbuka, maka =1 {x E: f (x) > α} terbuka. Akibatya himpua {x E: f(x) > α} terbuka. Berdasarka Teorema maka terbukti fugsi f semikotiu bawah pada E. Sebelum membahas teorema berikutya, aka didefiisika terlebih dahulu limit atas da limit bawah barisa bilaga real. Diberika barisa bilaga real {x }. Limit atas (upper limit) barisa {x } dituliska dega lim x da didefiisika JURNAL FOURIER (2014)
12 102 Malahayati lim x = if sup{x k k }. Sedagka, limit bawah (lower limit) barisa {x } dituliska dega lim x da didefiisika lim x = sup if{x k : k }. Teorema 2.8. Diberika fugsi f yag didefiisika pada E. 1) Fugsi f semikotiu bawah pada E jika da haya jika utuk setiap x E da setiap barisa {x } di E yag koverge ke x berakibat lim f(x ) f(x). 2) Fugsi f semikotiu atas pada E jika da haya jika utuk setiap x E da setiap barisa {x } di E yag koverge ke x berakibat lim f(x ) f(x). Bukti: Cukup dibuktika bagia (1), utuk bagia (2) bukti dilakuka dega cara yag sama. (Syarat perlu). Diambil sembarag x E da barisa {x } di E dega {x } koverge ke x. Aka dibuktika f(x ) f(x). Diambil sembarag bilaga b sehigga f(x) > b. Dibetuk V = {y: f(y) > b}. lim Karea fugsi f semikotiu bawah, maka berdasarka Teorema 2.6 bagia (1) diperoleh V merupaka himpua terbuka da jelas x V. Selajutya, karea x V, dega V terbuka da barisa {x } koverge ke x, maka terdapat 0 N sehigga utuk setiap 0 diperoleh x V. Oleh karea itu, f(x ) > b. Akibatya, diperoleh lim f(x ) f(x). f(x ) b. Karea lim f(x ) b utuk sembarag b < f(x), maka diperoleh lim (Syarat cukup). Diambil sembarag a R. Namaka W = {x: f(x) > a}, aka dibuktika W terbuka. Diambil sebarag barisa c titik limit W c, maka terdapat barisa {x } W c dega {x } koverge ke c. Oleh karea itu, diperoleh f(x ) a utuk setiap. Akibatya, lim f(x ) a. Selajutya, berdasarka hipotesa, diperoleh f(c) lim berarti f(x ) a. Dega demikia diperoleh f(c) a, yag c W c. Dega kata lai W terbuka. Jadi terbukti f fugsi semikotiu bawah pada E. Teorema 2.9. Diberika fugsi-fugsi f da g yag didefiisika pada E. 1) Jika fugsi-fugsi f da g semikotiu atas pada E maka f + g juga fugsi semikotiu atas pada E. 2) Jika fugsi f da g semikotiu bawah pada E maka f + g juga semikotiu bawah pada E. Bukti: Cukup dibuktika bagia (1), utuk bagia (2) bukti dilakuka dega cara yag sama. Diambil sembarag x 0 E. Diketahui fugsi-fugsi f da g semikotiu atas pada E, maka fugsi-fugsi f da g semikotiu atas di x 0. Sehigga berlaku f(x 0 ) = lim f(x) da g(x 0 ) = lim g(x). Oleh karea itu, diperoleh f(x 0 ) + g(x 0 ) = lim f(x) + lim g(x) lim (f + g)(x). Sebalikya, karea utuk sembarag ε > 0 berlaku M ε ((f + g), x 0 ) = sup{(f + g)(x): x N ε (x 0 ) E} f(x 0 ) + g(x 0 ), JURNAL FOURIER (2014)
13 Kosep Fugsi Semikotiu 103 maka, diperoleh lim (f + g)(x) = if{m ε ((f + g), x 0 ): ε > 0} f(x 0 ) + g(x 0 ). Dega demikia diperoleh f(x 0 ) + g(x 0 ) = lim (f + g)(x). Dega kata lai, terbukti f + g fugsi semikotiu atas pada E. Teorema Diberika fugsi-fugsi f da g yag didefiisika pada E. Jika fugsi-fugsi f da g oegatif da semikotiu bawah pada E maka f. g juga fugsi semikotiu bawah pada E. Selajutya aka diberika defiisi fugsi evelope semikotiu atas da fugsi evelope semikotiu bawah dega megguaka kosep limit atas da limit bawah seperti yag telah dibahas sebelumya. Defiisi Diberika fugsi f yag didefiisika pada E. 1) Fugsi evelope semikotiu atas dari f (upper semicotiuous evelope) ditulis dega Uf, da didefiisika Uf(x ) = lim f(y), y x utuk setiap x E. 2) Fugsi evelope semikotiu bawah dari f (lower semicotiuous evelope) ditulis dega Lf, da didefiisika Lf(x) = limf(y), y x utuk setiap x E. Selajutya aka dibahas beberapa sifat fugsi evelope semikotiu atas da semikotiu bawah, yag aka diguaka pada bab-bab berikutya. Lemma Diberika fugsi-fugsi f da g yag didefiisika pada E, maka berlaku 1) f Uf 2) Lf f 3) Jika f g maka Uf Ug. 4) U(f + g) Uf + Ug. 5) Uf = f jika da haya jika fugsi f semikotiu atas pada E. Lemma Diberika fugsi-fugsi f da g yag didefiisika pada E, maka berlaku U(f Ug) = U(Uf Ug) U(f g). Bukti: Berdasarka Teorema 1.9 bagia (1), diperoleh Uf Ug U(f g). Oleh karea itu, diperoleh Selajutya, karea f Ug Uf Ug, maka diperoleh U(Uf Ug) U(f g). (6) U(f Ug) U(Uf Ug). (7) Disisi lai, karea Uf Ug = Uf U(Ug) U(f Ug), maka diperoleh U(Uf Ug) U(f Ug). (8) JURNAL FOURIER (2014)
14 104 Malahayati Berdasarka (6), (7), da (8) terbukti bahwa U(f Ug) = U(Uf Ug) U(f g). Lemma Diberika fugsi f yag didefiisika pada E. Jika fugsi f o egatif da terbatas pada E maka berlaku Uf = f. Bukti: Diambil sebarag x E. Karea Uf(x) f(x) da fugsi f o egatif maka berlaku Oleh karea itu, diperoleh Uf(x) f(x). Uf f. Sebalikya, diambil ε > 0 sembarag. Karea N ε (x) E E, maka berlaku M ε (f, x) = sup{f(y): y N ε (x) E} sup{f(y): y E}. Oleh karea itu, diperoleh Uf(x) f. Akibatya diperoleh Uf f. Dega demikia terbukti bahwa Uf = f. Kesimpula Pedefiisia fugsi semikotiu megguaka kosep limit atas da limit bawah. Pembuktia sifatsifat fugsi semikotiu bayak memafaatka sifat limit atas da limit bawah, oleh karea itu petig terlebih dahulu memahami kosep da sifat-sifat limit atas da limit bawah. Referesi [1] Ash, R.B., 2007, Real Variables with Basic Metric Space Topology, Departmet of Mathematics Uiversity of Illiois at Urbaa-Champaig. [2] Dugudji, J., 1966, Topology, Ally ad Baco, Ic., Bosto. [3] Farmaki, V., 1996, O Baire- 1 4 Fuctios, Tras. Amer. Math. Soc, 348, 10. [4] Gordo, R. A., 1994, The Itegral of Lebesgue, Dejoy, Perro ad Hestock, America Mathematical Society, USA. [5] Haydo, R., Odell, E. da Rosethal, H.P., 1991, O Certai Classes of Baire-1 Fuctios with Applicatios to Baach Space Theory, Lecture Notes i Math., 1470, Spriger, New York. [6] Kreyszig, E., 1978, Itroductory Fuctioal Aalysis with Applicatios, Joh Wiley ad Sos, Ic., Caada [7] McShae, E.J., 1944, Itegratio, Priceto Uiversity Press, Priceto. [8] Rosethal, H.P., 1994, A Characterizatio of Baach Spaces Cotaiig C0, J. Amer. Math. Soc, 7, 3, [9] Rosethal, H.P., 1994, Differeces of Bouded Semi-Cotiuous Fuctios I, 20 Jui 1994, diakses pada taggal 27 Agustus [10] Royde, H.L., 1989, Real Aalysis, Macmilla Publishig Compay, New York. JURNAL FOURIER (2014)
PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA B 1/4 (K) Malahayati
Jural Matematika Muri da Terapa εpsilo Vol. 07, No.01, (2013), Hal. 33 44 PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA B 1/4 (K) Malahayati Program Studi Matematika Fakultas Sais da Tekologi UIN Sua Kalijaga Yogyakarta
Lebih terperinciPEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA D(K)
JMP : Volume 4 Nomor 1, Jui 2012, hal. 41-50 PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA D(K) Malahayati Program Studi Matematia Faultas Sais da Teologi UIN Sua Kalijaga malahayati_01@yahoo.co.id ABSTRACT. I this
Lebih terperinciSIFAT ALJABAR BANACH KOMUTATIF DAN ELEMEN IDENTITAS PADA
SIFAT ALJABAR BANACH KOMUTATIF DAN ELEMEN IDENTITAS PADA KELAS D(K) Malahayati Program Studi Matematia Faultas Sais da Teologi UIN Sua Kalijaga Yogyaarta e-mail: malahayati_01@yahoo.co.id ABSTRAK Himpua
Lebih terperinciInfinityJurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 2, No.1, Februari 2013
IfiityJural Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.1, Februari 2013 KEKONTINUAN FUNGSI PADA RUANG METRIK Oleh: Cece Kustiawa Jurusa Pedidika Matematika FPMIPA UPI, cecekustiawa@yahoo.com
Lebih terperinciFOURIER Oktober 2014, Vol. 3, No. 2, KONSEP FUNGSI SEMIKONTINU. Malahayati 1
FOURIER Oktober 2014, Vol. 3, No. 2, 117 132 KONSEP FUNGSI SEMIKONTINU Malahayati 1 1 Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Jl. Marsda Adisucipto No. 1 Yogyakarta 55281
Lebih terperinciHALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b.
Didowload dari ririez.blog.us.ac.id HALAMAN 36 37 5. Dega defiisi limit barisa buktika limit berikut ii : a. lim = 0 lim 1 2 + 3 = 0 > 0 h 1 = 2 + 3 0 = 1 2 + 3 1 2 1 2 1 2 < jadi terbukti bahwa lim =
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT
Jural Matematika UNAND Vol. 4 No. 1 Hal. 12 22 ISSN : 2303 2910 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT ENIVA RAMADANI
Lebih terperinciKEKONVERGENAN BARISAN DI DALAM RUANG
KEKONVERGENAN BARISAN DI DALAM RUANG FUNGSI KONTINU C[a, b] Firdaus Ubaidillah 1, Soepara Darmawijaya, Ch. Rii Idrati 1 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Gadjah Mada Yogyakarta e-mail: irdaus_u@yahoo.com
Lebih terperinciLIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n
LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara
Lebih terperinciMariatul Kiftiah. JurusanMatematika FMIPA Universitas Tanjungpura, Pontianak Jl. A Yani Pontianak ABSTRACT
Prosidig Semirata2015 bidag MIPA BKS-PTN Barat Uiversitas Tajugpura Potiaak EKSISTENSI DAN KETUNGGALAN TITIK TETAP DARI PEMETAAN KANNAN DI RUANG MODULAR (THE EXISTENCE AND UNIQUENESS OF A FIXED POINT FOR
Lebih terperinciTEOREMA WEYL UNTUK OPERATOR HYPONORMAL
Jural UJMC, Volume 3, Nomor, Hal. - 6 pissn : 460-3333 eissn : 579-907X TEOREMA WEYL UNTUK OPERATOR HYPONORMAL Guawa Uiversitas Muhammadiyah Purwokerto, gu.oge@gmail.com Abstract This paper aims at describig
Lebih terperinciBab 2. Sistem Bilangan Real Aksioma Bilangan Real Misalkan adalah himpunan bilangan real, P himpunan bilangan positif dan fungsi + dan.
Bab Sistem Bilaga Real.. Aksioma Bilaga Real Misalka adalah himpua bilaga real, P himpua bilaga positif da fugsi + da. dari ke da asumsika memeuhi aksioma-aksioma berikut: Aksioma Lapaga Utuk semua bilaga
Lebih terperinciSecara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real:
BARISAN TAK HINGGA Secara umum, suatu barisa dapat diyataka sebagai susua terurut dari bilaga-bilaga real: u 1, u 2, u 3, Barisa tak higga merupaka suatu fugsi dega domai berupa himpua bilaga bulat positif
Lebih terperinciBAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada
8 BAB III RUANG HAUSDORFF Pada bab ii aka dibahas megeai ruag Hausdorff, kekompaka pada ruag Hausdorff da ruag regular legkap. Pembahasa diawali dega medefiisika Ruag Hausdorff da beberapa sifatya kemudia
Lebih terperinciI. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT
I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da
Lebih terperinciHendra Gunawan. 12 Februari 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg
Lebih terperinciTUGAS ANALISIS REAL LANJUT. a b < a + A. b + B < A B.
TUGAS ANALISIS REAL LANJUT NOVEMBER 207 () (a) Jika b > 0, B > 0, da a b < A, buktika ab < ba. Kemudia buktika B a b < a + A b + B < A B. (b) Buktika [ 2 (a + b)] 2 2 (a2 + b 2 ). Kemudia tujukka bahwa
Lebih terperinciJurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 4 No.2 Desember 2010: 1-13 TEOREMA TITIK TETAP BANACH PADA RUANG METRIK-D
Jural Mateatika Muri da Terapa Vol 4 No Deseber : - 3 TEOREMA TITIK TETAP BANACH PADA RUANG METRIK-D Muhaad Ahsar Kari, Dewi Sri Susati, da Nurul Huda Progra Studi Mateatika Uiversitas Labug Magkurat Jl
Lebih terperinciHUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN
Jural Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 0 6 ISSN : 2303 290 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND HUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN VIRA AGUSTA, DODI
Lebih terperinciProgram Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret
Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut
Lebih terperinci,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : REGULER Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa,
Lebih terperinciJurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 6 No.1 Juni 2012: 9-16 KRITERIA KEKONVERGENAN CAUCHY PADA RUANG METRIK KABUR INTUITIONISTIC
Jural Matematika Muri da Teraa Vol. 6 No.1 Jui 01: 9-16 KRITERIA KEKONVERGENAN CAUCHY PADA RUANG METRIK KABUR INTUITIONISTIC Muhammad Ahsar Karim 1 Faisal Yui Yulida 3 [1,,3] PS Matematika FMIPA Uiversitas
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)
BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT FUNGSI YANG TERINTEGRAL MCSHANE DALAM RUANG EUCLIDE BERDIMENSI N UNTUK FUNGSI-FUNGSI BERNILAI BANACH
βeta p-issn: 2085-5893 / e-issn: 2541-0458 http://juralbeta.ac.id Vol. 5 No. 1 (Mei) 2012, Hal. 21-29 βeta 2012 SIFAT-SIFAT FUNGSI YANG TRINTGRAL MCSHAN DALAM RUANG UCLID BRDIMNSI N UNTUK FUNGSI-FUNGSI
Lebih terperinciJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 71-76, Agustus 2003, ISSN :
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 71-76, Agustus 2003, ISSN : 1410-8518 SYARAT CUKUP AGAR SUATU FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCK MUTLAK DI DALAM RUANG METRIK KOMPAK LOKAL Mauharawati Jurusa Matematika
Lebih terperinciFOURIER Juni 2014, Vol. 3, No. 1, TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG QUASI METRIK TERASING TANPA MENGGUNAKAN SIFAT KEKONTINUAN FUNGSI
FOURIER Jui 04, Vol. 3, No., 4 6 TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG QUASI METRIK TERASING TANPA MENGGUNAKAN SIFAT KEKONTINUAN FUNGSI Malahayati, Mutia Utami, Program Studi Matematika Fakultas Sais da tekologi
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET
Pertemua 7. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuaku Tambusai Bagkiag 5. da kekovergeaya 5. DERET Diberika sebuah barisa a, dapat didefeisika barisa bilaga real S N dega S N := N a = a + a 2 +...
Lebih terperinciANALISIS REAL I PENGANTAR. (Introduction to Real Analysis I) M. Zaki Riyanto, S.Si DIKTAT KULIAH ANALISIS
DIKTAT KULIAH ANALISIS PENGANTAR ANALISIS REAL I (Itroductio to Real Aalysis I) M Zaki Riyato, SSi e-mail: zaki@mailugmacid http://zakimathwebid COPYRIGHT 008-009 Pegatar Aalisis Real I HALAMAN PERSEMBAHAN
Lebih terperinciPENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR
PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember
Lebih terperinciHomomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus
Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus A 14 Oleh : Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA UNY Abstrak Kosep homorfisma telah bayak dibahas pada beberapa struktur aljabar yaitu pada ruag vektor
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,
Lebih terperinciPENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR
PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember
Lebih terperinciDefinisi Integral Tentu
Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.
Lebih terperinci2 BARISAN BILANGAN REAL
2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu
Lebih terperinciPEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG b-metrik CONE R BERNILAI R 2
J. Math. ad Its Appl. ISSN: 829-605X Vol. 3, No. 2, Nopember 206, -0 PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG b-metrik CONE R BERNILAI R 2 Suarsii, Mahmud Yuus 2, Sadjido 3, Auda Nuril Z 4,2,3,4 Jurusa Matematika,
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Ruang Vektor. Definisi (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif dan (F,,. ) lapangan dengan elemen identitas
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruag Vektor Defiisi 2.1.1 (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif da (F,,. ) lapaga dega eleme idetitas 1. V disebut ruag vektor (vector space) atas F jika ada operasi
Lebih terperinciModul 1. (Pertemuan 1 s/d 3) Deret Takhingga
Modul. (Pertemua s/d ) Deret Takhigga. Deret Tidak Terhigga. Pembicaraa kita sekarag deret pada umumya. Deret yag bayakya suku tak terbatas disebut deret tak higga, otasi : Masalah pokok pada deret tak
Lebih terperinciSolved Problems (taken from tutorials)
Lampira Kumpula Soal soal Tutorial da PR Aalisis Real Solved Problems (take from tutorials). Apakah f = { x = y } suatu fugsi? Jawab: Utuk meujukka bahwa f suatu fugsi, maka perlu diigat kembali
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Masalah Itegral adalah salah satu kosep petig dalam Matematika yag dikemukaka pertama kali oleh Isac Newto da Gottfried Wilhelm Leibiz pada akhir abad ke-17. Selajutya
Lebih terperinciDistribusi Pendekatan (Limiting Distributions)
Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,
Lebih terperinciJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 1, 41-48, April 2003, ISSN : MATRIKS STOKASTIK GANDA DAN SIFAT-SIFATNYA
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No., 4-48, April 00, ISSN : 40-858 MATRIKS STOKASTIK GANDA DAN SIFAT-SIFATNYA Suryoto Jurusa Matematika F-MIPA Uiversas Dipoegoro Semarag Abstrak Suatu matriks tak
Lebih terperinciGRUP TERURUT PARSIAL PADA MATRIKS SIMETRI BERUKURAN 2 2
Jural LOG!K@, Jilid 7, No, 7, Hal 46-5 ISSN 978 8568 GRU ERURU ARSIAL ADA MARIKS SIMERI BERUKURAN Irmatul Hasaah Uiversitas Islam Negeri Sulta Maulaa Hasauddi Bate Email: irmatulhasaah@uibateacid Abstract:
Lebih terperinciBAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum
BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme
Lebih terperinciSEMI MODUL POLINOMIAL FUZZY ATAS ALJABAR MAX-PLUS FUZZY
JMP : Volume 3 Nomor 1, Jui 2011 SEMI MODUL POLINOMIAL FUZZY ATAS ALJABAR MAX-PLUS FUZZY Ari Wardayai da Suroto Prodi Matematika, Jurusa MIPA, Fakultas Sais da Tekik Uiversitas Jederal Soedirma (email
Lebih terperinciPendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Pediferesiala Prof R Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii dibahas fugsi berilai real yag didefiisika pada suatu iterval Defiisi derivatif suatu fugsi dimulai dega derivatif di suatu titik, kemudia
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar (pengertian) yang akan digunakan dalam. pembahasan penelitian. 2.
II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa kosep dasar (pegertia) yag aka diguaka dalam pembahasa peelitia 2.1 Ruag Vektor Defiisi 3.1.1 (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif da
Lebih terperinciBARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA
BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { } adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila.. maka fugsi
Lebih terperinciRUANG METRIK DENGAN SIFAT BOLA TERTUTUPNYA KOMPAK
Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat RUANG METRIK DENGAN SIFAT BOLA TERTUTUPNYA KOMPAK RAHMAWATI YULIYANI rahmawatiyuliyai @yahoo.co.id 08561299991 Program studi Tekik Iformatika, Fakultas Tekik, Matematika,
Lebih terperinciDeret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi
Lebih terperinciJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN
JURAL MATEMATKA DA KOMPUTER Vol. 6. o., 77-85, Agustus 003, SS : 40-858 DSTRBUS WAKTU BERHET PADA PROSES PEMBAHARUA Sudaro Jurusa Matematika FMPA UDP Abstrak Dalam proses stokhastik yag maa kejadia dapat
Lebih terperinciSemigrup Matriks Admitting Struktur Ring
Semigrup Matriks dmittig Struktur ig K a r y a t i Jurusa Pedidika Matematika FMIP, Uiversitas Negeri Yogyakarta Email: yatiuy@yahoo.com bstrak Diberika adalah rig komutatif dega eleme satua da adalah
Lebih terperinciBUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET PELL DAN PELL-LUCAS (ALTERNATIVE PROOF THE CONVERGENCE OF PELL AND PELL-LUCAS SERIES)
rosidig Semirata2015 bidag MIA BKS-TN Barat Uiversitas Tajugpura otiaak BUKTI ALTERNATIF KONVERGENSI DERET ELL DAN ELL-LUCAS (ALTERNATIVE ROOF THE CONVERGENCE OF ELL AND ELL-LUCAS SERIES) Baki Swita 1
Lebih terperinciSistem Bilangan Kompleks (Bagian Ketiga)
Sistem Bilaga Kompleks (Bagia Ketiga) Supama Jurusa Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemua Miggu III) Outlie 1 Akar Bilaga Kompleks 2 Akar
Lebih terperinciBeberapa Sifat Semigrup Matriks Atas Daerah Integral Admitting Struktur Ring 1
Beberapa Sifat Semigrup Matriks Atas Daerah Itegral Admittig Struktur ig K a r y a t i Jurusa Pedidika Matematika FMIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta Email: yatiuy@yahoo.com Abstrak Diberika adalah daerah
Lebih terperinciMata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4
Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika
Lebih terperinciMAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd
MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR Dose Pegampu : Darmadi, S.Si, M.Pd Disusu : Kelas 5A / Kelompok 5 : Dia Dwi Rahayu (084. 06) Hefetamala (084. 4) Khoiril Haafi (084. 70) Liaatul Nihayah (084. 74)
Lebih terperinciDistribusi Sampel & Statistitik Terurut
Distribusi Sampel & Statistitik Terurut Sampel Acak, Rataa sampel, X-bar, Variasi sampel, S, Teorema Limit Pusat, Distribusi t,, F Statistik Terurut MA 3181 Teori Peluag 11 November 014 Utriwei Mukhaiyar
Lebih terperinciPendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual
Pedekata Nilai Logaritma da Iversya Secara Maual Moh. Affaf Program Studi Pedidika Matematika, STKIP PGRI BANGKALAN affafs.theorem@yahoo.com Abstrak Pada pegaplikasiaya, bayak peggua yag meggatugka masalah
Lebih terperinciHendra Gunawan. 14 Februari 2014
MA20 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 203/204 4 Februari 204 Sasara Kuliah Hari Ii 9. Barisa Tak Terhigga Memeriksa kekovergea suatu barisa da, bila mugki, meghitug limitya 9.2 Deret Tak Terhigga
Lebih terperinciANALISIS RIIL I. Disusun oleh Bambang Hendriya Guswanto, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si.
ANALISIS RIIL I Disusu oleh Bambag Hedriya Guswato, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS SAINS DAN TEKNIK UNIVERSITAS
Lebih terperinciPENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT
Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Terapaya 06 p-issn : 0-0384; e-issn : 0-039 PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Liatus
Lebih terperinciHUBUNGAN PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF BIDIRECTIONAL G DAN GRAF UNDERLYING DARI G
J Sais MIPA Desember 7 Vol 1 No Hal: 197 - ISSN 1978-187 ABSTRACT HUBUNGAN PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF BIDIRECTIONAL G DAN GRAF UNDERLYING DARI G Kristiaa Wijaya Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Jember
Lebih terperinciKalkulus Rekayasa Hayati DERET
Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti
Lebih terperinciBarisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1
Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga
Lebih terperinciBarisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Barisa da Deret Reto Wika Tyasig Ada P PENDAHULUAN okok bahasa dalam modul ii terdiri atas dua kegiata belajar. Yag pertama tetag barisa, yag kedua tetag deret da cotoh-cotoh pemakaia deret. Pembahasa
Lebih terperinciSupriyadi Wibowo Jurusan Matematika F MIPA UNS
Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA akultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 29 HUBUNGAN ANTARA ORDER DERIVATI- DARI UNGSI f : DENGAN DIMENSI-γ DARI HIMPUNAN RAKTAL Supriyadi
Lebih terperinciFungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi
Lebih terperinciTEOREMA REPRESENTASI RIESZ FRECHET PADA RUANG HILBERT (Riesz Frechet Representation Theorem in Hilbert Space)
Jural Barekeg Vol. 5 No. Hal. 8 (0) TEOREMA REPRESENTASI RIESZ FRECHET PADA RUANG HILBERT (Ries Frechet Represetatio Theorem i Hilbert Space) MOZART W TALAKUA, STENLY JONDRY NANURU Staf Jurusa Matematika
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL
SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL Riza Febri Yusma Sri Gemawati Asli Sirait *riza_febri@yahoo.com Mahasiswa Program S Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiveritas
Lebih terperinciStatistika Matematika. Soal dan Pembahasan. M. Samy Baladram
Statistika Matematika Soal da embahasa M Samy Baladram Bab 4 Ubiasedess, Cosistecy, ad Limitig istributios Ubiasedess, Cosistecy, ad Limitig istributios 41 Ekspektasi Fugsi Key oits Ṫeorema 411 Jika T
Lebih terperinciSistem Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Sistem Bilaga Real Prof. R. Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii aka dibahas sifat-sifat pokok bilaga real. Meskipu pembaca sudah akrab bear dega bilaga real amu modul ii aka membahasya lebih cermat
Lebih terperinciJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, , Agustus 2003, ISSN : METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT
Vol. 6. No., 97-09, Agustus 003, ISSN : 40-858 METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT Robertus Heri Jurusa Matematika FMIPA UNDIP Abstrak Tulisa ii membahas peetua persamaa ruag
Lebih terperinciMATHunesa (Volume 3 No 3) 2014
MATHuesa (Volume 3 No 3) 014 MINIMUM PENUTUP TITIK DAN MINIMUM PENUTUP SISI PADA GRAF KOMPLIT DAN GRAF BIPARTIT KOMPLIT Yessi Riskiada Kusumawardai Program Studi S1 Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas tentang teori-teori dasar yang. digunakan untuk dalam mengestimasi parameter model.
BAB II LANDASAN TEORI Pada bagia ii aka dibahas tetag teori-teori dasar yag diguaka utuk dalam megestimasi parameter model.. MATRIKS DAN VEKTOR Defiisi : Trace dari matriks bujur sagkar A a adalah pejumlaha
Lebih terperinciREPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA
Jural Matematika UNAND Vol. 3 No. Hal. 7 34 ISSN : 33 9 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA EKA RAHMI KAHAR, DODI DEVIANTO Program
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Struktur alabar adalah suatu himpua yag di dalamya didefiisika suatu operasi bier yag memeuhi aksioma-aksioma tertetu. Gelaggag ( Rig ) merupaka suatu struktur
Lebih terperinciBAB : I SISTEM BILANGAN REAL
Ruag Barisa BAB : I SISTEM BILANGAN REAL Sebelum membicaraka barisa da deret aka dibicaraka lebih dahulu tetag bilaga real karea barisa da deret yag aka dibicaraka adalah barisa da deret bilaga real. Sistem
Lebih terperinciESSENTIALLY SMALL RIEMANN SUMS FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCK-DUNFORD PADA [a,b]
ESSENTILLY SMLL RIEMNN SUMS FUNGSI TERINTEGRL HENSTOCK-UNFOR P [a,b] Solikhi, Sumato, Siti Khabibah 3,,3 Jurusa Matematika FSM Uiversitas ioegoro Jl Prof H Soedarto, SH Semarag 5075 solikhi@liveudiacid,
Lebih terperinciMATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 6 No.2 Tahun 2018 ISSN
MATHuesa Jural Ilmiah Matematika Volume No Tahu 08 ISSN 30-95 INDEKS HARARY GRAF HAMILTON, SEMI-HAMILTON DAN HAMILTON-KUAT Fatimatus Zahro (S Matematika, FMIPA, Uiversitas Negeri Surabaya) e-mail: imatus0@gmailcom
Lebih terperinciEMPAT CARA UNTUK MENENTUKAN NILAI INTEGRAL POISSON., Sri Gemawati 2, Agusni 2. Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2
EMPAT CARA UNTUK MENENTUKAN NLA NTEGRAL POSSON Novrialma *, Sri Gemawati, Agusi Mahasiswa Program Studi S Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika da lmu Pegetahua Alam Uiversitas Riau Kampus
Lebih terperinciBAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA
BAB VI BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { },,,,, adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila,,,..,
Lebih terperinciInduksi Matematika. Pertemuan VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusan Teknik Informatika UPN Veteran Yogyakarta
Iduksi Matematika Pertemua VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusa Tekik Iformatika UPN Vetera Yogyakarta Metode pembuktia utuk peryataa perihal bilaga bulat adalah iduksi matematik. Cotoh
Lebih terperinciAproksimasi Terbaik dalam Ruang Metrik Konveks
Aprosimasi Terbai dalam Ruag etri Koves Oleh : Suharsoo S Jurusa atematia FIPA Uiversitas Lampug Abstra asalah esistesi da etuggala aprosimasi terbai suatu titi dalam ruag berorm telah dipelajari oleh
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1
BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS
Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 4 Mei 0 SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA
Lebih terperinciBAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT SIFAT STATISTIKNYA
BAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT SIFAT STATISTIKNYA 3. Perumusa Peduga Misalka N adala proses Poisso o omoge pada iterval [, dega fugsi itesitas yag tidak diketaui. Fugsi ii diasumsika teritegralka
Lebih terperinci1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu
Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier
Lebih terperinciESSENTIALLY SMALL RIEMANN SUMS FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCK-DUNFORD PADA [a,b] Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Semarang 50275
ESSENTILLY SMLL RIEMNN SUMS FUNGSI TERINTEGRL HENSTOCK-DUNFORD PD [ab] Solikhi Sumato Siti Khabibah 3 3 Jurusa Matematika FSM Uiversitas Dioegoro Jl Prof H Soedarto SH Semarag 575 solikhi@liveudiacid khabibah_ku@yahoocoid
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS. Abstrak
Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 4 Mei 0 SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA
Lebih terperinciSetelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi;
Modul 1 Operasi Dr. Ahmad Muchlis B PENDAHULUAN erapakah 97531 86042? Kalau Ada megguaka kalkulator, jawabaya amat bergatug pada tipe kalkulator yag Ada pakai. 9 Kalkulator ilmiah Casio fx-250 memberika
Lebih terperinciKONSTRUKSI KLAS BARISAN p-supremum BOUNDED VARIATION SEQUENCES
KONSTRUKSI KLAS BARISAN p-supremum BOUNDED VARIATION SEQUENCES A-4 Moch. Aruma Imro 1, Ch. Rii Idrati 2, da Widodo 3 1 Jurusa Matematika, FMIPA, Uiversitas Brawijaya, Malag 65145 da Mahasiswa S3 Matematika,
Lebih terperinciRING MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF. Achmad Abdurrazzaq, Ari Wardayani, Suroto Universitas Jenderal Soedirman
JMP : Volume 7 Nomor 1, Jui 2015, hal 11-18 RING MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF Achmad Abdurrazzaq, Ari Wardayai, Suroto razzaqgaesha@gmailcom Uiversitas Jederal Soedirma ABSTRACT This paper discusses a matrices
Lebih terperinciterurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2
Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama
Lebih terperinciKEKONVERGENAN PADA RUANG BERNORMA DAN RUANG HASIL KALI DALAM WINA DIANA
KEKONVERGENAN PADA RUANG BERNORMA DAN RUANG HASIL KALI DALAM WINA DIANA 055400597 Taggal Sidag: 04 Februari 0 Periode Wisuda: Februari 0 Jurusa Matematika Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Islam Negeri
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
2 LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Percobaa acak adalah suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak dapat diprediksi secara tepat tetapi dapat diketahui semua
Lebih terperinciKetidaksamaan Chebyshev Hukum Bilangan Besar pada Bisnis Asuransi
Vol. 5, No., 86-9, Jauari 009 Ketidaksamaa Chebyshev Hukum Bilaga Besar pada Bisis Asurasi Georgia M. Tiugki Abstrak Bisis asurasi sagat erat kaitaya dega teori statistik, khususya teori probabilitas (kemugkia)
Lebih terperinciPERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3
PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde
Lebih terperinciPENGGUNAAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS UNTUK MENGKONSTRUKSI BARISAN KONVERGEN
PENGGUNAAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS UNTUK MENGKONSTRUKSI BARISAN KONVERGEN S K R I P S I Disusu dalam Ragka Meyelesaika Studi Strata utuk memperoleh Gelar Sarjaa Sais Oleh Nama : Sugeg Wibowo Nim :
Lebih terperinci